Géométrie plane en troisième

Le travail demandé en géométrie qui s'inscrit en complément, au moins partiel, de celui engagé précédemment (sur les configurations, les isométries), généralise des résultats antérieurs (situation de Thalès, angle inscrit…), tout en ouvrant un nouveau champ à la mise en œuvre de démonstrations.

1. Configurations du plan, transformations planes

En géométrie, le champ des configurations dans le plan et dans l'espace est élargi. Les activités de conjecture, d'expérimentation et de démonstration sont poursuivies ainsi que la pratique du dessin des figures aussi bien à main levée qu'à l'aide des instruments de dessin et de mesure y compris dans un environnement informatique. On continue à entraîner les élèves à élaborer et à rédiger des démonstrations dans l'esprit déjà indiqué dans le document d'accompagnement du cycle central.
En troisième cependant, des raisonnements prenant clairement appui sur le principe de non contradiction sont plus souvent rencontrés et signalés. Dans les démonstrations, les initiatives des élèves sont encouragées.
Les propriétés de Thalès et de l'angle inscrit permettent de traiter de nombreux problèmes. Les occasions de lier les domaines géométrique et numérique sont nombreuses ; le travail sur les objets du plan et de l'espace sert de support à des activités de calculs numériques et littéraux ; la manipulation des écritures de quotients permet, par exemple, de démontrer l'alignement des points représentatifs d'une fonction linéaire ou de justifier la construction des points partageant un segment dans un rapport donné sous forme d'un quotient d'entiers.

L'étude des transformations du plan se poursuit par celle de la rotation. L'élève aura ainsi à sa disposition en quittant le collège des moyens de repérer les éléments de symétrie et les invariances dans les triangles, quadrilatères, polygones réguliers et une certaine maîtrise de leurs constructions.
Les configurations ainsi rencontrées offrent l'occasion, tout au long du collège, d'ouvertures culturelles en lien avec l'observation de l'environnement naturel, architectural… et le travail entrepris par exemple en arts plastiques.

Depuis 2008, l'étude des translations et rotations sont hors programme :
Les activités sur la rotation en troisième sont conduites dans le même esprit que celui qui a présidé à l'étude des symétries et de la translation les années précédentes.
Elles serviront aussi de point d'appui, dans la poursuite des études, au travail sur le cercle trigonométrique et les angles orientés. On pourra remarquer qu'on obtient le même point en tournant de 300° dans un sens ou de 60° dans l'autre sens.

L'étude de la succession de deux symétries centrales est l'occasion de faire une autre lecture de la droite des milieux dans un triangle.
Ces deux situations permettent, après le passage graduel au cycle central « d'une vision des figures à celle du plan tout entier », de préparer la distinction entre la transformation en tant que telle et des processus de construction. On rejoint implicitement le travail fait dans le domaine fonctionnel avec les transformations d'écritures littérales et les identités.

Depuis 2008, l'étude des translations est hors programme et l'étude des vecteurs a failli ne pas être au programme de seconde.

Le travail effectué antérieurement sur les translations et le parallélogramme conduit naturellement au vecteur. La composée de deux translations conduit à la définition de la somme vectorielle et aux coordonnées.
En troisième, le vecteur perçu à partir d'une direction, d'un sens et d'une longueur est aussi caractérisé par un couple de nombres. Cette conjonction des cadres géométrique et numérique prépare, certes, à la géométrie analytique et à plus long terme l'algèbre linéaire qui ne sont pas abordées au collège ; mais elle permet aussi de conduire avec les élèves une réflexion sur l'emploi des nombres dans le repérage cartésien du plan. Les problèmes d'orientation de la droite rencontrés également dans l'étude des situations de Thalès seront traités ultérieurement à d'autres niveaux avec l'homothétie et le produit d'un vecteur par un réel.
L'utilisation de la notation vise à éviter la confusion entre vecteur et segment de droite orienté. Il est intéressant de confronter les désignations du vecteur en mathématiques avec les représentations des forces en physique.

2. Les constructions géométriques

Les logiciels de construction géométrique permettent la mise en évidence de relations entre les éléments d'une figure ; elles doivent être explicitées par l'élève pour la dessiner. Ces logiciels permettent notamment d'observer une figure sans la reconstruire, lorsque l'on déplace par exemple un de ses points, afin de repérer des propriétés conservées et d'énoncer des conjectures. Ils constituent un moyen puissant d'exploration des figures, facilitent l'observation des propriétés (alignement, conservation de directions, concours de droites, etc.).

Leur utilisation en collège présente deux caractéristiques particulièrement intéressantes.
La première est l'explicitation des propriétés mises en œuvre pour les constructions, par exemple, construire un triangle ABC rectangle en A à partir de son hypoténuse, conduit à utiliser la propriété de l'angle droit dans un demi-cercle, en construisant successivement le milieu de [BC], le cercle de diamètre [BC] et un point quelconque de ce cercle.
La deuxième a trait à l'expérience graphique que font les élèves en observant une figure dont on déplace des éléments variables. Des propriétés apparaissent et provoquent des questions qui motivent et préparent à la démonstration.

3. Construction d'une droite parallèle

Certains logiciels permettent de choisir les outils fournis à l'élève, en limitant les commandes mises à sa disposition. En voici un exemple :
On donne une droite (d) et un point P quelconque, on limite les outils disponibles à « droite », « point » et « symétrie centrale ». On demande la construction d'une droite parallèle à (d) passant par P.
Pour cela, on peut procéder ainsi : on construit deux points quelconques A et B de la droite
(d).
Les constructions successives de R, image de P dans la symétrie de centre B et de S symétrique de R par rapport à A donnent le point S. La droite (SP) est la parallèle cherchée. Cette construction est validée par la propriété des milieux.

Dans ce type de problème, un choix judicieux des outils disponibles (éventuellement complexes) conduit à mettre en œuvre dans une construction, puis dans sa justification, les propriétés au programme des classes du collège.

Télécharger la figure GéoPlan droite_parallele.g2w
Voir aussi : parallèle à une droite passant par un point donné

4. Longueur minimum dans un triangle (rectangle)

Ce type de logiciel permet la mise en place de situations qui pourraient paraître complexes, mais auxquelles la dynamique de la figure permet de donner du sens. En voici un exemple que l'on peut traiter en classe de troisième :
ABC est un triangle rectangle en A, et M un point de l'hypoténuse [BC]. Les perpendiculaires à [AB] et [AC] passant par M coupent [AB] en E et [AC] en F.
Où placer M pour que la distance EF soit la plus petite possible ?

Une fois la construction réalisée, le logiciel permet d'afficher la distance EF qui varie quand on déplace M sur [BC], on peut facilement invalider les conjectures qui apparaissent fréquemment sur papier (le milieu ou les points B et C). Si le triangle ABC construit par l'élève est trop particulier, on peut le déformer (tout en le conservant rectangle). Le logiciel permet à l'élève d'observer que le point M peut être placé n'importe où sur [BC], que son déplacement modifie la longueur EF et ainsi de comprendre le problème posé. En déplaçant M l'élève peut aussi observer les invariants de la figure (ici que le quadrilatère MEAF est toujours un rectangle). L'observation du rectangle conduit à la solution (le pied de la hauteur) et à la démonstration (AM = EF).

Télécharger la figure GéoPlan longueur_mini.g2w
Télécharger la figure GeoGebra orthofigure.ggb
Feuille de travail dynamique avec GeoGebra

Variante avec un triangle acutangle (dont les trois angles sont aigus) : télécharger la figure GéoPlan longueur_mini_2.g2w

Étude fonctionnelle (lycée)

Longueur minimum -Étude fonctionnelle

On appelle x la distance BM, y la longueur EF.
Le point S de coordonnées (x, y) varie dans un repère orthogonal R.

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5. Triangle, inscrit dans un triangle, de périmètre minimum (lycée)

Problème de Fagnano (mathématicien italien 1682-1766) : trouver le triangle inscrit dans un triangle qui a le plus petit périmètre.

ABC est un triangle acutangle (dont les trois angles sont aigus). M, N et P sont trois points variables situés sur les côtés [BC], [AC] et [AB].
Étudier le minimum du périmètre du triangle MNP.

Indications :
• calculer la variable p, représentant le périmètre,
• si deux points sont fixés, faire varier le troisième point et étudier la courbe représentant les variations de p.

Voir la figure interactive ou télécharger la figure GéoPlan longueur_fct_2.g2w

Périmètre minimum

En déplaçant les points M, N ou P, GéoPlan permet d'obtenir le périmètre p minimal.

Télécharger la figure GéoPlan longueur_mini_3.g2w

Périmètre minimum - solution

Ébauche de solution à partir des symétriques E et F de M par rapport aux côtés du triangle.

Télécharger la figure GéoPlan longueur_mini_4.g2w

La solution est le triangle orthique, où M, N et P sont les pieds des hauteurs du triangle ABC.

En effet, pour un point M donné, on appelle E et F les symétriques de M par rapport aux côtés du triangle. On a PF = PM et NE = NM et, par suite, le périmètre p de MNP est égal à la longueur de la ligne brisée ENPF. Ce périmètre, pour M fixé sur [BC] est donc minimum lorsque N et P coïncident avec R et S.

Pour minimiser p de façon absolue, il suffit de choisir M de façon à rendre minimum la longueur EF. Or comme AM = AE = AF et que FÂE = 2 BÂC, [EF] est une corde du cercle de centre A, de rayon AM, vue du centre de ce cercle sous l'angle 2 Â. Cette corde est de longueur minimum lorsque le cercle est de rayon minimum, c'est-à-dire lorsque M est le pied de la hauteur issue de A.

L'unicité de ce minimum fait que par raison de symétrie les positions de N et P sont aussi les pieds des hauteurs issues de B et C.

Sujet 25 de l'épreuve pratique 2009 de TS
La géométrie à l'épreuve pratique de terminale S avec GéoPlan et GéoSpace.

Voir aussi : aire maximale d'un triangle

Activité B2i	Domaine B2i	Item collège validable
La géométrie en 3^ème	1 – S'approprier un environnement informatique de travail.	1.1 – Je sais m'identifier sur un réseau ou un site et mettre fin à cette identification. 1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail.
	2 – Adopter une attitude responsable	2.4 – Je m'interroge sur les résultats des traitements informatiques (calcul, représentation graphique, ordre des points nécessaire…) 2.7 – Je mets mes compétences informatiques au service d'une production collective.
	3 – Créer, produire, traiter, exploiter des données.	3.6 – Je sais utiliser un outil de simulation (ou de modélisation) en étant conscient de ses limites (le logiciel ne fournit pas de conditions nécessaires pour l'existence d'une solution dans laquelle les droites ne sont pas parallèles).

Programme de géométrie plane en 3^e

Bulletin Officiel du 28 août 2008

Géométrie plane

Les objectifs des travaux géométriques demeurent ceux des classes antérieures du collège. L'étude et la représentation d'objets usuels du plan et de l'espace se poursuivent ainsi que le calcul de grandeurs attachées à ces objets. […]
L'étude des configurations usuelles est enrichie en particulier de la réciproque du théorème de Thalès et de l'étude de l'angle inscrit. Le recours à des logiciels de construction géométrique (par les élèves ou de manière collective) est intégré aux séquences d'enseignement, dans l'approche d'une notion ou dans la résolution de problèmes.

Objectifs

La résolution de problèmes a pour objectifs :
• de connaître les objets usuels du plan et de l'espace, de calculer les grandeurs attachées à ces objets ;
• de développer les capacités heuristiques, les capacités de raisonnement et les capacités relatives à la formalisation d'une démonstration ;
• d'entretenir la pratique des constructions géométriques (aux instruments et à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique) et des raisonnements sous-jacents qu'elles mobilisent ;
• de solliciter dans les raisonnements les propriétés géométriques et les relations métriques associées vues dans les classes antérieures.

Connaissances	Capacités	Commentaires
3.1 Figures planes Triangle rectangle, relations trigonométriques.	– Connaître et utiliser les relations entre le cosinus, le sinus ou la tangente d'un angle aigu et les longueurs de deux des côtés d'un triangle rectangle. – Déterminer, à l'aide de la calculatrice, des valeurs approchées : • du sinus, du cosinus et de la tangente d'un angle aigu donné ; • de l'angle aigu dont on connaît le cosinus, le sinus ou la tangente.	La définition du cosinus a été vue en classe de quatrième. Le sinus et la tangente d'un angle aigu sont introduits comme rapports de longueurs. Les formules suivantes sont à démontrer : cos²A + sin²A = 1, tan A = sin A/cos A. La seule unité utilisée est le degré décimal.
Configuration de Thalès.	– Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux parallèles coupant deux droites sécantes. – Connaître et utiliser un énoncé réciproque.	Il s'agit de prolonger l'étude commencée en classe de quatrième qui, seule, est exigible dans le cadre du socle commun. La réciproque est formulée en tenant compte de l'ordre relatif des points sur chaque droite mais, dans le cadre du socle commun, les élèves n'ont pas à distinguer formellement le théorème direct et sa réciproque. L'utilisation d'un logiciel de construction géométrique permet de créer des situations d'approche ou d'étude du théorème et de sa réciproque.
Agrandissement et réduction. [Reprise du programme de 4^e]	– Agrandir ou réduire une figure en utilisant la conservation des angles et la proportionnalité entre les longueurs de la figure initiale et celles de la figure à obtenir.	Dans le cadre du socle commun, il est attendu des élèves qu'ils sachent, dans des situations d'agrandissement ou de réduction, retrouver des éléments (longueurs ou angles) de l'une des deux figures connaissant l'autre. En ce qui concerne les longueurs, ce travail se fait en relation avec la proportionnalité.
Angle inscrit, angle au centre.	– Connaître et utiliser la relation entre un angle inscrit et l'angle au centre qui intercepte le même arc.	Cette comparaison entre angle inscrit et angle au centre permet celle de deux angles inscrits sur un même cercle interceptant le même arc.
Polygones réguliers.	– Construire un triangle équilatéral, un carré, un hexagone régulier, un octogone connaissant son centre et un sommet.