Propriétés du pentagone et quatre constructions approchées
Pentagone régulier - Constructions approchées
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Page no 128, créée le 22/4/2003, | ||||
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Propriétés du pentagone1. Angles et côtés
Si a est la longueur du côté, d la longueur d'une diagonale et r le rayon du cercle circonscrit, on a montré dans polygones réguliers que : d = Le rapport diagonale/côté est égal au nombre d'or Φ =
2. Pliage et nœud
Édouard Lucas - Mathématicien français 1842-1891 Lorsque l'on fait un nœud avec une bande rectangulaire, si l'on aplatit ce nœud en marquant les plis, la silhouette qui apparaît est celle d'un pentagone. La construction est exacte, mais un peu difficile. Bibliographie : Salles-Le Gac Danielle et Herrera Ruben Rodriguez - Nouvelles pratiques de la géométrie - IREM Caen - 2008 Application : construction du dodécaèdre par pliage de bandes de papier 3. Isobarycentre du pentagoneO, intersection des axes de symétrie du pentagone régulier, en est le centre de gravité, donc : Choisissons un repère où En raison de la symétrie de B et E, puis de C et D par rapport à (Ox) on a xB = xE,
puis xC = xD, donc xA + 2xB + 2xC = 0, En posant x = cos cos Nous avons donc l'équation 4x2 + 2x - 1 = 0. Elle permet de retrouver cos La solution négative est - Faire de la géométrie dynamique 4. Pentagone et nombre d'or
Comme tous les pentagones réguliers sont semblables on a :
Prendre c = 1 en choisissant la longueur AB comme unité. On a alors d = La solution positive de cette équation est le nombre d'or Φ = Si AA1 = 1, A1A2 = Quand on itère cette homothétie, on obtient une suite infinie de pentagones. Observer la suite des points A, A1, A2… AAn = AA1 + A1A2 + A2A3 +…+ An-1An,
somme des premiers termes d'une suite géométrique de raison
Sommaire Constructions approchées1. Construction de Dürer« Albert Dürer (né à Nuremberg en 1471, mort en 1528) appartient, comme Léonard de Vinci, à cette génération de grands artistes, peintres, sculpteurs et architectes, pour lesquels la géométrie est non seulement un instrument d'analyse, mais un puissant moyen de perfectionnement. L'étude de la perspective le conduisit à la transformation des figures en d'autres figures du même genre. Et de là naquirent plusieurs méthodes géométriques, comme celle qui consiste à faire croître proportionnellement les ordonnées des points d'une figure, dans le dessin d'un profil dont on veut rendre les dimensions en hauteur plus facilement appréciables. Dürer maniait très habilement le compas pour tracer des ellipses et d'autres figures géométriques. Le pentagone de Dürer est un pentagone, construit avec une seule ouverture de compas ; mais d'autres géomètres ont démontré depuis que ce pentagone n'a pas tous les angles égaux et que sa figure n'est qu'approximative. » Source : Ferdinand Hoefer, Histoire des mathématiques, Paris, Hachette, 1874, p. 337 |
L'angle au centre du Pentagone régulier est de 
.
= 
= r 
≈ 1,176 r ;
= r 
≈ 1,902 r.
.
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Cet ingénieux procédé de construction du pentagone régulier se trouve indiqué sans démonstration dans un Ouvrage d'Urbano d'Aviso, publié à Rome, en 1682.
+ 
+ 
+ 
+ 
= 
;
= 0.
solution positive de cette équation.
= 2 cos2 
Soit ABCC1A1 un pentagone régulier. On note c la longueur du côté de ce pentagone et d la longueur de la
diagonale. Soit B1 le point d'intersection des diagonales (AC1) et (A1C). Les points A1,
B1 et C1 sont les sommets du pentagone régulier A1B1C1C2A2 de côté B1C1 = AC1 - AB1 = d - c et de diagonale A1C1 = c.
= 
= 
= 
.
soit d2 - d + 1 = 0.
.
= − Φ + 2, A3A4 = 
= 2Φ -3, A4A5 = 
= −3Φ + 5 et ainsi de suite ;|
ABCDE pentagone de Dürer
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ABC’D’E’ pentagone régulier
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|
Placer deux points A et B. À partir de ce segment qui sera un côté du pentagone, on trace cinq cercles de même rayon : Le pentagone ABCDE a ses cinq côtés égaux. L'erreur sur les angles est d'un demi-degré à un degré et demi. Le point D est très légèrement au-dessous du point « exact » D’ du pentagone régulier. Télécharger la deuxième figure pour mieux percevoir la différence avec GéoPlan. Faire de la géométrie dynamique 2. Pliage d'une feuille A4
[AI] étant une diagonale, replier I sur A. Le pli est le segment [ef]. Le point b se place en b’. Plier ensuite [b’e] sur la diagonale [AI] en plaçant b’ en b1. De même, plier [df] sur la diagonale [AI] en plaçant d en b1. ABCD est pentagone presque régulier tel que tan IÂB = b’I/Ib’ = Voir ci-dessous une autre construction de ce pentagone.
Retrouver ce paragraphe dans la page construction par pliage |
AbId est une feuille au format A4 (ou An). Ab = Ib 
. Le mauvais tracé - Affaire de logique no 99 : Le Monde 8-15 décembre 1998
Construction des bâtisseurs du Moyen-âge
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ABCDE mauvais tracé Image de l'harmonie et de la logique grecque
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AB’C’D’E’ pentagone régulier
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Construction d'un pentagone de centre O et de sommet A. Voir les figures ci-dessus. Expliquer pourquoi cette figure n'est qu'une construction approchée du pentagone régulier : Bibliographie : Élisabeth Busser et Gilles Cohen : 100 jeux mathématiques du Monde volume 1 - no 20, pages 58, 70 - Éditions POLE 1999 Faire de la géométrie dynamique 3. Construction dite « de Thalès »
Deux points A et A1 étant donnés, tracer le cercle (c) de diamètre [AA1]. Les cercles de centres A et A1 et de rayon AA1 se coupent en P et Q. On divise le diamètre [AA1] en n = 5 parties égales. Les droites (PI2) et (PI4) rencontrent le cercle (c) en B et C, sommets du polygone. Ici on le complète par symétrie par rapport à (AA1). On obtient les points D et E intersections du cercle (c) et des droites (QI4) et (QI2). Construction d'un polygone de n côtésCette méthode s'applique à un polygone régulier de n côtés. Elle est d'une grande facilité et d'une précision très satisfaisante jusqu'à n = 10.
4. Les étoiles de Compostelle
Le pentagone ABCDE a ses cinq côtés égaux. L'erreur sur les angles est de 1 à 2 degrés. Voir : Henri Vincenot - Les étoiles de Compostelle - Denoël - Folio
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= 
Cette construction d'un pentagone presque régulier est attribuée au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet (vers 600 avant J.-C.). Elle nécessite la règle et deux ouvertures de compas.
Tracer les points M et N,
puis le carré MNPQ. Le cercle de centre M passant par P coupe la demi-droite [MN) en O.Constructions au collège | GéoPlan | GéoPlan | Cabri 3e | Cabri 3e | |
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