Méthode des aires - dix figures autour de la propriété de Pythagore : Euclide, Pappus, Bhaskara, Léonard de Vinci, Clairaut, Garfield, Périgal.
Preuves du théorème de PythagoreThéorème de Pythagore |
Triangle rectangle et carréConfigurations fondamentales : triangles rectangles Carré au collège - somme ou différence des aires de deux carrés : Carrés autour d'un triangle BOA
Page no 50, réalisée le 11/8/2003 - mise à jour le 5/12/2008 |
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Constructions |
Construction à la règle et au compas |
Au collège, à partir de la rentrée 2009, tout élève qui confondra le théorème de Pythagore avec sa réciproque ne sera pas pénalisé ! Le « si… alors… » est abandonné pour le théorème de Pythagore, mais pas pour celui de Thalès ! Théorème de PythagoreDans tout triangle rectangle, la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse, et réciproquement. Le théorème de Pythagore est très populaire et tout le monde se rappelle a2 + b2 = c2. Il existe quatre types de preuves : I. Preuve des Éléments d'Euclide, assez complexe, qui n'est plus enseignée aujourd'hui.
L'aire du grand triangle est la somme des aires des deux petits. Pour des triangles rectangles semblables, leurs aires sont proportionnelles aux carrés de leurs hypoténuses, donc le carré de l'hypoténuse du grand est égal à la somme des carrés des hypoténuses des deux petits. III. Preuve de complémentarité basée sur des égalités d'aire avec des manipulations sous forme de puzzle accessible dès le cycle III de l'école primaire. IV. Preuves arithmétiques où l'on calcule les aires de différents carrés (Bhaskara).
1. Éléménts d'Euclide
Figure dite du moulin à vent : construction de trois carrés OEFB, OADC et ABGH de côtés a, b et c à l'extérieur du triangle BOA. La démonstration la plus ancienne qui soit connue du théorème du carré de l'hypoténuse est celle qui est contenue dans les Éléments d'Euclide et qui d'après Proclus (412-485) serait effectivement due au géomètre alexandrin (3e siècle avant J.-C.). Par O menons (OR) parallèle à (BG) et traçons [OG] et [FA]. Les triangles OBG et FBA sont égaux : FBA est l'image de OBG par la rotation de centre B et d'angle 90° (On peut aussi vérifier que les petits côtés sont égaux à a et c, et que les angles obtus en B sont égaux à l'angle ABO plus un droit).
De même, l'étude des triangles égaux OAH et DAB permet de montrer que :
La rotation de centre B et d'angle 90° permet de prouver que OG = AF et que les droites (OG) et (AF) sont orthogonales. De manière analogue OH et BD sont égaux et orthogonaux.
Le théorème de Pythagore a eu différents noms : « théorème de la mariée » chez les Grecs, « chaise de la mariée » chez les Hindous, « figure de l'épousée » chez les Perses pour la réciproque, « maître de la mathématique » au Moyen-Âge, « pont aux ânes » pour les collégiens du XIXème siècle. |
2. Démonstration de Pappus
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a. Théorème de Clairaut Soit BOA un triangle. Si, enfin, ABQN est un parallélogramme extérieur au triangle tel que [OR] et [BQ] soient parallèles de même longueur,
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Jean-Baptiste Clairaut - mathématicien français 1713-1765. b. De plus, si le triangle BOA est rectangle et si les parallélogrammes sont des carrés, alors on retrouve une démonstration du théorème de Pythagore.
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a. Preuve : sur les côtés d'un triangle BOA, construire un parallélogramme ABGH dont l'aire soit la somme de celles de deux parallélogrammes quelconques construits l'un sur [AO], l'autre sur [OB]. Soit AOCD et BOEF les deux parallélogrammes. Les droites (DC) et (FE) se coupent en R. Tout parallélogramme ABGH tel que (HG) passe par K est solution. Les parallélogrammes AOCD et AORM situés dans la même bande entre les droites parallèles (OA) et (CD) ont même aire. En ajoutant : Aire(AOCD) + Aire(BOEF) = Aire(AORM) + Aire(BORP) = Aire(KNAJ) + Aire(QKJB) = Aire(QNAB) = Aire(ABGH). b. Le triangle RCO est rectangle, OC = OA = b et RC = OE = OB = a, il est donc égal au triangle BOA. CÔR = OÂB = JÔB donc (OR) est orthogonale à (AB). AB = RO = c et JK = RO, ABGH est un carré dont l'aire c2 est la somme des aires a2 + b2 des carrés AOCD et BOEF construits sur [AO] et [OB]. |
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Théorème de Pappus : plan projectif |
Figure de Pappus : Thalès |
c. Puzzle chinois
Soit R le point d'intersection des droites (CD) et (EF). EOCR est un rectangle, le triangle rectangle RCO a pour côtés de l'angle droit RC = a et OC = b. Le triangle RCO est donc égal à BOA : RO = AB = c. Ce triangle est semblable à BJO. Les angles RÔC et JÔB sont égaux, les points R, O, J et K sont alignés. La droite (BG) coupe (EF) en G’. BORG’, ayant ses côtés parallèles deux à deux, est un parallélogramme et BG’ = OR = c. L'aire est égale au produit de la base OB par la hauteur OE : De même, la droite (AH) coupe (CD) en H’. On a donc a2 + b2 = Aire(BJKG) + Aire(AJKH) = Aire(ABGH) = c2. Variante 1 : utiliser les rectangles du grand carré supérieur : Variante 2 (J.J.I. Hoffmann - 1821) : Soit M le point d'intersection de (BG’) et (CD). On a bien la relation de Pythagore : a2 + b2 = c2.
3. Léonard de Vinci (1452-1519)
On reprend la figure d'Euclide et on construit sur [GH] un triangle rectangle ZGH égal à OAB. On mène [OZ], [EC], [OF] et [OD]. Démonstration 1 Les hexagones BFECDA et BOAHZG sont équivalents, car ils sont constitués de quadrilatères égaux, FECD et OBGZ, FBAD et ZHAO ; FECD et FBAD sont symétriques par rapport à (FD), OBGZ et ZHAO sont symétriques par rapport au centre du carré ABGH ; par la rotation de centre B et d'angle 90°. Or si à chacun des hexagones considérés plus haut nous retranchons deux fois l'aire du triangle ABC nous obtenons respectivement a2 + b2 et c2. On a donc a2 + b2 = c2. Démonstration 2 (Henri Bareil - Plot no 106 - septembre 2003) La rotation de centre B et d'angle 90° transforme O en F, envoie [BG] sur [BA], BGZ sur BAD et [GZ] sur [AD], donc OBGZ sur FBAD.
À partir d'un triangle ABC, rectangle en C, on construit, par une rotation r de centre A et d'angle 90°, le triangle AEG, et par une rotation r’ de centre B et d'angle - 90°, le triangle DBF. AB = AE = BD = c, EÂB = ABD = 90° : ABDE est un carré. C a pour image G et F par les rotations r et r’. Les triangles CAG et CBF sont rectangles isocèles. Les angles GCA et BCF mesurent 45°. En ajoutant ces angles à l'angle droit ACB, on trouve que GCF = 180°. Cet angle est plat, les points G, C et F sont alignés. Par la rotation r’ - 1 de centre B et d'angle 90° DBF a pour image ABC, par r ABC a pour image AEG. Les triangles rectangles ont pour aire
4. Renan
Soit R le point d'intersection de la perpendiculaire à (AF) issue de B et la perpendiculaire (OJ) à (AB) issue de O. Les triangles ABF et ROB ont leurs côtés perpendiculaires deux à deux. Les côtés BF et OB ont
même longueur. Ces deux triangles sont donc égaux : On a montré au paragraphe 1. (Euclide) que : De même, la perpendiculaire à (BD) issue de A coupe (OJ) en R. On en déduit que :
D'où la relation de Pythagore a2 + b2 = c2.
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Puzzle : Babylone, XVII ème siècle avant J.-C. - Chine époque Han, Liu Hui, III ème siècle - Inde, Bhaskara, XII ème siècle.
Quatre triangles rectangles, de côtés a, b (b>a) et d'hypoténuse c, sont assemblés. Leurs hypoténuses formant un grand carré ABCD. Il apparaît au centre un carré OPQR de côté b − a. En associant deux à deux les triangles dans la figure de droite, puis le carré central, on obtient une surface décomposable en deux carrés, l'un de côté b, l'autre de côté a. D'où la relation de Pythagore c2 = a2 + b2 que l'on peut aussi calculer ainsi :
6.a. Construction de James Abraham Garfield
Construction d'un triangle rectangle ADE égal au triangle rectangle ABC. ABE est alors un triangle rectangle isocèle d'aire L'aire du trapèze CDEB :
En simplifiant ab, on a la propriété de Pythagore a2 + b2 = c2.
b. Les quatre triangles - Puzzle chinois
En dupliquant la figure précédente, par une symétrie de centre O milieu de [BE], on obtient le puzzle chinois. La démonstration est attribuée à Simson, mathématicien écossais (1687-1768). Figure de gauche : construction de quatre triangles rectangles égaux au triangle rectangle ABC sur les bords à l'intérieur d'un grand carré de côté a+b. Figure de droite : en faisant glisser deux triangles on obtient à l'intérieur d'un grand carré, de côté a+b, deux carrés, de côtés a et b, complétés par quatre triangles rectangles, égaux au triangle ABC, formant deux rectangles de longueurs a et largeurs b. L'aire du grand carré est donc égale à l'aire hachurée a2 + b2, plus quatre fois l'aire du triangle rectangle. Les aires hachurées des deux figures sont égales et on a c2 = a2 + b2.
c. Application : trois carrés contigus
Monter que : • les triangles rectangles ABC et EAD sont isométriques, • l'aire du carré ABHE est égale à la somme des aires des carrés BCGF et DEIJ.
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Figure de Thabit Ibn Qurra, mathématicien arabe du IXème siècle, ![]() Figure 1 : construction de deux carrés BCFG et DEHF de côtés a et b contenant deux triangles rectangles ABC et EDA égaux. Figure 2 : on fait pivoter les deux triangles rectangles : BCA autour de B vient en BGK et EDA autour de E vient en EHK. On obtient un carré ABKE de côté c. Les deux figures sont formées de deux triangles rectangles et du polygone ABGHE. L'aire a2 + b2 de la première figure est égale à l'aire c2 de la deuxième figure.
Casse-têteOn donne deux carrés accolés comme l'indique la figure ci-dessus à droite. Solution en cinq pièces : placer A sur [FD] tel que AD = a et couper suivant [AB] et [AE] (figure ci-dessus). Une autre solution ci-contre.
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Casse-têteAutre solution en cinq piècesCouper suivant (DG) et la perpendiculaire passant par D.
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8. Puzzle de PérigalPerigal, Henry - Mathématicien anglais (1801-1898)
On découpe le carré moyen BOEF par une parallèle et une perpendiculaire à l'hypoténuse passant par le centre I du carré. On obtient quatre quadrilatères superposables que l'on fait glisser, par translations, dans le grand carré ABGH. L'emplacement central laissé libre est exactement égal au petit carré AOCD. Le grand carré est recouvert avec cinq pièces issues des deux autres. Puzzle de cinq pièces Avec les quatre quadrilatères et le petit carré central, on obtient un puzzle de cinq pièces qui permet d'obtenir : Preuve : les quatre quadrilatères découpés sont superposables puisque I est centre de symétrie. |
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Sommaire |
9. Triangles semblables dans un cercle
Le cercle de centre B passant par A coupe (BC) en E et F (CE < CF) et recoupe (CA) en D. Les angles inscrits ADF et AÊF sont égaux. Dans les triangles rectangles FCD et ACE semblables, le calcul de tan(ADF) et de tan(AÊF) donne l'égalité : Avec CF = c + a, CE = c - a et CA = CD = b, l'égalité s'écrit (c + a)(c - a) = b2 On retrouve c2 = a2 + b2. On obtient aussi l'égalité CF × CE = CA2 avec le théorème de Thalès suisse dans le triangle EFA, inscrit dans un demi-cercle, rectangle en A de hauteur AC : la hauteur issue de l'angle droit est la moyenne géométrique entre les projections des petits côtés sur l'hypoténuse.
10. Triangles semblables dans un rectangle
Comme AB = AD, la droite (AF) est axe de symétrie du quadrilatère ADFB. Les angles aigus CAB et EBF ayant leurs côtés perpendiculaires sont égaux. Le calcul de tan(FBE) et de tan(BÂC) donne l'égalité : Une autre égalité avec sin(FBE) et sin(BÂC) : Dès lors,
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Lunule : portion de surface délimitée par deux cercles non concentriques de rayons différents, formant un croissant de lune en forme de ménisque : convexe d'un côté et concave de l'autre. Segment circulaire (segment de cercle) : portion de surface comprise entre un arc de cercle et la corde qui le sous-tend. Lunules d'Hippocrate de Chios
Soit ABC un triangle rectangle en C et (Γ) le disque de diamètre [AB] circonscrit à ABC. La lunule a est formée par le demi-disque de diamètre [BC] extérieur au triangle ABC, auquel en enlève son intersection avec (Γ) : le segment circulaire d. La lunule b est la figure formée par le demi-disque de diamètre [AC] extérieur au triangle ABC, auquel en enlève son intersection avec (Γ) : le segment circulaire e. Théorème des deux lunules : C'est la « quadrature » des lunules prouvée au Vème siècle avant J.-C. par Hippocrate de Chios.
Voir : quatre lunules d'Hippocrate : la quadrature du cercle |
Théorème de Pythagore généraliséLe théorème de Pythagore peut être généralisé au cas de figures semblables : Dans l'exemple ci-dessus, la somme des aires des demi-disques de diamètres [AC] et [BC] est égale à l'aire du demi-disque de diamètres [AB]. En nommant les aires comme ci-contre, on a : (a + d) + (b + e) = c + d + e. En simplifiant par d + e l'égalité précédente, on obtient l'égalité : a + b = c, d'où le théorème des deux lunules.
Technique GéoPlanPour créer et colorier une lunule avec un motif, colorier le secteur angulaire porté par l'arc convexe avec ce motif, colorier l'arc concave avec la couleur de fond et redessiner l'arc concave. Voir : arc de cercle |
Activité B2i |
Domaine B2i |
Item collège validable |
Pythagore en 4ème |
1 – S'approprier un environnement informatique de travail. |
1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail. |
Connaissances |
Capacités |
Commentaires |
théorème de Pythagore |
– Caractériser le triangle rectangle par l'égalité de Pythagore. |
On ne distingue pas le théorème de Pythagore direct de sa réciproque (ni de sa forme contraposée). |
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