Rectangle variable inscrit dans un triangle rectangle

Sommaire

1. Aire maximale d'un rectangle inscrit dans un triangle
2. Distance minimale dans un triangle
3. Orthogonalité dans un triangle

4. Carré inscrit dans un quadrilatère
      Transformation par barycentres de figures semblables

Page n^o 122, créée le 30/6/2008, mise à jour le 31/3/2010

Faire de la géométrie dynamique

Faire de la géométrie en seconde

1S - TS
Problèmes d'optimisation

Études d'aires
minimum-maximum

GéoPlan 3^ème
Longueur minimum

Triangle inscrit dans un carré
aire maximale

Environnement informatique

Objectifs et moyens possibles

• Logiciel de géométrie dynamique.
• Type d'utilisation : par les élèves en salle informatique.
• Matériel : un ordinateur par élève.

• En vue aussi d'une préparation à l'épreuve pratique de mathématiques au bac S, il semble nécessaire de confronter les élèves à des situations permettant d'expérimenter en mathématiques.
• Développer les capacités d'expérimentation et de raisonnement, d'imagination et d'analyse critique.

Prérequis informatiques

Prérequis mathématiques

• Utilisation de GéoPlan.

• Connaissances mobilisées des années antérieures : aire d'un rectangle, théorème de Pythagore, théorème de Thalès ou trigonométrie.
• Utiliser des notions simples de géométrie plane.
• Prérequis de seconde : exprimer une valeur en fonction d'une variable, extremum d'une fonction, triangles semblables (non indispensable).

Compétences TICE

Compétences mathématiques

• Construire une figure avec un logiciel de géométrie dynamique ;
• Tester les conjectures émises ;
• Traduire, à l'aide du logiciel, une situation géométrique par un graphique.

• Élaborer une stratégie permettant de déterminer l'extremum d'une fonction.

Soit ABC un triangle rectangle en A.

Le point M est un point mobile sur le segment [BC]. On appelle N et P les projetés orthogonaux de M respectivement sur les segments [AB] et [AC].
On veut déterminer pour quelle position de M l'aire du rectangle ANMP, inscrit dans le triangle ABC, est maximale.

Télécharger la figure GéoPlan max_aire.g2w

Technique GéoPlan

Dans les deux premiers exercices de cette page est utilisée une seule figure avec deux cadres : le cadre de gauche pour la figure géométrique, le cadre de droite pour une fonction.

Pour calculer, avec GéoPlan, l'aire du rectangle ANMP, calculer l'aire du triangle ANP et la doubler.

Cliquer sur la figure et déplacer le point M avec la souris.
Touches :
T : garder la Trace du point S lorsque M varie,
S : sortie du mode trace et effacement de la trace,
L : dessiner ou effacer la parabole.

Il est possible de modifier les positions de A, B ou C en restant dans le cadre de gauche ; ne pas choisir un triangle rectangle trop grand.

Lieu géométrique, lorsque M est variable sur le « quart de cercle » situé sur le cercle de centre O passant par B : voir maximum-minimun

Démonstration par l'étude d'une fonction

Dans le cas général, elle comporte trop de paramètres et nous semble donc hors de portée d'un élève moyen de seconde et même difficile à envisager en première.
En demandant la démonstration dans un cas particulier simple, on n'enlève pas l'intérêt de l'activité.
On peut prendre par exemple AB = 4 et AC = 3.
En posant BM = x, l'aire f(x) du rectangle ANMP est une fonction du second degré.
On dispose donc des méthodes classiques en Seconde par factorisation de f(x) – m (où m est le maximum conjecturé) ou en 1^re S avec l'utilisation de la dérivée ou des propriétés des fonctions trinômes.

Télécharger la figure GéoPlan max_aire_triangle.g2w, la figure GéoPlan fn_cadre.g2w

Démonstration géométrique

Si M est placé au milieu de [BC], il est clair que l'aire de ANMP vaut la moitié de l'aire du triangle ABC (tracer la médiane [AM] au besoin).

Si M n'est pas au milieu de [BC], on peut montrer que l'aire de AMNP est inférieure à la moitié de l'aire du triangle ABC.

Voir la figure ci-contre dans le cas où M est plus près de B que de C : on trace le symétrique B’ de B par rapport à M.

L'aire de ANMP se décompose en l'aire des rectangles N’NMI et AN’IP.

L'aire de N’NMI est la moitié de l'aire du triangle N’BB’,
comme AP = PP’ , l'aire du rectangle AN’IP, égale à l'aire de PIB’P’, est la moitié de l'aire du rectangle AN’B’P’.

L'aire de ANMP moitié de l'aire du trapèze ABB’P’ est moindre que la moitié de l'aire du triangle ABC.

Télécharger la figure GéoPlan max_aire_triangle_demo.g2w

Voir : le plus grand rectangle inscrit dans un triangle isocèle

Variante : déterminer le point M tel que ANMP soit un carré.

2. Distance minimale dans un triangle

Classes de quatrième, troisième ou seconde

Compétences
  – Connaître le rectangle et ses propriétés relatives aux diagonales.
  – Savoir que d'un point donné, le point d'une droite le plus proche est le pied de la perpendiculaire menée de ce point à la droite.

Énoncé
ABC est un triangle rectangle en A.
M est un point mobile de l'hypoténuse [BC].
N et P sont les projetés orthogonaux respectifs de M sur les côtés [AB] et [AC].

On veut déterminer, sur [BC] un point M tel que la distance NP soit minimale. Est-il unique ?
Dans ce cas, comment doit être le triangle ABC pour que le segment [NP] soit parallèle à (BC) ?

Indications
Pour ce problème, on peut faire une recherche en classe de seconde dans un cadre analytique, ci-dessous, ou plus bas, le résoudre dans un cadre purement géométrique.

Conjecture

Pour que la longueur NP soit minimale, il faut que M soit le pied de la hauteur issue de A du triangle ABC.

Le triangle ABC doit être rectangle isocèle pour que le segment [NP] soit parallèle à (BC).

Démonstration géométrique

Les diagonales du rectangle ANMP sont de même longueur : NP = AM.
Soit H le pied de la hauteur issue de A. Le triangle AMH est rectangle, AM en est l'hypoténuse. Si M est distinct de H, l'hypoténuse AM est plus grande que le côté AH de l'angle droit.

Télécharger la figure GéoPlan dist_mini.g2w

3. Orthogonalité dans un triangle rectangle

Projections de la hauteur et médiane d'un triangle rectangle.

Soit ABC un triangle rectangle en A.
Le point M est un point mobile sur le segment [BC].
On appelle N et P les projetés orthogonaux de M respectivement sur les segments [AB] et [AC].
Soit I le milieu de [BC].

On cherche à déterminer s'il existe une position du point M telle que les droites (AI) et (PN) soient perpendiculaires.

a. Conjecture

En étudiant plusieurs cas de figure, conjecturer la position du point M telle que (AI) et (PN) soient perpendiculaires :

on pourra faire afficher les angles NOI et AMC (O étant le point d'intersection des droites (AI) et (PN) ) et faire varier ce que l'on peut faire varier.

Démontrer la conjecture.

Télécharger la figure GéoPlan orthogonalite_triangle.g2w

b. Démonstration par des calculs d'angles

Somme des angles d'un triangle égale à 180°, angles alternes internes, complémentaires…

Dans le triangle ABC, placer M au pied de la hauteur issue de A puis montrer que les droites (AI) et (PN) sont perpendiculaires en suivant la démarche suivante :

On pourra noter α l'angle IÂB. Par la suite, tous les angles seront exprimés en fonction de α.

La médiane AI du triangle ABC est égale à la moitié de l'hypoténuse BC ; les triangles IAB et IAC sont isocèles,
d'où : AÎB = π - 2α, AÎC = 2α, ICA = CÂI = - α.
IÂM = - AÎM = - (π - 2α) = 2α - .
PÂM = CÂI + IÂM = ( - α) + (2α - ) = α.

Par symétrie dans le rectangle APMN, APN = α.
Dans le triangle rectangle APN, on a ANP = - α.
Les angles du triangle AON sont α et - α. Le troisième angle AÔN est .
Le triangle AON est rectangle, les droites (AI) et (PN) sont perpendiculaires

Télécharger la figure GéoPlan orthogonalite_triangle_2.g2w

4. Carré inscrit dans un quadrilatère

Soit MNPQ un quadrilatère.

Trouver un carré ABCD (direct) inscrit dans ce quadrilatère.

Recherche

Placer un point A sur la droite (MN).

Soit un carré de sommet A, ayant un deuxième sommet B sur le côté (NP).
Le quatrième sommet de ce carré est situé sur la droite (d) image de (NP) par la rotation de centre A et d'angle 90°. Si cette droite coupe la droite (QM) en un point D, soit B son image réciproque, image de D par la rotation de centre A et d'angle – 90°.
A, B et D sont trois sommets d'un carré situés sur trois des côtés du quadrilatère.

Télécharger la figure GéoPlan carre_ds_quadri.g2w

Conjecture

En déplaçant le point A, on peut penser que le lieu géométrique du quatrième sommet C du carré ABCD est situé sur une droite (d’).

Transformation par barycentres de figures semblables

Soit F₁ et F₂ deux figures directement semblables formées des points A₁, B₁, C₁… pour F₁ et des points A₂, B₂, C₂… pour F₂.

Soit un point A de la droite (A₁A₂).
On définit alors le réel t tel que = t .
Les points B, C… partagent les segments [B₁B₂], [C₁C₂]… dans le même rapport que A partage [A₁A₂].
On a donc = t , = t , = t …

La figure F formée par les points ABC… est alors une figure semblable aux deux précédentes.

Remarque : A est le barycentre de (A₁, t-1) ; (A₂, t).
B est le barycentre de (B₁, t-1) ; (B₂, t)…

Ce théorème se montre facilement en utilisant la forme complexe des similitudes.

Avec GéoPlan, définir t comme l'abscisse du point A sur la droite repérée par les deux points A₁, A₂.

Le point B est le point repéré par l'abscisse t sur la droite munie des deux points B₁, B₂. De même pour C, D…

Télécharger la figure GéoPlan figures_semblables.g2w

Solution

Avec les notations de la figure ci-dessus, on trace les carrés NB₁C₁D₁ et A₂NC₂D₂ avec A₂ sur (MN), B₁ sur (NP), D₁ et D₂ sur (QM).
La position de C sur (C₁C₂) permet de trouver les sommets A, B et D du carré semblable ABCD, solution du problème.

En faisant glisser A sur (MN) jusqu'en N on trouve le carré NB₁C₁D₁.

En faisant glisser B sur (NP) jusqu'en N on trouve le carré A₂NC₂D₂.

Le sommet C est situé sur la droite (C₁C₂) à l'intersection avec (PQ).
On définit le réel t tel que = t .

On place A sur [NA₂], B sur [B₁N] et D sur [D₁D₂] sachant que ces trois points sont dans les mêmes proportions que C sur [C₁C₂].

Les points A, B et D sont tels que = t , = t , = t .

Télécharger la figure GéoPlan carre_ds_quadri_demo.g2w

Faire de la géométrie en seconde

GéoPlan 3^e
Longueur minimum

Troisième
Problèmes d'optimisation

Seconde
Problèmes d'optimisation

Construire un pentagone régulier

Constructions avec contraintes

Sommaire

1. Aire maximale dans un triangle
2. Distance minimale dans un triangle
3. Orthogonalité dans un triangle

4. Carré inscrit dans un quadrilatère
      Transformation par barycentres de figures semblables

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