Exercices résolus en 1S par le calcul de produits scalaires : application à des triangles, trapèzes, carrés…
Produit scalaire
DéfinitionsDéfinition 1 (carré des normes) si On appelle produit scalaire de deux vecteurs le nombre :
Définition un peu délicate du produit scalaire comme forme bilinéaire symétrique définie positive.
Le produit scalaire de deux vecteurs Sur la figure Définition simple et intuitive, issue de l'expérience physique du travail d'une force. Il faut démontrer, ou admettre, que le produit scalaire est indépendant du choix des bipoints représentant les vecteurs. Définition 3 (expression trigonométrique) si
Sur la figure de droite, en choisissant deux vecteurs de même origine O : Si -
Définition 4 (expression analytique dans le plan) Si dans un repère orthonormal (O, Définition simple et calculs faciles. On retrouve xx’ + yy’ = 0 pour les vecteurs orthogonaux. Règles de Calcul Commutativité : Les propriétés de bilinéarité suivantes sont valables : Orthogonalité Si deux vecteurs sont perpendiculaires entre eux, le produit scalaire est nul. Extrait du programme de géométrie de 1S et du document d'accompagnementProduit scalaire dans le plan ; définition, propriétés. Propriétés de bilinéarité, de symétrie et expression analytique dans un repère orthonormal. La définition attendue est soit celle utilisant la projection orthogonale, soit celle utilisant le cosinus, mais les deux formes doivent être connues. Applications du produit scalaire : projeté orthogonal d'un vecteur sur un axe; calculs de longueurs. Équation d'une droite à l'aide d'un vecteur normal, équation d'un cercle défini par son centre et son rayon ou par son diamètre. La plupart des résultats et applications cités par le programme dans ce paragraphe peuvent être démontrés à ce niveau Il n'y a pas à entreprendre en cours une étude systématique des différentes lignes de niveau. 1. Hauteur et médiane d'un triangle rectangle
(OI) est la médiane et (OH) la hauteur, issues de O. Le point H se projette orthogonalement en J et K sur les petits côtés du triangle. Montrer que les droites (OI) et (JK) sont orthogonales.
Sommaire 2. La médiane de l'un est la hauteur de l'autre
Sur la demi-droite (Oy) on place les points C et D tels que OC = OB et OD = OA. I est le milieu de [AC]. Montrer que la médiane (OI) du triangle OAC est la hauteur du triangle OBD. De même, la médiane (OJ) du triangle OBD est la hauteur du triangle OAC.
3. Carré d'aire cinq fois plus petite… (Olympiades Nancy 2004)
Montrer que la droite (IC) est perpendiculaire à (LB), Indications Montrer que le produit scalaire Calculer la longueur PQ à l'aide du produit scalaire Un découpage de ABCD permet de reconstituer 5 petits carrés en collant aux 4 trapèzes adjacents au carré central PQRS, 4 triangles rectangles : faire pivoter ces triangles par des rotations de 180° autour des milieux des côtés du grand carré. Droites orthogonales dans un carré, voir : angles - rotations Application : composer un carré de cinq carrés égaux
Disposer les cinq carrés autour du carré central PQRS en forme de croix suisse. Joindre A à B, B à C, C à D et D à A, on obtient un carré. Les quatre triangles rectangles AS’S1, BP’P1… sont, par symétries centrales de centres S’, P’…, égaux aux triangles DS’S, AP’P… En découpant les quatre triangles AS’S1… et en les portant, par des rotations de 180°, en DS’S… on obtient un carré ABCD, d'aire égale à 5 fois l'aire de PQRS. Puzzle 1 : avec les dix fragments issus de cinq carrés découpés, comme le carré ci-dessus à droite, on reconstitue le carré de gauche. Remarque 2 : en découpant le carré central en quatre triangles rectangles égaux à DS’S, les trapèzes autour en trois triangles et avec les quatre triangles dans les creux de la croix, on obtient un pavage du grand carré ABCD en 20 triangles rectangles.
Reconstituer un carré.
Sommaire 4. Dans la foulée : droites perpendiculaires
Il se projette en P et Q sur les côtés [AB] et [BC] du carré. Montrer que la droite (DM) est perpendiculaire à (PQ).
5. Triangle rectangle isocèle
Si O est le milieu du carré, montrer que OPQ est un triangle rectangle isocèle. Indications Calculer le produit scalaire La rotation de centre O et d'angle
6. Trapèze rectangle
Rappel : Un trapèze rectangle est un trapèze qui possède un angle droit. Énoncé ABCD est un trapèze rectangle en A et D tel que la petite base AB = a, la grande base DC = 2a et la hauteur AD = h. Sachant que Trouver la valeur h pour laquelle les diagonales [AC] et [BD] sont orthogonales. Indication La solution correspond à la valeur : h = a
7. Un curieux point de concours
Soit d1 la droite, passant par A’, perpendiculaire à (BC), Montrer que les droites d1, d2 et d3 sont concourantes. Méthode à mettre en œuvreLes droites d2 et d3 sont concourantes en K. Montrer que le produit scalaire des vecteurs
8. Hauteur d'un triangle
On considère un triangle ABC et une droite (d) passant par C. Démontrer avec un calcul de produit scalaire que les droites (CM) et (AB) sont orthogonales : Par projection sur la droite (AC) :
Par projection sur la droite (d) : Par projection sur la droite (BC) :
Par projection sur la droite (d) : Soit Le produit scalaire est nul, et les droites sont bien perpendiculaires. Lorsque la droite (d) tourne autour du point C, le point M décrit la hauteur du triangle ABC, issue de C, perpendiculaire à (AB).
9. Quadrilatère inscriptible orthodiagonal - Cercle des huit pointsSoit (c) un cercle de centre O, de rayon r. Deux droites (d) et (d2) orthogonales pivotent autour du point F. Les points cocycliques A, B, C et D forment le quadrilatère orthodiagonal ABCD. Soit I, J, K, L les milieux des cordes [AB], [BC], [CD], [DA] et R, S, P, Q les projetés orthogonaux de F sur ces cordes. Le point G, centre de gravité de ABCD, est un point fixe : La somme FA2 + FB2 + FC2 + FD2 = 4r2 est indépendante de F. |
= 
, ||
= 
[ ||
colinéaires est égal à AB × CD s'ils sont de même sens, et à - AB × CD s'ils sont de sens contraires.
= AB × C’D’ (car 
.
= 
= OM × OH = OM × ON × cos θ.
< θ < 
, 
), 
= AB, où x et y sont les coordonnées de 
Télécharger la 
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I,
J, K et L sont les milieux des côtés d'un carré ABCD (longueur du côté AB = a).
de l'aire de ABCD.
.
est nul :
).
+ 
).(
+ 
en remarquant que 
est le projeté orthogonal de 
Problème du carreleur : avec cinq carreaux de céramique, paver un grand carré.
.
:
).(
) = 
) + 0.
= − 
= 
+ 
.
.
.
+ 
et 
.
= 
et 
= 
.
.
et
La médiane (FI) du triangle AFB est la hauteur (FQ) du triangle CFD. Voir : théorème de Brahmagupta : le cercle en seconde |
Le quadrilatère de Varignon IJKL est un rectangle de centre G.
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Cercle des huit points d'un quadrilatère orthodiagonal (dont les diagonales sont perpendiculaires).
Les huit points I, J, K, L, P, Q, R, S appartiennent à un même cercle (fixe de centre G). |
Vérifier qu'il est encore vrai pour un quadrilatère orthodiagonal non convexe dont les diagonales sont perpendiculaires.
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Sommaire
Faire de la géométrie dynamique
Exercices
1. Droites perpendiculaires
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.
dans le repère (A, 
, 
;
; et le milieu K de [IC].
, 
À partir de deux points, sur la côte [AB], on vise deux îlots C et D dont on veut calculer la distance.
(a, b) est un vecteur normal d'une droite
(d) passant par un point A, alors (d) est le lieu des points M(x, y) tels que 
= 0 ;
.
. 6. Hauteur d'un triangle
Dans un triangle ABC, on nomme H le pied de la hauteur, issue de A, et K le pied de la hauteur, issue de C. a) Prouver que b) En déduire que le triangle ABC est rectangle en A, si et seulement si : BA2 = c) La relation BA2 = BH × BC implique-t-elle que le triangle ABC soit rectangle en A ? |
 |
|
Le symétrique du point A par rapport à la perpendiculaire en B à (BC) fournit le contre-exemple de droite : |
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.
.
Télécharger la figure GéoPlan tr_hautr.g2w
7. Produit scalaire et théorème de la médiane
Soit ABC un triangle, I et J les milieux respectifs de [BC] et [AC]. En utilisant le théorème de la médiane, démontrer que : IndicationsD'après le théorème de la médiane, avec K milieu de [AB], on a :
CA2 + CB2 = 2 CK2 + Voir solution - Triangles orthomédians - Classe de première : triangle |
.