Le théorème de Thalès en quatrième et troisième : démonstration d'Euclide par la méthode des aires ; onze exercices.
SommaireProgramme de 4e 1. Démonstration d'Euclide |
Réciproque du théorème de Thalès | ||||
La Géométrie de Descartes (lycée) Page no 71, réalisée le 18/7/2004, modifiée le 6/2/2007 | |||||
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Les théorèmes de Thalès
Mathématicien et philosophe grec de l'école ionienne, l'un des sept sages de la Grèce, il fut
le premier à donner une explication rationnelle, et non mythologique, de l'univers, en faisant de l'eau l'élément premier. On attribue le premier raisonnement géométrique à Thalès : pour mesurer la hauteur d'une pyramide, il eut l'idée de mesurer la longueur de l'ombre de la pyramide sur le sol et la longueur de l'ombre d'un bâton. Il montrera que le rapport de la pyramide avec son ombre était le rapport que le bâton avec la sienne. Deux grands théorèmes de géométrie lui sont attribués : Notre théorème de géométrie affine étudié dans les classes de la quatrième à la seconde.
On lui attribue plus sûrement l'inscription du triangle rectangle dans un demi-cercle, plus connue comme théorème de Thalès outre-Manche ou outre-Rhin que chez nous : |
Un angle inscrit dans un demi-cercle est droit. |
Thales' theorem : |
Satz des Thales : |
À cette occasion, d'après la légende, il sacrifia un bœuf.
Contenu | Compétences exigibles | Commentaires |
Triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes. |
Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes :
| L'égalité des trois rapports est admise après avoir été étudiée dans des cas particuliers de rapport. Elle s'étend au cas où M et N seraient respectivement sur les demi-droites [AB) et [AC). Le cas où les points M et B sont de part et d'autre de A n'est pas étudié. Le théorème de Thalès dans toute sa généralité et sa réciproque seront étudiés en classe de troisième. |
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Accompagnement des programmes de 4e (1998)En classe de 4e, on demande de façon plus systématique de repérer et de mettre en œuvre les théorèmes appropriés. Le recours, si besoin est, à plusieurs pas de démonstration amène à comprendre le changement de statut d'une assertion au fil d'une démonstration : un résultat intermédiaire est une conclusion dans un pas de démonstration et une hypothèse dans un pas ultérieur.
On pourra remarquer que contrairement aux deux cas évoqués pour la classe de 5e, l'évidence « visuelle » du résultat ne fait ici guère de doute ; la question qui se pose est donc celle de l'établir au moyen des résultats déjà acquis. Si l'on considère la même figure, mais maintenant avec les hypothèses que les côtés du triangle sont coupés en trois segments de même longueur : Mais on s'aperçoit que la démonstration suppose ici l'utilisation des deux théorèmes des milieux.
1. Démonstration d'Euclide par la méthode des airesMéthode des aires : démonstration utilisant la propriété d'Euclide : « les triangles qui ont la même hauteur sont l'un relativement à l'autre comme leurs bases ». a. Thalès a découvert le théorème, mais c'est Euclide qui l'a prouvé.
Les triangles MBC et NBC ont le côté [BC] commun ; les troisièmes sommets sont sur une parallèle
à ce côté commun ; ils ont des hauteurs MP et NQ égales ; ces deux triangles ont la même
aire et par complément dans le triangle ABC on a l'égalité des aires A(AMC) = A(ABN). Soit h’ = CI la hauteur en C des triangles AMC et ABC. On a : A(AMC) = AM × enfin h = BH la hauteur en B des triangles ABN et ABC. On a : A(ABN) = AN × Les rapports des aires sont Conclusion : b. Calcul de
Or A(AHN) = On démontre, de même, que Un calcul sur les proportions
c. Autre démonstration par les aires
(MN) est parallèle à (BC). Les triangles MNB et MNC ont même base [MN] et leurs hauteurs sont égales à la distance entre les deux parallèles. Leurs aires A(MNB) et A(MNC) sont égales (propriété du trapèze). Les triangles AMN et MNB ont pour hauteur commune [NH], où H est la projection de N sur le support des bases (AB). Leurs aires sont : Les triangles AMN et MNC ont pour hauteur commune [MI]. Le rapport de leurs aires est Ces deux rapports d'aires, avec un numérateur égal à A(AMN) et des dénominateurs A(MNB) et A(MNC) égaux, sont des rapports égaux :
De là, le calcul sur les proportions :
2. Thalès et médiane
M est le point du segment [BC] tel que BM = En utilisant deux fois le théorème de Thalès, calculer les rapports Montrer, avec la réciproque de Thalès, que les droites (DE) et (BB’) sont parallèles.
3. Concours au centre de gravité
1. Montrer que le centre de gravité du triangle ABC est le milieu de [JM]. 2. En déduire que les droites (IL), (JM) et (KN) sont concourantes en G. Remarque : Il est aussi possible de montrer que KLNI est un parallélogramme.
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Un quadrilatère quelconque ABCD, I et J sont les milieux de deux côtés [AB] et [BC]. Par I et J nous menons des parallèles aux côtés (AD) et (CD). Les parallèles menées par I et J coupent [BD] en son milieu K. Ceci se démontre en utilisant deux fois le théorème des milieux.
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Nous pouvons refaire une autre figure généralisant le problème : Ceci se démontre en utilisant deux fois Thalès.
Avec GéoPlan, chargez une des figures et vérifiez, en bougeant l'un des sommets des quadrilatères. Remarque : par la réciproque de Thalès on montre comme dans l'exercice suivant que (IJ) est parallèle à (AC). |
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5. Parallèle à une diagonale d'un quadrilatère
Par K nous menons la parallèle à (BC) qui recoupe [AB] en J. Montrer que les droites (IJ) et (BD) sont parallèles. Indication : en utilisant deux fois le théorème de Thalès nous pouvons montrer l'égalité des rapports puis, démontrer que la droite (IJ) et (BD) sont parallèles avec la réciproque de Thalès. Variante : I est le milieu du côté [DA]. Montrer que K est le milieu de [AC], que J est le milieu de [AB] et en déduire que (IJ) et (BD) sont parallèles.
6. Moyennes géométriques
Dans un triangle ABC, D est un point du segment [AB]. En utilisant ces deux hypothèses l'une après l'autre, en écrivant les rapports égaux, démontrer que l'on a : AD2 = AF × AB.
Classe de seconde
Placer les points F sur [OY) et C sur [OX) tels que les droites (AE) et (BF) soient parallèles, ainsi que les droites (BE) et (CF). Montrer que OB2 = OA × OC.
7. Barrière
De quoi peut bien dépendre la hauteur h laissée libre ? Commande GéoPlan Déplacer A’ ou B’ montre que h dépend certainement de a et b. Déplacer A ou B pour montrer que contrairement à ce que l'on pourrait penser, cette hauteur h ne dépend pas de la distance AB. Démonstration Les droites (A’A) et (IH) perpendiculaires à (AB) sont parallèles.
A’H + HB’ est la plus courte distance de A’ à B’ en passant par la droite (AB) b. Deux échelles
Recherche avec GéoPlan Déplacer le point B avec la souris ou les flèches du clavier jusqu'à ce que h soit égal à 1. Solution (TS) On a montré dans l'exercice ci-dessus que Si x est la largeur du chemin (0 < x < 2), d'après le théorème de Pythagore, Pour h = 1, la relation Une méthode numérique permet de résoudre cette équation.
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Classe de seconde
Dans un carré ABCD de côté 1, le point C1 placé en C a pour abscisse 1 dans le repère (D, C) de la droite (DC).
Sommaire |
En répétant n fois ce processus, on obtient les points Bn et Cn tels que En reprenant les notations de l'exercice 7, on a : On a donc En classe de première on dira que l'on a démontré par récurrence la propriété :
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1. Cordes parallèlesDeux cercles (c1) et (c2) de rayons r et r’ ont même centre O. Deux droites (d1) et (d2), passant par ce centre O, coupent le premier cercle en A et B et le deuxième en C et D. Que peut-on dire des droites (AB) et (CD) ? Le démontrer. Faire une figure où ce n'est pas le cas.
Oui mais, le contre-exemple de la figure de droite montre que c'est faux. Il faut préciser que les points O, A, C et O, B, D sont dans le même ordre sur les deux droites (d1) et (d2), ce qui n'est le cas que sur la figure de gauche.
2. Figure de Desargues![]() Desargues Girard, géomètre lyonnais, 1591-1661 Recherche Placer un point O et tracer trois demi-droites (d1), (d2) et (d3), issues de O. Placer les points A et D sur la première demi-droite, B et C sur les deux autres demi-droites et tracer les segments [AB] et [BC]. Tracer la droite passant par D parallèle à la droite (AB). Cette droite coupe la demi-droite [OB) en E. Démonstration Utiliser deux fois le théorème de Thalès et conclure avec sa réciproque : Théorème de Desargues Soient (d1), (d2) et (d3) trois droites concourantes en O (ou parallèles) et soient ABC et DEF deux triangles tels que A et D soient sur (d1) ; B et E sur (d2) ; C et F sur (d3).
Formulation plus générale en terminale : voir le plan projectif 3. Figure de Pappus
Placer un point O, Placer les points A et B sur la première demi-droite, D et E sur la deuxième demi-droite et tracer les segments [AE] et [BD], Déplacer les points libres A, B, D ou E sur les demi-droites. Que peut dire des droites (AD) et (CF) ?
4. Quadrilatère et parallèles
Montrer que la droite (EF) est parallèle à (CD). Indications Soit I le point d'intersection des diagonales. Sachant que (AE)//(BC), la propriété de Thalès dans les triangles IAE et ICB permet d'écrire l'égalité :
En effectuant le quotient de ces deux égalités et après simplification de IA et IB, on trouve
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Activité B2i |
Domaine B2i |
Items collège validable |
Thalès en classe de 3ème |
1 – S'approprier un environnement informatique de travail. |
1.1 – Je sais m'identifier sur un réseau ou un site et mettre fin à cette identification. 1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail. |
Réciproque du théorème de Thalès |
2 – Adopter une attitude responsable |
2.4 – Je m'interroge sur les résultats des traitements informatiques (calcul, représentation graphique, correcteur…). (ordre des points nécessaire) |
3 – Créer, produire, traiter, exploiter des données. |
3.6 – Je sais utiliser un outil de simulation (ou de modélisation) en étant conscient de ses limites. (le logiciel ne fournit pas de conditions nécessaires pour l'existence d'une solution dans laquelle les droites ne sont pas parallèles). |
Connaissances |
Capacités |
Commentaires |
Triangles déterminés par deux parallèles coupant deux demi-droites de même origine. |
– Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux parallèles coupant deux demi-droites de même origine. |
Le théorème de Thalès dans toute sa généralité et sa réciproque seront étudiés en classe de troisième. |
Connaissances |
Capacités |
Commentaires |
Configuration de Thalès. |
– Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux parallèles coupant deux droites sécantes. – Connaître et utiliser un énoncé réciproque. |
Il s'agit de prolonger l'étude commencée en classe de quatrième qui, seule, est exigible dans le cadre du socle commun. |
Exercices de géométrie au collège |
Démonstrations géométriques de Pythagore |
Construction à la règle et au compas |
Construction du pentagone régulier | ||
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