Exercices résolus en 1S par le calcul de produits scalaires : application à des triangles, trapèzes, carrés…
Sommaire1. Hauteur et médiane d'un triangle rectangle Exercices1. Droites perpendiculaires |
Exercices résolus par produit scalaireProduit scalaire dans l'espace Cercle d'Apollonius : lieux géométriques du triangle
Page no 45, réalisée le 16/6/2003, modifiée le 7/3/2010 | ||||
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Bulletin officiel spécial no 9 du 30 septembre 2010
L'outil nouveau est le produit scalaire, dont il importe que les élèves sachent choisir la forme la mieux adaptée au problème envisagé.
L'introduction de cette notion implique un travail sur le calcul vectoriel non repéré et la trigonométrie.
CONTENUS |
CAPACITÉS ATTENDUES |
COMMENTAIRES |
Produit scalaire dans le plan Définition, propriétés. Vecteur normal à une droite. Déterminer une équation cartésienne de droite connaissant un point et un vecteur normal. |
Calculer le produit scalaire de deux vecteurs par différentes méthodes : Déterminer un vecteur normal à une droite définie par une équation cartésienne. Déterminer une équation de cercle défini par son centre et son rayon ou par son diamètre. |
• Il est intéressant de démontrer l'égalité des expressions attachées à chacune de ces méthodes. • La démonstration du théorème de la médiane fournit l'occasion de travailler le calcul vectoriel en lien avec le produit scalaire La relation de Chasles pour les angles orientés est admise. |
DéfinitionsDéfinition 1 (projection orthogonale) Le produit scalaire de deux vecteurs et colinéaires est égal à AB × CD s'ils sont de même sens, et à - AB × CD s'ils sont de sens contraires. Sur la figure . = . = . = AB × C’D’ (car et sont de même sens). Définition simple et intuitive, issue de l'expérience physique du travail d'une force. Il faut démontrer, ou admettre, que le produit scalaire est indépendant du choix des bipoints représentant les vecteurs. Télécharger la figure GéoPlan p_s_def.g2w Définition 2 (expression analytique dans le plan) Si dans un repère orthonormal (O, , ), et ont pour coordonnées respectives (x, y) et (x’, y’), alors . = xx’ + yy’. Définition simple et calculs faciles. On retrouve xx’ + yy’ = 0 pour les vecteurs orthogonaux. Définition 3 (expression trigonométrique à l'aide des normes et d'un angle) si = , |||| = |||| = AB. . = |||| × |||| × cos θ, où θ est l'angle (, ) formé par les directions des vecteurs. Sur la figure, en choisissant deux vecteurs de même origine O : Si - < θ < , . = . = OM × OH, Définition 4 (carré des normes) si = , |||| = |||| = AB. On appelle produit scalaire de deux vecteurs le nombre : . = [ || + ||2 - ||||2 - ||||2 ]. . se note 2 = ||||2 et si = , alors 2 = 2 = ||||2 = AB2. Définition un peu délicate du produit scalaire comme forme bilinéaire symétrique définie positive. Remarque : il est intéressant de faire le lien entre ces quatre définitions Règles de Calcul Commutativité : . = .. Les propriétés de bilinéarité suivantes sont valables : Orthogonalité Si deux vecteurs sont perpendiculaires entre eux, le produit scalaire est nul. 1. Projections de la hauteur et médiane d'un triangle rectangleLe triangle OAB est rectangle en O. (OI) est la médiane et (OH) la hauteur, issues de O. Le point H se projette orthogonalement en J et K sur les petits côtés du triangle. Montrer que les droites (OI) et (JK) sont orthogonales. Télécharger la figure GéoPlan p_s_tri.g2w Voir une recherche et deux démonstrations avec les angles et aussi par des relations de parallélisme et d'orthogonalité dans : orthogonalité dans un triangle rectangle. 2. La médiane de l'un est la hauteur de l'autreSoit A et B deux points sur la demi-droite (Ox). Sur la demi-droite (Oy) on place les points C et D tels que OC = OB et OD = OA. I est le milieu de [AC]. Montrer que la médiane (OI) du triangle OAC est la hauteur du triangle OBD. De même, la médiane (OJ) du triangle OBD est la hauteur du triangle OAC. Télécharger la figure GéoPlan med_haut.g2w Sommaire 3. Carré d'aire cinq fois plus petite… (Olympiades Nancy 2004)I, J, K et L sont les milieux des côtés d'un carré ABCD (longueur du côté AB = a). Montrer que la droite (IC) est perpendiculaire à (LB), Indications Montrer que le produit scalaire . est nul : Calculer la longueur PQ à l'aide du produit scalaire . en remarquant que est le projeté orthogonal de sur . Un découpage de ABCD permet de reconstituer 5 petits carrés en collant aux 4 trapèzes adjacents au carré central PQRS, 4 triangles rectangles : faire pivoter ces triangles par des rotations de 180° autour des milieux des côtés du grand carré. Droites orthogonales dans un carré, voir : angles - rotations Application : composer un carré avec cinq carrésProblème du carreleur : avec cinq carreaux de même taille, paver un grand carré. Disposer les cinq carrés autour du carré central PQRS en forme de croix suisse. Joindre A à B, B à C, C à D et D à A, on obtient un carré. Les quatre triangles rectangles AS’S1, BP’P1… sont, par symétries centrales de centres S’, P’…, égaux aux triangles DS’S, AP’P… En découpant les quatre triangles AS’S1… et en les portant, par des rotations de 180°, en DS’S… on obtient un carré ABCD, d'aire égale à 5 fois l'aire de PQRS. Puzzle 1 : avec les dix fragments issus de cinq carrés découpés, comme le carré ci-dessus à droite, on reconstitue le carré de gauche. Remarque 2 : en découpant le carré central en quatre triangles rectangles égaux à DS’S, les trapèzes autour en trois triangles et avec les quatre triangles dans les creux de la croix, on obtient un pavage du grand carré ABCD en 20 triangles rectangles. Télécharger la figure GéoPlan p_s_ca5.g2w Puzzle 2 : On aligne comme sur la figure ci-contre cinq carrés égaux. Reconstituer un carré. Télécharger la figure GéoPlan cinq_carre.g2w Sommaire 4. Dans la foulée : droites perpendiculairesM est un point variable de la diagonale [AC] d'un carré ABCD, distinct de A et C. Il se projette en P et Q sur les côtés [AB] et [BC] du carré. Montrer que la droite (DM) est perpendiculaire à (PQ).
Télécharger la figure GéoPlan p_s_ca2.g2w 5. Triangle rectangle isocèleM est un point
variable de la diagonale [AC] d'un carré ABCD, distinct de A et C. Si O est le milieu du carré, montrer que OPQ est un triangle rectangle isocèle. Indications Calculer le produit scalaire . : La rotation de centre O et d'angle , transforme les droites (AB) en (BC), (OP) en (OQ) ; leurs points d'intersection P en Q. Télécharger la figure GéoPlan p_s_ca3.g2w 6. Diagonales perpendiculaires d'unTrapèze rectangleRappel : Un trapèze rectangle est un trapèze qui possède un angle droit. Énoncé ABCD est un trapèze rectangle en A et D tel que la petite base AB = a, la grande base DC = 2a et la hauteur AD = h. Sachant que = + , Trouver la valeur h pour laquelle les diagonales [AC] et [BD] sont perpendiculaires. Modifier h avec les flèches du clavier. Indication La solution correspond à la valeur : h = a . Avec GéoPlan, taper S pour obtenir la figure exacte correspondant à cette Solution. Télécharger la figure GéoPlan trap_rec.g2w 7. Un curieux point de concoursOn projette orthogonalement les sommets d'un triangle ABC sur une droite d en A’, B’ et C’. Soit d1 la droite, passant par A’, perpendiculaire à (BC), Montrer que les droites d1, d2 et d3 sont concourantes. Méthode à mettre en œuvreLes droites d2 et d3 sont concourantes en K. Montrer que le produit scalaire des vecteurs . est nul en décomposant : Télécharger la figure GéoPlan pt_conco.g2w Sommaire 8. Hauteur d'un triangleCas particulier de l'exercice précédent, lorsque la droite (d) passe par un sommet du triangle On considère un triangle ABC et une droite (d) passant par C. Démontrer avec un calcul de produit scalaire que les droites (CM) et (AB) sont orthogonales : Par projection sur la droite (AC) : . = . et . = . d'où . = . Par projection sur la droite (d) : . = . donc . = . Par projection sur la droite (BC) : . = . et . = . d'où . = . Par projection sur la droite (d) : . = . donc . = . Soit . = . = . d'où . - . = 0 et ( - ). = ( + ). = . = 0. Le produit scalaire est nul, et les droites sont bien perpendiculaires. Lorsque la droite (d) tourne autour du point C, le point M décrit la hauteur du triangle ABC, issue de C, perpendiculaire à (AB). Télécharger la figure GéoPlan ps_hauteur.g2w 9. Quadrilatère inscriptible orthodiagonal - Cercle des huit pointsSoit (c) un cercle de centre O, de rayon r. Deux droites (d) et (d2) orthogonales pivotent autour du point F. Les points cocycliques A, B, C et D forment le quadrilatère orthodiagonal ABCD. Soit I, J, K, L les milieux des cordes [AB], [BC], [CD], [DA]. Le point G, centre de gravité de ABCD, est un point fixe : La somme FA2 + FB2 + FC2 + FD2 = 4r2 est indépendante de F. |
Soit Q le projeté orthogonal de F sur [CD]. . La médiane (FI) du triangle AFB est la hauteur (FQ) du triangle CFD. Voir : théorème de Brahmagupta : le cercle en seconde |
Le quadrilatère de Varignon IJKL est un rectangle de centre G. Télécharger la figure GéoPlan qua_ins2.g2w |
Cercle des huit points d'un quadrilatère orthodiagonal (dont les diagonales sont perpendiculaires). Soit I, J, K, L les milieux des cordes [AB], [BC], [CD], [DA] et R, S, P, Q les projetés orthogonaux de ces quatre milieux sur les cordes opposées. Les huit points I, J, K, L, P, Q, R, S appartiennent à un même cercle (fixe de centre G). |
Vérifier qu'il est encore vrai pour un quadrilatère orthodiagonal non convexe dont les diagonales sont perpendiculaires. Télécharger la figure GéoPlan cercle8p.g2w Sommaire |
Rectangle (cf. papier A4)ABCD est un rectangle de largeur AD = a et de longueur AB = a. Calculer le produit scalaire . dans le repère (A, , ) où I est le point de [AB] tel que AI = a. Télécharger la figure GéoPlan rectangle.g2w Triangle rectangle et isocèleSoit ABC un triangle rectangle isocèle en A. Démontrer que les droites (AK) et (JB) sont perpendiculaires. Télécharger la figure GéoPlan tr_rec_iso.g2w 2. Calculs d'anglesLes points I et J sont les milieux des côtés [AB] et [BC] d'un carré ABCD (où AB = a, a > 0). Télécharger la figure GéoPlan carre_1.g2w Le cerf-volant AICJLes points I et J sont les milieux des côtés [BC] et [CD] d'un carré ABCD (où AB = a, a > 0). Télécharger la figure GéoPlan carre_2.g2w Variante : calculer l'angle (, ). 3. TriangulationÀ partir de deux points, sur la côte [AB], on vise deux îlots C et D dont on veut calculer la distance. Les angles suivants ont été mesurés à partir de deux points A et B distants d'un kilomètre : Calculer les distances AC, AD et CD. 4. Équations de droites et cercles en géométrie analytiqueRappels de coursÉquation cartésienne d'une droite « Si (a, b) est un vecteur normal d'une droite
(d) passant par un point A, alors (d) est le lieu des points M(x, y) tels que . = 0 ; Application : équation de la médiatrice d'un segment [AB] ; droite passant par le milieu I de [AB], orthogonale au vecteur . Équation cartésienne d'un cercle « Le cercle de centre I(a, b) et de rayon r est l'ensemble des points M(x, y) tels que IM2 = r2 ». Application : soit (c) un cercle de centre I et A un point de (c). Pour la tangente en A au cercle (c), écrire l'équation de la droite passant par A, orthogonale au vecteur . TriangleDans un repère orthonormé, on donne les points : A(-1, 3) ; B(-2, 5) et C(1, 4). 1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle en A. Télécharger la figure GéoPlan tr_cer_cir.g2w Deux cerclesOn définit les cercles (c1) et (c2) par les équations suivantes : a) Déterminer les coordonnées des centres I1 et I2, les rayons r1 et r2 de ces deux cercles et les tracer. Télécharger la figure GéoPlan deux_cercles.g2w 5. Lieux de pointsSoit A et B deux points du plan tels que AB = 5 (l'unité est égale à 1 cm) et I est le milieu de [AB]. |
Dans un triangle ABC, on nomme H le pied de la hauteur, issue de A, et K le pied de la hauteur, issue de C. a) Prouver que . = . b) En déduire que le triangle ABC est rectangle en A, si et seulement si : BA2 = . c) La relation BA2 = BH × BC implique-t-elle que le triangle ABC soit rectangle en A ? | |
Le symétrique du point A par rapport à la perpendiculaire en B à (BC) fournit le contre-exemple de droite : et sont de sens contraires, le triangle ABC est obtus en B, ce n'est pas un triangle rectangle. |
Télécharger la figure GéoPlan tr_hautr.g2w
Soit ABC un triangle, I et J les milieux respectifs de [BC] et [AC]. En utilisant le théorème de la médiane, démontrer que : IndicationsD'après le théorème de la médiane, avec K milieu de [AB], on a : CA2 + CB2 = 2 CK2 + . Le triangle est alors dit « orthomédian » en A et B. Voir preuve - Classe de première : triangle |
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Les problèmes du BOA : rotation et produit scalaire |
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Orthogonalité : similitudes |
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Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec Internet Explorer et la version ActiveX de GéoPlan
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