Activités dans l'espace Travaux pratiques avec GéoSpace : droite parallèle à un plan, interaction de l'espace et du plan…

Faire de la géométrie dynamique

1. Droite parallèle à un plan

Groupe de proximité des professeurs de mathématiques d'Aix-en-Provence.

Exemple de résolution d'un problème en utilisant diverses méthodes :

• Méthodes géométriques et règles d'incidence,
• Méthode vectorielle
• Méthode analytique

Exercice

Solution

Méthodes géométriques et règles d'incidence

Méthode vectorielle

Utilisons comme dans la première méthode le point K tel que = = .

= + = = + .

Faire une introduction symbolique de pour trouver puis = −  :

= + ( - ) + = + - +

= - ( + ) = - = -

est parallèle au plan comme combinaison linéaire de deux vecteurs de ce plan ; la droite (HI) est bien parallèle au plan (EGJ).

Méthode analytique

Dans le repère (G, , ) soit le point P de coordonnées (, 0).

Le vecteur a pour coordonnées (- , 1) ; il est donc égal au vecteur donc à . On a donc = − + et on conclut comme ci-dessus.

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2. Intersection d'une droite et d'un tétraèdre

Sur la face (ABC) d'un tétraèdre ABCD, on place un point I.

Tracer le point d'intersection J de la droite (d) passant par I, parallèle à (AD) avec la face (BCD).

Cliquer dans la figure et taper S pour visualiser la solution.

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3. Intersection d'une droite et d'un cube

I et J sont deux points de la face (EFGH) d'un cube et K un point de la face (ABFE).

Par K passe la droite (d) parallèle à (IJ).

Trouver une construction du point L intersection de la droite (d) et du plan (ABF).

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4. Utilisation de l'espace dans la résolution d'un problème plan

Activités en première
Groupe géométrie de l'IREM de Bordeaux
Bulletin inter IREM 1986

Exercice

Étant donné dans un plan trois droites (d₁), (d₂), (d₃) distinctes et concourantes en O et trois points A, B, C distincts n'appartenant pas à ces droites, construire un triangle MNP tel que chaque côté contienne un des trois points et que chaque sommet soit sur une des trois droites.

Solution

La figure ci-contre peut-être considérée comme la représentation d'un trièdre de sommet O et d'arêtes (d₁), (d₂), (d₃). Les points A, B, C appartenant respectivement aux plans (d₁, d₂), (d₂, d₃), (d₁, d₃). La construction demandée revient à déterminer l'intersection du plan (ABC) et du trièdre (O, d₁, d₂, d₃).

G étant un point de (d₁), on trace (GA) qui coupe (d₂) en H, puis (HB) qui coupe (d₃) en K.
Les points A et B situés sur les droites (GH) et (KH) appartiennent au plan (GHK), ainsi que la droite (AB). Les droites (AB) et (GK) du plan (GHK) se coupent en I.
Les points G et K situés sur les droites (d₁) et (d₃) appartiennent au plan (d₁, d₃), la droite (GK) est dans ce plan et en particulier le point I. Par hypothèse C aussi un point du plan (d₁, d₃), la droite (CI) située dans ce plan coupe (d₁) en M et coupe (d₃) en P, qui sont deux des sommets du triangle cherché. Le troisième sommet N sur (d₂) s'obtient en traçant (MA) et (PB).

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Voir Desargues : plan projectif

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5. Construction dans l'espace utilisant une configuration du plan

Groupe géométrie de l'IREM de Bordeaux
Bulletin inter IREM 1986

Exercice

Dans un plan (p), tracer la perpendiculaire à une droite (d) à partir d'un point A.

Solution

Dans une perspective cavalière, le plan (p) est figuré par l'image d'un rectangle sous forme d'un parallélogramme. Les côtés (Δ) et (Δ’) sont perpendiculaires.
On suppose que dans le plan (p) on connaît l'image de deux droites perpendiculaires (d₁) et (d₂), non parallèles à (Δ) et (Δ’), représentées en général par des segments non perpendiculaires.

La construction utilise les hauteurs et l'orthocentre d'un triangle.
On mène par le point A les parallèles à (Δ) et (d₁) qui coupent la droite (d) respectivement en B et C.
La parallèle à (Δ’) passant par C est une hauteur du triangle ABC, de même la parallèle à (d₂) passant par B. Ces deux hauteurs se coupent en H, orthocentre du triangle ABC. La droite (AH), troisième hauteur du triangle, est la perpendiculaire à (d) menée par A.

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6. Pyramide et tétraèdre

Travaux pratiques en première S
IREM de Strasbourg
Bulletin inter IREM 1986

Exercice

On dispose d'une pyramide à base carrée d'arêtes de longueur a et d'un tétraèdre régulier de même longueur d'arêtes. On colle ces deux solides en faisant coïncider deux de leurs faces triangulaires.
On obtient ainsi un nouveau polyèdre.

Combien a-t-il de faces ?
Quelle est la nature de ce polyèdre ?

Indications

Soit I et J les milieux des côtés [AB] et [CD] de la base (ABCD) de la pyramide SABCD de sommet S.
Montrer que le sommet O du tétraèdre OCDS appartient au plan médiateur (IJS) de la pyramide.
En déduire que IJOS est un parallélogramme ; O, S, A et D sont coplanaires ainsi que O, S, B et C.

Le polyèdre a cinq faces : trois losanges et les deux triangles équilatéraux SAB et ODC. C'est un prisme oblique.

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7. Les ambiguïtés de la perspective cavalière

IREM de Poitiers
Bulletin inter IREM 1986

Voir : perdu dans l'espace