Géométrie dans l'espace en seconde

Sommaire

1. Règle d'incidence
2. Droites parallèles
3. Intersection de plans
4. Tétraèdre orthocentrique
5. Coin d'un cube
6. Tétraèdre et orthogonalité
7. Octaèdre
8. Solides de Platon
9. Tétraèdre tronqué
10. Section plane d'un cube

Sections planes d'un tétraèdre

Voir : GéoSpace

Sections planes d'un cube

Voir : GéoSpace en troisième
           GéoSpace

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Page n^o 63, réalisée le 21/2/2004 - mise à jour le 26/5/2007

…avec
GéoSpace

GéoSpace 2^nde
Intersection de plans

GéoSpace 3^e
Sections cube,
pyramide

GéoSpace
Activité

GéoSpace
Polyèdres

Faire de la géométrie
en seconde

Interactivité avec GéoSpace

Activez une figure en cliquant dessus… Elle devient interactive !
En double cliquant dessus, vous aurez les menus du logiciel GéoSpace.
Toutes les touches habituelles de déplacement, de zoom ou de commande sont disponibles.
Le clic droit glissé permet de faire tourner la figure.

Souvent mes exemples sont pilotables au clavier : cliquez sur la figure puis appuyez sur les flèches de déplacement pour mouvoir un point caractéristique.
En général, la touche W permet de revenir à la vue initiale et la touche F permet d'obtenir une vue de face.

Orthogonalité : définitions

Deux droites de l'espace sont perpendiculaires lorsqu'elles sont sécantes et forment un angle droit (dans le plan qui les contient toutes deux).

Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs parallèles respectives menées par un point quelconque de l'espace sont perpendiculaires.

Avec GéoSpace, créer une vue avec un plan de face contenant une des droites pour visualiser l'orthogonalité.

Théorème de la porte : une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes distinctes de ce plan.

Théorème : une droite perpendiculaire à deux droites sécantes distinctes d'un plan est orthogonale à ce plan (ces deux droites sont sécantes au point d'intersection de la droite orthogonale et du plan).

Propriété : une droite orthogonale à un plan est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

Remarque : pour démontrer que deux droites sont orthogonales, il suffit de démontrer que l'une appartient à un plan orthogonal à l'autre.

a. Tétraèdre ayant des hauteurs concourantes

Soit ABCD un tétraèdre non plat. On projette orthogonalement les sommets sur les faces opposées ; on obtient respectivement les points H, P, Q, R.

Si deux hauteurs (AH) et (BP) sont concourantes en I, alors les arêtes (AB) et (CD) sont orthogonales.

En effet, les droites (AP) et (BH) situées dans le plan (ABI) se coupent en A’. Comme (AP) est sur la face (ACD) et (BH) sur la face (BCD), le point A’ appartient à la droite (CD) intersection de ces deux plans

(AH) étant perpendiculaire au plan (BCD), le plan (ABA’) qui contient (AH) est perpendiculaire au plan (BCD).
De même, la droite (BP) étant perpendiculaire au plan (ACD), le plan (ABA’) qui contient (BP) est perpendiculaire au plan (ACD).

Le plan (ABA’), perpendiculaire aux deux plans (BCD) et (ACD) est perpendiculaire à leur intersection, la droite (CD). La droite (AB) contenue dans le plan (ABA’) est orthogonale à (CD).

Réciproquement, si les arêtes (AB) et (CD) sont orthogonales, alors les hauteurs (AH) et (BP) sont concourantes

En effet, le plan perpendiculaire à (CD) passant par A contient la droite (AB). Ce plan coupe (CD) en un point A’. Le plan (ABA’), perpendiculaire à la droite (CD), est perpendiculaire au plan (BCD) qui la contient.
La hauteur (AH) perpendiculaire à (BCD) est donc contenue dans le plan (ABA’).

De même, la hauteur (BP) est contenue dans le plan (ABA’) car cette droite et ce plan sont tous deux perpendiculaires au plan (ACD).

Les hauteurs (AH) et (BP) contenues dans le même plan (ABA’) sont concourantes (elles ne sont pas parallèles).

Par dualité, comme les arêtes (AB) et (CD) sont orthogonales, alors les hauteurs (CQ) et (DR) sont concourantes en J.

Le plan (CDJ) coupe la droite (AB) au point C’ qui est l'intersection des droites (CR) et (DQ).

Les plans (ABA’) et (CDC’) ont pour intersection la droite (A’C’) qui contient les points I et J.

La droite (A’C’) est perpendiculaire à (AB) car contenue dans le plan (CDC’) perpendiculaire à (AB). (A’C’) est une hauteur du triangle ABA’.
De même, la droite (A’C’) contenue dans le plan (ABA’), est perpendiculaire à (CD) et est une hauteur du triangle CDC’.

La droite (A’C’) est donc la perpendiculaire commune à (AB) et (CD), A’C’ est la plus courte distance de ces deux arêtes.

Les points I et J sont situés sur la perpendiculaire commune aux arêtes (AB) et (CD).

Le calcul du carré de l'hypoténuse dans les triangles rectangles CAA’ et DAA’ permet d'écrire : AA’² = CA² + CA’² = DA² + CA’².
De même, dans les triangles rectangles CBA’ et DBA’ on a :
BA’² = CB² + CA’² = DB² + DA’².
Par différence DA’² - CA’² = CA² - DA² = CB² - DB².

Relation métrique : CA² + DB² = CB² + DA².

Technique GéoSpace : Pour tracer un tétraèdre orthocentrique, placer trois points A, B et C libres de l'espace, et un point D libre sur la droite (d) intersection des plans orthogonaux à (AB) passant par C et à (BC) passant par A (la droite (d) est la perpendiculaire au plan (ABC) passant par l'orthocentre de ABC).

Télécharger la figure GéoSpace tet_ortho_2.g3w

Propriété caractéristique : un tétraèdre qui a deux couples d'arêtes opposées orthogonales est orthocentrique

Soit ABCD un tétraèdre dont les arêtes opposées [AB] et [CD] soient orthogonales ainsi que [BC] et [AD].

a. La hauteur (AH) est perpendiculaire au (BCD) donc orthogonale à la droite (CD) contenue dans ce plan. La droite (CD) est orthogonale à (AB) par hypothèse. Le plan (ABH), qui contient ces droites (AB) et (AH), est perpendiculaire à (BC). La droite (BH) contenue dans ce plan est perpendiculaire à (CD) : c'est une hauteur du triangle BCD.

b. De même, la droite (BC) est orthogonale à la hauteur (AH) et à (AD) par hypothèse, donc perpendiculaire au plan (ADH). La droite (DH) contenue dans ce plan est perpendiculaire à (BC) : c'est une deuxième hauteur du triangle BCD.
Le point H, situé sur deux hauteurs, est l'orthocentre du triangle BCD.
Le pied H de la hauteur (AH) du tétraèdre est l'orthocentre de la face (BCD).

c. Les quatre hauteurs du tétraèdre sont concourantes en G orthocentre du tétraèdre.

Les arêtes opposées [AB] et [CD] sont orthogonales, d'après le paragraphe a. les hauteurs (AH) et (BP) sont concourantes en I, et les hauteurs (CQ) et (DR) sont concourantes en J, I et J étant sur la perpendiculaire commune (A’C’).
Les arêtes opposées [BC] et [AD] sont orthogonales, les hauteurs (AH) et (DR) sont concourantes en K, le plan (ADH) contient les droites (AH) et (DR), les points I et J.

La droite (A’C’) n'est pas incluse dans le plan (ADH), l'intersection avec plan est réduite à un point G. Les points I et J, communs à (ADH) et à (A’C’) sont confondus en G.

Première réciproque : un tétraèdre qui a trois hauteurs concourantes est orthocentrique

Les hauteurs (AH), (BP) et (CQ) d'un tétraèdreABCD sont concourantes.
Montrer que le tétraèdre est orthocentrique.

Solution

Les deux hauteurs (AH) et (BP) sont concourantes en G, les arêtes (AB) et (CD) sont orthogonales.
Les deux hauteurs (AH) et (CQ) sont concourantes en G, les arêtes (AC) et (BD) sont orthogonales.
Deux couples d'arêtes opposées sont orthogonales. Le tétraèdre ABCD est orthocentrique.

Une démonstration identique montrerait que (CD) et (AB) sont orthogonales. Le tétraèdre ABCD est orthocentrique ; les arêtes (BD) et (AC) sont aussi orthogonales.

Avec GéoSpace, créer une vue avec le plan BCD de face pour visualiser ces orthogonalités.

Groupe orthocentrique

Les quatre sommets A, B, C, D, d'un tétraèdre orthocentrique, et l'orthocentre H forment un groupe orthocentrique de cinq points A, B, C, D, H, tels que la droite qui joint deux quelconques d'entre eux est orthogonale au plan des trois autres.

Voir : groupe orthocentrique dans le plan

Relation vectorielle

ABCD est un tétraèdre. On appelle I et J les milieux respectifs des arêtes [AB] et [CD].

Démontrer que + = + = 2 .

Cas particulier : tétraèdre régulier

ABCD est un tétraèdre dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux.
On appelle I et J les milieux respectifs des arêtes [AB] et [CD].
Démontrer que les arêtes opposées (celles qui ne se coupent pas) sont orthogonales.
Montrer que la droite (IJ) est la perpendiculaire commune aux droites (AB) et (CD).

Solution

Le fait que toutes les faces soient des triangles équilatéraux devant être utilisé, considérons le milieu J de [CD].
BCD est un triangle équilatéral, la médiane (BJ) est aussi hauteur, donc (BJ) est perpendiculaire à (CD).
De même, puisque le triangle ACD est équilatéral, la médiane (AJ) est perpendiculaire à (CD).
Le plan (ABJ) contient donc deux droites sécantes perpendiculaires à (CD) ; la droite (CD) est par conséquent orthogonale au plan (ABJ).
La droite (CD) est alors orthogonale à toutes les droites du plan (ABJ). Elle est en particulier
orthogonale à la droite (AB), contenue dans ce plan.

Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.
Une démonstration identique montrerait que (AD) et (BC), ainsi que (AC) et (BD) sont orthogonales.

Par ailleurs, la droite (CD), orthogonale à toutes les droites du plan (ABJ), est orthogonale à la droite (IJ) contenue dans ce plan : (CD) est perpendiculaire à (IJ).
Une étude analogue montrerait que la droite (AB) est orthogonale au plan (CDI) et quelle est donc orthogonale à la droite (IJ) contenue dans ce plan : (AB) est perpendiculaire à (IJ).
La droite (IJ) est la perpendiculaire commune aux droites (AB) et (CD).

Télécharger la figure GéoSpace tet_reg.g3w
Voir : l'île des mathématiques
Sommaire
Sections planes du tétraèdre : Avec GéoSpace

On appelle « coin de cube » le tétraèdre trirectangle ABCD formé par trois arêtes d'un cube concourantes en un sommet A, et des diagonales des faces du cube qui joignent les autres extrémités de ces arêtes.

Soit H le projeté orthogonal de A sur le plan (BCD). Montrer que H est l'orthocentre du triangle BCD.

(AD), perpendiculaire au plan (ABC), est orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à la droite (BC). Les arêtes opposées du coin de cube sont orthogonales. Le point A est l'orthocentre de ce tétraèdre orthocentrique.

BCD est un triangle équilatéral. Si I, J et K sont les milieux des côtés de triangle, IJK est aussi un triangle équilatéral et par exemple (JK) parallèle à (BC) est orthogonale à (AD).

Cliquer dans la figure et taper T pour visualiser le triangle IJK.

Télécharger la figure GéoSpace coin_cube.g3w

ABCD est un coin de cube de côté 4 cm et I le milieu de [BC]. (AH) est la hauteur abaissée sur la face (BCD).

Calculer la longueur AH en exprimant de deux façons le volume de la pyramide ABCD.

Cliquer dans la figure et taper F pour visualiser le plan (ADI) de face.

Télécharger la figure GéoSpace coin_cube_2.g3w

Calcul de la hauteur AH

Dans la troisième figure, ABCD est un coin de cube de côté a = 4 cm et I le milieu de [BC]. (AH) est la hauteur abaissée sur la face (BCD).

Méthode 1 : calculer la longueur AH en exprimant de deux façons le volume V de la pyramide ABCD.

La pyramide de base ABC et de sommet D. La base égale à la moitié du côté du cube est a² et la hauteur AD = a.
Le volume est : V = S_ABC × a = a³.

V est aussi le volume de la pyramide de base BCD et de hauteur AH :
BCD est un triangle équilatéral de côté la diagonale du carré a. La hauteur de ce triangle équilatéral est DI = BD = a.
S_BCD = BC × DI = a × a = a² .

V = S_BCD × AH = × a² × AH = a² × AH.

On obtient la longueur AH = a

Méthode 2 : calcul d'inverses de carrés

Dans le triangle ABC rectangle en A de hauteur (AI) exprimer de deux façons l'aire :
2 Aire(ABC) = AI × BC = AB × AC et BC² = AB² + AC²

D'où AI² = et

De même, dans le triangle AID rectangle en A de hauteur (AH) :

On trouve finalement

Dans le cas particulier AB = AC = AD = a on retrouve la longueur AH = a

Application : En exprimant de deux façons différentes le volume du tétraèdre montrer que

Aire²(BCD) = Aire²(ABC) + Aire²(ABD) + Aire²(ACD).

En classe de première, il est possible de généraliser avec un coin de pavé droit.

Sommaire
Voir aussi orthogonalité dans un cube : géométrie dans l'espace en TS et TES

b. Déterminer la distance entre les faces (ABE) et (CDF), c'est-à-dire la plus courte distance d'un point du plan (ABE) à un point du plan (CDF). (Olympiades académiques - Orléans-Tours - 2002)

On suppose que AB = 1.
En notant I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [CD], les segments [EI], [EJ], [FE] et [FJ] sont alors les hauteurs d'un triangle équilatéral de côté 1 : ils mesurent tous . Par suite, EIFJ est un losange.

Le losange est dans le plan médiateur des segments [AB] et [CD], la distance entre les deux plans (ABE) et (CDF) est aussi une hauteur h du losange.

Or les diagonales du losange mesurent IJ et EF = (c'est la diagonale du carré AECF) :
le losange a donc pour aire A = EF × IJ = EI × h, ce qui donne h = .

Télécharger les figures GéoSpace octaedre.g3w et octaedre_2.g3w

Octaèdre et tétraèdre régulier

Soit ABCD un tétraèdre régulier (chaque arête a même longueur)

Pour chaque arête, on joint son milieu avec tous les milieux des arêtes qui ne lui sont pas opposées (par exemple [AB] et [CD] sont des arêtes opposées).

La figure obtenue par cette construction est un octaèdre régulier.

Commande GéoSpace

Touche T : Afficher/Effacer le Tétraèdre

Télécharger la figure GéoSpace tet_octa.g3w

Octaèdre tronqué, voir : polyèdres

Le cube a six faces et huit sommets et l'octaèdre huit faces et six sommets.
En marquant les centres des faces d'un octaèdre régulier, nous obtenons un cube.
Cube et octaèdre sont en relation de dualité et cette relation est réciproque.

Le tétraèdre avec ses quatre faces, quatre sommets et six arêtes est son propre dual.

Le dodécaèdre a 20 sommets et les 12 faces sont des pentagones réguliers.
L'icosaèdre a 12 sommets et les 20 faces sont des triangles équilatéraux.
Le dodécaèdre et l'icosaèdre sont duaux l'un de l'autre.

Platon, philosophe grec (428 à 348 avant J.-C.), est le premier à démontrer qu'il n'existe pas d'autres solides réguliers dont les faces sont des figures équiangles et équilatères que ces cinq polyèdres (sous-entendu solide convexe, avec même répartition des faces en chaque sommet).

Icosaèdre

Télécharger la figure GéoSpace icosaedr.g3w

Patron d'un demi-dodécaèdre.

Télécharger la figure GéoPlan dodecaedre_patron.g2w

Dodécaèdre

Télécharger la figure GéoSpace dodecaed.g3w

Relation d'Euler ou théorème de Descartes-Euler

Pour un polyèdre convexe, on a la formule f + s = a + 2, où f est le nombre de faces, s le nombre de sommets et a le nombre d'arêtes.

Vérifier cette formule sur les solides de Platon, sur une « lanterne », sur le tétraèdre tronqué.

Voir : relations d'Euler

La version de Descartes

Dans un mémoire inédit, Descartes énonce le théorème suivant :
« L'angle droit étant pris pour unité, la somme des angles de toutes les faces d'un polyèdre convexe est égale à quatre fois le nombre de sommets diminué de 2 » 

L'aspect du théorème semble fort éloigné de la relation d'Euler. Elle lui est portant rigoureusement équivalente et Descartes, dans les applications qu'il en fait, passe assez naturellement de cette forme à celle d'Euler.

Preuve de l'équivalence :

Il faut se servir de la propriété de la somme des angles d'un polygone convexe : si le polygone convexe a n côtés, la somme des angles vaut 2(n - 2) droits. La somme de tous les angles sur toutes les faces est donc 4a - 4f droits (en effet, la somme des nombres de côtés de chaque face donne deux fois le nombre d'arêtes).
L'égalité de Descartes s'écrit donc 4a - 4f = 2(s - 2). Rigoureusement équivalente à s + f = a + 2.

9. Tétraèdre tronqué

Soit ABCD un tétraèdre régulier.

Sur chaque arête, placer les deux points situés au tiers et aux deux tiers du côté. Le solide ayant pour sommets ces douze points est un tétraèdre tronqué.

Cest un polyèdre semi-régulier dont quatre des huit faces sont des triangles équilatéraux, les autres faces étant quatre hexagones réguliers.

Le tétraèdre tronqué est un des13 solides d'Archimède.

Commande GéoSpace
Taper T pour afficher/effacer le tétraèdre

Télécharger la figure GéoSpace tet_tronque.g3w

10. Section plane d'un cube

ABCDEFGH est un cube de côté 4 cm. I est le milieu de la face BCGF et J celui de EFGH.

a. Calculer la longueur AI.

b. Trouver les traces du plan (AIJ) sur le cube.

Section plane : trouver le point K intersection de la droite (IJ) et du plan (ABC).
U étant le centre du carré ABCD, en étudiant le plan (UIJ) on remarque que K est le symétrique de U par rapport à (BC).
La droite (AK) coupe (BC) en P sommet de la section plane. L'intersection (PI) et de (FG) est le point Q. De même, la droite (QJ) coupe (EH) en R.

Le parallélogramme APQR est la section plane du plan (AIJ) sur le cube.

Commandes GéoSpace :
Touche F : vue de face du plan AIJ,
touche M : vue de face du plan IJU,
touche W : vue initiale.

Télécharger la figure GéoSpace sec_cube.g3w

Configurations fondamentales

GéoSpace 2^nde
Intersection de plans

GéoSpace 3^e
Sections cube,
pyramide

GéoSpace
Tétraèdre

GéoSpace
Activité

GéoSpace TS
Paraboloïde

Sommaire

1. Règle d'incidence
2. Droites parallèles
3. Intersection de plans
4. Tétraèdre orthocentrique
5. Coin d'un cube
6. Tétraèdre et orthogonalité
7. Octaèdre
8. Solides de Platon
9. Tétraèdre tronqué
10. Section plane d'un cube

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