Sommaire

Constructions à partir d'un sommet
1. Constructions de Ptolémée

Constructions à partir d'un côté
9. Construction d'architecte

Page n^o 39, réalisée le 16/8/2009

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Pentagone

Constructions approchées du pentagone

cos

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Faire de la géométrie dynamique

Angles et côtés

Désolé, l'applet GeoGebra ne peut pas démarrer, vérifier votre version Java. L'angle au centre du Pentagone régulier est de et l'angle intérieur de .

Si a est la longueur du côté, d la longueur d'une diagonale et r le rayon du cercle circonscrit, on a montré dans la page polygones réguliers que :
a = 2 r sin = = r ≈ 1,176 r ;

d = = r ≈ 1,902 r.

Le rapport est égal au nombre d'or Φ = .

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Voir : aire d'un pentagone

Méthodes de construction du pentagone

Pour tracer un pentagone régulier convexe, à la « règle et au compas », on peut se donner :

• Le centre O du cercle circonscrit et un sommet A (cinq premières constructions).

• Une diagonale (côté du pentagone croisé) en choisissant deux sommets non consécutifs.

• Un côté en choisissant deux sommets consécutifs A et B.

Constructions à partir d'un sommet

Constructions à partir du centre O du cercle circonscrit et d'un sommet A.

Pour construire un pentagone régulier convexe inscrit dans un cercle à la « règle et au compas » il suffit de savoir construire un angle au centre de dont le cosinus est égal à .

On peut effectuer la construction adaptée du procédé de création du rectangle d'or (de longueur [A’U] et de hauteur OB’).
Le triangle rectangle de côtés proportionnels à 1, et est utilisé depuis l'antiquité pour le tracé de sections dorées.
Le cercle de « Ptolémée » permet alors le report d'un sommet en un point U qui partage le rayon en « moyenne raison ».

On trouve le triangle rectangle isocèle, dans de nombreuses constructions à la « règle et au compas »  

1. Constructions de Ptolémée

Ptolémée ; Alexandrie 85-165 après J.-C.

Construction à partir d'un sommet A situé sur un diamètre

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Tracer un cercle (c₁) de centre O, passant par A. On choisira comme unité le rayon du cercle. Placer un diamètre [AA’] et un rayon [OB’], perpendiculaire à [AA’].

K est le milieu de [OA’], le cercle de « Ptolémée » (c₂) de centre K et de rayon KB’ coupe [OA] en U. La longueur du côté du pentagone est égale à B’U.

La médiatrice de [OU] coupe le premier cercle (c₁) aux points B et E qui sont deux sommets du pentagone. Le cercle de centre B, passant par A, recoupe c₁ en C. Le symétrique D de C par rapport à (AA’) termine la construction du pentagone.

La corde [AB] est donc le premier côté du pentagone régulier convexe ABCDE. [EB] est un côté du pentagone étoilé EBDAC inscrit dans le même cercle.

Preuve

En effet avec OA = 1, le rayon du cercle de « Ptolémée » (c₂) est :
KB’ = KU = d'après la propriété de Pythagore, dans le triangle OKB’ rectangle en O,
donc OU = − = et OI = .
L'angle (, ) a un cosinus égal à , c'est bien un angle de .

Commandes GéoPlan

Taper M pour effacer/afficher la médiatrice
Taper D pour afficher/effacer le pentagone croisé

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Construction à partir d'un sommet A situé sur un rayon perpendiculaire au diamètre

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Placer les points O et A, tracer le cercle c₁ de centre O, passant par A.

Sur un diamètre [A’A₂] perpendiculaire au rayon [OA], placer le point K au milieu de [OA’].

Tracer le cercle de « Ptolémée » (c₂) de centre K, passant par A.
Ce cercle coupe le diamètre [A’A₂] en U.
Le point U partage le rayon [OA₂] en « moyenne raison ».

AU est égal à la longueur du côté d'un pentagone inscrit dans le cercle (c₁).

Tracer le cercle (c₃) de centre A, passant par U.
Ce cercle (c₃) coupe (c₁) aux sommets B et E du pentagone.

Terminer la construction du pentagone par report de la longueur du côté (dernière ouverture du compas).

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Traité d'architecture civile et militaire, R.P. Durand - 1700
publié in bulletin APMEP n^o 439

Remarque 1 : A’U = A’K + KU = + = Φ.

Remarque 2 : OAB est un triangle isocèle d'angle au sommet , les deux autres angles étant égaux à .

Dans le triangle IAB rectangle en I, IB = AB cos = AB
et EB = 2 IB = AB.

Le rapport d'une diagonale sur le côté du pentagone convexe régulier est égal au nombre d'or Φ.

Construction du pentagone au collège

9. Construction d'architecte

Désolé, l'applet GeoGebra ne peut pas démarrer, vérifier votre version Java. Méthode

Dessin à partir d'un côté du pentagone : les points de base (libres) sont deux sommets consécutifs A et B.

Simplification de la construction à partir d'un carré en utilisant une seule perpendiculaire (AA’) et non un carré.

Construction

Tracer le cercle (c₂) de centre A passant par B. Soit A’ un des points d'intersection entre ce cercle (c₂) et la droite perpendiculaire à (AB), passant par A.
Soit I le milieu de [AB]. Le cercle de centre I, passant par A’, coupe la demi-droite [BA) en F.
Le cercle (c₄) de centre B passant par F coupe le cercle (c₂) en E.
Il coupe aussi la médiatrice de [AB] en D.
Tracer le cercle (c₅) de centre D passant par E, puis (c₃) de centre B, passant par A.
Seul un des points d'intersection de ces deux cercles permet d'obtenir un polygone convexe : le point C.
ABCDE est un pentagone régulier.

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La géométrie dynamique
avec GeoGebra

Polygones réguliers
(pentagones à octogones)

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