Illustration du passage d'une situation géométrique à une situation d'analyse en utilisant deux figures qui communiquent entre elles.
SommaireUtilisation de GéoPlan pour une étude de l'espace 2. Volume maximal d'un cylindre 3. Parallélépipède dans une pyramide
Page no 33, créée le 20/2/2003 - mise à jour le 3/9/2003 |
Figures interactivesFonctions - mesure maximum d'un angle avec GéoPlan Fonctions avec GéoPlanMaximum-minimum Analyse en 1L : fonctions et paraboles | ||||
GéoSpace 3ème |
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1. Mesure maximum d'un anglePour des figures en perspective cavalière, GéoPlan est parfois la solution la plus simple (mais on perd tout l'aspect dynamique) ! Dans le cube ABCDEFGH de côté 1, le point M varie sur la diagonale principale [HB]. L est la courbe représentative de y = f(x) avec |
Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec Internet Explorer et la version ActiveX de GéoPlan. Télécharger la figure GéoPlan max_angle.g2w 2. Communication entre figures - Importation active
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UtilisationCharger les deux figures (fermer éventuellement toutes les autres) et les placer en mosaïque (menu : Fenêtres). Le calcul de V en fonction de x utilise seulement le théorème de Thalès. C'est une fonction polynôme du troisième degré qui peut donc s'étudier en première. Commentaire sur la réalisationDans Cyl_Cone, le point H est un point variable sur le segment [oS] et le cylindre est créé en utilisant le point d'intersection du plan passant par H et parallèle au plan de la base du cône avec une génératrice du cône. Dans graphiq, on définit deux réels libres x et V puis le point M de coordonnées (x, V) dans le plan oxy muni de son repère canonique. La figure est importatrice (option « Importer » cochée dans le menu « Piloter »). De plus, on a choisi la vue standard avec oxy de face et on a placé la figure en mode « Plan de face maintenu de face » pour simuler une figure plane. Modification éventuelleOn peut utiliser ces mêmes fichiers pour chercher le cylindre inscrit ayant la plus grande aire. On peut aussi s'intéresser aux cylindres inscrits dans une pyramide comme le suggère la figure ci-contre. Figures interactives : visualisation de l'exemple du Creem avec la version ActiveX de GéoSpace. Technique GéoSpace : une seule figure avec deux zonesLa technique GéoPlan-GéoSpace d'importation active n'est pas simple à mettre en œuvre. Dans certains de mes exemples, je préfère utiliser une seule figure : une zone pour visualiser une situation géométrique, l'autre zone pour tracer une fonction dans un repère (O, i’, j’). |
Télécharger la figure GéoSpace cub_pyr.g3w, Avec GéoSpace, charger les deux figures (fermer éventuellement toutes les autres) et les placer en mosaïque (menu : Fenêtres). Mettre la figure graphiq.g3w en mode « Trace », puis pour actualiser les valeurs, rendre active la figure cub_pyr.g3w. Un fabricant veut commercialiser un produit qui a la forme d'un parallélépipède rectangle à base carrée, dans un emballage qui a la forme d'une pyramide régulière à base carrée (voir la représentation). Les carrés PQRT et BCC’B’ ont même centre I et leurs côtés sont deux à deux parallèles. |
BC = NN’ = 8 |
Le but du problème est la recherche des dimensions de la pyramide de volume minimal. Le fabricant ne veut pas que la longueur PQ du côté de la base de la pyramide soit supérieure à 20 cm. Les dimensions du parallélépipède sont 8 cm pour le côté [BC] de la base carrée et de 6 cm pour la hauteur [BA]. On désigne par x la longueur du côté [PQ] de la base de la pyramide et par h la longueur de sa hauteur [IS], où S est le sommet de la pyramide. Télécharger la figure GéoSpace cub_py1.g3w |
Partie A
On rappelle que le volume d'une pyramide est V = (B× h) où B est l'aire de sa base et h sa hauteur. 1. Entre quelles valeurs extrêmes le nombre x peut-il varier ? 2. Exprimer h en fonction de x . (On pourra se placer dans le plan (OSO’).) 3. En déduire une expression du volume V(x) de la pyramide. Partie B Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]8, 20] par f(x) = . 1. Démontrer que sur l'intervalle ]8, 20], la dérivée de f est définie par : f’(x) = . 2. Étudier les variations de la fonction f. 3. Construire la courbe représentative de f dans un plan muni dans un repère (O, , ) (unités graphiques : 1 cm pour 1 cm en abscisse, 2 cm pour 100 cm3 en ordonnée). Partie C 1. Montrer que pour tout x Î ]8, 20] : V(x) = 2 f(x). 2. En déduire la valeur de x pour laquelle le volume de la pyramide est minimal ? 3. Quel est alors ce volume ? Quelle est la hauteur de la pyramide ? Quel est le volume à remplir entre le produit et l'emballage ? Éléments de correction Partie A 1. Le côté de la base de la pyramide est supérieur au côté de celle du parallélépipède donc x > 8 et x Î ]8, 20]. 2. Dans le triangle OSI, rectangle en I, du plan (OSO’) on a : tan O = . De même, dans le triangle OMN, rectangle en N : tan O = = = . De l'égalité (de Thalès) = on déduit = , soit h = . 3. Le volume de la pyramide V(x) = B × h = x2 × = = 2 f(x). Partie B Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]8, 20] par f(x) = . 1. Sur l'intervalle ]8, 20], la dérivée de f est : f’(x) = . f’(x) est du signe de (x - 12). 2. Tableau de variations de la fonction f : 3. Courbe représentative de f : 4 cm pour une unité sur (Ox) ; 100 cm3 par unité sur (Oy). Partie C 1. On a montré question 3. de la partie A que pour tout x Î ]8, 20] : V(x) = 2 f(x). 2. Le volume de la pyramide est minimal pour x = 12. 3. Ce volume est V(12) = 864 cm3. La hauteur de la pyramide est alors h = 18 cm. Le volume à remplir entre le produit et l'emballage est V(12) - 82× 6 = 480 cm3. Figures interactives : visualisation de ce problème sur PC avec Internet Explorer et la version ActiveX de GéoSpace. |
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