Maxima - Minima

Sommaire

1. Aire minimum de deux demi-disques
2. Aire maximum de deux lunules
3. Aire de l'arbelos
4. Le quadrilatère qui tourne
5. Aire et périmètre maximums d'un rectangle
6. Aire et périmètre d'un triangle inscrit dans un cercle
7. Fonction définie par une aire
8. Deux cercles tangents, tangents à un carré - Olympiades
9. Aire d'un rectangle inscrit dans un triangle

L'hypoténuse mobile - Affaire de logique n^o 539

Pliage du coin d'une feuille - Olympiades 2004

Aire maximum d'un triangle : voir optimisation en troisième

 Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec la version ActiveX de GéoPlan

Téléchargement

Télécharger maxi_mini.doc : ce document au format « .doc »

Télécharger maxi_mini.pdf : ce document au format « .pdf » d'Adobe Acrobat

Aire maximale d'un triangle

Fonctions distance

Fonctions dans l'espace

Analyse en 1L avec GéoPlan

Page n^o 42, créée le 31/5/2003 - mise à jour le 13/7/2007

GéoPlan en 3^e
Longueur minimum

Troisième
Problèmes d'optimisation

Seconde
Problèmes d'optimisation

1S - TS
Problèmes d'optimisation

Triangle inscrit dans un carré
Aire maximale

Faire de la géométrie dynamique

Environnement informatique

Objectifs et moyens possibles

• Logiciel de géométrie dynamique.
• Utilisation par les élèves en salle informatique.
• Un ordinateur pour un ou deux élèves.

• En vue aussi d’une préparation à l’épreuve pratique de mathématiques au bac S, il semble nécessaire de confronter les élèves à des situations permettant d’expérimenter en mathématiques.
• Développer les capacités d’expérimentation et de raisonnement, d’imagination et d’analyse critique.

Compétences TICE

Compétences mathématiques

•  Construction de figure avec un logiciel de géométrie dynamique ;
• Traduire, à l’aide du logiciel, une situation géométrique par une représentation graphique de fonction ;
• Tester les conjectures émises.

• Calculs d'aires : triangle, disque, parallélogramme
• Élaborer une stratégie permettant de déterminer l’extremum d’une fonction.

Domaine B2i

Compétence

Item lycée validable

1 – S’approprier un environnement informatique de travail.

Être autonome dans l’usage des services et des outils.

1.1 –  Je sais choisir les services, matériels et logiciels adaptés à mes besoins.

3 – Créer, produire, traiter, exploiter des données.

Concevoir et publier des documents numériques en choisissant le logiciel, le service ou le matériel adapté.

Exploiter des données ou des documents numériques.
Modifier un ou plusieurs paramètres, une situation simulée ou modélisée.

3.5 – Je sais produire une représentation graphique à partir d’un traitement de données numérique.

3.6 – Dans le cadre de mes activités scolaires, je sais repérer des exemples de modélisation ou simulation et je sais citer au moins un paramètre qui influence le résultat.

1. Aire minimum de deux demi-disques

On considère la figure suivante : (C) est un cercle de centre O et de rayon 1, [AB] est un diamètre. À partir d'un point M de [AB], tracer deux demi-cercles de diamètre [AM] et [MB] (voir figure ci-dessous).
Il s'agit de trouver la position du point M où la somme des aires des deux demi-disques est minimum.

Indication

Le problème est posé dans le cadre géométrique. En appelant x le rayon d'un des demi-cercles, l'aire de la partie hachurée est égale à :
π (2x² - 2x + 1)/2. La résolution s'effectue dans le cadre algébrique.

Télécharger la figure GéoPlan min_lunules.g2w
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

2. Aire maximum de deux lunules d'Hippocrate

Trouver la position du point A où la somme des aires des deux lunules est maximum.
Le point M a pour coordonnées x et a_l où x est la mesure de l'angle ACB en radians et a_l l'aire des lunules.

Remarque : d'après le théorème des deux lunules, la somme des aires des deux lunules est égale à l'aire du triangle rectangle ABC.
On retrouve bien le fait que l'aire du triangle est maximale lorsque la hauteur issue de A est maximale. Ce maximum est atteint lorsque A est au milieu du demi-cercle de diamètre [BC], la hauteur est alors égale à BC/2, rayon du demi-cercle ; les deux lunules sont alors de même aire égale à BC²/8.

Télécharger la figure GéoPlan max_lunules.g2w
Lunules d'Hippocrate
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

3. Aire de l'arbelos

Arbelos d'Archimède ou tranchet du cordonnier : domaine compris entre trois demi-cercles tangents deux à deux

On considère un demi-cercle de diamètre AB = 5. M est un point variable du segment [AB]. On construit les demi-cercles de diamètres [AM] et [MB].

Télécharger la figure GéoPlan arbelos.g2w

Si AM = x l'aire de l'arbelos est π(5-x)x/4,
pour x = 1 ou x = 4 l'aire de l'arbelos est égale à π soit 8/25 de l'aire du demi-disque de diamètre [AB].
Pour x = 5/2, l'aire maximale est égale à la moitié de l'aire du demi-disque de diamètre [AB].

La perpendiculaire à [AB] au point M coupe le grand demi-cercle au point C.

(CM) est la hauteur, issue du sommet de l'angle droit, du triangle rectangle ABC ; MC est moyenne géométrique des projections des petits côtés sur l'hypoténuse :
MC² = AM × MB = x (5-x).
On a donc MC = , AC = et BC = .

Le cercle (c) de diamètre [CM] a la même aire que celle de l'arbelos. Il coupe les petits côtés du triangle ABC en D et E situés sur les petits demi-cercles. La droite (DE) est une tangente commune à ces demi-cercles.

Télécharger la figure GéoPlan arbelos2.g2w
Arbelos
 Glossaire publimath

Cercles d'Archimède (287-212 av. J.-C.)

en : Archimedes' circles
de : Zwillingskreise

Les cercles d'Archimède (c) et (c’) sont deux cercles inscrits dans l'arbelos, simultanément tangents à la droite (MC), au demi-cercle de diamètre [AB], au demi-cercle de diamètre [AM] pour (c) et au demi-cercle de diamètre [BM] pour (c’).

Ces deux cercles ont même diamètre d = AM × MB/AB = x (5 - x)/5.
Les centres ont pour ordonnées et .

Le cercle de diamètre [DE], tangent aux cercles (c) et (c’), a la même aire que celle de l'arbelos ; DE = CM.

Télécharger la figure GéoPlan arbelos3.g2w
Article exporté dans Wikipédia : cercles d'Archimède
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

4. Le quadrilatère qui tourne

ABCD est un rectangle de longueur a = 9 et de largeur b = 6.
À l'intérieur de ce rectangle on trace le quadrilatère MNPQ tel que AM = BN = CP = DQ = x.
Où faut-il placer M pour que l'aire du quadrilatère soit la plus petite possible ?

Classe de première S

L'objectif de cette activité est d'introduire l'outil fonction sous sa forme algébrique : lorsque l'on déplace le point M sur [AB] étudier les variations de l'aire du parallélogramme y = A(x) de MNPQ.
Cet outil prenant du sens comme moyen de résolution d'un problème : trouver x pour que l'aire soit minimale.

Exercice sur la forme canonique de l'équation du second degré
Leçons de mathématiques à l'oral du CAPES
CRDP de Franche-Comté - 2001
Suzette Rousset-Bert - Petit x n^o 56 - IREM de Grenoble - 2001

Dans le cadre est représenté le point S(x, y)

Si a = 9 et b = 6 l'aire du quadrilatère MNPQ est égale à l'aire du rectangle ABCD moins l'aire des quatre triangles rectangles de côté x et a-x ou b-x.
L'aire du rectangle ABCD est ab = 54.
L'aire de ces quatre triangles est celle deux petits rectangles x (a-x) + x (b-x) = x (a + b - 2x) = (a + b) x - 2x² = 15 x - 2x².

On a donc : A(x) = 2x² - 15 x + 54
et A(x) - A(15/4) = 2(x - 15/4)².
Le minimum de l'aire est atteint pour x = 15/4 = 3,75.

Dans le cas général on a : A(x) = 2x² - (a + b) x + ab
et A(x) - A((a+b)/4) = (4x - a - b)²/8.
Le minimum de l'aire est atteint pour x = (a + b)/4.

Télécharger la figure GéoPlan quadrilatere_tourne.g2w

Si 0 < x < b/2 ou a/2 < x < b l'aire du parallélogramme MNPQ est égale à la somme de l'aire B(x) du petit rectangle contenu dans la figure et l'aire (a + b) x - 2x² des quatre triangles rectangles. Si b/2 < x < a/2 il faut calculer la différence.

Étudier l'aire z = B(x) du petit rectangle et vérifier que le minimum de l'aire du quadrilatère est atteint lorsque le petit rectangle est un carré.

Dans le cadre sont représentés les points S(x, y) et T(x, z).

Télécharger la figure GéoPlan quadrilatere_tourne_2.g2w
Multiplication d'un parallélogramme
Rectangle mobile inscrit dans un rectangle
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

5. Aire et périmètre maximums d'un rectangle

AB est le « quart de cercle » situé sur le cercle de centre O et de rayon 7.

Où doit être situé le point M sur cet arc pour que l'aire du rectangle ONMP soit maximale ?

Indication

x = ON, y = OP ; OM² = ON² + OP² = x² + y² = 7² donc y² = 49 - x² soit y = .

L'aire du rectangle est xy = .

Cette aire est maximale lorsque x = 7 ≈ 4,95 (voir étude de la fonction paragraphe suivant).

Lorsque le point M est variable sur le segment [AB], on trouve une parabole : voir analyse en 1L.

Télécharger la figure GéoPlan max_rectangle.g2w

Classe de seconde

Où doit être situé le point M sur cet arc pour que le périmètre du rectangle ONMP soit maximal ?

Télécharger la figure GéoPlan max_rectangle_peri.g2w
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Variante

ÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2005 - Sujet 30

Soit C un cercle de rayon 4 cm.
Quelle est l'aire maximale d'un rectangle dont les sommets sont sur le cercle.

6. Aire et périmètre maximums, d'un triangle inscrit dans un cercle

Le triangle ABC, isocèle de sommet A est inscrit dans un cercle (c) donné de centre O et de rayon 1.

Trouver le triangle ayant l'aire maximale.

H est un point libre du diamètre [AJ] du cercle (c). La perpendiculaire en H à (AO) coupe le cercle en B et C. Le triangle isocèle ABC est inscrit dans le cercle (c).

Soit x = AH, la longueur hauteur en A du triangle ABC variant de 0 à 2. L'aire y du triangle ABC est représentée dans le cadre de droite par le point S(x, y).

En déplaçant le point H, on peut conjecturer que l'aire est maximale pour x = et ABC est un triangle équilatéral.

Commandes GéoPlan :

Le déplacement du point H se fait au clavier ou à la souris,
touche T pour la Trace du point S,
touche S pour Sortir du mode trace,
la touche L fait apparaître ou disparaître le lieu de S.

Télécharger la figure GéoPlan max_triangle.g2w

Variante

Épreuve pratique 2007 - Terminale S - Sujet 027

On considère un triangle ABC isocèle en A, de périmètre fixé. Il s'agit de déterminer parmi tous les triangles possibles celui dont l'aire est maximale.

Trouver le triangle ayant le périmètre maximal.

Soit x = AH et y représente dans cette deuxième figure le périmètre du triangle ABC. Dans le cadre de droite est représenté le point P(x, y).

En déplaçant le point H, on peut conjecturer que le périmètre est maximal pour la même valeur x = .

Télécharger la figure GéoPlan max_triangle1.g2w

Indications

Le cercle (c) ensemble des points B tels que BO² = (x - 1)² + y² = 1 a pour équation x² + y² - 2x = 0 dans un repère d'origine A.
D'où BH = . L'aire du triangle est A(x) = x.
Montrer que A() est le maximum revient à démontrer que x²(2x - x²) ≤ , soit 16x⁴ - 32x³ + 27 ≥ 0.

16x⁴ - 32x³ + 27 = (2x - 3)² (4x² + 4x + 3) est positif pour x appartenant à [0, 2].

Utilisation du logiciel GéoPlan

Sur une même figure, dans le cadre de droite sont représentés simultanément les points S(x, y) et P(x, z) où y est l'aire du triangle ABC et z est le périmètre du triangle ABC.
L'intérêt est de suivre simultanément les positions correspondantes de S et P et de montrer que le maximum de chaque fonction est atteint pour la même valeur de x.

Télécharger la figure GéoPlan max_triangle2.g2w

Il est aussi possible d'étudier les variations en fonction de x = BC : télécharger la figure GéoPlan max_triangle3.g2w

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

7. Fonction définie par une aire

B. Destainville
Des activités pour les classes de première
Publication APMEP n^o 85 - 1991

Énoncé (Première S)

Dans la figure ci-dessous AB = 8, AI = 2. [Ax) et [Bx’) sont deux demi-droites perpendiculaires à [AB]. M est un point variable sur [Ax) et N est le point de [Bx’) tel que le triangle MIN soit rectangle en I.

Soit x = AM et y = A(x) l'aire du triangle.

Résolution du problème

On se propose de faire une étude algébrique du comportement de A(x) lorsque M décrit [Ax).

Montrer que les côtés des triangles MAI et IBN sont proportionnels.

En déduire que A(x) = et étudier la fonction.

Télécharger la figure GéoPlan fct_aire_triangle.g2w
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

8. Deux cercles tangents, tangents à un carré - Olympiades Poitiers 2002

Les olympiades académiques
Brochure APMEP n^o 146 - 2002

Énoncé

Soit un carré ABCD de côté a. Un cercle (c) intérieur au carré est tangent à (AB) et (AD). Un cercle (c’), intérieur au carré est tangent extérieurement à (c) ainsi qu'aux droites (CB) et (CD).

Soit S la somme des aires des cercles (c) et (c’). Quelles sont les valeurs maximales et minimales de S ?

Indications

Les centres O et O’ des cercles étant à égale distance des côtés, ils sont situés sur la diagonale [AC] du carré.

Les rayons r et r’ des cercles vérifient :

OA + r + r’ + O’C = AC = a
(r + r’) (1 + ) = a

C'est_à-dire : r + r’ = a (2 - )

Les cercles étant situés à l'intérieur d'un carré de côté a, leurs rayons restent inférieurs à .
On en déduit que chaque rayon appartient à l'intervalle .

La somme des aires des deux cercles est :

S = π(r² + r’²) = [(r + r’)² - (r - r’)²] = [(6 - 4)a² - (r - r’)²]

On en déduit immédiatement que cette aire est minimale quand r = r’ = et vaut alors S_min = π(3 - 2 )a².

Et l'aire est maximale quand r est maximal et r’ minimal (ou inversement), c'est-à-dire quand r = et r’ = .

On obtient alors S_max = [(6 - 4) a² - (-1 + )²a²] = (9 - 6)a².

Télécharger la figure GéoPlan deux_cercles.g2w
Sujet repris à Bordeaux, aux olympiades 2008

9. Aire d'un rectangle inscrit dans un triangle

Classe de seconde

ABC est un triangle rectangle et isocèle en C tel que AB = 10.
Soit J est le milieu de [AB] et M est un point de [AJ]. On note x la longueur AM.
On construit le rectangle MNPQ inscrit à l'intérieur du triangle ABC : N sur [AC] ; P sur [BC] et Q sur [JB].

1) Exprimer les longueurs MN et MQ en fonction de x.
2) On note A(x) l'aire du rectangle MNPQ. Exprimer A(x) en fonction de x et montrer que A(x) = −2(x − 5/2)² + 25/2.
3) Étudier le sens de variation et dresser le tableau de variation de la fonction A sur [0 ; 5].
4) Quelle est la position du point M sur [AB] pour laquelle l'aire du rectangle MNPQ est maximale ?

Télécharger la figure GéoPlan rct_ds_triangle.g2w
Voir aussi : aire maximale d'un rectangle dans un triangle

Communication entre deux figures - technique GéoPlan

La technique GéoPlan-GéoSpace d'importation active n'est pas simple à mettre en œuvre.

Dans de nombreux exemples réalisés avec GéoPlan, nous préférons utiliser une seule figure avec deux cadres : un pour visualiser une situation géométrique, l'autre pour tracer une fonction.

Pour vos propres applications, téléchargez la figure GéoPlan f_vierge.g2w où le cadre de droite a été préparé pour le graphique d'une fonction dans un repère R₁

Réalisez le dessin dans le repère R, figure de gauche.
En fonction de l'abscisse x d'un point M du cadre de gauche et d'un résultat numérique y calculé dans cette figure, le point S(x, y) est affiché dans le repère de droite R₁.
Réglez éventuellement la taille des unités avec les variables un pour R et un₁ pour R₁.

…avec
GéoPlan

GéoPlan TS
Épreuve
pratique

Seconde
Problèmes d'optimisation

Troisième
Problèmes d'optimisation

Rectangle inscrit dans un triangle

GéoSpace 1S
Tétraèdres, cubes

Sommaire

1. Aire minimum de deux demi-disques
2. Aire maximum de deux lunules
3. Aire de l'arbelos
4. Le quadrilatère qui tourne
5. Aire et périmètre maximums d'un rectangle
6. Aire et périmètre d'un triangle dans un cercle
7. Fonction définie par une aire
8. Deux cercles tangents, tangents à un carré - Olympiades
9. Aire d'un rectangle inscrit dans un triangle

Pliage du coin d'une feuille - Olympiades 2004

L'hypoténuse mobile - Affaire de logique n^o 539

Faire de la géométrie dynamique

Accueil : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart

Suggestions, remarques, problèmes : me contacter.

Rétrolien - Moteurs de recherche

Chroniques scientifiques

Yahoo