Mathématique avec GéoSpace en TS - Sujets 2007 et 2008 de géométrie dans l'espace à l'épreuve pratique.
Sommaire200411. Plans perpendiculaires 200715. Distance de deux droites dans l'espace |
200829. Optimisation dans l'espace Page no 134, créée le 9/12/2008 | ||||
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Sujets ÉduSCOL 200411. Plans perpendiculairesÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2004 - Sujet 11 L'espace est rapporté à un repère orthonormal (O, , , ). • Soit P’ le plan d'équation x + 2y − z + 1 = 0 et M le point de coordonnées (0, 1, 1). Calculer les distances d et d’ du point M aux plans P et P’ respectivement. • Donner une représentation paramétrique de la droite D, intersection des plans P et P’. Déterminer les coordonnées du point H de D tel que la droite (MH) soit perpendiculaire à la droite D. Vérifier que MH2 = d2 + d’2. Télécharger la figure GéoSpace plans_perpendiculaires.g3w Indications GéoSpace permet de faire la figure et de réaliser des calculs. En plaçant le point B de coordonnées (0, 1, 2), le plan P est alors orthogonal au vecteur et a pour équation −x + y + z = 0. Les équations paramétriques de la droite D sont : x = k, y = −, z = k +. 24. TétraèdreÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2004 - Sujet 24 L'espace est rapporté à un repère orthonormal (O ; , , ). On considère les points A, B, C et S de coordonnées respectives : A(−1, 0, 1) ; B(1, 4, −1) ; C(3, −4, −3) ; S(4, 0, 4) 1. Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle en A. 2. a) Montrer que le vecteur est orthogonal aux vecteurs et . 3. a) Démontrer que le point O est le barycentre des points A, B, C, affectés de coefficients que l'on déterminera. b) En déduire que le point O est situé dans le triangle ABC. 4. Calculer le volume V du tétraèdre SABC. Télécharger la figure GéoSpace tetraedre.g3w Indications (2, 4, −2) ; (4, −4, −4) : . = 2 × 4 + 4 × (−4) + (−2) × (−4) = 0. Le produit scalaire est nul, les vecteurs sont orthogonaux. Le triangle ABC est un triangle rectangle en A. (4, 0, 4) : . = 0 ; . = 0. , orthogonal aux vecteurs et , est orthogonal au plan (ABC). 4 + + = , O est le barycentre de (A, 4) ; (B, 1) ; (C, 1). Les coefficients sont positifs, O est à l'intérieur du triangle. OS est une hauteur du tétraèdre. V = s(ABC) × OS = AB × AC × OS = 32. Sommaire Sujets ÉduSCOL 200715. Perpendiculaire commune à deux droitesÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2007 - Sujet 015 Situation On définit, dans l'espace, deux droites particulières (d1) et (d2) non coplanaires. Télécharger la figure GéoSpace dist_2_droites.g3w Déplacer avec GéoSpace les points M et N afin de déterminer le minimum de la distance MN. Commandes GéoSpace Déplacer les droites (d1) et (d2) en cliquant sur les extrémités des segments les représentant. Fiche élève
Indications = + + = − t + + k avec (3 ; 3 ; 0), (3 ; 1 ; 1) et (−2 ; 2 ; 0), MN est minimal si −3t + 3 −2k = 0 et −3t + 1 + 2k = 0. Ce système admet la solution t = et k = correspondant aux points M(0 ; 0 ; 0) et N(0 ; 0 ; 1). MN = 1 et (0 ; 0 ; 1) est orthogonal à et ; la droite (MN) est la perpendiculaire commune à (AB) et (CD). Télécharger la figure GéoSpace dist_2_droites4.g3w Commentaires : les droites sont deux diagonales de faces d'un parallélépipède rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes. Ces calculs sont un peu compliqués en regard de la facilité des droites données. Et encore, le texte original proposait O comme point A et le point de coordonnées (0 ; 0 ; 1) pour D : Quelle note mériterait l'élève qui, sans calcul, remarquerait que les deux droites sont contenues dans les plans d'équations z = 0 et z =1 ; OD =1, étant égal à distance des deux plans, est la distance minimale entre les deux droites ? Télécharger la figure GéoSpace dist_2_droites4.g3w Tracé de la perpendiculaire commune à deux droites(d1) et (d2) étant deux droites non coplanaires de l'espace, il existe une droite et une seule, perpendiculaire à ces deux droites. Pour la construire, la méthode consiste à choisir un point A sur (d1) et à tracer une droite (d3) parallèle à (d2) passant par A. Les droites (d1) et (d3) déterminent un plan (p) contenant A. Commandes GéoSpace Télécharger la figure GéoSpace dist_2_droites2.g3w Compétences évaluées Compétences mathématiques 19. Problème de BergsonSoit ABCDEFGH un cube. On choisit le repère orthonormal (D ; , , ) avec = , = et = . Déterminer les coordonnées des points I, K, M. Montrer que les six points I, J, K, L, M et N sont coplanaires, dans un plan que l'on notera (P) (on donnera une équation du plan (P) dans le repère choisi). Montrer que les projetés orthogonaux des points I, J, K, L, M et N sur la droite (DF) sont confondus en un même point. On appellera O ce point. Montrer que IJKLMN est un hexagone inscriptible dans un cercle dont on précisera le centre et le rayon et montrer que tous ses côtés ont même longueur. On considère la pyramide ayant pour base cet hexagone et pour sommet le point F. Indications Les coordonnées des milieux sont I(1, , 0) ; K(0, 1, ) et M(, 0, 1). L'aire de l'hexagone formé de six triangles équilatéraux de côtés est Sbase = 6 × . Télécharger les figures GéoSpace cub_berg.g3w, pyr_berg.g3w 23. Orthogonalité dans le cubea. Plan et droite orthogonaux dans le cubeOn considère un cube ABCDEFGH, d'arête de longueur a (a réel strictement positif).Soit I le point d'intersection de la droite (EC) et du plan (AFH). Problème d'incidence Montrer que la droite (EC) est perpendiculaire au plan (AFH). Produit scalaire ÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2004 - Sujet 23 1. Calculer, en fonction de a, les produits scalaires suivants : ., ., . 2. En déduire que les vecteurs et sont orthogonaux. 3. En déduire que le point I est le projeté orthogonal de E sur le plan (AFH). 4. Justifier les résultats suivants : les droites (AF) et (EH) sont orthogonales, ainsi que les droites (AF) et (EI). 5. Que représente le point I pour le triangle AFH ? Télécharger la figure GéoSpace cube3.g3w Solutions - Problème d'incidence La droite (HF) est orthogonale à (EC) : Les deux diagonales (HF) et (EG) du carré EFGH sont perpendiculaires. La droite (HF) perpendiculaire aux droites (EG) et (EA) du plan AEG est perpendiculaire à ce plan. On démontre, de même, que la droite (AF) est orthogonale à (EC) : en effet, (AF) est perpendiculaire à (BE) et à (BC). La droite (EC) orthogonale aux deux droites concourantes (HF) et (AF) du plan AFH est orthogonale à ce plan. Produit scalaire . = .(+) = − 2 + . = − a2+ 0 = − a2, car et sont orthogonaux, . = (++). = − a2 + a2 + 0 = 0, et sont orthogonaux. La droite (EH) perpendiculaire au plan AEF est orthogonale à la droite (AF) contenue dans ce plan. La droite (AF) perpendiculaire aux droites concourantes (EI) et (EH) est perpendiculaire au plan EHI contenant ces deux droites. Le point I intersection des hauteurs (HI) et (FI) du triangle AFH est l'orthocentre du triangle. Voir : produit scalaire dans l'espace |
Variante La droite (AF) perpendiculaire à deux côtés du triangle BCE est perpendiculaire au plan (BCE) et en particulier à la droite (EC). (EC) perpendiculaire aux deux droites concourantes (AF) et (FH) est perpendiculaire au plan (AFH). b. Généralisation(EC) grande diagonale du cube est orthogonale aux plans (AFH) et (BDG). Ces deux plans sont parallèles. Télécharger la figure GéoSpace cube2.g3w |
Brique de jus d'orange Jean Paul Guichard - Corol'aire 71 - décembre 2007 Pour lancer sa nouvelle marque de jus d'orange, un fabricant souhaite utiliser un emballage comme ci-dessus. Le solide peut être considéré comme un cube dont on a ôté deux coins en forme de tétraèdre. Quelle doit être, au mm près, la longueur de l'arête du cube pour que le volume de ce conditionnement soit d'un demi-litre ? Soit a cette longueur, les coins de cube ont pour volume , Pour un volume de 0,5 L, on trouve a = 9,1 cm arrondi au mm le plus proche. Télécharger la figure GéoSpace brique.g3w |
c. MilieuSi O est le milieu du carré ABCD, la droite (EO) rencontre le plan (AFH) au point K. Ce point est le milieu de [EO].
Indication Si O’ est le milieu du carré EFGH, dans le plan (EAC) K est le point d'intersection des diagonales du rectangle EAOO’. Télécharger la figure GéoSpace cube4.g3w Voir aussi coin de cube : cube en seconde Sommaire Descriptifs ÉduSCOL 200829. Optimisation dans l'espaceSituation Énoncé Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal (O ; , , ) on considère les points A(0, 6, 0), B(0, 0, 8), C(10, 0, 8). M est un point appartenant au segment [OB]. Le plan (Π) passant par M et orthogonal à la droite (OB) coupe la droite (AC) en P. Partie expérimentale 1. En utilisant un logiciel de géométrie, construire une figure traduisant l'énoncé. 2. On note respectivement N et Q les points d'intersection du plan (Π) avec les droites (OC) et (AB) et l'on admet que le quadrilatère MNPQ est un rectangle. En déplaçant le point M, émettre une conjecture quant à la position de ce point rendant maximale l'aire du rectangle. On note t l'abscisse de M dans le repère (O, ). Télécharger la figure GéoSpace optimisation_espace.g3w Démonstration Compétences évaluées
Compétences mathématiques
56. Angle maximumSituation Compétences évaluées
Compétences mathématiques
62. Tétraèdre trirectangleSituation Énoncé Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé d'origine O, on construit le tétraèdre
OABC avec : A(2, 0, 0), B(0, 2, 0) et C(0, 0, 2). Partie expérimentale 2. Conjecturer les positions du point M sur le segment [AB] pour lesquelles la longueur CH semble maximale, minimale. Compétences évaluées
Compétences mathématiques
72. Étude de deux lieux géométriquesSituation Énoncé On considère un tétraèdre ABCD et un point I quelconque du segment [AB]. Le plan parallèle au plan (BCD) passant par I coupe la droite (AC) en J et la droite (AD) en K. On désigne par L l'isobarycentre des trois points I, J et K. On considère le point H projeté orthogonal du point C sur la droite (BL). Le but de l'exercice est de déterminer le lieu géométrique du point L ainsi que celui du point H, lorsque le point I décrit le segment [AB]. Expérimentation Démonstrations Compétences évaluées
Compétences mathématiques
85. Étude d'une configuration de l'espaceSituation Compétences évaluées
Compétences mathématiques
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