MIAM

Simulation de processus dynamiques : création itérative en 1S.

Courbes de poursuite - Les quatre chiens

Sommaire

Problème des quatre chiens

Figures itératives : carrés
Étude d'une suite tendant vers 0

Figures itératives :

triangles
pentagones

Carrés emboîtés

Étude d'une suite tendant vers 1

Laisser donc courir vos chiens

 

Page no 38, réalisée le 1/4/2003 - mise à jour le 26/7/2004

GéoPlan 1S
Tangente

GéoPlan
Paraboles en S

GéoPlan 1S
Produit scalaire

GéoPlan
Le barycentre

GéoSpace
Tétraèdres

Faire de la géométrie dynamique

Figures géométriques et concept de limite

Courbe de poursuite

C'est Léonard de Vinci qui étudia le premier les problèmes de poursuite. Ce sont des problèmes idéaux pour les ordinateurs, qui se décrivent facilement à l'aide d'algorithmes simples.

Problème
On suppose que quatre chiens identiques « au sens mathématique du terme » sont situés aux quatre sommets d'un carré ABCD. Le chien A se met à courir en direction du chien B, qui lui-même court en direction du chien C, le chien C vers le chien D et le chien D vers le chien A. Au fur à mesure des déplacements les chiens parcourent des segments de droite et modifient leurs trajectoires pour rester en direction de leur cible.

Ce problème important en balistique pour l'étude de la poursuite de missiles a été étudié au XIXème siècle et nous allons le simuler avec GéoPlan.
Ne pas confondre cette application des suites à la géométrie avec les suites géométriques étudiées en analyse.

Situation
A chaque déplacement une fraction k de la longueur du côté du carré est parcourue.
Étant donné un nombre k compris entre 0 et 1, on considère la suite des carrés obtenus à partir d'un premier carré A0B0C0D0 par l'algorithme suivant : le carré numéro n + 1 est obtenu à partie du carré numéro n en plaçant dans le repère (An, AnBn) le point An+1 d'abscisse k et en faisant de même pour les trois autres côtés.

Figures itératives avec GéoPlan

Figures itératives avec GéoPlanCommentaires sur la réalisation
Cet exercice est réalisé avec une commande de création itérative.
Supposons créés les deux premiers carrés :
A0B0C0D0 appelé c0 et A1B1C1D1 appelé c1.
Une commande de création itérative demandant de reconstruire A1 B1 C1 D1 et c1 en changeant A0 B0 C0 D0 respectivement en A1 B1 C1 D1 donnera, par l'appui sur la touche S choisie, un nouveau carré A2B2C2D2 appelé c2 (les noms, avec 2 en indice, sont donnés automatiquement par GéoPlan). Encore un appui, sur cette même touche S, donnera un nouveau carré, construit de la même façon et nommé c3 également automatiquement, etc.

Commande GéoPlan
Taper S pour itérer et tracer les droites des milieux d2, d3
Attention, ne pas sauvegarder la figure après modification.

Faire de la géométrie dynamique
Sommaire

 Figures itératives : carrés gigognes

carré inscrit dans un carré
Première figure itérative

carrés gigognes
Résultat de l'itération

premier chemin Spirale

g2w Carré : télécharger la figure GéoPlan chien4_1.g2w
    Courbe : télécharger la figure GéoPlan chien4_8.g2w

Calculs

Associons à ce problème la suite a des mesures des côtés des carrés an = AnBn

Choisissons comme unité de longueur A0B0, le côté du premier carré, soit a0 = 1.

Cas particulier k = 1/4

Dans le triangle rectangle A1B0B1, d'après la propriété de Pythagore, on a :
A1B12 = A1B02 + B0B12 = (3/4)²+(1/4)²= 10/16.

a1 = A1B1 = rac(10)/4, a2 = A2B2 = (rac(10)/4)².
La suite (an) des longueurs des côtés des carrés est une suite géométrique de premier terme a0 = 1 et de raison λ = rac(10)/4.

Les aires des carrés sont s0 = 1, s1 = 5/2, s2 = 25/4… ; (sn) est une suite géométrique de premier terme s0 = 1 et de raison 5/2.

Le chien situé en A parcourt les longueurs b0 = A0A1 = 1/4, b1 = A1A2 = 1/4rac(10)/4, b2 = A2A3 = 1/4(rac(10)/4)²

La trajectoire parcourue par le chien A est la ligne polygonale A0A1A2A3 … An-1An. Elle a pour longueur :
tn = b0 + b1 + b2 + … + bn-1 = tn somme des n premiers termes somme des n premiers termes d'une suite géométrique bn de premier terme b0 = 1/4 et de raison λ = rac(10)/4.
Cette somme est égale à 1/4 (1 - λ^n)/(1 - λ) = (1/4) (1 - λ^n)/(1 - λ).

Comme λ est compris entre 0 et 1, lorsque n tend vers + ∞, λn tend vers 0,
la limite est égale à 1/(1 - λ) = 1/(4-rac(10)) ≈ 1,19 ; c'est la longueur d'une trajectoire.

Cas général

Dans le triangle rectangle A1B0B1, d'après la propriété de Pythagore, on a:
A1B12 = A1B02 + B0B12 = (1-k)2 + k2 = 1 - 2k + 2k2.

La suite (an) des côtés des carrés est une suite géométrique de premier terme a0 = 1
et de raison λ = rac(1 - 2k + 2k²).

La suite (sn) des aires des carrés est une suite géométrique de premier terme s0 = 1 et de raison 1 - 2k + 2k2.

La ligne polygonale A0A1A2A3 … An-1An parcourue par le chien A a pour longueur tn = b0 + b1 + b2 + … + bn-1 somme des n premiers termes d'une suite géométrique de premier terme k et de raison λ = rac(1 - 2k + 2k²). Cette somme est tn = k(1 - λ^n)/(1 - λ).

Comme λ est compris entre 0 et 1, lorsque n tend vers + ∞, λn tend vers 0, la limite est égale à :
lk = k 1/(1 - λ)= k/(1-rac(1 - 2k + 2k²)). Cette limite représente la longueur d'une trajectoire.

Approximation de lk

Le chemin idéal où le chien modifie sa trajectoire à tout instant correspond au cas où k tend vers 0.

Pour calculer la limite de lk lorsque k tend vers 0, nous connaissons en 1S, lorsque x est « petit », les approximations affines :
rac(1+x)≈ 1 + x/2 et 1/(1-x) ≈ 1 + x.

Ici nous devons développer la racine à l'ordre 2, avec par exemple sur la TI-92 la fonction taylor(√(1+x),x,2),
et utiliser rac(1+x)≈ 1 + x/2 - x²/8. En remplaçant x par - 2k + 2k2 et en négligeant les termes supérieurs au degré 2 {ou directement sur la TI-92 avec la fonction taylor(√(1-2*k+2*k^2),k,2) } on obtient rac(1+2k+2k²) ≈ 1 - k + k²/2.

Donc, lk = k/(1 - rac(1 - 2k + 2k²))k/(1-(1-k+k²/2)k/(k-k²/2)1/(1-k/2) ≈ 1 + k/2

Lorsque k tend vers 0, k/2 a pour limite 0, lk tend vers 1. La longueur d'une trajectoire est égale au côté du carré.
On a donc une courbe « illimitée » qui a pourtant une longueur finie. Cette courbe admet un « point limite » qui, par raison de symétrie, est le centre O des carrés.

Encadrement de lk

Pour démontrer, utilisons l'encadrement 1 - k < rac(1+2k+2k²) < 1 - k + k2.

On a (1 - k + k2)2 = 1 - 2k + 3k2 - 2k3 + k4 et en élevant au carré la double inégalité :

1 - 2k + k2 < 1 - 2k + 2k2 < 1 - 2k + 2k2 + k2(1-k)2. Les différences entre les termes sont les nombres positifs k2 et k2(1-k)2. Ces inégalités sont bien vérifiées.

d'où k <1 - rac(1+2k+2k²) < k - k2 et 1 < k/(1 - rac(1 - 2k + 2k²)) < 1/(1-k).

Donc, 1 < lk < 1/(1-k). Si 0 < k < 1/3 alors 1/(1-k)< 1 + 2k.

1 < lk < 1 + 2k, lorsque k tend vers 0, 1 + 2k a pour limite 1 et d'après le théorème des gendarmes lk tend vers 1. La longueur d'une trajectoire est bien égale au côté du carré.

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Sommaire

 Figures itératives : triangles gigognes

Trinagle inscrit dans un triangle
Première figure itérative

triangles gigognes
Résultat de l'itération

 Figures itératives : pentagones gigognes

Pentagone inscrit dan un pentagonePentagones gigognes

g2w Triangle : télécharger la figure GéoPlan chien3_1.g2w
  Pentagone : télécharger la figure GéoPlan chien5_1.g2w

Faire de la géométrie dynamique
Sommaire

Carrés emboîtés

Autre forme d'après la brochure d'accompagnement des programmes de 1S - page 47 (CNDP) : la suite obtenue n'est ni arithmétique, ni géométrique, une formule explicite ne peut se conjecturer facilement et la limite n'est pas nulle.

À chaque étape du déplacement, la longueur parcourue sur le côté du carré est d'une unité.

On part d'un carré A0B0C0D0 de côté 10 unités. Sur chaque côté, en tournant dans le même sens, on place un point situé à la distance 1 de chaque sommet du carré. On obtient le carré A1B1C1D1, et on itére…

Carré emboîtéCarrés emboîtés

g2w Télécharger la figure GéoPlan car_em_1.g2w

On obtient des carrés de plus en plus petits, mais on a l'impression que cela s'arrête.

Nous admettrons que tous les quadrilatères sont des carrés.

Soit un la longueur du côté du carré AnBnCnDn avec u0 = 10.
Le théorème de Pythagore, dans le triangle An+1BnBn+1, rectangle en Bn, permet d'écrire :
un+12 = (un - 1)2 + 1 ;
u est donc la suite définie par récurrence par u0 = 10 et un+1 = rac(un-1)²+1.

Voici les calculs effectués avec un tableur :

n

un

n

un

0

10

8

2,80034534815394

1

9,05538513813742

9

2,05942792362819

2

8,11721810251056

10

1,45684162672651

3

7,18712693074945

11

1,09941087492808

4

6,26741889913265

12

1,00492911294975

5

5,36150182868008

13

1,00001214800345

6

4,47467297146727

14

1,00000000007379

7

3,61570909485887

15

1,00000000000000

On remarque que pour GéoPlan les résultats se stabilisent à partir de n = 12 : l'affichage de An+1 est confondu avec Bn. Le tableur affiche la valeur approchée 1 à partir de n = 15. Les chiens ne se rattrapent pas, mais tournent sur les bords de carrés de côtés de longueurs voisinent de 1.

Mais on peut démontrer que, pour tout n, un ≥ 1, et montrer, par l'absurde, que un ≠ 1, donc un > 1.
En déduire que u est une suite décroissante.

Pour montrer que la suite u est convergente vers l = 1 solution de l'équation :
l = rac((l-1)²+1), nous utiliserons la suite auxiliaire v telle que vn = un - 1, où vn représente la longueur de An+1Bn :

v est une suite décroissante dont tous les termes sont strictement positifs.
Pour tout n ≥ 0, on a vn < (vn+1)²/2.
Comme v10 < 1, on a v11 < v10/2 < 1/2 et pour n ≥ 10, vn+1 < vn/2,
donc pour n ≥ 10 on a 0 < vn < 1/2^(n-10).
La suite v de termes positifs, majorés par une suite géométrique ayant une limite nulle, a une limite égale à 0.
La suite u, telle que un = vn + 1, a une limite égale à 1.

Laisser donc courir vos chiens - Courbe du chien

D'après le jeune Archimède no 5

Un chien a l'habitude de courir avec son maître.
Il s'efforce d'aller vers lui, mais comme ce dernier se déplace, il modifie régulièrement sa trajectoire, en progressant par bonds successifs.
Le chien et le maître courent à la même vitesse.

Le maître se déplace sur une demi-droite

Le maître se déplace sur une demi-droite.

g2w Télécharger la figure GéoPlan maitre_droite.g2w

Le maître se déplace sur un cercle

Le maître se déplace sur un cercle.

g2w Télécharger la figure GéoPlan maitre_cercle.g2w

 

Domaine B2i

Compétence

Item lycée validable

1 – S'approprier un environnement informatique de travail.

Être autonome dans l'usage des services et des outils.

1.1 –  Je sais choisir les services, matériels et logiciels adaptés à mes besoins.

3 – Créer, produire, traiter, exploiter des données.

Concevoir et publier des documents numériques en choisissant le logiciel, le service ou le matériel adapté.

Exploiter des données ou des documents numériques.
Modifier un ou plusieurs paramètres, une situation simulée ou modélisée.

3.5 – Je sais produire une représentation graphique à partir d'un traitement de données numérique.

3.6 – Dans le cadre de mes activités scolaires, je sais repérer des exemples de modélisation ou simulation et je sais citer au moins un paramètre qui influence le résultat.

 

Les problèmes du BOA

Angles
Rotations

GéoPlan 1S
Méthode d'Euler

GéoPlan
Minimum-maximum

GéoPlan en 1S

Géométrie du triangle

Sommaire

Problème des quatre chiens

Figures itératives : carrés
Étude d'une suite tendant vers 0

Figures itératives :

triangles
pentagones

Carrés emboîtés

Étude d'une suite tendant vers 1

Laisser donc courir vos chiens

Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec la version ActiveX de GéoPlan

 

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