Ac-aix-mrs
MIAM

Géométrie en troisième avec GéoSpace

Sections planes : cube, pyramide - Solide de révolution, solide composite.

Descartes
Faire de la géométrie dynamique

Sommaire

TP 1 : Sections planes d'un cube
TP 2 : Sections de pyramide

TP 3 : Tronc de pyramide - Solide composite
            Lanterne
TP 4 : Sections planes de solides de révolution

Si vous ne visualisez pas l'image dans le cadre ci-contre, les contrôles ActiveX du CREEM ne sont pas installés sur votre PC. Vous pouvez :

Page no 11, réalisée le 14/3/2001, mise à jour le 18/5/2005

…avec
GéoSpace

GéoSpace en 6e
Parallélépipède
Patrons

GéoSpace en 5e
Prisme
Cylindre

GéoSpace en 4e
Pyramide

GéoSpace en 2nde
Tétraèdre

Interactivité avec GéoSpace

Activez une figure en cliquant dessus… Elle devient interactive !
En double cliquant dessus, vous aurez les menus du logiciel GéoSpace.
Toutes les touches habituelles de déplacement, de zoom ou de commande sont disponibles.
Le clic droit glissé permet de faire tourner la figure.

Souvent les exemples sont pilotables au clavier : cliquez sur la figure puis appuyez sur les flèches de déplacement pour mouvoir un point caractéristique.
En général, la touche W permet de revenir à la vue initiale et la touche F permet d'obtenir une vue de face.

Travaux Pratiques 1
Sections planes d'un cube

« L'utilisation de l'informatique permet une vision dynamique de la figure. GéoSpace permet de faire tourner le cube et de mettre en évidence la section cherchée. La possibilité de placer un plan isolé de face permet de voir les sections planes en “vraie grandeur”.
Les commandes “dessin en bloc” facilitent la présentation par le professeur avec un rétroprojecteur. »

Exercice 1 : rectangle

Section du cube par un plan contenant une arête

Charger la figure GéoSpace cube.g3w.

Créer le point libre I, sur le segment (arête du cube) [BF].
Trouver le point J intersection du plan (ADI) avec la droite (CG).
Tracer les segments [AI], [IJ] et [JD] en tapant les noms des segments dans le menu : ligne > segment.

Figure GéoSpace :
cliquer dans la figure de gauche et déplacer le point I (avec la souris ou les flèches du clavier).

Quelle est la nature de la section du cube par le plan (ADI) ?

Taper V pour visualiser ce plan avec changement de vue ; touche W (ou ctrl + F1) pour revenir à la vue initiale.

g3w Télécharger la figure GéoSpace cube_se4.g3w

Dessiner la section plane du cube en vraie grandeur lorsque l'arête mesure 4 cm et FI = 1 cm.

Pour obtenir le segment [AI] en vraie grandeur taper sur la touche V ou choisir dans le menu, l'option vue standard Oxy pour faire apparaître la face ABFG.

Revenir ensuite à la vue initiale (touche W)

Section plane par un plan parallèle à la face ABCD.

La section est un carré.

Cliquer dans la figure et déplacer le point M

Touche 1 : afficher/masquer la section plane.

 

g3w Télécharger la figure GéoSpace secube1.g3w


Exercice 2 : rectangle - prismes - patrons

La section d'un cube par un plan parallèle une arête est un rectangle,
dans le cas où le plan est parallèle à une face, la section est un carré.

Les touche maj+N affiche ou masque le nom des points de la figure.
Le point M est libre dans [AE]. La touche M permet de le piloter au clavier via les touches fléchées.
Le point N est libre dans [CG]. La touche N permet de le piloter au clavier via les touches fléchées.

La touche A affiche ou masque le cube et la section par un plan parallèle à une arête.
La touche Q affiche ou masque le prisme ABNMDCOP.
La touche W affiche ou masque le patron du prisme ABNMDCOP.
La touche S affiche ou masque le prisme MNFEPOGH.
La touche X affiche ou masque le patron du prisme MNFEPOGH.
La touche C permet de piloter au clavier (via les touches fléchées) l'ouverture et la fermeture des patrons.

g3w Télécharger la figure GéoSpace secube2.g3w

Le point M est libre dans [AE].
La touche M permet de le piloter au clavier via les touches fléchées.
Le point N est libre dans [CG]. La touche N permet de le piloter au clavier via les touches fléchées.

La touche A affiche ou masque le cube et la section par un plan parallèle à une arête.
La touche Q affiche ou masque le prisme ABFNMDCGOP.
La touche W affiche ou masque le patron du prisme ABFNMDCGOP.
La touche S affiche ou masque le prisme MNEPOH.
La touche X affiche ou masque le patron du prisme MNEPOH.
La touche C permet de piloter au clavier (via les touches fléchées) l'ouverture et la fermeture des patrons.

g3w Télécharger la figure GéoSpace secube3.g3w

Figure 3 : trapéze

Section du cube par un plan contenant un sommet

I et J sont deux points des arêtes [EF] et [FG] du cube ABCDEFGH.

Construire la section du cube par le plan (AIJ).

Comme les faces (ABCD) et (EFGH) du cube sont parallèles, le plan (AIJ) coupe le plan (ABC) suivant une parallèle (d) à (IJ).

La droite (d) coupe (BC) en K.

Lorsque K est à l'intérieur du segment [BC], [AK] est la trace du plan (AIJ) sur la face (ABCD).
[AI] et [JK] sont les deux autres côtés de la section AIJK qui est un trapèze.

g3w Télécharger la figure GéoSpace cube_se2.g3w


Exercice 4 : parallélogramme ou pentagone

 

 

Charger la figure GéoSpace section.g3w du CREEM et déplacer le point I.

Pour créer une deuxième figure, charger la figure GéoSpace cube.g3w.

Créer les points libres I, J et K sur les segments [AB], [EF] et [HG] (arêtes du cube).Créer les points libres I, J et K sur les segments [AB], [EF] et [HG] (arêtes du cube).

Construction automatique avec GéoSpace

Avec l'option :
créer>plan>nommé défini par trois points
appeler P le plan (IJK).

Puis définir la section avec :
créer>ligne>polygone convexe>section d'un polyèdre par un plan

Construction des autres sommets de la section « à la main »

Trouver le point L intersection du plan (IJK) avec la droite (CD).
Tracer les segments [IJ], [JK], [KL] et [IL].

Déplacer les points I, J ou K avec le menu piloter au clavier et faire apparaître le plus explicitement possible le parallélogramme IJKL.

Dans le cas où le point L ne serait pas à l'intérieur du segment [CD], trouver l'intersection du plan (IJK) avec l'autre face du cube, par exemple avec la face ADHE si le point B est sur la droite (CD) du côté de D.

Trouver l'intersection M du plan (IJK) avec [AD] et N avec [DH]. Tracer le pentagone IJKNM.

En suivant les conseil du CREEM « cette méthode de construction permet de visualiser la section étudiée en déterminant ses sommets par intersections convenablement choisies entre le plan et les arêtes du cube, mais on ne peut pas obtenir, par cette méthode, toutes les sections possibles avec un seul polygone, car la section n'a pas toujours le même nombre de sommets. Autrement dit, ce ne sont pas les mêmes intersections qu'il faut construire dans tous les cas ».

La troisième figure montre comment le logiciel permet de tracer la figure dans tous cas possibles en utilisant l'intersection du cube avec le plan (IJK).
L'option « polygone convexe > intersection d'un polyèdre et d'un plan » se révèle donc ici particulièrement utile.

 

g3w Télécharger la figure GéoSpace cube_sec.g3w

Exemple 5 : trapèze ou pentagone

Refaire comme pour la figure précédente, mais avec le point K sur [FG].

Lorsque L est à l'extérieur du segment [BC], quelle est la nature du quadrilatère IJKL ?

Déplacer les points I, J ou K.

lorsque L est à l'extérieur du segment [BC], compléter la figure avec le sommet situé sur [CD] et trouver un pentagone.

Cliquer sur la figure pour la rendre interactive. Les points I, J et K peuvent être déplacés avec la souris.

Au clavier, taper sur la touche <I> puis les flèches de direction pour déplacer le point I ;
touche <J> pour déplacer le point J ; touche <K> pour le point K.
Touche <F> pour un plan de face. Puis la touche <W> permet de revenir à la vue initiale.
Double cliquer sur la figure pour obtenir les menus de GéoSpace.

Compléter la figure lorsque L est à l'extérieur du segment [BC] et trouver un pentagone.

g3w Télécharger la figure GéoSpace cube_se1.g3w

Exemple 6 : pentagone

Problème de Bergson

I est le milieu de [AB], J le milieu de [AE] et K le milieu de [EH]. Trouver la section du cube par le plan (IJK).

Déplacer les points sur les arêtes (souris ou touches <I>; <J> ou <K>. Touche <F> plan de face; <W> vue initiale).

 

g3w Télécharger les figures GéoSpace cube_se5.g3w, section.g3w

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Sections d'un parallélépipède rectangle

La section d'un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face ou une arête est un rectangle,
dans le cas où le plan est parallèle à une face, la section est un rectangle ayant les mêmes dimensions que cette face.

Commandes

La touche 1 affiche ou masque la section par un plan parallèle à la face AEHD.
Le point M est libre sur [AB].
La touche M permet de le piloter au clavier (avec les touches fléchées).

La touche 2 affiche ou masque la section par un plan parallèle à l'arête [AD].
Le point N est libre sur [AB].
La touche N permet de le piloter au clavier (avec les touches fléchées).
Le point N’ est libre sur [EF].
La touche B permet de le piloter au clavier (avec les touches fléchées).

La touche 3 affiche ou masque la section par un plan parallèle à l'arête [AB].
Le point R est libre dans BCGF.
La touche R permet de le piloter au clavier (avec les touches fléchées).
Le point R’ est libre dans BCGF.
La touche T permet de le piloter au clavier (avec les touches fléchées).

g3w Télécharger la figure GéoSpace secpave1.g3w
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Travaux Pratiques 2
Sections de pyramide

Figure 1 : pyramide régulière

Charger la figure GéoSpace pyramide.g3w contenant la pyramide régulière de base carrée ABCD et de sommet S.

Tracer les diagonales du carré de base et le milieu O.
Tracer la hauteur [OS].
Sur la hauteur [OS] placer un point libre O’.
Créer le plan Q parallèle à la base passant par le point O’.
Placer les intersections du plan Q avec les arêtes et les faces de la pyramide.

Quelle est la nature du solide SA’B’C’D’ ?

Cliquez dans la figure, il est alors possible déplacer le point O’ avec la souris.

Pour visualiser au mieux la figure, déplacer la vue de la pyramide avec la souris en maintenant le bouton droit enfoncé.
Éventuellement, la recentrer en appuyant en plus sur la touche contrôle.
Touche <F> pour un plan de face. Puis la touche <W> permet de revenir à la vue initiale.

g3w Télécharger la figure GéoSpace sec_pyr.g3w

Figure 2 : pyramide gauche

Recommencer avec une pyramide ABCDS de base carrée ABCD (figure GéoSpace pyram_d.g3w) telle que l'arête [AS] soit une hauteur de la pyramide.

Placer le point libre A’ sur le segment [AS] et tracer la pyramide réduite SA’B’C’D’.

 

g3w Télécharger la figure GéoSpace sec_pyr2.g3w

Figure 3 : base pentagonale

Les points A, B, C, D, E et S sont libres.

La touche 1 affiche ou masque la section par un plan parallèle à la base de la pyramide.

Le point M est libre sur [SC] et pilotable au clavier via les touches fléchées.

 

g3w Télécharger la figure GéoSpace secpyr1.g3w

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique


Travaux Pratiques 3
Tronc de pyramide - Solide composite

Figure 1 : Tronc de pyramide

Charger la figure GéoSpace pyramide.g3w contenant la pyramide régulière de base carrée ABCD et de sommet S. Tracer la pyramide réduite de sommet S et de base A’B’C’D’. Dans l'option style, choisir non dessiné et montrer la pyramide SABCD. Créer le solide (polyèdre convexe) tronc en le désignant par ses sommets ABCDA’B’C’D’.

g3w Télécharger la figure GéoSpace tronc_py.g3w

Volume d'un tronc de pyramide (ou d'un tronc de cône) (hors programme)

En appelant B l'aire de la grande base ABCD et b l'aire de la petite base A’B’C’D’ et h la hauteur du tronc, le volume est alors :

V = h/3 [B + b + rac(Bb) ]

Dans le cas d'un tronc de pyramide de base carrée, de côtés a et b les Égyptiens utilisaient une méthode revenant à l'emploi de la formule :
V = h/3 [a2 + ab + b2]

Figure 2 - Section et tronc de tétraèdre

Recommencer avec un tétraèdre régulier ABCD : dans le répertoire figures de base, choisir la figure GéoSpace tetreg.g3w.

À partir d'un point A’ situé sur l'arête [AD], trouver les traces (sur le tétraèdre) du plan passant par A’, parallèle au plan de base (ABC).
Tracer les points B’ et C’ intersections de ce plan avec les deux autres arêtes du tétraèdre.
Le tétraèdre réduit est-il régulier ?

Tracer le tronc de tétraèdre ABCA’B’C’.

Commande GéoSpace :

Cliquer dans la figure,
taper T pour afficher/effacer le tétraèdre

g3w Télécharger la figure GéoSpace tetreg1.g3w

Figure 3 - Lanterne : solide formé par l'assemblage d'un cube et d'une pyramide

Charger la figure GéoSpace cube.g3w.

Tracer la médiatrice d'une des faces du cube (placer les points O au milieu de la face ABCD et H au milieu de la face A’B’C’D’, O et H sont les « milieux de diagonales »).
Placer le point S sur cette médiatrice (HO) et créer le solide l : A’B’C’D’ABCDS.

Pour le dessin du cube, l'option du menu style ne fonctionne pas.
Choisir dans le menu éditer le choix éditer texte figure.

Après la définition du cube modifier la phrase Dessin de cube: opaque
Rajouter « , non dessiné » :

Dessin de cube: opaque, non dessiné

Après la définition de l, insérer :

Dessin de l: opaque

Exécuter le script et valider ; sauvegarder la figure pour la réutiliser.

g3w Télécharger la figure GéoSpace lanterne.g3w

Obélisque

De même, réaliser un obélisque : solide formé par l'assemblage d'un tronc de pyramide de bases carrées (ou d'un parallélépipède), surmonté d'une pyramide : le pyramidion.
Le volume se calcule grâce à la formule citée après la figure 1.

Problème bac STI (AA) 1999

Partie A

Une lanterne a la forme d'une pyramide régulière SABCD à base carrée, posée sur un cube ABCDA’B’C’D’.
La hauteur SH de la lanterne est de 30 cm. Soit h, en cm, la hauteur SO de la pyramide et x, en cm, la longueur de l'arête du cube.
On admet que 0 ≤ x ≤ 30.

1. Exprimer en fonction de x la hauteur de la pyramide.
2. Exprimer en fonction de x le volume V de la lanterne.

 

surface de la base × hauteur

On rappelle que le volume d'une pyramide est : V = 

 

3

Partie B

Étude de la fonction f(x) = (30 x^2 + 2 x^3)/3 …

Partie C

La longueur de l'arête du cube est de 24 cm. Déterminer alors :
1. le volume V de la lanterne ;
2. la hauteur h de la pyramide ;
3. la longueur SA.

Correction bac STI : parallélépipède dans une pyramide

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

4. Sections planes de solides de révolution

Sphère

(S) est une sphère de centre O et de rayon R, (P) un plan.
H est le pied de la perpendiculaire à (P) menée par O.
OH est la distance de O à P notée d.

On suppose que M est un point commun au plan et à la sphère et on note HM = r.

Dans le triangle OHM, rectangle en H, de la propriété de Pythagore HM2 + OH2 = OM2
on déduit r2 = R2 - d2.

Si d < R, l'ensemble des points d'intersection entre la sphère (S) et un plan (P) situé à une distance d de O est le cercle, du plan (P), de centre H
et de rayon r = rac(R²-d²).

Si d = R, le plan est tangent à la sphère en H.

Si d > R, le plan ne coupe pas la sphère.

g3w Télécharger la figure GéoSpace sphere.g3w

Commandes
Cliquer dansla figure et déplacer le plan mobile avec la souris ou les flèches du clavier.
Touche H : piloter au clavier le point H,
touche R : modifier au clavier le rayon de la sphère.

Commandes
Touche 1 : afficher ou masquer la section par un plan perpendiculaire à l'axe du cône.
Touche M : piloter au clavier le point M,
touche R : modifier au clavier le rayon r du cercle de base.

Cône de révolution

La figure représente un cône de révolution. L'axe du cône est (OS). Sa hauteur OS sera notée h.
O est le centre du cercle (c) de base et A un point de ce cercle de rayon r = OA.
Soit M un point de [OS] situé à distance h’ de S. On coupe ce cône par un plan (P) perpendiculaire à son axe en M.
Soit A’ le point du plan qui se trouve sur la génératrice [SA].

La propriété de Thalès dans le triangle SOA permet d'écrire A’M/AO = SM/SO, soit A’M/r = h’/h d'où A’M = r × h’/h.
L'ensemble des points qui sont à la fois dans le plan et sur la surface latérale du cône est un cercle (c’) de centre M et de rayon r’ donné par la formule :
r’ = r × h’/h = rk, où k = h’/h est le rapport de réduction avec le cône de base (c’), de hauteur h’.

 

g3w Télécharger la figure GéoSpace secone1.g3w

Cylindre de révolution

La section par un plan perpendiculaire à l'axe du cylindre est un cercle de même rayon que le cercle de base, la section par un plan parallèle à l'axe du cylindre est un rectangle.

Commandes
Touche 1 : afficher ou masquer la section par un plan perpendiculaire à l'axe du cylindre,
touche 2 : afficher ou masquer la section par un plan parallèle à l'axe du cylindre.

g3w Télécharger la figure GéoSpace seccyl1.g3w

Terminale S
Volume d'un tronc de cylindre couché

 

…avec
GéoSpace

GéoSpace
Polyèdres

Démonstrations géométriques de Pythagore

Accompagnement des programmes de 3e

Cabri-Géomètre
en troisième

Sommaire

TP 1 : Sections planes d'un cube
TP 2 : Sections de pyramide
TP 3 : Tronc de pyramide - Solide composite
TP 4 : Sections planes de solides de révolution
Faire de la géométrie dynamique

www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart

Suggestions, remarques, problèmes : me contacter