Surfaces dans l'espace au lycée en spécialité de TS - Réalisation avec GéoSpace.
	Quadriques et GéoSpace	Faire de la géométrie dynamique

Les quadriques de l'espace sont des surfaces algébriques de degré 2. Elles possèdent beaucoup de propriétés analogues à celle des coniques.

L'équation réduite permet de classifier ces surfaces avec les paramètres a, b, c :

Ellipsoïde : x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1.
Paraboloïde elliptique (bol) : z = x²/a² + y²/b².
Paraboloïde hyperbolique (à selle) : z = x²/a² - y²/b² ; par un changement de variable, l'équation se transforme en z = xy.
Hyperboloïde à une nappe : x²/a² + y²/b² - z²/c² = 1.
Hyperboloïde à deux nappes : x²/a² + y²/b² - z²/c² + 1 = 0.
Cône basé sur une ellipse : x²/a² + y²/b² - z²/c² = 0.

Toutes ces surfaces, sauf le paraboloïde hyperbolique, seront étudiées ici comme engendrées par des solides de révolution avec a = b.
Le programme de spécialité de terminale S propose l'étude des paraboloïdes d'équations z = x² + y² et z = xy.
Les autres surfaces sont données à titre d'activités ou d'exercices.

1. Solides de révolution engendrés par des cercles

Paraboloïde elliptique (bol)

Le paraboloïde de révolution est la forme prise par la surface d'un liquide placé dans un cylindre d'axe vertical et animé d'une rotation rapide.

Conformément au programme de S, étudions le solide de révolution d'équation z = x² + y².

Pour une valeur positive fixée z₀, x² + y² = z₀ est l'équation d'un cercle c₀ de centre I₀(0 ; 0 ; z₀) et de rayon , contenu dans le plan P₀ d'équation z = z₀.

Quand on fait varier z₀, on obtient une succession de cercles qui « s'empilent » et engendrent ainsi une surface de révolution autour de l'axe oz.

Voici le programme GéoSpace permettant d'obtenir la figure de gauche engendrée par des cercles : z0 réel libre de [0,5]   Objet libre z0, paramètre: 3.6 P0 plan d'équation Z=z0 dans le repère Rxyz I0 point de coordonnées (0,0,z0) dans le repère Rxyz c0 cercle de centre I0 et de rayon rac(z0) dans le plan P0 (unité Uxyz) Objet libre actif au clavier: z0 Sélection pour trace: c0 Noms des points non affichés Il est aussi possible, comme ici à droite, de générer la figure par des paraboles isométriques contenues dans les plans P0 d'équation X=x0, parallèles au plan yoz. La parabole a pour équation z = y² + x0². Dans GéoSpace, il faut construire les trois points I0(x0, 0, 0) ; A(x0, 1, 0) ; B(x0, 0, 1) formant un repère I0AB du plan P0. Dans ce repère la parabole a pour équation Y = X² + x0².

Exemple de figure interactive sans utiliser le mode trace

Le diamètre du cercle est donné par la fonction f(z).
La borne de départ est a, la borne de fin est b ; z₀ est calculé pour 20 valeurs de [a, b].

Ellipsoïde

C'est une surface de l'espace, d'équation de la forme : x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1. Choisissons a = b = 1 et c = 2 pour étudier l'ellipsoïde de révolution d'équation : 4 x2 + 4 y2 + z2 = 4. Dans le programme GéoSpace précédent, modifier les deux lignes suivantes : z0 réel libre de [-2,2] … c0 cercle de centre I0 et de rayon rac(4-z0^2)/2 dans le plan P0 (unité Uxyz)

Télécharger la figure GéoSpace ellipsoi.g3w

Cône

C'est une surface de l'espace, d'équation de la forme : x2/a2 + y2/b2 = z2/c2. Choisissons a = b = c = 1 pour étudier le cône de révolution d'équation : x2 + y2 = z2. Dans le programme GéoSpace modifier les deux lignes suivantes : z0 réel libre de [-2,2] … c0 cercle de centre I0 et de rayon abs(z0) dans le plan P0 (unité Uxyz)

Télécharger la figure GéoSpace cone_rev.g3w
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2. Hyperboloïde

Ce sont des surfaces de l'espace du type :

Hyperboloïde à une nappe : x²/a² + y²/b² - z²/c² = 1 ; avec le cône asymptote « interne » d'équation x²/a² + y²/b² - z²/c² = 0.
Hyperboloïde à deux nappes : x²/a² + y²/b² - z²/c² + 1 = 0 ; avec le cône asymptote « externe » d'équation x²/a² + y²/b² - z²/c² = 0.

Choisissons a = b = 1 et c = 1 ou c = −1 pour étudier deux hyperboloïdes de révolution avec leurs cônes asymptotes d'équation x² + y² = z².

a. Génération par des cercles

b. Génération de l'hyperboloïde à une nappe par des droites

On se place dans le plan d'équation x = 1. L'intersection de l'hyperboloïde avec ce plan vérifie
y² - z² = 0, soit en factorisant (y - z) (y + z) = 0.
L'intersection est donc la réunion de deux droites génératrices :
(d) de couple d'équations {x = 1 ; y - z = 0} et (d’) de couple d'équations {x = 1 ; y + z = 0}.

Toute rotation d'axe Oz transforme les droites (d) et (d’) en deux génératrices de l'hyperboloïde.

Représentation dans le cube [-3, 3]³ avec GéoSpace :

La droite (d) passe le point A(1, 3, 3) situé sur le cercle c₀ du plan horizontal d'équation z = 3 et le point B(1, -3, -3) sur le cercle c₁ du plan horizontal d'équation z = −3.

Une rotation d'axe Oz, d'angle t radians, transforme A en C et B en D. La droite (CD) est une génératrice du solide.

Château d'eau des Pialoux (26 La Roche-de-Glun) : les directrices renforcent la solidité de l'édifice et permettent une construction plus économique avec des fers à béton rectilignes.

Remarque 1 :
pour l'hyperboloïde à une nappe, l'existence de ces génératrices assure en architecture la rigidité du solide permettant d'utiliser cette forme pour des châteaux d'eau ou des tours de refroidissement.

Remarque 2 :
dans le cas général avec le type x²/a² + y²/b² - z²/c² = 1 on se ramène à un solide de révolution x²/a² + y²/a² - z²/c² = 1 par une affinité de plan Oxz et de rapport b/a puis on fait une étude similaire en étudiant l'intersection avec le plan d'équation x = a².

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Figures interactives

Cliquer sur une figure.
Taper sur T pour activer le mode Trace,
faire varier z₀, avec les flèches du clavier,
taper éventuellement sur S pour Sortir du mode trace.

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3. Paraboloïde à selle :
Paraboloïde hyperbolique d'équation z = xy

Exemple de surface, du programme de spécialité de terminale S, qui n'est pas de révolution.

On utilise la méthode avec la construction d'une hyperbole (h₀) dans le plan P₀ d'équation z = z₀.

télécharger la figure GéoSpace par_xy.g3w
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Paraboloïde à selle ; figures interactives

Paraboloïde hyperbolique d'équation z = xy ; génération par des hyperboles

Cliquer sur la figure.
Taper sur T pour activer le mode Trace,
faire varier z₀, avec les flèches du clavier,
taper éventuellement sur S pour Sortir du mode trace.

Télécharger la figure GéoSpace par_xy.g3w

Exemples de représentations dans le cube [-5,5]³

Il est conventionnel de représenter les surfaces à l'intérieur d'un cube. Ici on choisit le demi-côté a = 5.

Comme ci-dessus taper sur T pour activer le mode Trace,
faire varier z₀, avec les flèches du clavier,
taper éventuellement sur S pour Sortir du mode trace.

Ci-dessous deux représentations permettant de visualiser les arcs d'hyperboles et les segments de droite contenus dans le paraboloïde.

Il possible de changer les vues :
Cliquer sur une figure,
maintenir le click droit appuyé et déplacer la souris pour faire tourner la figure.
Il est aussi possible d'utiliser les flèches du clavier en maintenant la touche MAJ enfoncée.

Génération du paraboloïde hyperbolique d'équation z = xy par des droites

Représentation dans le cube [-1, 1]³
L'intersection de la surface avec les faces latérales du cube est formée par les quatre diagonales des faces de ce cube.
Les droites joignant les points de mêmes abscisses situés sur les diagonales opposées sont des génératrices de la surface.

Cliquer sur une figure,
maintenir le click droit appuyé et déplacer la souris pour faire tourner la figure.

La recherche de l'intersection de la surface précédente, avec le plan d'équation x = 0, permet d'en déduire l'étude de la surface d'équation :

Télécharger la figure GéoSpace par_xy_2.g3w
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4. Paraboloïde hyperbolique d'équation x² + y + z = 0

Représentation dans le cube [-2,2]³

Cliquer sur la figure de droite,
taper sur T pour activer le mode trace et se déplacer avec les flèches du clavier,
taper éventuellement S pour Sortir du mode trace.

La symétrie par rapport au plan d'équation y = 0 permet de visualiser la surface d'équation :

z = y - x².

Télécharger la figure GéoSpace p_x2_y_z.g3w

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5. Surface d'équation z =

L'équation de cette surface peut aussi s'écrire sous la forme z² = xy et z ≥ 0.

Représentation dans le cube [0,5]³

Cliquer sur la figure de droite,
taper sur T pour activer le mode trace et créer les demi-paraboles avec les flèches du clavier,
taper éventuellement sur S pour Sortir du mode trace.

Télécharger la figure GéoSpace p_rac_xy.g3w