Géométrie dans l'espace au lycée avec GéoSpace : tétraèdre orthocentrique
Sommaire1. Orthogonalité : définitions | GéoSpaceSections planes d'un tétraèdre Sections planes du cube, du tétraèdre Page no 137, extraite de la page GéoSpace en seconde le 17/3/2009 | ||||
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Classes de seconde 1. Orthogonalité : définitionsDeux droites de l'espace sont perpendiculaires lorsqu'elles sont sécantes et forment un angle droit (dans le plan qui les contient toutes deux). Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs parallèles respectives menées par un point quelconque de l'espace sont perpendiculaires. Avec GéoSpace, créer une vue avec un plan de face contenant une des droites pour visualiser l'orthogonalité. Théorème de la porte Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes distinctes de ce plan. Truc du menuisier : la droite (d), perpendiculaire aux droites (d1) et (d2) sécantes en O, est perpendiculaire au plan (p). La porte (p1) tourne alors normalement autour de (d). Télécharger la figure GéoSpace thm_porte.g3w
Théorème : une droite perpendiculaire à deux droites sécantes distinctes d'un plan est orthogonale à ce plan (ces deux droites sont sécantes au point d'intersection de la droite orthogonale et du plan). Propriété : une droite orthogonale à un plan est orthogonale à toutes les droites de ce plan. Remarque : pour démontrer que deux droites sont orthogonales, il suffit de démontrer que l'une des droites appartient à un plan orthogonal à l'autre. |
Soit ABCD un tétraèdre non plat. On projette orthogonalement les sommets sur les faces opposées ;
on obtient respectivement les points H, P, Q, R.
Si deux hauteurs (AH) et (BP) sont concourantes en I, alors les arêtes (AB) et (CD) sont orthogonales. En effet, les droites (AP) et (BH) situées dans le plan (ABI) se coupent en A’. Comme (AP) est sur la face (ACD) et (BH) sur la face (BCD), le point A’ appartient à la droite (CD) intersection de ces deux plans (AH) étant perpendiculaire au plan (BCD), le plan (ABA’) qui contient (AH) est perpendiculaire au plan (BCD). Le plan (ABA’), perpendiculaire aux deux plans (BCD) et (ACD) est perpendiculaire à leur intersection, la droite (CD). La droite (AB) contenue dans le plan (ABA’) est orthogonale à (CD). Réciproquement, si les arêtes (AB) et (CD) sont orthogonales, alors les hauteurs (AH) et (BP) sont concourantes En effet, le plan perpendiculaire à (CD) passant par A contient la droite (AB). Ce plan coupe (CD) en un point A’. Le plan (ABA’), perpendiculaire à la droite (CD), est perpendiculaire au plan (BCD) qui la contient. De même, la hauteur (BP) est contenue dans le plan (ABA’) car cette droite et ce plan sont tous deux perpendiculaires au plan (ACD). Les hauteurs (AH) et (BP) contenues dans le même plan (ABA’) sont concourantes (elles ne sont pas parallèles). |
Par dualité, comme les arêtes (AB) et (CD) sont orthogonales, alors les hauteurs (CQ) et (DR) sont concourantes en J. Le plan (CDJ) coupe la droite (AB) au point C’ qui est l'intersection des droites (CR) et (DQ). Les plans (ABA’) et (CDC’) ont pour intersection la droite (A’C’) qui contient les points I et J. La droite (A’C’) est perpendiculaire à (AB) car contenue dans le plan (CDC’) perpendiculaire à (AB). (A’C’) est une hauteur du triangle ABA’. La droite (A’C’) est donc la perpendiculaire commune à (AB) et (CD), A’C’ est la plus courte distance de ces deux arêtes. Les points I et J sont situés sur la perpendiculaire commune aux arêtes (AB) et (CD). Le calcul du carré de l'hypoténuse dans les triangles rectangles CAA’ et DAA’ permet d'écrire : AA’2 = CA2 + CA’2 = DA2 + CA’2. Relation métrique : CA2 + DB2 = CB2 + DA2. |
Technique GéoSpace : A, B et C sont trois points libres de l'espace, D est un point libre dans le plan perpendiculaire à (AB) passant par C.
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3. Tétraèdre orthocentriqueDéfinition : un tétraèdre qui a ses quatre hauteurs concourantes est dit orthocentrique. Le point concours est alors l'orthocentre du tétraèdre. Propriétés : • Un tétraèdre orthocentrique a ses arêtes opposées orthogonales deux à deux. Le but de cette activité est de montrer qu'une des quatre propriétés suivantes est suffisante pour caractériser un tétraèdre orthocentrique : • Deux couples d'arêtes opposées sont orthogonales, Technique GéoSpace : Pour tracer un tétraèdre orthocentrique, placer trois points A, B et C libres de l'espace, et un point D libre sur la droite (d) intersection des plans orthogonaux à (AB) passant par C et à (BC) passant par A (la droite (d) est la perpendiculaire au plan (ABC) passant par l'orthocentre du triangle ABC). Télécharger la figure GéoSpace tet_ortho_2.g3w Propriété caractéristique : un tétraèdre qui a deux couples d'arêtes opposées orthogonales est orthocentriqueSoit ABCD un tétraèdre dont les arêtes opposées [AB] et [CD] soient orthogonales ainsi que [BC] et [AD]. a. La hauteur (AH) est perpendiculaire au (BCD) donc orthogonale à la droite (CD) contenue dans ce plan. La droite (CD) est orthogonale à (AB) par hypothèse. Le plan (ABH), qui contient ces droites (AB) et (AH), est perpendiculaire à (BC). La droite (BH) contenue dans ce plan est perpendiculaire à (CD) : c'est une hauteur du triangle BCD. b. De même, la droite (BC) est orthogonale à la hauteur (AH) et à (AD) par hypothèse, donc perpendiculaire au plan (ADH). La droite (DH) contenue dans ce plan est perpendiculaire à (BC) : c'est une deuxième hauteur du triangle BCD. c. Les quatre hauteurs du tétraèdre sont concourantes en G orthocentre du tétraèdre. Les arêtes opposées [AB] et [CD] sont orthogonales, d'après le paragraphe a. les hauteurs (AH) et (BP) sont concourantes en I, et les hauteurs (CQ) et (DR) sont concourantes en J, I et J étant sur la perpendiculaire commune (A’C’). La droite (A’C’) n'est pas incluse dans le plan (ADH), l'intersection avec plan est réduite à un point G. Les points I et J, communs à (ADH) et à (A’C’) sont confondus en G. Première réciproque : un tétraèdre qui a trois hauteurs concourantes est orthocentriqueLes hauteurs (AH), (BP) et (CQ) d'un tétraèdre ABCD sont concourantes. Solution Les deux hauteurs (AH) et (BP) sont concourantes en G, les arêtes (AB) et (CD) sont orthogonales. Deuxième réciproque : le pied d'une des hauteurs est l'orthocentre de la face opposéeSoit ABCD un tétraèdre, la projection orthogonale H du sommet A sur la face (BCD) est l'orthocentre H du triangle BCD. Montrer que la droite (BC) est orthogonale à (AH) et perpendiculaire à (HD), Télécharger la figure GéoSpace tet_ortho.g3w Solution La droite (AH), orthogonale au plan (BCD), est orthogonale à toutes les droites de ce plan donc à la droite (BC). Le plan (ADH) contient les droites (AH) et (DH). Ces deux droites distinctes et sécantes en H ne sont pas parallèles ; elles sont orthogonales à la droite (BC), donc la droite (BC) est orthogonale au plan (ADH). Les droites (BC) et (AD) sont orthogonales. Une démonstration identique montrerait que (CD) et (AB) sont orthogonales. Le tétraèdre ABCD est orthocentrique ; les arêtes (BD) et (AC) sont aussi orthogonales. Avec GéoSpace, créer une vue avec le plan BCD de face pour visualiser ces orthogonalités. Groupe orthocentriqueLes quatre sommets A, B, C, D, d'un tétraèdre orthocentrique, et l'orthocentre H forment un groupe orthocentrique de cinq points A, B, C, D, H, tels que la droite qui joint deux quelconques d'entre eux est orthogonale au plan des trois autres. Voir : groupe orthocentrique dans le plan Relations métriquesOn considère un tétraèdre orthocentrique ABCD. On appelle I, J, K, L, M et N les milieux respectifs des arêtes [AB], [CD], [BC], [AD], [AC] et [BD]. a. Déterminer la nature du quadrilatère IKJL. Indications a. IKJL est un rectangle. Voir réciproque en terminale S : produit scalaire dans l'espace Télécharger la figure GéoSpace tet_ortho_3.g3w Relation vectorielleABCD est un tétraèdre. On appelle I et J les milieux respectifs des arêtes [AB] et [CD]. Démontrer que + = + = 2 . 4. Cas particulier : tétraèdre régulierABCD est un tétraèdre dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux. Solution Le fait que toutes les faces soient des triangles équilatéraux devant être utilisé, considérons le milieu J de [CD]. Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales. Par ailleurs, la droite (CD), orthogonale à toutes les droites du plan (ABJ), est orthogonale à la droite (IJ) contenue dans ce plan : (CD) est perpendiculaire à (IJ). Télécharger la figure GéoSpace tet_reg.g3w |
Dans un plan (p) on considère
le triangle ABC rectangle en A. 1. Montrer que les faces du tétraèdre ABCD sont des triangles rectangles. 2. Montrer que les sommets du tétraèdre sont équidistants du milieu I de [CD]. Indications [AI] est la médiane issue du l'angle droit dans le triangle rectangle ADC, donc AI = CD/2, Télécharger la figure GéoSpace tet_droit.g3w 6. Tétraèdre tronquéSur chaque arête d'un tétraèdre régulier, placer les deux points situés au tiers et aux deux tiers du côté. |
Commande GéoSpace
Taper T pour afficher/effacer le tétraèdre.
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