Travaux pratiques en option 1L : deux cadres dans GéoPlan ; un pour visualiser une situation géométrique, l'autre pour tracer une fonction.
Sommaire1. L'ombre d'un gyrophare La parabole en L3. Aire maximum d'un rectangle dans un trapèze La Parabole en 1SPage no 53, réalisée le 5/10/2003 - mise à jour le 18/1/2010 |
Problèmes de construction en 1LInscrire, circonscrire un triangle équilatéral à un triangle donné Inscrire un carré dans un demi-cercle Construction des polygones réguliers Construction d'une droite passant par un point et l'intersection de deux droites sans utiliser cette intersection : intersection inaccessible Nombres constructibles : grands problèmes de la géométrie grecque | ||||
Angles |
Faire de la géométrie dynamique |
Attente des programmes et instructions officiellesEn collège comme en lycée, les instructions officielles de mathématiques préconisent depuis plus de dix ans l'usage de l'outil informatique (calculatrices programmables ou non et ordinateurs) tant dans les contenus de programmes que dans les commentaires. Le programme de mathématiques en première L s'intitule « mathématiques et informatique » et nécessite un travail régulier en salle d'informatique. Technique GéoPlan : dans certains des exercices est utilisée une seule figure avec deux cadres : le cadre de gauche pour la figure géométrique, le cadre de droite pour une fonction. 1. L'ombre d'un gyrophareDans un aérodrome, un gyrophare est placé au-dessus d'un hangar cylindrique de 10 m de haut et de base circulaire de 40 m de diamètre. Le cône d'ombre est un cercle de rayon x et on veut déterminer la hauteur h du gyrophare (au-dessus du sol) en fonction de ce rayon. |
Télécharger la figure GéoPlan gyrophar.g2w 2. La plus petite aireSoit un segment [OA] de longueur donnée (par exemple 10) et M un point de ce segment. |
Télécharger la figure GéoPlan aire_c_t.g2w 3. Aire maximumVoir : aire maximale d'un rectangle inscrit dans un triangle Aire maximun d'un rectangle dans un trapèzeSoit ABCD un trapèze rectangle en A et D tel que AB = 6 cm, AD = 4 cm et CD = 2 cm. Un point N parcourt le segment [BC] ; on construit le rectangle AMNP avec P sur [AB] et M sur [AD]. Remarque - On peut séparer la classe en groupes et faire cet exercice avec différentes valeurs de a et b, (b > a), |
Commandes avec GéoPlan : Télécharger la figure GéoPlan aire_tra.g2w 4. Trajet en temps minimumVariationsUn point A se situe à 3 km d'un segment [DD’] de longueur 6 km et sa projection orthogonale sur [DD’] se situe en H à 4 km de D (et à 2 km de D’). |
Télécharger la figure GéoPlan parcou1.g2w Parcours à VTTUn vététiste part de D pour arriver en A situé au milieu d'une grande prairie. Il peut emprunter un chemin carrossable [DD’] rectiligne de 6 km de long. Le point A est distant de 3 km de [DD’], se projette en H sur (DD’) ; DH = 4 km et HD'= 2 km. Quel itinéraire doit-il choisir pour aller le plus rapidement possible de D à A dans les cas suivants ? Indications : si les vitesses v1 et v2 sont exprimées en km.h– 1 et si on
pose DM = x, le temps t (en heure) mis par le vététiste pour aller de D à A vérifie : |
Commandes avec GéoPlan : T : laisse la Trace du point N Télécharger la figure GéoPlan parcou2.g2w |
Recherche d'une propriété des tangentes issues d'un point T situé sur l'axe de la parabole.
La courbe (P) d'équation y = ax2 (a désignant un réel non nul, par exemple a = 0,5) est appelée parabole. Soit T un point de l'axe des ordonnées ayant une ordonnée t de signe contraire à celui de a (par exemple t = − 4). On fait pivoter une droite Δ autour du point T et on observe l'intersection de Δ et (P) : faire des essais (l'équation de étant de la forme y = mx - 4, on essaiera avec des valeurs entières de m : 0, 1, 2, 3…). Télécharger la figure GéoPlan para_tan.g2w |
On met ainsi en évidence deux cas où la droite est « tangente » à (P). Le milieu T’ des points de contact C et C’ des deux tangentes à la parabole semble alors lié au point T. Télécharger la figure GéoPlan para_tan2.g2w |
Indications : on pourra d'abord chercher les abscisses des points d'intersection de (P) et Δ. Remarque : on ne manquera pas par la suite de vérifier que l'on obtient bien la même tangente en utilisant la dérivée. Voir : tangente en 1S 6. Histoires de toitVoûte circulaireUn toit s'appuie sur une voûte en demi-cercle de rayon r, de diamètre [AA’], comme l'indique la figure ci-dessous. Le toit de sommet F est représenté par les segments [XF] et [X’F] tangents en T et T’ au cercle. Soit h l'ordonnée de F et x l'abscisse de l'extrémité X ; les coordonnées des sommets sont alors F(0, h), X(x, 0) et X’(-x, 0). I. Quelle doit être la hauteur h du faîte F pour que les deux pans du toit forment un angle droit ? Situer le point de contact de chaque pan avec la voûte. Par des simples considérations géométriques, on trouve h = x = r et les coordonnées de T sont (r, r). Remarque : on peut reprendre ces questions dans le cas d'un toit formant un angle de 60° ou 120°. |
II. Plus généralement déterminer l'expression donnant la hauteur h en fonction de la longueur OX notée x. Construire une représentation graphique de la fonction x ® h. L'expression de h en fonction de x s'obtient assez facilement en considérant les triangles rectangles semblables FTO et OTX. On trouve h = . Bien que ce type de fonction soit en dehors du programme de terminale L, la calculatrice permet une représentation graphique « aisée » ; celle-ci peut aussi se construire point par point à partir du dessin ; l'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique sera bienvenue (le dessin met en évidence deux droites asymptotes dont l'interprétation géométrique est évidente). III. Les tangentes à la parabole d'équation y = a x2 à partir du point F(0,t) {a et t de signes contraires} sont en contact avec la parabole aux points T et T’ de milieu F’. F et F’ sont symétriques par rapport à O (cf : 5. Approche géométrique d'une tangente à la parabole, attention aux divergences de notation). Télécharger la figure GéoPlan toit_cer.g2w IV. Voûte paraboliqueUn toit, dont les pans sont symétriques par rapport à la verticale issue du faîte du toit est soutenu par une voûte parabolique (voir la figure ci-dessous). La distance AA’ et la hauteur OH sont fixée (par exemple AA’ = 4 et OH = 2). Déterminer la hauteur du faîte OT ainsi que le surplomb OX et la longueur des poutres pour que l'angle formé par les deux pans du toit soit droit. L'équation de la parabole est de la forme y = a x2 + h. L'ordonnée h de H étant égale à 2 et en écrivant que les coordonnées de A vérifient cette équation on obtient : y = 2 - . Soit T(0, t) et H’(0, t’). On a, d'après le chapitre 5 précédent (attention aux divergences de notation), (t + t’) = 2 soit t’ = 4 - t. Pour un faîte à angle droit en calculant les coordonnées de C, on trouve t = 2,5. |
Télécharger la figure GéoPlan toit_par.g2w 7. Quadrature de la parabole par la méthode d'ArchimèdeLa quadrature de la parabole est le calcul de l'aire d'un segment de parabole, délimité par un arc de parabole et la corde qui le sous-tend. Proposition I du livre de la méthode d'Archimède : l'aire du segment de parabole ASB est de l'aire du triangle ASB. L'objectif est de calculer l'aire de l'arche sous la parabole, limitée par la courbe et la corde [AB] en utilisant la méthode des triangulations successives. Voici une présentation du travail d'Archimède pour la parabole représentant la fonction f définie par f(x) = −x2 + 4 (équation loin des préoccupations de l'époque où l'on parlait de section de cône rectangle). Les figures ci-dessous sont des cas particuliers (base du triangle perpendiculaire à l'axe de la parabole). Le calcul est valable pour le cas général. On pourra, avec GéoPlan, modifier la parabole ou le segment [AB]. |
Le principe de la démonstration d'Archimède est : – de remplir l'espace entre le triangle ASB et le segment de parabole ASB par des triangles obtenus par dichotomie, Trois étapes :Dans la figure de gauche, qui correspond à la première étape, S’ est le milieu de [AB] et (SS’), parallèle
à l'axe de la parabole, est le diamètre conjugué de AB. La deuxième étape, figure du milieu, consiste à introduire deux nouveaux triangles, ayant pour côtés respectifs [AS] et [BS] et dont les sommets I et J sont sur les parallèles à l'axe de la parabole passant par les milieux I’ de [S'A] et J’ de [S'B]. On notera I1 et J1 les milieux de [SA] et [SB]. On poursuit le remplissage de la parabole, en construisant quatre nouveaux triangles, inscrits dans la parabole, de côtés
[AI], [IS], [SJ], [JB] et dont les sommets sont sur les parallèles à (SS’) passant par les milieux I’ et J’, situés sur le côté. Idées de démonstrationArchimède a démontré ces résultats par des considérations géométriques liées à la tangente en A à la parabole. On peut aussi étudier la tangente en S, parallèle à (AB). ConclusionIl est difficile de faire une figure pour les étapes suivantes ; à chaque étape, on rajoute ainsi des triangles dont l'aire totale est le quart de l'aire totale des triangles rajoutés à l'étape précédente. On obtient une somme d'aires de triangles égale à la somme des termes d'une suite géométrique de raison : Figure GéoPlanP est une parabole d'équation y = a x2 + b x + c. Commandes : Touches A, B, C : piloter au clavier les coefficients du trinôme, touche S, M : modifier le centre et les bornes de l'intervalle d'étude, Mode d'emploi :
Télécharger la figure GéoPlan qua_para.g2w 8. Le crible géométrique de MatiiassevitchLe produit de deux nombres entiers notés sur chaque branche de la parabole, se lit directement à l'intersection du segment et de l'axe de la parabole. Ainsi, nous obtenons un crible géométrique très simple pour trouver les nombres premiers. Sur la parabole d'équation y = x2, on considère les points M et N d'abscisses respectives m et - n (m > 1, n > 1). Ainsi, en traçant tous les segments [MN] « possibles », pour m et n donnés, on peut lire sur l'axe des ordonnées tous les nombres premiers inférieurs à mn : ce sont les nombres entiers qui ne sont traversés par aucun segment [MN]. En effet, considérons les points M (m, m2) et N(-n, n2) situés sur la parabole. Télécharger les figures GéoPlan mul_mati.g2w et pa_matia.g2w |
Démonstrations géométriques de Pythagore |
Seconde |
Rotations |
Cabri 3ème | ||
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Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec Internet Explorer et la version ActiveX de GéoPlan
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