Maxima - Minima

De nombreuses situations menant à des problèmes d'optimisation : à partir de figures géométriques, recherche d'extrema avec GéoPlan en terminale S.

Sommaire

1. Aire minimum de deux demi-disques
2. Aire maximum de deux lunules
3. Aire de l'arbelos
4. Le quadrilatère qui tourne
5. Aire et périmètre maximums d'un rectangle
6. Aire et périmètre d'un triangle inscrit dans un cercle
7. Fonction définie par une aire
8. Deux cercles tangents, tangents à un carré - Olympiades
9. Aire d'un rectangle inscrit dans un triangle

Page n^o 42, créée le 31/5/2003 - mise à jour le 13/7/2007

Aire maximale d'un triangle

Aire maximale d'un triangle inscrit dans un carré
inscrit dans un rectangle : pliage du coin d'une feuille

Aire maximum d'un triangle de périmètre fixé :
optimisation en troisième
aire maximale d'un triangle isocèle à l'épreuve pratique de TS

Fonctions distance

GéoPlan en 3^e
Longueur minimum

Troisième
Problèmes d'optimisation

Seconde
Problèmes d'optimisation

1S - TS
Problèmes d'optimisation

Analyse en 1L
avec GéoPlan

Faire de la géométrie dynamique

Classe de 1S

Environnement informatique	Objectifs et moyens possibles
Logiciel de géométrie dynamique. Utilisation par les élèves en salle informatique. Un ordinateur pour un ou deux élèves.	En vue aussi d'une préparation à l'épreuve pratique de mathématiques au bac S, il semble nécessaire de confronter les élèves à des situations permettant d'expérimenter en mathématiques. Développer les capacités d'expérimentation et de raisonnement, d'imagination et d'analyse critique.
Compétences TICE	Compétences mathématiques
Construction de figure avec un logiciel de géométrie dynamique ; Traduire, à l'aide du logiciel, une situation géométrique par une représentation graphique de fonction ; Tester les conjectures émises.	Calculs d'aires : triangle, disque, parallélogramme Élaborer une stratégie permettant de déterminer l'extremum d'une fonction.

Technique GéoPlan : dans ces exercices est utilisée une seule figure avec deux cadres : le cadre de gauche pour la figure géométrique, le cadre de droite pour une fonction.

1. Aire minimum de deux demi-disques

On considère la figure suivante : (C) est un cercle de centre O et de rayon 1, [AB] est un diamètre. À partir d'un point M de [AB], tracer deux demi-cercles de diamètre [AM] et [MB] (voir figure ci-dessous).
Il s'agit de trouver la position du point M où la somme des aires des deux demi-disques est minimum.

Indication

Le problème est posé dans le cadre géométrique. En appelant x le rayon d'un des demi-cercles, l'aire de la partie hachurée est égale à :
π (2x² - 2x + 1)/2. La résolution s'effectue dans le cadre algébrique.

Aire d'une lunule

Télécharger la figure GéoPlan min_lunules.g2w

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

2. Aire maximum de deux lunules d'Hippocrate

Trouver la position du point A où la somme des aires des deux lunules est maximum.
Le point M a pour coordonnées x et a_l où x est la mesure de l'angle ACB en radians et a_l l'aire des lunules.

Aire de deux lunules d'Hippocrate

Remarque : d'après le théorème des deux lunules, la somme des aires des deux lunules est égale à l'aire du triangle rectangle ABC.
On retrouve bien le fait que l'aire du triangle est maximale lorsque la hauteur issue de A est maximale. Ce maximum est atteint lorsque A est au milieu du demi-cercle de diamètre [BC], la hauteur est alors égale à BC/2, rayon du demi-cercle ; les deux lunules sont alors de même aire égale à BC²/8.

Télécharger la figure GéoPlan max_lunules.g2w
Lunules d'Hippocrate

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Faire de la géométrie dynamique

3. Aire de l'arbelos

Arbelos d'Archimède ou tranchet du cordonnier : domaine compris entre trois demi-cercles tangents deux à deux

Tranchet du cordonnier

On considère un demi-cercle de diamètre AB = 5. M est un point variable du segment [AB]. On construit les demi-cercles de diamètres [AM] et [MB]. Télécharger la figure GéoPlan arbelos.g2w Si AM = x l'aire de l'arbelos est π(5-x)x/4, pour x = 1 ou x = 4 l'aire de l'arbelos est égale à π soit 8/25 de l'aire du demi-disque de diamètre [AB]. Pour x = 5/2, l'aire maximale est égale à la moitié de l'aire du demi-disque de diamètre [AB]. La perpendiculaire à [AB] au point M coupe le grand demi-cercle au point C. (CM) est la hauteur, issue du sommet de l'angle droit, du triangle rectangle ABC ; MC est moyenne géométrique des projections des petits côtés sur l'hypoténuse : MC² = AM × MB = x (5-x). On a donc MC = , AC = et BC = . Le cercle (c) de diamètre [CM] a la même aire que celle de l'arbelos. Il coupe les petits côtés du triangle ABC en D et E situés sur les petits demi-cercles. La droite (DE) est une tangente commune à ces demi-cercles.
Télécharger la figure GéoPlan arbelos2.g2w Glossaire publimath	Arbelos
Cercles d'Archimède (287-212 av. J.-C.) en : Archimedes' circles de : Zwillingskreise Les cercles d'Archimède (c) et (c’) sont deux cercles inscrits dans l'arbelos, simultanément tangents à la droite (MC), au demi-cercle de diamètre [AB], au demi-cercle de diamètre [AM] pour (c) et au demi-cercle de diamètre [BM] pour (c’). Ces deux cercles ont même diamètre d = AM × MB/AB = x (5 - x)/5. Les centres ont pour ordonnées et . Le cercle de diamètre [DE], tangent aux cercles (c) et (c’), a la même aire que celle de l'arbelos ; DE = CM.
Télécharger la figure GéoPlan arbelos3.g2w	Sommaire Faire de la géométrie dynamique
4. Le quadrilatère qui tourne ABCD est un rectangle de longueur a = 9 et de largeur b = 6. À l'intérieur de ce rectangle on trace le quadrilatère MNPQ tel que AM = BN = CP = DQ = x. Où faut-il placer M pour que l'aire du quadrilatère soit la plus petite possible ? Classe de première S L'objectif de cette activité est d'introduire l'outil fonction sous sa forme algébrique : lorsque l'on déplace le point M sur [AB] étudier les variations de l'aire du parallélogramme y = A(x) de MNPQ. Cet outil prenant du sens comme moyen de résolution d'un problème : trouver x pour que l'aire soit minimale. Exercice sur la forme canonique de l'équation du second degré Leçons de mathématiques à l'oral du CAPES CRDP de Franche-Comté - 2001 Suzette Rousset-Bert - Petit x n^o 56 - IREM de Grenoble - 2001 Dans le cadre est représenté le point S(x, y)

Le quadrilatère qui tourne

Si a = 9 et b = 6 l'aire du quadrilatère MNPQ est égale à l'aire du rectangle ABCD moins l'aire des quatre triangles rectangles de côté x et a-x ou b-x.
L'aire du rectangle ABCD est ab = 54.
L'aire de ces quatre triangles est celle deux petits rectangles x (a-x) + x (b-x) = x (a + b - 2x) = (a + b) x - 2x² = 15 x - 2x².

On a donc : A(x) = 2x² - 15 x + 54
et A(x) - A(15/4) = 2(x - 15/4)².
Le minimum de l'aire est atteint pour x = 15/4 = 3,75.

Dans le cas général on a : A(x) = 2x² - (a + b) x + ab
et A(x) - A((a+b)/4) = (4x - a - b)²/8.
Le minimum de l'aire est atteint pour x = (a + b)/4.

Télécharger la figure GéoPlan quadrilatere_tourne.g2w

Le quadrilatère qui tourne 2

Si 0 < x < b/2 ou a/2 < x < b l'aire du parallélogramme MNPQ est égale à la somme de l'aire B(x) du petit rectangle contenu dans la figure et l'aire (a + b) x - 2x² des quatre triangles rectangles. Si b/2 < x < a/2 il faut calculer la différence.

Étudier l'aire z = B(x) du petit rectangle et vérifier que le minimum de l'aire du quadrilatère est atteint lorsque le petit rectangle est un carré.

Dans le cadre sont représentés les points S(x, y) et T(x, z).

Télécharger la figure GéoPlan quadrilatere_tourne_2.g2w
Multiplication d'un parallélogramme
Rectangle mobile inscrit dans un rectangle

Sommaire

Faire de la géométrie dynamique

5. Aire et périmètre maximums d'un rectangle

AB est le « quart de cercle » situé sur le cercle de centre O et de rayon 7.

Où doit être situé le point M sur cet arc pour que l'aire du rectangle ONMP soit maximale ?

Indication

x = ON, y = OP ; OM² = ON² + OP² = x² + y² = 7² donc y² = 49 - x² soit y = .

L'aire du rectangle est xy = .

Cette aire est maximale lorsque x = 7 ≈ 4,95 (voir étude de la fonction paragraphe suivant).

Aire d'un rectangle

Lorsque le point M est variable sur le segment [AB], on trouve une parabole : voir analyse en 1L.

Télécharger la figure GéoPlan max_rectangle.g2w

Où doit être situé le point M sur cet arc pour que le périmètre du rectangle ONMP soit maximal ?

Classe de seconde

Périmètre d'un rectangle

Télécharger la figure GéoPlan max_rectangle_peri.g2w	Sommaire Faire de la géométrie dynamique
Variante
Soit C un cercle de rayon 4 cm. Quelle est l'aire maximale d'un rectangle dont les sommets sont sur le cercle.	ÉduSCOL - Terminale S Banque de sujets 2005 - Sujet 30
6. Aire et périmètre maximums, d'un triangle inscrit dans un cercle
Le triangle ABC, isocèle de sommet A est inscrit dans un cercle (c) donné de centre O et de rayon 1.	Classe de 1S
a. Trouver le triangle ayant l'aire maximale. S'il existe un triangle d'aire maximale, parmi les triangles inscrits dans (c), alors celui ci est équilatéral. En effet si ABC était une solution non équilatéral telle que AB < AC, alors la médiatrice de [BC] coupe l'arc de cercle BC (contenant A) en D. Si H est le milieu de [BC] alors la longueur de la hauteur DH est strictement supérieure à celle issue de A du triangle ABC. L'aire maximale de ABC, demi-produit de la hauteur par la base BC est strictement plus petite que l'aire de DBC, ce qui est contradictoire. Il reste à prouver qu'un tel triangle équilatéral existe.

Aire d'un triangle inscrit dans un cercle

H est un point libre du diamètre [AJ] du cercle (c). La perpendiculaire en H à (AO) coupe le cercle en B et C. Le triangle isocèle ABC est inscrit dans le cercle (c).

Soit x = AH, la longueur de la hauteur en A du triangle ABC, variant de 0 à 2.
L'aire y du triangle ABC est représentée dans le cadre de droite par le point S(x, y).

En déplaçant le point H, on peut conjecturer que l'aire est maximale pour x = et ABC est un triangle équilatéral.

Commandes GéoPlan :

Le déplacement du point H se fait au clavier ou à la souris,
touche T pour la Trace du point S,
touche S pour Sortir du mode trace,
la touche L fait apparaître ou disparaître le lieu de S.

Télécharger la figure GéoPlan max_triangle.g2w

b. Cas général

Dans une première étape, on aurait faire une recherche avec un triangle quelconque. À partir de points distincts A et B du cercle (c), on montre que dans cas que le triangle ABC, avec C un des points d'intersection du cercle avec la médiatrice de [AB]convenablement choisi, est d'aire maximale.
On peut ensuite, dans une deuxième étape, faire la recherche comme ci-dessus avec un triangle isocèle et trouver un triangle équilatéral.

c. Variante

Épreuve pratique 2007 - Terminale S - Sujet 027

On considère un triangle ABC isocèle en A, de périmètre fixé. Il s'agit de déterminer parmi tous les triangles possibles celui dont l'aire est maximale.

d. Trouver le triangle ayant le périmètre maximal.

Périmètre d'un triangle inscrit dans un cercle

Soit x = AH et y représente dans cette deuxième figure le périmètre du triangle ABC. Dans le cadre de droite est représenté le point P(x, y).

En déplaçant le point H, on peut conjecturer que le périmètre est maximal pour la même valeur x = .

Télécharger la figure GéoPlan max_triangle1.g2w

Indications

Le cercle (c) ensemble des points B tels que BO² = (x - 1)² + y² = 1 a pour équation x² + y² - 2x = 0 dans un repère d'origine A.
D'où BH = . L'aire du triangle est A(x) = x.
Montrer que A() est le maximum revient à démontrer que x²(2x - x²) ≤ , soit 16x⁴ - 32x³ + 27 ≥ 0.

16x⁴ - 32x³ + 27 = (2x - 3)² (4x² + 4x + 3) est positif pour x appartenant à [0, 2].

Utilisation du logiciel GéoPlan

Sur une même figure, dans le cadre de droite sont représentés simultanément les points S(x, y) et P(x, z) où y est l'aire du triangle ABC et z est le périmètre du triangle ABC.
L'intérêt est de suivre simultanément les positions correspondantes de S et P et de montrer que le maximum de chaque fonction est atteint pour la même valeur de x.

Télécharger la figure GéoPlan max_triangle2.g2w

Il est aussi possible d'étudier les variations en fonction de BC : télécharger la figure GéoPlan max_triangle3.g2w

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

7. Fonction définie par une aire
Aire maximun d'un triangle rectangle inscrit dans un rectangle

Énoncé (Première S)

APM B. Destainville
Des activités pour les classes de première
Publication APMEP n^o 85 - 1991

Dans la figure ci-dessous AB = 8, AI = 2. [Ax) et [Bx’) sont deux demi-droites perpendiculaires à [AB]. M est un point variable sur [Ax) et N est le point de [Bx’) tel que le triangle MIN soit rectangle en I.

Soit x = AM et y = A(x) l'aire du triangle.

Fonction définie par une aire

Résolution du problème On se propose de faire une étude algébrique du comportement de A(x) lorsque M décrit [Ax). Montrer que les côtés des triangles MAI et IBN sont proportionnels. En déduire que A(x) = et étudier la fonction.
Télécharger la figure GéoPlan fct_aire_triangle.g2w	Sommaire Faire de la géométrie dynamique
8. Deux cercles tangents, tangents à un carré - Olympiades Poitiers 2002
Énoncé	Les olympiades académiques Brochure APMEP n^o 146 - 2002
Soit un carré ABCD de côté a. Un cercle (c) intérieur au carré est tangent à (AB) et (AD). Un cercle (c’), intérieur au carré est tangent extérieurement à (c) ainsi qu'aux droites (CB) et (CD). Soit S la somme des aires des cercles (c) et (c’). Quelles sont les valeurs maximales et minimales de S ?

Les deux cercles

Indications Les centres O et O’ des cercles étant à égale distance des côtés, ils sont situés sur la diagonale [AC] du carré. Les rayons r et r’ des cercles vérifient : OA + r + r’ + O’C = AC = a (r + r’) (1 + ) = a C'est-à-dire : r + r’ = a (2 - ) Les cercles étant situés à l'intérieur d'un carré de côté a, leurs rayons restent inférieurs à . On en déduit que chaque rayon appartient à l'intervalle . La somme des aires des deux cercles est : S = π(r² + r’²) = [(r + r’)² - (r - r’)²] = [(6 - 4)a² - (r - r’)²] On en déduit immédiatement que cette aire est minimale quand r = r’ = et vaut alors S_min = π(3 - 2 )a². Et l'aire est maximale quand r est maximal et r’ minimal (ou inversement), c'est-à-dire quand r = et r’ = . On obtient alors S_max = [(6 - 4) a² - (-1 + )²a²] = (9 - 6)a². Télécharger la figure GéoPlan deux_cercles.g2w Sujet repris à Bordeaux, aux olympiades 2008
Résoudre avec l'algèbre des problèmes de géométrie.	Variante : classe de seconde
Dans un carré de côté 4 cm, comme ci-dessus, inscrire deux cercles centrés sur la diagonale ; le rayon de (c’) étant le double du rayon de (c). Indication : comme ci-dessus : r + 2r = a (2 - ), soit r = (2 - ). Voir aussi : remplir un carré avec deux cercles de même rayon
9. Aire d'un rectangle inscrit dans un triangle	Classe de 2^nde

Aire d'un rectangle inscrit dans un triangle

ABC est un triangle rectangle et isocèle en C tel que AB = 10.
J est le milieu de [AB] et M est un point de [AJ]. On note x la longueur AM.
On construit le rectangle MNPQ inscrit à l'intérieur du triangle ABC : N sur [AC] ; P sur [BC] et Q sur [JB].

1) Exprimer les longueurs MN et MQ en fonction de x.
2) On note A(x) l'aire du rectangle MNPQ. Exprimer A(x) en fonction de x et montrer que A(x) = −2(x − 5/2)² + 25/2.
3) Étudier le sens de variation et dresser le tableau de variation de la fonction A sur [0 ; 5].
4) Quelle est la position du point M sur [AB] pour laquelle l'aire du rectangle MNPQ est maximale ?

Télécharger la figure GéoPlan rct_ds_triangle.g2w
Voir aussi : aire maximale d'un rectangle inscrit dans un triangle rectangle

Domaine B2i

Compétence

Item lycée validable

1 – S'approprier un environnement informatique de travail.

Être autonome dans l'usage des services et des outils.

1.1 – Je sais choisir les services, matériels et logiciels adaptés à mes besoins.

3 – Créer, produire, traiter, exploiter des données.

Concevoir et publier des documents numériques en choisissant le logiciel, le service ou le matériel adapté.

Exploiter des données ou des documents numériques.
Modifier un ou plusieurs paramètres, une situation simulée ou modélisée.

3.5 – Je sais produire une représentation graphique à partir d'un traitement de données numérique.

3.6 – Dans le cadre de mes activités scolaires, je sais repérer des exemples de modélisation ou simulation et je sais citer au moins un paramètre qui influence le résultat.

…avec
GéoPlan

GéoPlan TS
Épreuve
pratique

Seconde
Problèmes d'optimisation

Troisième
Problèmes d'optimisation

Rectangle inscrit dans un triangle

Fonctions
dans l'espace