Problèmes d'optimisation avec GéoPlan

Sommaire

1. Arc de cercle ?
2. Tangente à la parabole et aire minimum
3. Triangle rectangle isocèle avec contraintes
4. Lieux géométriques

Optimisation d'une longueur : voir évacuation des eaux

Huit carrés - Somme de trois angles : voir carrés au collège

Partage d'un trapèze : voir optimisation en seconde

Page n^o 105, réalisée le 21/3/2007, mise à jour le 25/3/2009

Faire de la géométrie dynamique

Épreuve pratique
Sujets 2007

Épreuve pratique
avec GéoPlan

Optimisation
en troisième

Optimisation
en seconde

GéoPlan 3^e
Longueur minimum

Objectifs

Mathématiques

Informatiques

– Expérimenter, conjecturer et démontrer sur un problème d'optimisation.
– Expliciter, sous différents aspects (graphique, calcul, étude qualitative), la notion de fonction.
– Décrire, avec un vocabulaire adapté, le comportement d'une fonction définie par une courbe.

– Construction de figure et représentation graphique de fonction avec un logiciel de géométrie dynamique.

Déroulement des activités

Expérimentation et conjecture

Démonstration

– En groupe dans la salle informatique, un ou deux élèves par poste.

– En classe entière.

Soit f  la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par :
f(x) = x - 2 + 1.

La courbe représentative Γ de la fonction f dans un repère orthonormal est donnée ci-contre.

• Montrer que le point M de coordonnées (x, y) appartient à Γ si et seulement si x ≥ 0, y ≥ 0 et + = 1.

• Montrer que Γ est symétrique par rapport à la droite d'équation y = x.

• Si Γ était un arc de cercle, quel pourrait être son centre?
Quel pourrait être son rayon ?

• La courbe Γ est-elle un arc de cercle ?

De l'équation y = x - 2 + 1, on trouve y = (1 - )².
Comme 0 ≤ x ≤ 1, alors 0 ≤ ≤ 1 et 0 ≤ y ≤ 1 et on peut calculer la racine carrée :
= 1 - soit + = 1.

Cette équation est symétrique en x et y : si un point M(x, y) appartient à Γ, alors M’(y, x) est aussi sur Γ. L'axe (O, + ) d'équation y = x est axe de symétrie de la courbe.

Cette droite coupe Γ au point C tel que 2 = 1 donc x = y = .

Si Γ était un arc de cercle, il passerait par A, B et C.
Son centre I serait situé sur l'axe (O, + ), médiatrice de [AB], et sur la médiatrice de [AC].
Cette dernière droite, perpendiculaire à (- , - ) en J(, ), a pour coefficient directeur 3 et pour équation :
y = 3x - . Les deux médiatrices se coupent au point K tel que x = y = .

Commandes GéoPlan

Taper S pour visualiser un arc de cercle de centre I, situé sur la première bissectrice des axes, et passant par les points A(1, 0) et B(0, 1).
Taper C pour placer le point I au point K de coordonnées (, ), centre du cercle passant par A, B et C.

Quel que soit le centre I, la courbe Γ et l'arc de cercle sont distincts.

Avec GéoPlan, taper P permet de visualiser la parabole contenant Γ.

Télécharger la figure GéoPlan courbe_arc_cercle.g2w

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Justification

De l'équation y = x - 2 + 1, on trouve 2 = x - y + 1 et en élevant au carré :
4x = (x - y + 1)² = x² + y² - 2xy + 2x - 2y + 1.

Le terme 2xy de l'équation x² + y² - 2xy - 2x - 2y + 1 = 0 fait que Γ n'est pas un arc de cercle, mais un arc de conique, plus particulièrement de parabole.

Démonstration

En raison de la symétrie, on est donc amené à étudier la courbe dans le nouveau repère (O, , ) avec : = - et = +

Pour un point M(x, y) dans le repère (O, , ) on a : = x + y , dans le nouveau repère M a pour coordonnées (X, Y) avec = X + Y .

X + Y = X ( - ) + Y( + ) = X - X + Y + Y = (X + Y) + (Y - X).
En identifiant avec x + y , on trouve les formules de changement de variable :
x = X + Y
y = Y - X.

Remplaçons par les nouvelles coordonnées dans l'équation :
(X + Y)² + (Y - X)² - 2 (X + Y)(Y - X) - 2(X + Y) - 2(Y - X) + 1 = 0.
Soit 4X² - 4Y + 1 = 0. Γ est un arc de la parabole d'équation Y = X² + .

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O; , ) d'unité graphique 2cm.

a. Soit g a fonction définie sur ]-1, 1[ par g(x) = 1 - x². Tracer la courbe (C) représentative de g.

b. Soit x un nombre réel non nul élément de l'intervalle ]0 ; 1]. On appelle M le point de (C) d'abscisse x.
On appelle (T) la tangente en M à la courbe (C).
(T) coupe l'axe des abscisses en I et l'axe des ordonnées en J.

Pour quelle valeur de x l'aire du triangle OIJ est-elle minimum ?

Télécharger la figure GéoPlan tg_parabole.g2w

Technique GéoPlan : dans cet exercice est utilisée une seule figure avec deux cadres.

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Niveau terminale

3. Triangle rectangle isocèle avec contraintes

Soit (O ; , ) un repère orthonormal direct du plan.

On considère trois points A, B, C de coordonnées respectives (0, 5) ; (2, 12) ; (0, 10).

On appelle (d₁) la parallèle à l'axe (Oy) passant par B et (d₂) la droite (BC).

Trouver un point M sur (d₁) et un point N sur (d₂) tels que le triangle AMN soit rectangle isocèle direct en A.

Solution

Si le triangle rectangle isocèle AMN existe, le point M est obtenu à partir du point N par une rotation de 90° autour de A. Cela nous donne une méthode de construction du triangle qui répond à la question :
on fait pivoter la droite (d₁) de 90° autour de A. La transformée (d’) coupe (d₂) en N. Le point de (d₁) dont N est l'image est le point M.

Télécharger la figure GéoPlan tr_rect_iso.g2w

4. Lieux géométriques avec une similitude

Dans le plan rapporté au repère orthonormal direct (A, , ), on considère le carré ABCD de centre O, soit P un point de [BC].

On appelle N l'image de P par la rotation de centre A et d'angle et M le milieu de [NP].

Déterminer les lieux des points N et M lorsque P décrit [BC].

Commandes GéoPlan
Touche T : Tracé point par point des lieux,
touche S pour Sortir du mode trace,
touche L : dessin en bloc des Lieux.

Indications

D’ étant le symétrique de C par rapport à D, D et D’ sont les images de B et C par la rotation. Le lieu du point N est le segment [DD’] porté par la droite (CD).

Le triangle ANP est rectangle isocèle. M est donc l'image de P par la similitude de centre A, d'angle et de rapport . O et D sont les images de B et C par la similitude. Le lieu du point M est le segment [OD].

Télécharger la figure GéoPlan lieu_carre.g2w

Domaine B2i

Compétence

Item lycée validable

1 – S'approprier un environnement informatique de travail.

Être autonome dans l'usage des services et des outils.

1.1 –  Je sais choisir les services, matériels et logiciels adaptés à mes besoins.

3 – Créer, produire, traiter, exploiter des données.

Concevoir et publier des documents numériques en choisissant le logiciel, le service ou le matériel adapté.

Exploiter des données ou des documents numériques.
Modifier un ou plusieurs paramètres, une situation simulée ou modélisée.

3.5 – Je sais produire une représentation graphique à partir d'un traitement de données numérique.

3.6 – Dans le cadre de mes activités scolaires, je sais repérer des exemples de modélisation ou simulation et je sais citer au moins un paramètre qui influence le résultat.

GéoPlan 3^e
Longueur minimum

Études d'aires
minimum-
maximum

Fonctions distance

Rectangle inscrit
dans un triangle

Similitude

Optimisation
en seconde

Sommaire

1. Arc de cercle ?
2. Tangente à la parabole et aire minimum
3. Triangle rectangle isocèle avec contraintes
4. Lieu géométrique

 Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec la version ActiveX de GéoPlan

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