Rectangle variable inscrit dans un triangle rectangle

Sommaire

1. Aire maximale d'un rectangle dans un triangle
2. Distance minimale dans un triangle
3. Orthogonalité dans un triangle
4. Carré inscrit dans un quadrilatère

Page n^o 122, créée le 30/6/2008, mise à jour le 5/9/2009

Groupe de mutualisation lycée en Mathématiques

Productions 2007-2008 : expérimenter/démontrer

Aire maximale dans un triangle
Distance minimale dans un triangle
Orthogonalité dans un triangle

Faire de la géométrie dynamique

1S - TS
Problèmes d'optimisation

Études d'aires
minimum-maximum

GéoPlan 3^e
Longueur minimum

Triangle inscrit dans un carré
aire maximale

Faire de la géométrie en seconde

Environnement informatique

Objectifs et moyens possibles

• Logiciel de géométrie dynamique.
• Type d’utilisation : par les élèves en salle informatique.
• Matériel : un ordinateur par élève.

• En vue aussi d’une préparation à l’épreuve pratique de mathématiques au bac S, il semble nécessaire de confronter les élèves à des situations permettant d’expérimenter en mathématiques.
• Développer les capacités d’expérimentation et de raisonnement, d’imagination et d’analyse critique.

Prérequis informatiques

Prérequis mathématiques

• Utilisation de GéoPlan.

• Connaissances mobilisées des années antérieures : aire d’un rectangle, théorème de Pythagore, théorème de Thalès ou trigonométrie.
• Utiliser des notions simples de géométrie plane.
• Prérequis de seconde : exprimer une valeur en fonction d’une variable, extremum d’une fonction, triangles semblables (non indispensable).

Compétences TICE

Compétences mathématiques

• Construire une figure avec un logiciel de géométrie dynamique ;
• Tester les conjectures émises ;
• Traduire, à l’aide du logiciel, une situation géométrique par un graphique.

• Élaborer une stratégie permettant de déterminer l’extremum d’une fonction.

Soit ABC un triangle rectangle en A.

Le point M est un point mobile sur le segment [BC]. On appelle N et P les projetés orthogonaux de M respectivement sur les segments [AB] et [AC].
On veut déterminer pour quelle position de M l’aire du rectangle ANMP, inscrit dans le triangle ABC, est maximale.

Télécharger la figure GéoPlan max_aire.g2w

Étude de fonction

Technique GéoPlan

Pour calculer l'aire de ANMP, calculer l'aire du triangle ANP et la doubler.

Démonstration par l’étude d’une fonction

Dans le cas général, elle comporte trop de paramètres et nous semble donc hors de portée d’un élève moyen de seconde et même difficile à envisager en première.
En demandant la démonstration dans un cas particulier simple, on n’enlève pas l’intérêt de l’activité.
On peut prendre par exemple AB = 4 et AC = 3.
En posant BM = x, l’aire f(x) du rectangle ANMP est une fonction du second degré.
On dispose donc des méthodes classiques en Seconde par factorisation de f(x) – m (où m est le maximum conjecturé) ou en 1ère S avec l’utilisation de la dérivée ou des propriétés des fonctions trinômes.

Télécharger la figure GéoPlan max_aire_triangle.g2w

Démonstration géométrique

Si M est placé au milieu de [BC], il est clair que l’aire de ANMP vaut la moitié de l’aire du triangle ABC (tracer la médiane [AM] au besoin).

Si M n’est pas au milieu de [BC], on peut montrer que l’aire de AMNP est inférieure à la moitié de l’aire du triangle ABC.

Voir la figure ci-contre dans le cas où M est plus près de B que de C : on trace le symétrique B’ de B par rapport à M.

L'aire de ANMP se décompose en l'aire des rectangles N’NMI et AN’IP.

L’aire de N’NMI est la moitié de l’aire du triangle N’BB’,
comme AP = PP’ , l'aire du rectangle AN’IP, égale à l'aire de PIB’P’, est la moitié de l'aire du rectangle AN’B’P’.

L'aire de ANMP moitié de l'aire du trapèze ABB’P’ est moindre que la moitié de l’aire du triangle ABC.

Télécharger la figure GéoPlan max_aire_triangle_demo.g2w

Extraits de la fiche professeur, avec en annexes une fiche élève et les fichiers d’aide méthodologique et mathématique :
Télécharger Fiche_prof_aire_max_triangle.pdf, document au format « .pdf » d'Acrobat

Voir : le plus grand rectangle inscrit dans un triangle isocèle

2. Distance minimale dans un triangle

ABC est un triangle rectangle en A.
M est un point mobile de l’hypoténuse [BC].
N et P sont les projetés orthogonaux respectifs de M sur les côtés [AB] et [AC].
On veut déterminer, sur [BC] un point M tel que la distance NP soit minimale. Est-il unique ?
Dans ce cas, comment doit-être le triangle ABC pour que le segment [NP] soit parallèle à (BC) ?

Pour résoudre ce problème, on peut rester dans un cadre purement géométrique. Le choix fait ici est se rapporter à un cadre analytique.

Télécharger la figure GéoPlan dist_mini_triangle.g2w

Conjecture

Pour que la longueur NP soit minimale, il faut que M soit le pied de la hauteur issue de A du triangle ABC.

Démonstration géométrique

NP = AM.
Soit H le pied de la hauteur issue de A. Le triangle AMH est rectangle, AM est l’hypoténuse. Or l’hypoténuse est plus grande que le côté AM de l'angle droit.

Télécharger la figure GéoPlan dist_mini.g2w

3. Orthogonalité dans un triangle

Soit ABC un triangle rectangle en A.
Le point M est un point mobile sur le segment [BC].
On appelle N et P les projetés orthogonaux de M respectivement sur les segments [AB] et [AC].
Soit I le milieu de [BC].

On cherche à déterminer s’il existe une position du point M telle que les droites (AI) et (PN) soient perpendiculaires.

Conjecture

En étudiant plusieurs cas de figure, conjecturer la position du point M telle que (AI) et (PN) soient perpendiculaires :

on pourra faire afficher les angles NOI et AMC (O étant le point d’intersection des droites (AI) et (PN) ) et faire varier ce que l’on peut faire varier.

Démontrer la conjecture.

Télécharger la figure GéoPlan orthogonalite_triangle.g2w

Démonstration par des calculs d’angles

Somme des angles d'un triangle égale à 180°, angles alternes internes, complémentaires…

Dans le triangle ABC, placer M au pied de la hauteur issue de A puis montrer que les droites (AI) et (PN) sont perpendiculaires en suivant la démarche suivante :

On pourra noter α l’angle IÂB. Par la suite, tous les angles seront exprimés en fonction de α.

La médiane AI du triangle ABC est égale à la moitié de l'hypoténuse BC ; les triangles IAB et IAC sont isocèles,
d'où : AÎB = π - 2α, AÎC = 2α, ICA = CÂI = - α.
IÂM = - AÎM = - (π - 2α) = 2α - .
PÂM = CÂI + IÂM = ( - α) + (2α - ) = α.

Par symétrie dans le rectangle APMN, APN = α.
Dans le triangle rectangle APN, on a ANP = - α.
Les angles du triangle AON sont α et - α. Le troisième angle AÔN est .
Le triangle AON est rectangle, les droites (AI) et (PN) sont perpendiculaires

Télécharger la figure GéoPlan orthogonalite_triangle_2.g2w

4. Carré inscrit dans un quadrilatère

Soit MNPQ un quadrilatère.

Trouver un quadrilatère ABCD (direct) inscrit dans ce quadrilatère

Indications

Placer un point A sur la droite (MN).

Soit un carré de sommet A, ayant un deuxième sommet B sur le côté (NP).
Le quatrième sommet de ce carré est situé sur la droite (d) image de (NP) par la rotation de centre A et d'angle 90°. Si cette droite coupe la droite (QM) en D, soit B l'image réciproque, image de D par la rotation de centre A et d'angle
– 90°. A, B et D sont trois sommets d'un carré situés sur les côtés du quadrilatère.

Conjecture à vérifier et à démontrer (je sèche !)

En déplaçant le point A, on se rend compte que le lieu géométrique du quatrième sommet C du carré ABCD est une droite (d’).

Cette droite (d’) coupe la droite (MN) au point C tel que la diagonale (AC) du carré soit la droite (MN).

(d’) coupe la droite (PQ) au point C tel que le côté (DC) du carré soit la droite (MQ).

Le sommet C solution est le point d'intersection des droites (d’) et (PQ). On trouve alors le point B comme intersection du côté (NP) et de la transformée de (MQ) par la rotation de centre C et d'angle 90°.

Télécharger la figure GéoPlan carre_ds_quadri.g2w

Communication entre deux figures - technique GéoPlan

La technique GéoPlan-GéoSpace d'importation active n'est pas simple à mettre en œuvre.

Dans le deuxième exemple de cette page, nous préférons utiliser une seule figure avec deux cadres : un pour visualiser une situation géométrique, l'autre pour tracer une fonction.

Pour vos propres applications, téléchargez la figure GéoPlan f_vierge.g2w où le cadre de droite a été préparé pour le graphique d'une fonction dans un repère R₁

Réalisez le dessin dans le repère R, figure de gauche.
En fonction de l'abscisse x d'un point M du cadre de gauche et d'un résultat numérique y calculé dans cette figure, le point S(x, y) est affiché dans le repère de droite R₁.
Réglez éventuellement la taille des unités avec les variables un pour R et un₁ pour R₁.

GéoPlan 3^e
Longueur minimum

GéoPlan 3^e
Longueur minimum

Troisième
Problèmes d'optimisation

Seconde
Problèmes d'optimisation

Construire un pentagone régulier

GéoPlan TS
Épreuve
pratique

Sommaire

1. Aire maximale dans un triangle
2. Distance minimale dans un triangle
3. Orthogonalité dans un triangle
4. Carré inscrit dans un quadrilatère

Faire de la géométrie dynamique

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