Exercices de-ci, de-là

Rubrique du bulletin de l'APMEP diffusant des exercices proposables à nos élèves, exercices d'origines diverses. Rubrique crée en 2004 par Serge Parpay et son équipe de Poitevins « le groupe du Clain » par référence à une publication, appréciée, de l'IREM de Poitiers lors des années 70 (le Clain est l'afffluent de la Vinne qui passe à Poitiers) et un clin œil, aussi, au grand Félix Klein.
Bruno Alaplantive prend le relai en 2009.

451-2. Diviser en deux l'aire d'un trapèze

Diviser un trapèze en deux parties d'aires équivalentes par une parallèle aux bases.

Enseignement secondaire spécial et baccalauréat ès sciences
Géométrie théorique et pratique. Eysseric et Pascal. Delagrave 1874
Bulletin APMEP n^o 451 - mars 2004

Solution de Bruno Alaplantive : Bulletin APMEP n^o 453 - septembre 2004

En posant EA = 1 et ED = k = , pour les aires on a Aire(EDC) = k²Aire(EAB) donc Aire(ABCD) = (k² - 1) Aire(EAB).

On obtient, de même, en posant EP = p, Aire(ABQP) = (p² - 1) Aire(EAB) et la demande Aire(ABQP) = Aire(ABCD) équivaut à :
p² - 1 = , soit p = .

Construction à la façon de Descartes

Construction classique de la racine carrée d'un nombre

Rabattre H en P sur [ED] et de terminer (PQ)

La parallèle à (BD) coupe (ED) en F. Les triangles EDB et EFC sont semblables avec le rapport de similitude k.
Comme ED = k, on a EF = k².
En reportant l'unité EA en FG, puis en plaçant le milieu M de [EG], on a EM = .

On termine alors par la construction classique de la racine carrée d'un nombre :
Reporter l'unité EA en EA’ et tracer le cercle de diamètre [MA’]. La perpendiculaire à (MA’) en E coupe le cercle en H. EH est la moyenne géométrique de EA’ et EM.
Il suffit de rabattre H en P sur [ED] et de terminer (PQ) parallèle aux bases du trapèze.

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Diviser un trapèze en quatre parties égales

Diviser en quatre parts égales l'aire d'un trapèze rectangle.
Ces 4 parts ont leurs bases parallèles à la base du grand trapèze, cela revient à diviser ce grand trapèze en 4 petits trapèzes de même aire…

ABCD est un trapèze rectangle en D, de petite base b = AB, de grande base b’ = CD et de hauteur h = AD.
Les côtés non parallèles du trapèze se rencontrent en E.

La propriété de Thalès dans le triangle ECD permet d'écrire les rapports :
k = = = , or = = 1 + , soit = k - 1 et EA = = .

Le partage en quatre se fait par les segments [MN], [PQ] et [RS] parallèles aux bases.

[PQ] correspond au partage en deux, traité ci-dessus avec EP = pEA :
Aire(ABQP) = (p² - 1) Aire(EAB) et la demande Aire(ABQP) = Aire(ABCD) équivaut à :
p² - 1 = (k² - 1), soit p = .

[MN] correspond au quart de l'aire trapèze avec EM = m EA :
Aire(ABNM) = (m² - 1) Aire(EAB) et Aire(ABNM) = Aire(ABCD) équivaut à :
m² - 1 = (k² - 1), soit m = .

[RS] correspond aux trois quarts de l'aire avec ER = r EA :
Aire(ABSR) = (r² - 1) Aire(EAB) et Aire(ABSR) = Aire(ABCD) équivaut à : r² - 1 = (k² - 1), soit r = .

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453-4. Découpage d'aires dans un carré

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Soit ABCD un carré de côté a, J et K les milieux de [BC] et [CD].
Quelle est l'aire du quadrilatère PJCK ?
Si M est le point d'intersection de (BK) et (AC), quelle est l'aire du quadrilatère PJCM ?

Quadrilatère PJCK

Calcul d'aire de triangles

D'après la propriété de Pythagore dans le triangle ABJ, rectangle en B, AJ² = a² + = a², d'où l'hypoténuse AJ = a.

Montrer que la droite (AJ) est perpendiculaire à (BK) : voir droites orthogonales dans un carré : angles - rotations.

Le triangle BPJ, rectangle en P, d'hypoténuse a, est semblable au triangle ABJ dans le rapport .

Aire(ABJ) = a × a = a², Aire(BPJ) = × Aire(ABJ) = a².

Par différence : Aire(PJCK) = Aire(BCK) - Aire(BPJ) = a² - a² = a².

Carré d'aire cinq fois plus petite (figure ci-dessus à droite)

Montrer que la droite (AJ) est perpendiculaire à (BK), calculer PQ en fonction de a, justifier que PQRS est un carré,
montrer que son aire est égale à de l'aire de ABCD.

Un découpage de ABCD permet de reconstituer 5 petits carrés en collant aux 4 trapèzes adjacents au carré central PQRS, 4 triangles rectangles : faire pivoter ces triangles par des rotations de 180° autour des milieux des côtés du grand carré.

Chacun des quadrilatères PJCK, QKCL… a donc une aire de a².

Retrouver cette figure dans : carré au collège
1S : produit scalaire

Quadrilatère PJCM

Étude du triangle KCM :

Dans le carré ABCD, les droites (ID) et (BK), joignant deux sommets opposés aux milieux des côtés opposés, sont parallèles et partagent la diagonale [AC] joignant les deux autres sommets en trois parties égales : voir parallélogramme et milieux.

Si H est la projection de M sur (CD), MH = a et Aire(KCM) = × KC × MH = × a × a = a².

Par différence : Aire(PJCM) = Aire(PJCK) - Aire(KCM) = a² - a² = a².

486-3. Lieu d'un point

M. Guisnée - Paris

lieu d'un point

Soit un segment [AB] et (d) sa perpendiculaire en A.

On choisit un point M pris sur (d) et on construit le point P de la demi-droite [MB), n'appartenant pas au segment [MB], qui vérifie :

PB × BM = AB².

Déterminer le lieu du point P lorsque M varie sur (d).

Commandes GéoPlan
Taper L pour afficher/effacer le Lieu des points P et les triangles BCP et BCQ.
Déplacer le point M.
Touche T : garder la Trace du point P,
touche S : Sortie du mode trace.

Solution

lieu du point solution

Soit C le point symétrique de A par rapport à B, le point Q symétrique de M et la droite (d’) perpendiculaire en C à (AC).

Le lieu est le cercle de diamètre [BC], privé de B.

Comme BM = BQ, dans le triangle rectangle BCQ on a :
PB × BQ = BC².

La relation métrique donnant le carré du petit côté BC, montre que le point P est le pied de la hauteur issue de C.

L'angle BPC est droit.

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5. Découper deux segments égaux

Un problème original de Serge Parpay créé pour le rallye Mathématique Poitou-Charentes - Corol'aire n^o 69 - Juin 2007

Quatre droites (d₁), (d₂), (d₃), (d₄) sont concourantes en un point O.
Construire une droite (Δ) qui coupe ces quatre droites respectivement en A₁, A₂, A₃, A₄ de telle sorte que A₁A₂ = A₃A₄.

Analyse

Soit (Δ) une droite répondant à la question (remarquons que toute parallèle à (Δ), ne passant par O, conviendrait également).
A₁A₂ = A₃A₄, les segments [A₁A₄] et [A₂A₃] ont même milieu J. Soit (d) la droite passant par O et J et (d’) la parallèle à (Δ) passant par O.

J étant le milieu de [A₁A₄] les droites (d₁, d₄, d, d’) forment un faisceau harmonique.

Réciproquement, soit (D) une droite parallèle à (d₄) coupant les trois autres rayons du faisceau en B₁, I et I’ ; le point B₁ est alors le milieu de [II’].

Par ailleurs, comme J est aussi le milieu de [A₂A₃], les droites (d₂, d₃, d, d’) forment un autre faisceau harmonique. (B₂, B₃, I, I’) forment une division harmonique.
Avec le milieu B₁ de [II’], la relation de Newton permet d'écrire :
B₁I² = B₁I’² = B₁B₂ × B₁B₃.

Cette relation va permettre la construction de I et I’ et, par suite, des droites (d) et (d’).

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Construction des points I et I’

Une droite (D) parallèle à (d₄) donne les points B₁, B₂, B₃.

Le produit B₁B₂ × B₁B₃ est la puissance du point B₁ par rapport à un cercle passant par B₂ et B₃.
On trace alors un tel cercle et une tangente (B₁T) à ce cercle.

Le cercle de centre B₁ passant par T coupe la droite (D) en I et I’.
On a bien B₁T² = B₁B₂ × B₁B₃ = B₁I² = B₁I’².

En joignant O à I et I’, on construit les droites (d) et (d’) cherchées.

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Une solution

En menant, à partir d'un point A₁ situé sur (d₁), une droite (Δ) parallèle à (d’), on trouve une solution au problème.

De même, ci-contre, une parallèle (Δ) à (d) donne une autre solution du problème.

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Une autre solution

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Défi collège

Défi proposé par Serge Parpay

Soit les deux angles XÔY et xÎy aux côtés respectivement parallèles.
Construire une droite (D) coupant [OX) en A, [OY) en B, [Ix) en a et [Iy) en b telle que Aa = Bb.

Angles droits

Défi collège 1

Avec GéoPlan, déplacer les points A ou a pour trouver la solution.

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Solution

Avec GéoPlan, taper S pour la solution.

Angles aigus

Défi collège 2

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Solution

6. Tourniquette

Figures de Thompsen

Tourniquette : ligne brisée formée par une suite de segments deux à deux parallèles tracés sur une figure comme un polygone ou une conique. Ces figures de Thompsen sont des problèmes intéressants de clôture : le tourniquet peut-il être infini ou se ferme-t'il ? Si oui, au bout de combien de tours ?

a. Triangle

Soit ABC un triangle et M₁ un point de [AB].
On effectue la construction suivante :
M₂ point de [AC] tel que (M₁M₂) // (BC),
M₃ point de [BC] tel que (M₂M₃) // (AB),
M₄ point de [AB] tel que (M₃M₄) // (AC),
M₅ sur [AC] …
M₆ sur [BC] …
La tourniquette se referme en deux tours et M₇ = M₁.

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b. Quadrilatère

La tourniquette se referme en un tour et M₅ = M₁ ;
la figure M₁M₂M₃M₄ est un parallélogramme.

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c. Pentagone

(M₁M₂) // (AC), (M₂M₃) // (BD), (M₃M₄) // (CE) …
La tourniquette se referme en deux tours : M₁₁ = M₁.

Pour d'autres polygones, en déduire une conjecture suivant la parité du nombre de côtés.

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d. Cercle

On choisit sur un cercle quatre points distincts M₁, M₂, M₃ et M₄.

On construit les deux points M₅ et M₆ tels que :
M₅ point du cercle tel que (M₄M₅) // (M₁M₂),
M₆ point du cercle tel que (M₅M₆) // (M₂M₃).

(M₆M₁) // (M₃M₄) : la tourniquette se referme et M₇ = M₁.
La figure M₁M₂M₃M₄M₅M₆ est un hexagone aux côtés deux à deux parallèles.

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Technique GéoPlan

Pour les polygones les figures utilisent le prototype :

M2 point parallèle M1, A, C, B

qui permet de calculer le point M₂ intersection de la parallèle à (AC) passant par M₁ et de la droite (CB).

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Voir aussi tourniquette sur une conique : parabole

Activité B2i

Domaine B2i

Item lycée validable

Exercices en 2^nde

1 – S'approprier un environnement informatique de travail.

1.1 – Je sais m'identifier sur un réseau ou un site et mettre fin à cette identification.

1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail.

3 – Créer, produire, traiter, exploiter des données.

3.6 – Je sais utiliser un outil de simulation (ou de modélisation) en étant conscient de ses limites (le logiciel ne fournit pas de conditions nécessaires pour l'existence d'une solution dans laquelle les droites ne sont pas parallèles).

Avec GéoPlan
en seconde

Angles
Rotations

Angles
Trigonométrie

GéoPlan 2^nde
Triangles

GéoPlan 2^nde
Triangles rectangles

L'APMEP et GéoPlan