Fonctions distance Recherche d'extrema : deux cadres dans GéoPlan ; un pour visualiser une situation géométrique, l'autre pour tracer une fonction.	Faire de la géométrie dynamique

Consigne

Pour toutes les figures interactives de cette page :

- cliquer dans la figure,
- taper sur la touche T pour obtenir la Trace du point variable,
- déplacer le point variable avec les flèches du clavier (ou dans certains cas avec la souris),
- taper sur la touche S pour Sortir du mode trace et effacer la trace,
- taper sur la touche L pour afficher ou effacer le Lieu géométrique de la trace.

1. Plus court chemin

Étant donné deux points A et B situés dans un même demi-plan par rapport à une droite (d), trouver le point M sur la droite (d) tel que MA + MB soit minimum.

On trouve la solution en trouvant l'intersection M de la droite (d) avec la droite (AB’) où B’ est le symétrique de B par rapport à (d).

M est aussi le point de (d) tel que la perpendiculaire en M à (d) soit la bissectrice des droites (MA) et (MB).
Ainsi, le point A représente la position initiale d'une boule de billard qui rebondit en M pour terminer en B.

Commandes GéoPlan

T : laisse la Trace du point N
S : Sortir du mode trace
L : Lieu du point D
G : tracé de la solution

Télécharger la figure GéoPlan symet.g2w
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2. Modélisation d'une situation géométrique

En géométrie plane, recherche d'un trajet optimal avec deux contraintes différentes suivant les régions du plan dans lesquelles on se déplace.

ÉduSCOL -Terminale S - banque de sujet 2007 - Sujet 016

Trajet en temps minimum

Un marin désire aller de son phare A à la ville B située sur une côte rectiligne BH.
Il transporte dans son bateau son vélo.
En mer il se déplace à la vitesse v₁, sur terre à la vitesse v₂ (v₁ ≥ v₂).

En quel point M de la côte doit-il aborder pour mettre le moins de temps possible ?

La distance BH est égale à 6 km, la distance AH vaut h.
On appelle x la distance BM, y le temps mis pour aller de A à B (en passant par M) en fonction de x.
Le point N de coordonnées (x, y) varie dans un repère orthogonal R.

Le point libre B peut être déplacé avec la souris.
Cliquer dans la figure et déplacer le point M

Commandes :

T : laisse la Trace du point N
S : Sortir du mode trace
L : dessine ou efface le Lieu de N
1 : pilote la vitesse v₁,
2 : pilote la vitesse v₂,
I : donne à v₁ et v₂ les valeurs Initiales :15 km/h et 40 km/h,
M: retour au pilotage du point M

Télécharger la figure GéoPlan min_temps.g2w
Variante sans bateau : analyse en 1L
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3. Fonction distance dans un triangle

Au démarrage G est le centre de gravité d'un triangle ABC.
Un point M varie sur les côtés du triangle ABC. Le point M part de A et parcourt le triangle ABC dans le sens trigonométrique.
On appelle x la distance parcourue depuis A (unité AB = 1). On étudie les variations de la longueur du segment [MG] en fonction de x.
Le point N a pour coordonnées (x, MG) dans un repère orthogonal R dont les unités sont u et v.

Points libres : sommet C du triangle et G ; O origine du repère, P et Q sommets de la première diagonale du cadre.

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4. Fonction distance dans un hexagone

Énoncé (Terminale S)

Soit ABCDEF un hexagone régulier de côté de longueur 2.
Un point M part de A et fait le tour de l'hexagone dans le sens positif.
On note x_N la distance que M a parcourue depuis son départ sur l'hexagone. On note y_N = AM la distance (directe) de A à M.
Dans le repère situé à droite, on place le point N de coordonnées (x_N ; y_N) et on trace le lieu L de N quand x_N varie de 0 à 12.
On obtient ainsi une fonction définie sur [0 ; 12] par morceaux à valeurs dans [0 ; 4].

Résolution du problème

On essaiera d'exprimer la distance AM selon les trois cas de segment après avoir remarqué la symétrie.
La composition des fonctions sera utile pour une étude rigoureuse.
Le tableau de variation complet doit être établi.

Utilisation du logiciel GéoPlan

L'intérêt est de suivre les positions correspondantes simultanément et de montrer que la même variation de x donne des différences selon la position de M.

Commandes GéoPlan

Touche T : Dessine la Trace de N,
touche S : Sortie du mode trace,
touche L : Dessine ou efface le Lieu de N,
touche X : Pilotage de x_N au clavier,
touche Z : Valeur de x_N = 0. M est placé en A,
touche M : Valeur de x_N = 6. M est placé en D,
touche A : Animation (M parcourt l'hexagone).

Télécharger la figure GéoPlan fct_hexagone.g2w

Technique GéoPlan : dans cet exercice est utilisée une seule figure avec deux cadres.