MIAM

Illustration du passage d'une situation géométrique à une situation d'analyse en utilisant deux figures qui communiquent entre elles.

Volume maxima - minima dans l'espace

Sommaire

1. Mesure maximum d'un angle

Utilisation de GéoPlan pour une étude de l'espace

2. Volume maximal d'un cylindre
Mode d'emploi pour la communication entre figures et l'importation active

3. Parallélépipède dans une pyramide

 

Page no 33, créée le 20/2/2003 - mise à jour le 3/9/2003

Figures interactives

Fonctions - mesure maximum d'un angle avec GéoPlan
Importation active - mode d'emploi du Creem
Bac STI - Parallélépipède dans une pyramide

Fonctions avec GéoPlan

Maximum-minimum
Fonctions distance
Problèmes d'optimisation au lycée

Analyse en 1L : fonctions et paraboles

avec
GéoSpace

GéoSpace 3ème
Sections cube, pyramide

GéoSpace 2nde
Incidence

GéoSpace
Tétraèdre

GéoSpace en TS
Paraboloïde

Mathématiques
en terminale

Fonctions dans l'espace

1. Mesure maximum d'un angle

Pour des figures en perspective cavalière, GéoPlan est parfois la solution la plus simple (mais on perd tout l'aspect dynamique) !

Dans le cube ABCDEFGH de côté 1, le point M varie sur la diagonale principale [HB].
Le problème consiste à trouver la position du point M telle que la mesure de l'angle AMC soit maximale.
On appelle x la longueur du segment HM et y la mesure de l'angle AMC. Le point M’ du graphique a pour coordonnées (x, y) (affichées ci-dessous).

L est la courbe représentative de y = f(x) avec   Y= 2 arcsin(…)

Mesure maximum d'un angle

g3w Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec Internet Explorer et la version ActiveX de GéoPlan.

logo géoplan Télécharger la figure GéoPlan max_angle.g2w
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

2. Communication entre figures - Importation active
Volume maximal d'un cylindre

Situation

On cherche le cylindre de volume maximal inscrit dans un cône. Dans la figure Cyl_Cone, un point H est variable sur le segment [oS]. Les variables x et V représentent respectivement la longueur oH et le volume du cylindre.

Cylindre dans cone
fonction

g3w télécharger cyl_cone

g3w télécharger Graphiq

Utilisation

Charger les deux figures (fermer éventuellement toutes les autres) et les placer en mosaïque (menu : Fenêtres).
Les valeurs de x et de V (affichées dans graphiq) ne sont pas forcément les mêmes dans les deux figures. Pour actualiser ces valeurs, il faut rendre active la figure Cyl_Cone. Pour observer la courbe de la fonction telle que V soit l'image de x par cette fonction, il faut mettre la figure graphiq en mode « Trace ».

Le calcul de V en fonction de x utilise seulement le théorème de Thalès. C'est une fonction polynôme du troisième degré qui peut donc s'étudier en première.

Commentaire sur la réalisation

Dans Cyl_Cone, le point H est un point variable sur le segment [oS] et le cylindre est créé en utilisant le point d'intersection du plan passant par H et parallèle au plan de la base du cône avec une génératrice du cône.

Dans graphiq, on définit deux réels libres x et V puis le point M de coordonnées (x, V) dans le plan oxy muni de son repère canonique. La figure est importatrice (option « Importer » cochée dans le menu « Piloter »). De plus, on a choisi la vue standard avec oxy de face et on a placé la figure en mode « Plan de face maintenu de face » pour simuler une figure plane.

Cylindre dans une pyramideModification éventuelle

On peut utiliser ces mêmes fichiers pour chercher le cylindre inscrit ayant la plus grande aire.
Pour cela, dans Cyl_Cone, on redéfinit V comme aire du convexe Cyl. On diminue la taille de la figure en augmentant les valeurs u pour l'axe (ox) et v pour l'axe (oy). Ces deux variables indiquent le nombre d'unités de l'espace contenues dans les unités graphiques du plan oxy.

On peut aussi s'intéresser aux cylindres inscrits dans une pyramide comme le suggère la figure ci-contre.

logo géoplan Figures interactives : visualisation de l'exemple du Creem avec la version ActiveX de GéoSpace.
Sommaire


Technique GéoSpace : une seule figure avec deux zones

La technique GéoPlan-GéoSpace d'importation active n'est pas simple à mettre en œuvre.

Dans certains de mes exemples, je préfère utiliser une seule figure : une zone pour visualiser une situation géométrique, l'autre zone pour tracer une fonction dans un repère (O, i’, j’).

  3. Parallélépipède dans une pyramide

  Géométrie dans l'espace au bac STI (AA) - bac national 1999

Parallélépipède dans une pyramide

g3w Télécharger la figure GéoSpace cub_pyr.g3w,
télécharger la figure GéoSpace graphiq.g3w

Avec GéoSpace, charger les deux figures (fermer éventuellement toutes les autres) et les placer en mosaïque (menu : Fenêtres). Mettre la figure graphiq.g3w en mode « Trace », puis pour actualiser les valeurs, rendre active la figure cub_pyr.g3w.

Un fabricant veut commercialiser un produit qui a la forme d'un parallélépipède rectangle à base carrée, dans un emballage qui a la forme d'une pyramide régulière à base carrée (voir la représentation). Les carrés PQRT et BCC’B’ ont même centre I et leurs côtés sont deux à deux parallèles.

vue de face

BC = NN’ = 8
BA = NM = 6
OO’ = PQ = x
SI = h

Le but du problème est la recherche des dimensions de la pyramide de volume minimal.

Le fabricant ne veut pas que la longueur PQ du côté de la base de la pyramide soit supérieure à 20 cm.

Les dimensions du parallélépipède sont 8 cm pour le côté [BC] de la base carrée et de 6 cm pour la hauteur [BA].

On désigne par x la longueur du côté [PQ] de la base de la pyramide et par h la longueur de sa hauteur [IS], où S est le sommet de la pyramide.

g3w Télécharger la figure GéoSpace cub_py1.g3w

Partie A

On rappelle que le volume d'une pyramide est V = 1/3(B× h) où B est l'aire de sa base et h sa hauteur.

1. Entre quelles valeurs extrêmes le nombre x peut-il varier ?

2. Exprimer h en fonction de x . (On pourra se placer dans le plan (OSO’).)

3. En déduire une expression du volume V(x) de la pyramide.

Partie B

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]8, 20] par f(x) = x^3/(x-8).

1. Démontrer que sur l'intervalle ]8, 20], la dérivée de f est définie par :

f’(x) = 2x²(x-12)/(x-8)².

2. Étudier les variations de la fonction f.

3. Construire la courbe représentative de f dans un plan muni dans un repère (O, vect(i), vec(j)) (unités graphiques : 1 cm pour 1 cm en abscisse, 2 cm pour 100 cm3 en ordonnée).

Partie C

1. Montrer que pour tout x Î ]8, 20] : V(x) = 2 f(x).

2. En déduire la valeur de x pour laquelle le volume de la pyramide est minimal ?

3. Quel est alors ce volume ? Quelle est la hauteur de la pyramide ? Quel est le volume à remplir entre le produit et l'emballage ?

Éléments de correction

Partie A

1. Le côté de la base de la pyramide est supérieur au côté de celle du parallélépipède donc x > 8 et x Î ]8, 20].

2. Dans le triangle OSI, rectangle en I, du plan (OSO’) on a : tan O = SI/OI=h/(x/2)=2h/x.

De même, dans le triangle OMN, rectangle en N : tan O = MN/ON = 6/(x/2-4) = 12/(x-8).

De l'égalité (de Thalès) SI/OI = MN/ONon déduit 2h/x = 12/(x-8), soit h = 6x/(x-8).

3. Le volume de la pyramide V(x) = 1/3 B × h = 1/3 x2 × 6x/(x-8)= 2x^3/(x-8) = 2 f(x).

Partie B

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]8, 20] par f(x) = x^3/(x-8).

1. Sur l'intervalle ]8, 20], la dérivée de f est : f’(x) = 2x²(x-12)/(x-8)².

f’(x) est du signe de (x - 12).

2. Tableau de variations de la fonction f : Tableau de variations de f

Courbe représentative de f3. Courbe représentative de f : 4 cm pour une unité sur (Ox) ; 100 cm3 par unité sur (Oy).

Partie C

1. On a montré question 3. de la partie A que pour tout x Î ]8, 20] : V(x) = 2 f(x).

2. Le volume de la pyramide est minimal pour x = 12.

3. Ce volume est V(12) = 864 cm3. La hauteur de la pyramide est alors h = 18 cm.

Le volume à remplir entre le produit et l'emballage est V(12) - 82× 6 = 480 cm3.

logo géoplan  Figures interactives : visualisation de ce problème sur PC avec Internet Explorer et la version ActiveX de GéoSpace.

 

Paraboles et tangentes en 1S

GéoSpace 3e
Sections cube, pyramide

GéoSpace 2nde
tétraèdre

GéoSpace
Activités

GéoSpace TS
Paraboloïde

GéoPlan
Le barycentre

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1. Mesure maximum d'un angle

2. Volume maximal d'un cylindre
Mode d'emploi pour la communication entre figures et l'importation active

3. Parallélépipède dans une pyramide

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