Fonctions distance

Sommaire

1. Plus court chemin
  a. Symétrie axiale : de A à B via M situé sur (d)
  Exercices de-ci, de-là : 486-1 construction sous contrainte
  b. Translation : de A à B via M et M’

2. Trajet en temps minimum
3. Fonction distance dans un triangle
4. Fonction distance dans un hexagone

Études d'aires : minimum-maximum

Maximum faisant intervenir une parabole :
     Analyse en 1L avec GéoPlan

Problèmes d'optimisation au lycée

Fonctions dans l'espace

Page n^o 41, créée le 28/5/2003 - mise à jour le 7/6/2010

Faire de la géométrie dynamique

1S - TS
Problèmes d'optimisation

Construire un pentagone régulier

GéoPlan
Lieux géométriques

Rectangle inscrit dans un triangle

Constructions avec contraintes

Environnement informatique

Objectifs et moyens possibles

• Logiciel de géométrie dynamique.
• Utilisation par les élèves en salle informatique.
• Un ordinateur pour un ou deux élèves.

• En vue aussi d'une préparation à l'épreuve pratique de mathématiques au bac S, il semble nécessaire de confronter les élèves à des situations permettant d'expérimenter en mathématiques.
• Développer les capacités d'expérimentation et de raisonnement, d'imagination et d'analyse critique.

Compétences TICE

Compétences mathématiques

•  Construction de figure avec un logiciel de géométrie dynamique ;
• Traduire, à l'aide du logiciel, une situation géométrique par une représentation graphique de fonction ;
• Tester les conjectures émises.

• Élaborer une stratégie permettant de déterminer l'extremum d'une fonction.

Cette page n'étudie pas la « fonction distance » entre les points d'un ensemble. Le titre de cette page est à comprendre comme fonction faisant appel à des distances.

Technique GéoPlan : dans ces exercices est utilisée une seule figure avec deux cadres : le cadre de gauche pour la figure géométrique, le cadre de droite pour une fonction.

1. Plus court chemin

Classes de seconde, de première L

Constructions avec une contrainte d'optimisation (et ici utilisation d'une transformation)

a. Symétrie axiale : de A à B via M situé sur (d)

Problème ouvert : Roméo doit aller cueillir une fleur sur le mur de roses et la porter à Juliette. À quel endroit Roméo doit-il cueillir la fleur pour aller le plus vite possible ?

Prérequis : configurations du plan, théorèmes de Pythagore et de Thalès, transformations, calculs avec fractions et racines carrées, généralités sur les fonctions.

Déroulement de l'activité :
le problème est à chercher à la maison, puis, en salle informatique et en demi-groupe, on demande aux élèves de réaliser une figure avec un logiciel de géométrie dynamique pour confirmer ou affiner les résultats trouvés à la maison.
De retour en classe entière, pour la correction, le professeur projette la figure dynamique tout en déroulant les calculs.

Prolongement : la vitesse pour aller au mur de roses n'est pas la même que la vitesse pour aller rejoindre Juliette. Non résolu.

Réalisation avec GéoPlan

Étant donné deux points A et B situés dans un même demi-plan par rapport à une droite (d), trouver le point M sur la droite (d) tel que MA + MB soit minimum.

On trouve la solution en trouvant l'intersection M de la droite (d) avec la droite (AB’) où B’ est le symétrique de B par rapport à (d).

M est aussi le point de (d) tel que la perpendiculaire en M à (d) soit la bissectrice des droites (MA) et (MB).
Ainsi, le point A représente la position initiale d'une boule de billard qui rebondit en M pour terminer en B.

Télécharger la figure GéoPlan symet.g2w

Étant donné deux points A et B situés dans un même demi-plan par rapport à une droite (d), trouver le point M sur la droite (d) qui minimise MA + MB, sans sortir du cadre.

.

Solution

« On peut raisonner sans contrainte… » !
Georges Lion

Il s'agit de se ramener à la solution connue qui utilise le symétrique A’ de A par rapport à (d).

On peut trouver la construction de M, à l'aide d'un point C sans
avoir placé A’ :

(AK) et (BH) se coupent C.
La projection M de C sur (d) est alors la solution.

Télécharger la figure GéoPlan symet_contrainte.g2w

Démonstration

À priori, il semble qu'on n'échappe pas à l'utilisation du symétrique A’ pour la démonstration, comme le propose Jean Fromentin :

A’ symétrique de A par rapport à (d) ; (AA’) // (BK),
(AK) et (HB) se coupent en C.
(BA’) coupe (d) en M.

D'après le théorème de Thalès (= ) = .

De même ( =) = .
Or HA = HA’

Donc = .
De ce fait, (MC) // (AH) // (BK).

Cette condition nécessaire est aussi suffisante. Ainsi pour trouver le point M il suffit de construire le point C et d'en abaisser la perpendiculaire sur (d).

Voir autres solutions et activités dans le bulletin APMEP n^o 488.

Trouver le calcul de MC dans le problème de la barrière.

Soit deux droites parallèles (d₁) et (d₂), deux points A et B de part et d'autre de la bande dessinée par (d₁) et (d₂) et (d₃) une droite sécante à (d₁) et (d₂).

Construire les points M et M’ sur (d₁) et (d₂) tels que (MM’) soit parallèle à (d₃) et le trajet AM + MM’ + MB soit le plus court possible.

Télécharger la figure GéoPlan dist_min_trans.g2w
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2. Modélisation d'une situation géométrique

En géométrie plane, recherche d'un trajet optimal avec deux contraintes différentes suivant les régions du plan dans lesquelles on se déplace.

ÉduSCOL -Terminale S - Banque de sujets 2005 - 2007 : sujet 016

Trajet en temps minimum

Un marin désire aller de son phare A à la ville B située sur une côte rectiligne BH.
Il transporte dans son bateau son vélo.
En mer il se déplace à la vitesse v₁, sur terre à la vitesse v₂ (v₁ ≥ v₂).

En quel point M de la côte doit-il aborder pour mettre le moins de temps possible ?

La distance BH est égale à 6 km, la distance AH vaut h.
On appelle x la distance BM, y le temps mis pour aller de A à B (en passant par M) en fonction de x.
Le point N de coordonnées (x, y) varie dans un repère orthogonal R.

Télécharger la figure GéoPlan min_temps.g2w
Variante sans bateau : analyse en 1L
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3. Fonction distance dans un triangle

Au démarrage G est le centre de gravité d'un triangle ABC.
Un point M varie sur les côtés du triangle ABC. Le point M part de A et parcourt le triangle ABC dans le sens trigonométrique.
On appelle x la distance parcourue depuis A (unité AB = 1). On étudie les variations de la longueur du segment [MG] en fonction de x.
Le point N a pour coordonnées (x, MG) dans un repère orthogonal R dont les unités sont u et v.

Télécharger la figure GéoPlan fct_triangle.g2w
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4. Fonction distance dans un hexagone

Énoncé (Terminale S)

Soit ABCDEF un hexagone régulier de côté de longueur 2.
Un point M part de A et fait le tour de l'hexagone dans le sens positif.
On note x_N la distance que M a parcourue depuis son départ sur l'hexagone. On note y_N = AM la distance (directe) de A à M.
Dans le repère situé à droite, on place le point N de coordonnées (x_N ; y_N) et on trace le lieu L de N quand x_N varie de 0 à 12.
On obtient ainsi une fonction définie sur [0 ; 12] par morceaux à valeurs dans [0 ; 4].

Résolution du problème

On essaiera d'exprimer la distance AM selon les trois cas de segment après avoir remarqué la symétrie.
La composition des fonctions sera utile pour une étude rigoureuse.
Le tableau de variation complet doit être établi.

Utilisation du logiciel GéoPlan

L'intérêt est de suivre les positions correspondantes simultanément et de montrer que la même variation de x donne des différences selon la position de M.

Domaine B2i

Compétence

Item lycée validable

1 – S'approprier un environnement informatique de travail.

Être autonome dans l'usage des services et des outils.

1.1 –  Je sais choisir les services, matériels et logiciels adaptés à mes besoins.

3 – Créer, produire, traiter, exploiter des données.

Concevoir et publier des documents numériques en choisissant le logiciel, le service ou le matériel adapté.

Exploiter des données ou des documents numériques Modifier un ou plusieurs paramètres, une situation simulée ou modélisée.

3.5 – Je sais produire une représentation graphique à partir d'un traitement de données numérique.

3.6 – Dans le cadre de mes activités scolaires, je sais repérer des exemples de modélisation ou simulation et je sais citer au moins un paramètre qui influence le résultat.

La courbe des chiens
Suites et géométrie

GéoPlan 3^e
Longueur minimum

Troisième
Problèmes d'optimisation

Seconde
Problèmes d'optimisation

Construction approchée du pentagone régulier

Démonstrations géométriques de Pythagore

Sommaire

1. Plus court chemin
  a. Symétrie axiale : de A à B via M situé sur (d)
  Exercices de-ci, de-là : 486-1 construction sous contrainte
  b. Translation : de A à B via M et M’

2. Trajet en temps minimum
3. Fonction distance dans un triangle
4. Fonction distance dans un hexagone

  Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec la version ActiveX de GéoPlan

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