MIAM

Produit scalaire

Exercices résolus en 1S par le calcul de produits scalaires : application à des triangles, trapèzes, carrés…

Sommaire

1. Hauteur et médiane d'un triangle rectangle
2. La médiane de l'un est la hauteur de l'autre
3. Carré d'aire cinq fois plus petite…
4. Dans la foulée : droites perpendiculaires
5. Triangle rectangle isocèle
6. Trapèze rectangle
7. Un curieux point de concours
8. Hauteur d'un triangle
9. Quadrilatère inscriptible orthodiagonal

Exercices

1. Droites perpendiculaires
2. Calculs d'angles
3. Triangulation
4. Équations de cercles en géométrie analytique
5. Lieux de points
6. Hauteur d'un triangle
7. Produit scalaire et théorème de la médiane

Exercices résolus par produit scalaire

Produit scalaire dans l'espace

Cercle d'Apollonius : lieux géométriques du triangle
Retrouver un triangle à partir de droites remarquables
Retrouver un triangle à partir de centres ou de pieds
Les problèmes du BOA : triangles et produit scalaire

 

Page no 45, réalisée le 16/6/2003, modifiée le 7/3/2010

La géométrie dynamique

GéoPlan
Pythagore

GéoPlan
Thalès

Angles
Rotations

Angles
Trigonométrie

GéoPlan
Homothéties

 Extrait du programme de première S

Bulletin officiel spécial no 9 du 30 septembre 2010 

 L'outil nouveau est le produit scalaire, dont il importe que les élèves sachent choisir la forme la mieux adaptée au problème envisagé.
 L'introduction de cette notion implique un travail sur le calcul vectoriel non repéré et la trigonométrie.

CONTENUS

CAPACITÉS ATTENDUES

COMMENTAIRES

Produit scalaire dans le plan

Définition, propriétés.

Vecteur normal à une droite.

Déterminer une équation cartésienne de droite connaissant un point et un vecteur normal.

Calculer le produit scalaire de deux vecteurs par différentes méthodes :
- projection orthogonale ;
- analytiquement ;
- à l'aide des normes et d'un angle ;
- à l'aide des normes.
Choisir la méthode la plus adaptée en vue de la résolution d'un problème.

Déterminer un vecteur normal à une droite définie par une équation cartésienne.
Applications du produit scalaire :
calculs d'angles et de longueurs ; formules d'addition et de duplication des cosinus et sinus.

Déterminer une équation de cercle défini par son centre et son rayon ou par son diamètre.
• Démontrer que :
cos(a - b) = cos a cos b - sin a sin b

• Il est intéressant de démontrer l'égalité des expressions attachées à chacune de ces méthodes.

• La démonstration du théorème de la médiane fournit l'occasion de travailler le calcul vectoriel en lien avec le produit scalaire

La relation de Chasles pour les angles orientés est admise.

Définitions

Définition produit scalaire - projection orthogonaleDéfinition 1 (projection orthogonale)

Le produit scalaire de deux vecteurs vec(AB) et vec(CD) colinéaires est égal à AB × CD s'ils sont de même sens, et à - AB × CD s'ils sont de sens contraires.
Pour calculer le produit scalaire vec(AB).vec(CD), on peut remplacer le vecteur vec(CD) par sa projection orthogonale sur le vecteur vec(AB).

Sur la figure vec(u).vec(v) = vec(AB).vec(CD) = vec(AB).vec(C'D') = AB × C’D’ (car vec(AB) et vec(C'D') sont de même sens).

Définition simple et intuitive, issue de l'expérience physique du travail d'une force. Il faut démontrer, ou admettre, que le produit scalaire est indépendant du choix des bipoints représentant les vecteurs.

g2w Télécharger la figure GéoPlan p_s_def.g2w

Définition 2 (expression analytique dans le plan)

Si dans un repère orthonormal (O, vect(i), vect(j)), vec(u) et vec(v) ont pour coordonnées respectives (x, y) et (x’, y’), alors vec(u).vec(v) = xx’ + yy’.

Définition simple et calculs faciles. On retrouve xx’ + yy’ = 0 pour les vecteurs orthogonaux.
On retrouve aussi le calcul de distance de deux points
: ||vec(AB)|| = rac(x²+y²) = AB, où x et y sont les coordonnées de vec(AB).
Il faut admettre que le calcul du produit scalaire est indépendant du choix du repère
.

Définition 3 (expression trigonométrique à l'aide des normes et d'un angle)

si vec(u) = vec(AB), ||vec(u)|| = ||vec(AB)|| = AB.

vec(u).vec(v) = ||vec(u)|| × ||vec(v)|| × cos θ, où θ est l'angle (vec(u), vec(v)) formé par les directions des vecteurs.

Sur la figure, en choisissant deux vecteurs de même origine O :
vec(u).vec(v) = vect(OM).vect(ON) = vect(OM).vect(OH) = OM × OH = OM × ON × cos θ.

Si - pi/2 < θ < pi/2, vec(u).vec(v) = vect(OM).vect(OH) = OM × OH,
si pi/2 < |θ| < π, vec(u).vec(v) = vect(OM).vect(OH) = − OM × OH.

Définition 4 (carré des normes)

si vec(u) = vec(AB), ||vec(u)|| = ||vec(AB)|| = AB.

On appelle produit scalaire de deux vecteurs le nombre :

vec(u).vec(v) = 1/2 [ ||vec(u) + vec(v)||2 - ||vec(u)||2 - ||vec(v)||2 ].

vec(u).vec(u) se note vec(u)2 = ||vec(u)||2 et si vec(u) = vec(AB), alors vec(u)2 = vec(AB)2 = ||vec(AB)||2 = AB2.

Définition un peu délicate du produit scalaire comme forme bilinéaire symétrique définie positive.
Comme souvent avec les mathématiques modernes c'est simple, les calculs sont faciles, mais trop abstraits
.

Remarque : il est intéressant de faire le lien entre ces quatre définitions

Règles de Calcul

Commutativité : vec(u).vec(v) = vec(v).vec(u).

Les propriétés de bilinéarité suivantes sont valables :
distributivité : vec(u).(vec(v) + vec(v)’) = vec(u).vec(v) + vec(u).vec(v)’; (vec(u) + vec(u)’).vec(v) = vec(u).vec(v) + vec(u).vec(v),
Multiplication par un réel : (kvec(u)).vec(v) = k (vec(u).vec(v)) ; vec(u).(kvec(v)) = k (vec(u).vec(v)).

Orthogonalité

Si deux vecteurs sont perpendiculaires entre eux, le produit scalaire est nul.

1. Projections de la hauteur et médiane d'un triangle rectangle

Hauteur et médiane d'un triangle rectangleLe triangle OAB est rectangle en O.

(OI) est la médiane et (OH) la hauteur, issues de O.

Le point H se projette orthogonalement en J et K sur les petits côtés du triangle.

Montrer que les droites (OI) et (JK) sont orthogonales.

g2w Télécharger la figure GéoPlan p_s_tri.g2w
cabri Télécharger la figure Cabri p_s_triangle_rect.fig
GeoLabo Télécharger la figure GeoLabo p_s_triangle_rect.glb

Voir une recherche et deux démonstrations avec les angles et aussi par des relations de parallélisme et d'orthogonalité dans : orthogonalité dans un triangle rectangle.


2. La médiane de l'un est la hauteur de l'autre

Médiane de l'un, hauteur de l'autreSoit A et B deux points sur la demi-droite (Ox).

Sur la demi-droite (Oy) on place les points C et D tels que OC = OB et OD = OA.

I est le milieu de [AC].

Montrer que la médiane (OI) du triangle OAC est la hauteur du triangle OBD.

De même, la médiane (OJ) du triangle OBD est la hauteur du triangle OAC.

g2w Télécharger la figure GéoPlan med_haut.g2w
Voir : les problèmes du BOA
Homothéties au bac

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique


3. Carré d'aire cinq fois plus petite… (Olympiades Nancy 2004)

Carré d'aire cinq fois plus petite Carré de baseI, J, K et L sont les milieux des côtés d'un carré ABCD (longueur du côté AB = a).

Montrer que la droite (IC) est perpendiculaire à (LB),
calculer PQ en fonction de a,
justifier que PQRS est un carré,
montrer que son aire est égale à 1/5 de l'aire de ABCD.

Indications

Montrer que le produit scalaire vect(IC).vect(LB) est nul :
Méthode 1 : faire le calcul dans un repère en choisissant le repère canonique (A, vec(i), vec(j))
ou le repère (A, vec(AB), vec(AD)).
Méthode 2 : avec des relations de Chasles et la bilinéarité du produit scalaire calculer
(vect(IB) + vec(BC)).(vect(LA) + vec(AB)) en remarquant les deux produits scalaires nuls.

Calculer la longueur PQ à l'aide du produit scalaire vect(IC).vect(BJ) en remarquant que vect(PQ) est le projeté orthogonal de vect(BJ) sur vect(IC).

Un découpage de ABCD permet de reconstituer 5 petits carrés en collant aux 4 trapèzes adjacents au carré central PQRS, 4 triangles rectangles : faire pivoter ces triangles par des rotations de 180° autour des milieux des côtés du grand carré.

Droites orthogonales dans un carré, voir : angles - rotations
Olympiades académiques : Nancy 2004
Cas général : voir multiplication de l'aire d'un parallélogramme
g2w Télécharger les figures GéoPlan p_s_car.g2w, carre_3.g2w

Application : composer un carré avec cinq carrés

carré composé de cinq carrés égaux Carré de baseProblème du carreleur : avec cinq carreaux de même taille, paver un grand carré.

Disposer les cinq carrés autour du carré central PQRS en forme de croix suisse.

Joindre A à B, B à C, C à D et D à A, on obtient un carré.

Les quatre triangles rectangles AS’S1, BP’P1… sont, par symétries centrales de centres S’, P’…, égaux aux triangles DS’S, AP’P…

En découpant les quatre triangles AS’S1… et en les portant, par des rotations de 180°, en DS’S… on obtient un carré ABCD, d'aire égale à 5 fois l'aire de PQRS.

Puzzle 1 : avec les dix fragments issus de cinq carrés découpés, comme le carré ci-dessus à droite, on reconstitue le carré de gauche.

Remarque 2 : en découpant le carré central en quatre triangles rectangles égaux à DS’S, les trapèzes autour en trois triangles et avec les quatre triangles dans les creux de la croix, on obtient un pavage du grand carré ABCD en 20 triangles rectangles.

g2w Télécharger la figure GéoPlan p_s_ca5.g2w
Composer un carré de deux carrés de côtés a et b : carré au collège

Reconstituer un carréPuzzle 2 : On aligne comme sur la figure ci-contre cinq carrés égaux.

Reconstituer un carré.

g2w Télécharger la figure GéoPlan cinq_carre.g2w

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4. Dans la foulée : droites perpendiculaires

Droites perpendiculairesM est un point variable de la diagonale [AC] d'un carré ABCD, distinct de A et C.

Il se projette en P et Q sur les côtés [AB] et [BC] du carré.

Montrer que la droite (DM) est perpendiculaire à (PQ).

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan p_s_ca2.g2w


5. Triangle rectangle isocèle

Triangle rectangle isocèleM est un point variable de la diagonale [AC] d'un carré ABCD, distinct de A et C.
Il se projette en P et Q sur les côtés [AB] et [BC] du carré.

Si O est le milieu du carré, montrer que OPQ est un triangle rectangle isocèle.

Indications

Calculer le produit scalaire vect(OP).vect(OQ) :
vect(OP).vect(OQ) = (vect(OM) + vect(MP)).(vect(OM) + vect(MQ)) = vect(OM)2 + vect(OM).(vect(MQ) + vect(MP)) + vect(MP).vect(MQ) = vect(OM)2 + vect(OM).(vect(MB)) + 0.
Or le produit scalaire vect(OM).vect(MB) est égal au produit de vect(OM) par la projection de vect(MB) sur (OM)
soit vect(OM).vect(MO) = − vect(OM)2.
vect(OP).vect(OQ) = vect(OM)2 - vect(OM)2 = 0, l'angle PÔQ est droit.

La rotation de centre O et d'angle pi/2, transforme les droites (AB) en (BC), (OP) en (OQ) ; leurs points d'intersection P en Q.
Donc, OP = OQ et OPQ est rectangle isocèle en O.

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6. Diagonales perpendiculaires d'unTrapèze rectangle

Trapèze rectangle

Rappel : Un trapèze rectangle est un trapèze qui possède un angle droit.

Énoncé

ABCD est un trapèze rectangle en A et D tel que la petite base AB = a, la grande base DC = 2a et la hauteur AD = h.

Sachant que vect(BD) = vect(BA) + vect(AD),
calculer le produit scalaire vec(AC).vect(BD) en fonction de a et de h.

Trouver la valeur h pour laquelle les diagonales [AC] et [BD] sont perpendiculaires.

Recherche avec GéoPlan

Modifier h avec les flèches du clavier.

Indication

La solution correspond à la valeur : h = a rac(2). Avec GéoPlan, taper S pour obtenir la figure exacte correspondant à cette Solution.

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7. Un curieux point de concours

Un curieux point de concoursOn projette orthogonalement les sommets d'un triangle ABC sur une droite d en A’, B’ et C’.

Soit d1 la droite, passant par A’, perpendiculaire à (BC),
d2 la droite, passant par B’, perpendiculaire à (AC),
d3 la droite passant par C’, perpendiculaire à (AB).

Montrer que les droites d1, d2 et d3 sont concourantes.

Méthode à mettre en œuvre

Les droites d2 et d3 sont concourantes en K.

Montrer que le produit scalaire des vecteurs KA'.vect(BC) est nul en décomposant :
KA' = KC' + C'A' et vect(BC) = vect(BA) + vec(AC).
La droite (KA’) est orthogonale à (BC), c'est la droite d1 qui passe par K.

g2w Télécharger la figure GéoPlan pt_conco.g2w
Théorème de Ménélaüs : configurations fondamentales triangle
Démonstration comme point de concours de trois axes radicaux : géométrie du cercle

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Faire de la géométrie dynamique

8. Hauteur d'un triangle

Hauteur d'un triangleCas particulier de l'exercice précédent, lorsque la droite (d) passe par un sommet du triangle

On considère un triangle ABC et une droite (d) passant par C.
On désigne par H et K les projetés orthogonaux de A et B sur (d) et, par M le point d'intersection de la perpendiculaire menée de H à (BC) et de la perpendiculaire menée de K à (AC).

Démontrer avec un calcul de produit scalaire que les droites (CM) et (AB) sont orthogonales :

Par projection sur la droite (AC) :

vect(CA).vect(CK) = vect(CA).vec(CQ) et vect(CA).vect(CM) = vect(CA).vec(CQ) d'où vect(CA).vect(CM) = vect(CA).vect(CK)

Par projection sur la droite (d) : vect(CA).vect(CK) = vect(CH).vect(CK) donc vect(CA).vect(CM) = vect(CH).vect(CK)

Par projection sur la droite (BC) :

vec(CB).vect(CH) = vec(CB).vec(CP) et vec(CB).vect(CM) = vec(CB).vec(CP) d'où vec(CB).vect(CH) = vec(CB).vect(CM)

Par projection sur la droite (d) : vec(CB).vect(CH) = vect(CK). vect(CH) donc vec(CB).vect(CM) = vect(CH).vect(CK)

Soit vect(CH).vect(CK) = vec(CB).vect(CM) = vect(CA).vect(CM) d'où vec(CB).vect(CM) - vect(CA).vect(CM) = 0 et (vec(CB) - vect(CA)).vect(CM) = (vec(AC) + vec(CB)).vect(CM) = vec(AB).vect(CM) = 0.

Le produit scalaire est nul, et les droites sont bien perpendiculaires.

Lorsque la droite (d) tourne autour du point C, le point M décrit la hauteur du triangle ABC, issue de C, perpendiculaire à (AB).
Si la droite (d) est confondue avec un des côtés (AC) ou (BC) du triangle, le point M est l'orthocentre du triangle.

g2w Télécharger la figure GéoPlan ps_hauteur.g2w
Famille de cercle : GéoPlan en terminale S

9. Quadrilatère inscriptible orthodiagonal - Cercle des huit points

Soit (c) un cercle de centre O, de rayon r.
F un point à l'intérieur du cercle, distinct de O.

Deux droites (d) et (d2) orthogonales pivotent autour du point F.
La droite (d) coupe le cercle (c) en A et C, (d2) coupe (c) en B et D.

Les points cocycliques A, B, C et D forment le quadrilatère orthodiagonal ABCD.

Soit I, J, K, L les milieux des cordes [AB], [BC], [CD], [DA].

Le point G, centre de gravité de ABCD, est un point fixe :
soit M le milieu de [AC], N milieu de [BD]. G est le centre du rectangle OMFN. C'est donc le milieu de [OF].

La somme FA2 + FB2 + FC2 + FD2 = 4r2 est indépendante de F.
On a aussi : AB2 + CD2 = AD2 + CB2 = 4r2.

Soit Q le projeté orthogonal de F sur [CD].

.Quadrilatère inscriptible orthodiagonal

La médiane (FI) du triangle AFB est la hauteur (FQ) du triangle CFD.

Voir : théorème de Brahmagupta : le cercle en seconde
quadrilatère orthodiagonal
g2w Télécharger la figure GéoPlan qua_insc.g2w

Rectangle de Varignon

Le quadrilatère de Varignon IJKL est un rectangle de centre G.

g2w Télécharger la figure GéoPlan qua_ins2.g2w

Cercle des huit points d'un quadrilatère orthodiagonal (dont les diagonales sont perpendiculaires).

Soit I, J, K, L les milieux des cordes [AB], [BC], [CD], [DA] et R, S, P, Q les projetés orthogonaux de ces quatre milieux sur les cordes opposées.

Cercle des huit points d'un quadrilatère

Les huit points I, J, K, L, P, Q, R, S appartiennent à un même cercle (fixe de centre G).
Ce résultat reste vrai si ABCD n'est pas inscriptible.

Cercle des huit points d'un quadrilatère non convexe

Vérifier qu'il est encore vrai pour un quadrilatère orthodiagonal non convexe dont les diagonales sont perpendiculaires.

g2w Télécharger la figure GéoPlan cercle8p.g2w
cabri Télécharger la figure Cabri cercle_8_points.fig
GeoLabo Télécharger la figure GeoLabo cercle_8_points.glb

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Exercices

 1. Droites perpendiculaires

Droites perpendiculairesRectangle (cf. papier A4)

ABCD est un rectangle de largeur AD = a et de longueur AB = arac(2).
E est le milieu de [AB].
Que peut-on dire des droites (AC) et (DE) ?

Calculer le produit scalaire vec(AC).vec(DE) dans le repère (A, vec(AI), vec(AD)) où I est le point de [AB] tel que AI = a.

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Triangle rectangle et isocèleTriangle rectangle et isocèle

Soit ABC un triangle rectangle isocèle en A.
Soit le point I de [AB] tel que AI =AB/3 ;
le point J de [AC] tels que AJ = AC/3 ; et le milieu K de [IC].

Démontrer que les droites (AK) et (JB) sont perpendiculaires.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_rec_iso.g2w

2. Calculs d'angles

Calculs d'angleLes points I et J sont les milieux des côtés [AB] et [BC] d'un carré ABCD (où AB = a, a > 0).
On note θ l'angle (vect(AJ), vect(IC)). Donner une valeur exacte de cos θ, puis une valeur approchée de θ en degré à 0,1° près.

g2w Télécharger la figure GéoPlan carre_1.g2w

Cerf-volant AICJLe cerf-volant AICJ

Les points I et J sont les milieux des côtés [BC] et [CD] d'un carré ABCD (où AB = a, a > 0).
On note θ l'angle (vect(AI), vect(AJ)).
Donner une valeur exacte de cos θ, puis une valeur approchée de θ en degré à 0,1° près.

g2w Télécharger la figure GéoPlan carre_2.g2w

Variante : calculer l'angle (vect(AI), vec(AC)).

3. Triangulation

TriangulationÀ partir de deux points, sur la côte [AB], on vise deux îlots C et D dont on veut calculer la distance.

Les angles suivants ont été mesurés à partir de deux points A et B distants d'un kilomètre :
BÂC = 47°; DÂB = 113°; ABD = 39° et ABC = 95°.

Calculer les distances AC, AD et CD.


4. Équations de droites et cercles en géométrie analytique

Rappels de cours

Équation cartésienne d'une droite

« Si vec(n)(a, b) est un vecteur normal d'une droite (d) passant par un point A, alors (d) est le lieu des points M(x, y) tels que vec(n).vec(MA) = 0 ;
une équation de (d) s'écrit sous la forme ax + by + c = 0 ».
Réciproquement, si a et b sont deux réels non nuls, l'équation ax + by + c = 0 est l'équation d'une droite dont le vecteur vec(n) de coordonnées (a, b) est un vecteur normal.

Application : équation de la médiatrice d'un segment [AB] ; droite passant par le milieu I de [AB], orthogonale au vecteur vec(AB).

Équation cartésienne d'un cercle

« Le cercle de centre I(a, b) et de rayon r est l'ensemble des points M(x, y) tels que IM2 = r2 ».
Une équation de ce cercle est : (x - a)2 + (y - b)2 = r2 ; soit x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0.
Le cercle de diamètre [AB] est l'ensemble des points M du plan tels que : vec(MA).vec(MB) = 0 soit (x - xA) (x - xB) + (y - yA) (y - yB) = 0.

Application : soit (c) un cercle de centre I et A un point de (c). Pour la tangente en A au cercle (c), écrire l'équation de la droite passant par A, orthogonale au vecteur vec(IA).

Équations de droites en géométrie analytique Équations de cercles en géométrie analytiqueTriangle

Dans un repère orthonormé, on donne les points : A(-1, 3) ; B(-2, 5) et C(1, 4).

1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle en A.
2. Déterminer une équation du cercle circonscrit au triangle ABC.
3. Déterminer une équation de la médiatrice de [BC].

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_cer_cir.g2w

Deux cercles

On définit les cercles (c1) et (c2) par les équations suivantes :
(c1) : x2 + y2 + 6x + 6y - 7 = 0,
(c2) : x2 + y2 + x - 4y - 2 = 0.

a) Déterminer les coordonnées des centres I1 et I2, les rayons r1 et r2 de ces deux cercles et les tracer.
b) Quelles sont les coordonnées des points d'intersection I et J, de ces deux cercles.

g2w Télécharger la figure GéoPlan deux_cercles.g2w

5. Lieux de points

Soit A et B deux points du plan tels que AB = 5 (l'unité est égale à 1 cm) et I est le milieu de [AB].
a) Dire quel est l'ensemble (c1) des points M tels que vec(MA).vec(MB) = 0.
Construire (c1).
b) Dire quel est l'ensemble (d1) des points M tels que vec(AM) . vec(AB) = −10.
Construire (d1).
c) Dire quel est l'ensemble (d2) des points M tels que MA2 - MB2 = 10.
Construire (d2).
d) Dire quel est l'ensemble (d3) des points M tels que (vec(MA) + vec(MB)). vec(AB) = 0.
Construire (d3).
e) Dire quel est l'ensemble (c2) des points M tels que vec(MA).vec(MB) = −4.
Construire (c2).

 6. Hauteur d'un triangle

Dans un triangle ABC, on nomme H le pied de la hauteur, issue de A, et K le pied de la hauteur, issue de C.

a) Prouver que vec(BK).vec(BA) = vec(BH).vec(BC)

b) En déduire que le triangle ABC est rectangle en A, si et seulement si : BA2 = vec(BH).vec(BC)

c) La relation BA2 = BH × BC implique-t-elle que le triangle ABC soit rectangle en A ?
Construire un contre-exemple.

Hauteur d'un triangle

Hauteur d'un triangle - Analyse contre exemple

Le symétrique du point A par rapport à la perpendiculaire en B à (BC) fournit le contre-exemple de droite : vec(BH) et vec(BC) sont de sens contraires, le triangle ABC est obtus en B, ce n'est pas un triangle rectangle.

Hauteur d'un triangle - contre exemple

  g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_hautr.g2w

 7. Produit scalaire et théorème de la médiane

Soit ABC un triangle, I et J les milieux respectifs de [BC] et [AC].

En utilisant le théorème de la médiane, démontrer que :
les médianes (AI) et (BJ) sont perpendiculaires si, et seulement si, BC2 + AC2 = 5 AB2.

Indications

D'après le théorème de la médiane, avec K milieu de [AB], on a : CA2 + CB2 = 2 CK2 + AB^2/2.

Le triangle est alors dit « orthomédian » en A et B.

Voir preuve - Classe de première : triangle

 

Fonctions
distance

GéoPlan
Lieux géométriques

Les problèmes du BOA : rotation et produit scalaire

GéoPlan
Le barycentre

Orthogonalité : similitudes

géométrie dynamique
en première

Sommaire

1. Hauteur et médiane d'un triangle rectangle
2. La médiane de l'un est la hauteur de l'autre
3. Carré d'aire cinq fois plus petite…
4. Dans la foulée : droites perpendiculaires
5. Triangle rectangle isocèle
6. Trapèze rectangle
7. Un curieux point de concours
8. Hauteur d'un triangle
9. Quadrilatère inscriptible orthodiagonal

Exercices

1. Droites perpendiculaires
2. Calculs d'angles
3. Triangulation
4. Équations de cercles en géométrie analytique
5. Lieux de points
6. Hauteur d'un triangle
7. Produit scalaire et théorème de la médiane

g2w Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec Internet Explorer et la version ActiveX de GéoPlan

 

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