DéfinitionsDeux vecteurs de l'espace pouvant toujours être placés dans un même plan, les définitions du produit scalaire dans l'espace sont équivalentes à celles données en 1S pour le produit scalaire dans le plan. Définition 1 (carré des normes) si = , |||| = |||| = AB. On appelle produit scalaire de deux vecteurs le nombre : . = [ || + ||2 - ||||2 - ||||2 ]. Définition 3 (expression trigonométrique) . = |||| × |||| × cos θ, où θ est l'angle (, ) formé par les directions des vecteurs. Définition 4 (expression analytique dans l'espace) Si dans un repère orthonormal (O, , , ), et ont pour coordonnées respectives (x, y, z) et (x’, y’, z’), alors . = xx’ + yy’ + zz’. Définition simple et calculs faciles. On retrouve xx’ + yy’ + zz’= 0 pour les vecteurs orthogonaux. Équation cartésienne d'un planLe plan passant par un point A et de vecteur normal est l'ensemble des points M tels que . = 0. Dans un repère orthonormal un plan (p) a une équation de la forme ax + by + cz = d où les réels a, b, c ne sont pas simultanément tous nuls. En effet, si M a pour coordonnées (x, y, z), A(x0, y0, z0) et (a, b, c), alors (x-x0, y-y0, z-z0) et . = a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0). 1. Tétraèdre : arêtes égalesSoit ABCD un tétraèdre et I, J, K et L les milieux de [BC], [BD], [CA] et [DA]. 1. Exprimer et en fonction de et . Remarque : décomposer en une somme de deux vecteurs et utiliser le théorème des milieux. 2. Calculer le produit scalaire . . 3. Montrer que les droites (LI) et (KJ) sont orthogonales si et seulement si :
Télécharger la figure GéoSpace tetra_1.g3w 2. Tétraèdre : arêtes orthogonalesRappel : forme vectorielle du « théorème de la médiane » Soit C et D deux points de l'espace et I le milieu de [CD]. En effet : +
= ( + )
+ ( + )
= 2 ExerciceBac S - Besançon 1989 On considère quatre points distincts A, B, C et D de l'espace. 1. Exprimer AC2 - AD2 et BC2 - BD2 sous la forme de produits scalaires. 2. Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont orthogonales si et seulement si : 3. Application : on suppose que le tétraèdre ABCD soit tel que les arêtes (AB) et (CD) soient orthogonales
ainsi que les arêtes (BC) et (AD). Montrer alors qu'il en est de même des arêtes (BD) et (AC). Télécharger la figure GéoSpace tet_ortho4.g3w 3. Plan et droite orthogonaux dans le cubeOn considère un cube ABCDEFGH, d'arête de longueur a (a réel strictement positif). Soit I le point d'intersection de la droite (EC) et du plan (AFH). Problème d'incidence Montrer que la droite (EC) est perpendiculaire au plan (AFH). Télécharger la figure GéoSpace cube3.g3w Produit scalaire Épreuve pratique 2007 - Terminale S - Sujet 023 – Calculer, en fonction de a, les produits scalaires suivants : ., ., . – En déduire que les vecteurs et sont orthogonaux, – Justifier le résultat suivant : les droites (EH) et (AF) sont orthogonales. – Établir de même que la droite (FI) est orthogonale à la droite (AH). – Que représente le point I pour le triangle AFH ? Solutions - Problème d'incidence La droite (HF) est orthogonale à (EC) : Les deux diagonales (HF) et (EG) du carré EFGH sont perpendiculaires. La droite (HF) perpendiculaire aux droites (EG) et (EA) du plan AEG est perpendiculaire à ce plan. On démontre de même que la droite (AF) est orthogonale à (EC) : en effet, (AF) est perpendiculaire à (BE) et à (BC). (AF) est donc perpendiculaire au plan EBC, et à la droite (EC) contenue dans ce plan. La droite (EC) orthogonale aux deux droites concourantes (HF) et (AF) du plan AFH est orthogonale à ce plan. Produit scalaire . = .(+) = − 2 + . = − a2+ 0 = − a2, car et sont orthogonaux, . = (++). = − a2 + a2 + 0 = 0, et sont orthogonaux. La droite (EH) perpendiculaire au plan AEF est orthogonale à la droite (AF) contenue dans ce plan. La droite (AF) perpendiculaire aux droites concourantes (EI) et (EH) est perpendiculaire au plan EHI contenant ces deux droites. Le point I intersection des hauteurs (HI) et (FI) du triangle AFH est l'orthocentre du triangle.
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