Pentagone régulier - Constructions approchées
Propriétés du pentagone et quatre constructions approchées
SommairePropriétés du pentagone Constructions approchées |
Origani du pentagone Le pentagone avec GeoGebra
Page no 128, créée le 22/4/2003,mise à jour le 17/4/2010 | ||||
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Propriétés du pentagone
1. Angles et côtés
Si a est la longueur du côté, d la longueur d'une diagonale et r le rayon du cercle circonscrit, on a montré dans polygones réguliers que : d = Le rapport
2. Isobarycentre du pentagoneO, intersection des axes de symétrie du pentagone régulier, en est le centre de gravité, donc : Choisissons un repère où En raison de la symétrie de B et E, puis de C et D par rapport à (Ox) on a xB = xE,
puis xC = xD, donc xA + 2xB + 2xC = 0, En posant x = cos cos Nous avons donc l'équation 4x2 + 2x - 1 = 0. Elle permet de retrouver cos La solution négative est - Faire de la géométrie dynamique 3. Pentagone et nombre d'or
Comme tous les pentagones réguliers sont semblables on a :
Prendre c = 1 en choisissant la longueur AB comme unité. On a alors d = La solution positive de cette équation est le nombre d'or Φ = Si AA1 = 1, A1A2 = Quand on itère cette homothétie, on obtient une suite infinie de pentagones. Observer la suite des points A, A1, A2… AAn = AA1 + A1A2 + A2A3 +…+ An-1An,
somme des premiers termes d'une suite géométrique de raison |
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Constructions approchées1. Construction de Dürer« Albert Dürer (né à Nuremberg en 1471, mort en 1528) appartient, comme Léonard de Vinci, à cette génération de grands artistes, peintres, sculpteurs et architectes, pour lesquels la géométrie est non seulement un instrument d'analyse, mais un puissant moyen de perfectionnement. L'étude de la perspective le conduisit à la transformation des figures en d'autres figures du même genre. Et de là naquirent plusieurs méthodes géométriques, comme celle qui consiste à faire croître proportionnellement les ordonnées des points d'une figure, dans le dessin d'un profil dont on veut rendre les dimensions en hauteur plus facilement appréciables. Dürer maniait très habilement le compas pour tracer des ellipses et d'autres figures géométriques. Le pentagone de Dürer est un pentagone, construit avec une seule ouverture de compas ; mais d'autres géomètres ont démontré depuis que ce pentagone n'a pas tous les angles égaux et que sa figure n'est qu'approximative. » Source : Ferdinand Hoefer, Histoire des mathématiques, Paris, Hachette, 1874, p. 337 | |
L'angle au centre du Pentagone régulier est de 
.
= 
= r 
≈ 1,176 r ;
= r 
≈ 1,902 r.
est égal au 
.
Télécharger la 
Télécharger la 
+ 
+ 
+ 
+ 
= 
;
= 0.
solution positive de cette équation.
= 2 cos2 
Soit ABCC1A1 un pentagone régulier. On note c la longueur du côté de ce pentagone et d la longueur de la
diagonale. Soit B1 le point d'intersection des diagonales (AC1) et (A1C). Les points A1,
B1 et C1 sont les sommets du pentagone régulier A1B1C1C2A2 de côté B1C1 = AC1 - AB1 = d - c et de diagonale A1C1 = c.
= 
= 
= 
.
soit d2 - d + 1 = 0.
.
= − Φ + 2, A3A4 = 
= 2Φ -3, A4A5 = 
= −3Φ + 5 et ainsi de suite ;|
ABCDE pentagone de Dürer
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ABC’D’E’ pentagone régulier
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Placer deux points A et B. À partir de ce segment qui sera un côté du pentagone, on trace cinq cercles de même rayon : Le pentagone ABCDE a ses cinq côtés égaux. L'erreur sur les angles est d'un demi-degré à un degré et demi. Le point D est très légèrement au-dessous du point « exact » D’ du pentagone régulier. Télécharger la deuxième figure pour mieux percevoir la différence avec GéoPlan. Faire de la géométrie dynamique |
2. Construction des bâtisseurs du Moyen-âge
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ABCDE mauvais tracé
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AB’C’D’E’ pentagone régulier
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Construction d'un pentagone de centre O et de sommet A. Voir les figures ci-dessus. Expliquer pourquoi cette figure n'est qu'une construction approchée du pentagone régulier : 3. Construction dite « de Thalès »
Deux points A et A1 étant donnés, tracer le cercle (c) de diamètre [AA1]. Les cercles de centres A et A1 et de rayon AA1 se coupent en P et Q. On divise le diamètre [AA1] en n = 5 parties égales. Les droites (PI2) et (PI4) rencontrent le cercle (c) en B et C, sommets du polygone. Ici on le complète par symétrie par rapport à (AA1). On obtient les points D et E intersections du cercle (c) et des droites (QI4) et (QI2). Construction d'un polygone de n côtésCette méthode s'applique à un polygone régulier de n côtés. Elle est d'une grande facilité et d'une précision très satisfaisante jusqu'à n = 10.
4. Les étoiles de Compostelle
Le pentagone ABCDE a ses cinq côtés égaux. L'erreur sur les angles est de 1 à 2 degrés. |
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Voir : Henri Vincenot - Les étoiles de Compostelle - Denoël - Folio |
= 
.
Le point B est très légèrement en dessous du point « exact » B’ du pentagone régulier.
Cette construction d'un pentagone presque régulier est attribuée au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet (vers 600 avant J.-C.). Elle nécessite la règle et deux ouvertures de compas.
Tracer les points M et N,
puis le carré MNPQ. Le cercle de centre M passant par P coupe la demi-droite [MN) en O.Constructions au collège | GéoPlan | Cabri 3e | |||
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