Optimisation en troisième

Sommaire

1. Aire maximale de triangles de périmètre constant
    a. Aire de triangles de base et périmètre constant
    b. Aire de triangles isocèles de périmètre constant

2. Aire maximum d'un triangle
3. Aire maximale d'un rectangle de diagonale constante

Page n^o 144, réalisée le 14/6/2009, mise à jour le 15/10/2012

Aire maximale d'un triangle

GéoPlan en troisième

Optimisation
en seconde

1S - TS
Problèmes d'optimisation

Cabri
en troisième

Faire de la géométrie dynamique

Objectif

À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, approcher la notion de fonction par la représentation graphique de l'aire d'un triangle.

Pour un périmètre constant, la recherche d'un triangle d'aire maximale se fait en deux étapes. Dans un premier temps, en supposant la base de longueur constante, on montre que le triangle d'aire maximale est isocèle. Dans une deuxième étape, à partir d'un triangle isocèle, on montre que l'aire est maximale pour un triangle équilatéral.

Ces études sont à envisager en classe de troisième ou seconde. En classe de première ou terminale, il est possible d'expliciter les fonctions et de réaliser leur étude. Pour la classe de troisième, il est conseillé de sauter la première étape et de ne faire que l'étude pour des triangles isocèles.

Le résultat établi est que, pour périmètre donné, c'est le triangle équilatéral qui a l'aire maximale.

a. Aire de triangles de base et périmètre constant

Étudier comment varie l'aire d'un triangle de base et périmètre constant.

Travaux pratiques

On considère un triangle ABC de base [AB] fixe et de périmètre fixe égal à une longueur AP.

Choisir un point M variable sur le segment [BP] et tracer, lorsque cela est possible, le triangle ABC de côté BC = BM et AC = MP.
On représente, en fonction de x = BM, l'aire y du triangle ABC.

Télécharger la figure GéoPlan aire_triangle_1.g2w

Commandes GéoPlan

Touche T : Tracé point par point des lieux des points C et S,
touche S pour Sortir du mode trace,
touche L : dessin en bloc du graphe,
touche I : triangle ABC Isocèle.

Solution

L'aire est égale à AB × CH. Elle est maximale lorsque CH maximale. Le maximum est atteint lorsque M est au milieu de [BP], le point C est alors en C₁, situé sur la médiatrice de [AB], c'est-à-dire lorsque ABC est un triangle isocèle.

En classe de première, on remarque que comme AC + CB est constant, égal à BP, le point C est situé sur une ellipse. Le sommet C₁ rend maximum la hauteur CH.

b. Aire de triangles isocèles de périmètre constant

Étudier comment varie, en fonction de la base, l'aire d'un triangle isocèle de périmètre constant.

On considère un triangle ABC de base [AB], isocèle en C, de périmètre fixe égal à la longueur BP.

À partir du milieu M de [CP], construire le point C, intersection du cercle de centre B, passant par M, avec la médiatrice de [AB].

On représente, en fonction de x = AB, l'aire y du triangle ABC et l'on fait varier le point B.

Télécharger la figure GéoPlan aire_triangle_2.g2w

Commandes GéoPlan :

Touche T : Tracé point par point du graphe,
touche S pour Sortir du mode trace,
touche L : dessin en bloc du graphe,
touche E : triangle ABC Équilatéral.

Solution

L'aire maximale est atteinte pour un point B situé au tiers de [AP], c'est-à-dire pour un triangle équilatéral.

2. Aire maximum d'un triangle isocèle de côtés égaux et de longueur fixe

Le triangle ABC de base [AB] variable, isocèle au sommet C, a deux côtés de longueur fixe c telle que AC = BC = c (ici c est initialisé à 7).
Peut-on construire un triangle isocèle d'aire maximum ?

Utilisation du logiciel GéoPlan

Dans cet exercice est utilisée une seule figure avec deux cadres : un cadre pour le triangle, un cadre pour la fonction représentative de l'aire.

L'intérêt est de visualiser comment l'aire du triangle varie, en fonction de la longueur de la base.
Le point A est libre ; x la demi-base , y est l'aire A(x) du triangle ABC. Dans le cadre de droite est représenté le point S(x, y).

Solution

L'aire A(x) du triangle ABC, demi-produit de la base AB par la hauteur AH, est donnée par la fonction :

A(x) = = ,   x Î [0, 10].

L'aire du triangle est aussi égale à = .

Cette aire est maximale lorsque sin C est maximal, c'est-à-dire lorsque l'angle ACB est droit.

Le maximum correspond à un triangle rectangle isocèle. L'hypoténuse 2x est alors égale c, soit x = c.

Télécharger la figure GéoPlan max_aire_triangle.g2w

Si ABCD est un rectangle de diagonale [AC] fixée, B décrit le cercle de diamètre [AC].
L'aire du triangle ABC vaut AC × BH, avec H pied de la hauteur issue de B. L'aire du rectangle est 2 A(ABC) = AC × BH.

Cette aire est maximale lorsque la hauteur est le rayon [EO].

Le rectangle maximal est le carré AECF, avec E et F milieux des demi-cercles de diamètre [AC].

Télécharger la figure GeoGebra Rectangle_carre2.ggb

Figure de Pierrick Bouttier

Soit ABCD un rectangle de diagonale de longueur fixée, le sommet C est situé sur un cercle de centre A. Avec le même angle BÂD, un carré AEFG dont la diagonale [AF] a la même longueur que celle du rectangle ABCD.

Il suffit de vérifier que l'aire du rectangle GICD vert est inférieure à celle du rectangle BEFI rose pour conclure.

La longueur GI est inférieure à la longueur BI, égale au côté du carré.
La largeur CI est inférieure à la largeur FI car l'angle en F du triangle rectangle CIF est inférieur à 45°.

A(GICD) < A(BEFI) d'où A(GICD) + A(ABIG) < A(BEFI) + A(ABIG),
soit A(ABCD) < A(AEFG).

Télécharger la figure GeoGebra Rectangle_carre.ggb

Activité B2i

Domaine B2i

Item collège validable

L'optimisation en 3^ème

1 – S'approprier un environnement informatique de travail.

1.1 – Je sais m'identifier sur un réseau ou un site et mettre fin à cette identification.

1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail.

2 – Adopter une attitude responsable

2.4 – Je m'interroge sur les résultats des traitements informatiques (représentation graphique, ordre des points nécessaire…)

2.7 – Je mets mes compétences informatiques au service d'une production collective.

3 – Créer, produire, traiter, exploiter des données.

3.6 – Je sais utiliser un outil de simulation (ou de modélisation) en étant conscient de ses limites (le logiciel ne fournit pas de conditions nécessaires pour l'existence d'une solution dans laquelle les droites ne sont pas parallèles).

GéoPlan en 3^e
Accompagnement des programmes

GéoPlan en 3^e
Théorème de Thalès

GéoPlan
Les droites du triangle

GéoPlan
Parallélogramme

GéoPlan
Les problèmes du BOA

Construction du pentagone régulier

Sommaire

1. Aire maximale de triangles de périmètre constant
    a. Aire de triangles de base et périmètre constant
    b. Aire de triangles isocèles de périmètre constant

2. Aire maximum d'un triangle
3. Aire maximale d'un rectangle de diagonale constante

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