Lieux géométriques avec GéoPlan

Sommaire

1. Centres des cercles tangents à deux cercles
     Cas limite
2. GéoPlan et les lieux géométriques
3. Intersection de deux cercles
4. Lieu du milieu d'un segment
5. Lieu d'un projeté orthogonal
6. Lieu des symétriques d'un point
7. Autre milieu
8. Demi-paraboles
9. Les carrés variables
10. Quartique de Jules Verne

L'équerre contre un mur (classe de quatrième - seconde - épreuve pratique de terminale S)

Lieux faisant intervenir des paraboles :
    Lieu de l'orthocentre d'un triangle

Lieux des points remarquables dans un triangle

Exercices de-ci, de-là : un cercle comme lieu

Page n^o 40, réalisée le 28/5/2003 - mise à jour le 30/10/2009

Faire de la géométrie dynamique

GéoPlan
Minimum-maximum

GéoPlan en TS
Épreuve pratique

1S - TS
Problèmes d'optimisation

GéoPlan
Fonctions distance

GéoPlan
Paraboles en L

Latin - English - lieu : locus - plural ; lieux : loci

Ancien programme de géométrie de 1S

La problématique des lieux géométriques sera présente dans tous les paragraphes de géométrie. Elle ne fera pas l'objet d'un chapitre indépendant.

Les logiciels de géométrie dynamique seront utilisés pour visualiser certains lieux.
Il s'agit de ne pas s'en tenir à une simple observation, mais de mobiliser les connaissances pour établir mathématiquement diverses caractéristiques géométriques.
On choisira quelques exemples mettant en évidence la diversité des méthodes de recherche : produit scalaire, transformations, géométrie analytique.
On veillera à traiter des cas nécessitant de démontrer une double inclusion.
On s'appuiera, le cas échéant, sur le caractère bijectif des transformations ou sur une démarche d'analyse-synthèse.

1. Centres des cercles tangents à deux cercles tangents donnés

Un cercle variable C₃(O₃ ; |R₃|) est tangent à deux cercles fixes C₁(O₁ ; |R₁|) et C₂(O₂ ; |R₂|), eux même tangents entre eux.
On cherche le lieu L des centres des cercles C₃ lorsque R₃ varie.

Avec GéoPlan, explorer la situation en faisant varier R₁, R₂ ou R₃ (cliquer dans la figure ci-dessous, touches 1, 2 ou 3).
La courbe semble être une conique. Une étude bifocale, avec le calcul de O₃O₁ + O₃O₂, permettra dans certains cas de trouver facilement une ellipse.
Par contre, le calcul de la différence O₃O₁ - O₃O₂, pour l'étude bifocale de l'hyperbole, est plus délicat et dépasse les compétences d'un élève de 1S !

Paramètres modifiables : O₁ centre du premier cercle ; des mesures algébriques R₁, R₂ et R₃ correspondant aux rayons des trois cercles.
O est le milieu du segment [O₁O₂]. a est la moitié de la différence entre R₁ et R₂.

L est une ellipse : C₁ et C₃ sont à l'intérieur de C₂.

L est une branche d'hyperbole ;
C₁, C₂ et C₃ sont tangents extérieurement.

L est une partie d'une branche d'hyperbole “il manque un
arc autour du sommet” C₁ et C₂ sont à l'intérieur de C₃.

L est une branche d'hyperbole.

Cas limite

On n'a pas de parabole, mais lorsque R₁ est grand par rapport à R₂, on trouve la curieuse branche d'hyperbole suivante !

Télécharger la figure GéoPlan certang5.g2w
Foyer et directrice d'une parabole

2. GéoPlan et lieux géométriques

Pour créer un lieu géométrique, dérouler la suite des menus :
créer > ligne > courbe > lieu d'un point.

  • Le pilote est le nom de l'objet que l'on déplacerait au clavier ou à la souris pour générer le lieu.
Dans les exemples précédents, il s'agit du rayon R₃ du cercle variable.

  • On cherchera le lieu du centre O₃ du cercle variable.
  • Préciser le nombre de points à calculer pour le lieu,
  • Par exemple, nommer la courbe L comme Lieu.

GéoPlan crée l'instruction :

L lieu du point O3, pilote R3 (200 points)
   Objet dessinable L, particularités: points non liés

Ici 200 points sont dessinés, on a souvent intérêt, avec le menu style ou dans l'éditeur de texte, à supprimer le « non » de « points non liés » pour obtenir une courbe :

L lieu du point O3, pilote R3 (200 points)
  Objet dessinable L, particularités: points liés

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

3. Intersection de deux cercles

Énoncé de l'exercice

Soit (d) une droite fixée du plan et un point A n'appartenant pas à (d).
Pour chaque point M de la droite (d) on considère les cercles (c) de centre M passant par A et (c’) de centre A passant par M.
Quels sont les lieux géométriques L₁ et L₂ des points M₁ et M₂, intersection des deux cercles ?

Méthode à mettre en œuvre

On considère les transformations T et T’ suivantes :
à tout point M de (d) on fait correspondre par T le point M₁ intersection des cercles (c) et (c’) tel que la mesure de l'angle orienté ( ; ) soit positif ;

et par T’ le deuxième point M₂ d'intersection de ces deux cercles tel que la mesure de l'angle orienté ( ; ) soit négatif.

AMM₁ et AMM₂ sont des triangles équilatéraux, T et T’ sont les rotations de centre A et d'angles et - .

Les droites L₁ et L₂ sont les images par T et T’ de la droite d. Leur point d'intersection est le symétrique de A par rapport à d.

Note technique GéoPlan :

Points libres fixes : A ; B et C définissant la droite (d) = (BC),
point variable : M sur la droite (BC).

L'instruction : M point libre sur la droite (BC) ne permet pas de tracer les lieux L₁ et L₂ à la demande.

Pour visualiser ces lieux il faut faire varier M sur un segment [B₁C₁] de la droite (d) = (BC).
Nous avons donc calculé l'équation de la droite (d) et les coordonnées des deux points B₁ et C₁ de (d) d'abscisses mi et ma suffisamment grandes en valeurs absolues.

télécharger la figure GéoPlan inter2ce.g2w

b. Deuxième point d'intersection de deux cercles

La droite (d) et les points O et O’ sont fixes.
À tout point M de (d) on associe le point N, deuxième intersection des cercles (c) et (c’) de centre O et O’ passant par M.

Quel est le lieu du point N lorsque M décrit la droite (d) ?

Solution

Les points M et N sont symétriques par rapport à la droite (OO’), axe de symétrie des deux cercles.
Le lieu (l) est la droite symétrique de (d) par rapport à (OO’).

télécharger la figure GéoPlan inter2_2.g2w

Construire un point A fixe et un point B mobile sur une droite (PQ).

Tracer le milieu M de [AB].
Faire apparaître la figure décrite par le point M, lorsque B se déplace sur (PQ).

Quel est le lieu géométrique du point M ?

Démontrer le résultat.

télécharger la figure GéoPlan mil_pt_sur_droite.g2w

Construire le cercle de centre O passant par un point A et un point B mobile sur ce cercle.

Tracer le milieu M de [AB].
Faire apparaître la figure décrite par le point M, lorsque B se déplace sur le cercle.

Quel est le lieu géométrique du point M ?

Démontrer le résultat.

télécharger la figure GéoPlan mil_pt_sur_cercle.g2w

Segment de longueur fixe

A, libre (pilotable à la souris), varie sur un cercle de centre O et de rayon b.
Le segment [AB] est de longueur fixe a.
M est le milieu de [AB].

Étudier le triangle OMB, lorsque a = 8 cm et b = 5 cm.
Quel est le lieu du point M, lorsque A se déplace sur le cercle ?
Montrer que la droite (AB) est tangente au cercle de centre O passant par M.

Télécharger la figure GéoPlan corde_tangente.g2w
Voir : aire d'une couronne

Extrémités mobiles sur un cercle et une droite

Le point A varie sur un segment [CD].
Le point B varie sur un cercle de centre O.
M est le milieu de [AB].

Étudier le lieu du point M quand A varie (B fixe) ou quand B varie (A fixe).

Télécharger la figure GéoPlan lieu1.g2w

5. Lieu d'un projeté orthogonal

Cet exercice permet de proposer deux niveaux d'exploration :
  • Analyse des hypothèses de construction pour conjecturer un résultat.
  • Mise à l'épreuve de cette conjecture avec la recherche d'une réciproque.

Cette activité permet, de par la forme de son énoncé, de se familiariser avec les fonctionnalités de GéoPlan.

Soit un point P, un cercle (c) de centre O et un point M variable sur le cercle. Soit N le projeté orthogonal du centre O sur la droite (PM).

Quel est le lieu géométrique décrit par le point N lorsque M décrit le cercle (c) ?

Point P à l'intérieur du cercle (c)

Remarque : O est un point du lieu, le lieu n'est pas vide.

L'angle ONP étant droit, on peut conjecturer que le lieu de N est inclus dans le cercle de diamètre [OP].

Remarque : le point N, milieu de la corde formée par le cercle et la droite (PN), est à l'intérieur du cercle (c).

Cas particulier : si P est sur le cercle, N est le milieu de [MP] et on retrouve le lieu du milieu d'un segment.

Voir scénario pédagogique par bernard Rault : préparation de l'épreuve pratique en seconde

Point P à l'extérieur du cercle (c)

Réciproque

Si N est un point du cercle de diamètre [OP] et est à l'intérieur du cercle (c), alors la droite (NP), perpendiculaire à (ON) coupe le cercle (c) en un point M (et un point M’ si ce n'est pas une tangente). N, projeté orthogonal du centre O sur cette droite (NP) = (PM), est un point du lieu.

Conclusion

Si P est à l'intérieur du cercle (c), ou est situé sur ce cercle, le lieu est le cercle de diamètre [OP].

Si P est à l'extérieur du cercle (c), le lieu est l'arc du cercle diamètre [OP] situé à l'intérieur de (c), dont les extrémités A et B sont les points d'intersection des deux cercles (inclus dans le lieu).

Télécharger la figure GéoPlan lieu_projete.g2w

8. Demi-paraboles

On place deux points O et A tels que OA = 1. Soit M un point variable sur la droite (OA).

Sur la demi-droite perpendiculaire en A à (OA) située dans P₁, un des demi-plans de frontière (OA), on trace le point N tel que AN = OM.

La perpendiculaire à (OA) en M rencontre la droite (ON) au point P.

Quel est l'ensemble des points P ?

Le mode trace permet de conjecturer que l'ensemble cherché est constitué de deux demi-paraboles.

Fichier MIPAR du Creem - Imagiciels géométrie plane - page 97 - MEN 1992

Télécharger la figure GéoPlan mil_para.g2w

Voir : parabole

Épreuve pratique en TS
2007 : Tangente à une parabole
2008 : Points équidistants d'une droite et d'un point
            Cercles et paraboles
2009 : Propriétés de la parabole

Classe de seconde

Soit une droite (d) et un point fixe A à l'extérieur de (d).
Un point M est variable sur la droite (d).

a. Placer les points M’ et P tels que MPM’A soit un carré direct.

On dilate le carré en « faisant glisser » M sur la droite (d).

Quel est le lieu géométrique du point M’ lorsque M se déplace sur (d).

Le mode trace permet de conjecturer que l'ensemble cherché est une droite perpendiculaire à (d).

Indication

Une rotation de centre A.

Télécharger la figure GéoPlan carre.g2w
Télécharger la figure Cabri carre.fig
Télécharger la figure GeoLabo carre.glb (Logiciel libre de géométrie dynamique : GeoLabo)

Variante : M se déplace sur un cercle.

Terminale S

b. Étudier le lieu du point P à l'aide d'une similitude de centre A.

Terminale S

c. Placer les points P et Q tels que MPAQ soit un carré direct.

On dilate le carré en « faisant glisser » M sur la droite (d).

Quels sont les lieux géométriques des points P et Q lorsque M se déplace sur (d).

Télécharger la figure GéoPlan carre2.g2w

10. Quartique de Jules Verne

En 1863, Jules Verne avait anticipé les olympiades de mathématiques et avait proposé le problème suivant dans Paris au XX^ème siècle, roman non publié à l'époque, mais édité plus d'un siècle plus tard, par Hachette en 1994 et France Loisirs en 1995.

Soit (c) et (c’) deux cercles de centre O et O’.

D'un point A de (c), on mène deux tangentes à (c’). On joint les points de contact B et C de ces tangentes.

On mène la tangente en A au cercle (c).

On demande le lieu du point M d'intersection de cette tangente avec la corde des contacts du cercle (c’).

Le lieu est une quartique : courbe algébrique de degré 4.

Voir corrigé dans : culture maths - Articles de la revue tangente
Le Seuil - 2008

Télécharger la figure GéoPlan lieu_mil.g2w

Construire un pentagone régulier

Démonstrations géométriques de Pythagore

GéoPlan
Problèmes du BOA

GéoPlan 1S
Produit scalaire

GéoPlan
Le barycentre

GeoGebra
Le plan projectif

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1. Centres de cercles tangents
       Cas limite
2. GéoPlan et les lieux géométriques
3. Intersection de deux cercles
4. Lieu du milieu d'un segment
5. Lieu d'un projeté orthogonal
6. Lieu des symétriques d'un point
7. Autre milieu
8. Demi-paraboles
9. Les carrés variables
10. Quartique de Jules Verne

Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC la version ActiveX de GéoPlan

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