GéoSpace Sections planes d'un tétraèdre, d'un cube ; barycentre d'un tétraèdre.

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Interactivité avec GéoSpace

Activez une figure en cliquant dessus… Elle devient interactive !
En double cliquant dessus, vous aurez les menus du logiciel GéoSpace.
Toutes les touches habituelles de déplacement, de zoom ou de commande sont disponibles.
Le clic droit glissé permet de faire tourner le dessin.

Souvent mes exemples sont pilotables au clavier : cliquez sur la figure puis appuyez sur les flèches de déplacement pour mouvoir un point caractéristique.
En général, la touche W permet de revenir à la vue initiale et la touche F permet d'obtenir une vue de face.

Travaux Pratiques n^o 1

Sections planes d'un tétraèdre

1.1. Soit trois points I, J et K sur les arêtes d'un tétraèdre
a. Triangle

(Ici on suppose que les trois arêtes sont concourantes en A.)

I est un point de [AB], J de [AC] et K de [AD].

a) Section plane :

Tracez les segments [IJ], [JK] et [KI] intersections du plan (IJK) avec les faces du tétraèdre.

Trouver l'intersection du plan (IJK) avec la base (BCD).

Dans la face ABC trouvez le point L intersection de (IJ) avec (BC).
Puis trouvez l'autre point M d'intersection situé dans la face ACD.
Enfin, trouvez le point N d'intersection situé dans la face ABD.

En déduire qu'en général le plan (IJK) coupe le plan horizontal (BCD) suivant la droite (ML).
Étudier les cas particuliers de parallélisme : (IJ) // (BC) par exemple.

b) Variante : Règle d'incidence

Pour prouver l'alignement de trois points dans l'espace, on peut montrer que ces trois points sont communs à deux plans sécants, ils sont alors sur la droite d'intersection de ces deux plans.

Montrer que les points L, M et N sont alignés. (Ils appartiennent à la droite d'intersection des plans (IJK) et (BCD).)

Cliquer sur la figure pour la rendre interactive.
Les points I, J et K peuvent être déplacés avec la souris.
Au clavier, taper sur la touche <I> puis les flèches de direction pour déplacer le point I ; touche <J> pour déplacer le point J ; touche <K> pour le point K.
Touche <F> pour un plan de face. Puis la touche <W> permet de revenir à la vue initiale.

Télécharger la figure GéoSpace tet_1tp1.g3w

1.2. Quadrilatère

I est un point de [AB], J de [AC] et K de [CD].

Section plane :

Si (IJ) n'est pas parallèle à (BC), ces deux droites se coupent en M.

La droite (MK) coupe [BD] en L.

Le quadrilatère IJKL est la section du tétraèdre par le plan (IJK).

Voir TP 2 pour le cas particulier du parallélogramme.

Télécharger la figure GéoSpace tet_4tp1.g3w

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1.3. Trapèze - Un exercice d'INTERSEP

Cette activité est extraite du logiciel INTERESP, qui accompagne GéoSpace.

Sur un tétraèdre ABCD, soit I le milieu du segment [AD], J le milieu du segment [BD] et K un point de la face (ABC).

Construire la section du tétraèdre par le plan (IJK).

Solution

(IJ) droite des milieux du triangle ABD est parallèle à (AB). L'intersection du plan (IJK) et du plan (ABC) est la droite parallèle à (AB) passant par K. Cette droite rencontre (BC) en L et (AC) en M.

La section plane est le trapèze IJLM.

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1.4. Soit trois points I, J et K sur les faces d'un tétraèdre

Si le plan (IJK) est parallèle au plan de base (BCD), la section est un triangle aux côtés parallèles à ceux de ABC, contenant les trois points I, J K.

Sinon :

a) Trouver l'intersection du plan (IJK) avec la base (BCD).

Utilisez les plans (AIK) et (AJK).

Montrez que le plan (IJK) coupe le plan horizontal (BCD) suivant la droite(QR).

b) trouver l'intersection du plan (IJK) avec les autres faces.

Tracez le point d'intersection S de la droite (QR) avec (BC) et déduisez-en l'intersection du plan (IJK) avec la face (ABC).

Si le point S est entre B et C, la section est un quadrilatère, sinon lorsque S est à l'extérieur de [BC] on obtient une section triangulaire.

Cliquer sur la figure et déplacer I, J ou K avec les flèches du clavier.

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1.5. Rappel : théorème du toit

Si on a :

  • deux droites parallèles d₁ et d₂,
  • un plan P₁ contenant d₁,
  • un plan P₂ contenant d₂,

alors la droite d d'intersection des deux plans P₁ et P₂ est parallèle aux droites d₁ et d₂.

Télécharger la figure GéoSpace thm_toit.g3w

Parallélogramme comme section plane

ABCD est un tétraèdre non aplati.
Montrer que si l'intersection d'un plan et d'un tétraèdre est un parallélogramme, les côtés du parallélogramme sont parallèles à des côtés du tétraèdre.

Si la section IJKL est un parallélogramme, les droites (IJ) et (LK) sont parallèles, la droite (IJ) est contenue dans le plan (ABC), (LK) contenue dans le plan (DBC). Ces plans se coupent selon la droite (BC), d'après le théorème du toit les droites (IJ) et (LK) sont parallèles à (BC).

De même, les droites (IL) et (JK) sont parallèles à (AD).

Recherche de ces sections planes

Soit I un point à l'intérieur du segment [AB].
Par I on peut tracer deux couples de droites d₁ et d₂ parallèles aux arêtes opposées (BC) et (AD), ou d₃ et d₄ parallèles aux arêtes opposées (AC) et (BD).
Les plans passant par I contenant les droites d₁et d₂ d'une part (figure), ou d₃ et d₄ d'autre part, coupent le tétraèdre suivant des parallélogrammes de sommet I.

Par un point M d'une face non situé sur une arête du tétraèdre, on peut faire passer trois droites parallèles aux côtés de cette face. Les sections des trois plans contenant ces droites et parallèles aux arêtes opposées sont des parallélogrammes contenant M.

Pour un point M de l'espace non situé sur les arêtes du tétraèdre, il existe trois plans passant par M coupant le tétraèdre suivant un parallélogramme.

  Télécharger les figures GéoSpace tet_1tp2.g3w ; tet_2tp2.g3w

Parallélogramme et tétraèdre

ABCD est un tétraèdre, I et J sont les milieux respectifs de [AC] et [BD]

a) Montrer l'égalité vectorielle + = 2

b) Soit k un réel donné dans l'intervalle ]0, 1[.
On définit les points M, N, P, Q par :
= k ; = k ; = k ; = k .

Montrer que MNPQ est un parallélogramme. Soit K son centre.

Montrer = k , donc que K appartient au segment [IJ].

Pour k = , on trouve que K, centre de gravité du tétraèdre, est le milieu des trois segments dont les extrémités sont les milieux des arêtes opposées.

c) Démontrer qu'étant donné un point K du segment [IJ] il existe un unique point N de [AD] et un unique point Q de [BC] tel que K soit le milieu de [NQ].

Projection orthogonale

Montrer qu'un tétraèdre se projette orthogonalement sur un plan suivant un parallélogramme si et seulement s'il admet deux arêtes opposées dont les milieux sont sur une même perpendiculaire au plan de projection.

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1.6. Barycentre et tétraèdre

ABCD est un tétraèdre.
Soit I le milieu de l'arête [AD],
G le centre de gravité du triangle ABC,
E le point tel que le quadrilatère BDCE soit un parallélogramme.

a) Déterminer des nombres entiers b, c et d tels que le point E soit le barycentre des points pondérés (B,b), (C,c) et (D,d).

La somme de vecteurs est représentée par la diagonale du parallélogramme :
+ = + = ,
les coefficients sont donc b = 1, c = 1 et d = – 1.

b) Démontrer que + + - - = .

En ajoutant et en retranchant à l'égalité
+ - = on montre que :
+ + - - = .

c) Déduire, de la question précédente, que la droite (GI) coupe le plan (BCD) en E.

G est le centre de gravité du triangle ABC, on peut donc écrire l'égalité vectorielle de Leibniz :
3 = + + .

I est le milieu de l'arête [AD],
donc d'après le théorème de la médiane : 2 = - .

L'égalité de la question précédente devient : 3 - 2 = ,

les points E, G et I sont alignés et la droite (GI) coupe le plan (BCD) en E.

d) Préciser la position de E par rapport aux points G et I.

D'après l'égalité de la question précédente, E est le barycentre de (G, 3) et (I, -2), donc : = − 2 .

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Centre de gravité d'un tétraèdre : barycentre de quatre points
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Travaux Pratiques n^o 2

Sections planes d'un cube

Intersection d'un plan avec une face du cube

« L'utilisation de l'informatique permet une vision dynamique de la figure. GéoSpace permet de faire tourner le cube et de mettre en évidence la section cherchée. La possibilité de placer un plan isolé de face permet de voir les sections planes en “vraie grandeur”.
Les commandes “dessin en bloc” facilitent la présentation par le professeur avec un rétroprojecteur ».

2.1. Soit trois points I, J et K sur les arêtes (concourantes en F) d'un cube

trouver l'intersection du plan (IJK) avec les six faces du cube.
Sur chacune des droites d'intersection, on trouvera les quatre points d'intersection avec les côtés du carré.

Cliquer sur la figure et déplacer I, J ou K

Tracez les segments [IJ], [JK] et [IK] sur les faces du cube.

Trouver l'intersection de (IJK) avec le plan (ABC).

Trouvez le point P intersection de (IK) et (AB) et le point Q intersection de (JK) et (BC) et tracez la droite (QP) intersection de (IJK) avec le plan (ABC).

trouver l'intersection de (IJK) avec le plan (CEG).

Prolongez (IJ) jusqu'à la droite (GH) du plan (CEG).
En L tracez la droite parallèle à (IK) qui coupe (QP) en S, point de concours avec l'arête (CD).

Tracez le point d'intersection T de la droite (LS) et de la droite (CG).

trouver de même l'intersection de (IJK) avec le plan (ADE).

trouvez le point M dans la face EFGH et tracez la parallèle à (JK) passant par M qui recoupe les deux autres arêtes en R et U.

Les droites d'intersection (LS) et (MR) sont concourantes en V situé sur l'arête (HD).

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2.2 Soit trois points I, J et K sur 3 arêtes d'un cube

(les trois arêtes ne sont pas concourantes.)

Exercice un peu plus difficile que le précédant : Il faut utiliser un plan intermédiaire (BIJ) qui permettra de trouver un point N pour terminer la construction comme ci-dessus.

Trouver l'intersection de (IJK) avec le plan (EFG).

tracez le point L intersection de (IJ) avec (CD), puis le point M intersection de (KL) avec (GH).

De même, tracez le point N intersection de (IJ) avec (BC), puis le point P intersection de (KN) avec (FG), puis déduisez que l'intersection de (IJK) avec le plan (EFG) est la droite (MP).

Cliquer sur la figure et déplacer I, J ou K.

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2.3. Soit trois points I, J et K sur 3 arêtes d'un cube

(aucune des trois arêtes ne sont concourantes.)

Exercice assez difficile : il faut utiliser un point N aligné avec I et K, situé dans le prolongement d'une des faces du cube, puis terminer la construction comme précédemment.

Trouver la section du plan IJK sur le cube.

Trouver l'intersection de la droite (IK) avec le plan horizontal (EFG). GéoSpace trouve facilement ce point. Pour une construction géométrique, tracer la parallèle à (IC) passant par G. Le point N est à l'intersection de cette parallèle avec (IK).

Trouver ensuite les intersections J et L de la droite (NJ) avec les arêtes du cube et M et R avec les prolongements des faces latérales puis terminer comme ci-dessus en trouvant le point P sur (MI) et le point Q sur (RK).

IPJLKQ est un hexagone ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux.

Cliquer sur la figure et déplacer I, J ou K.

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2.4. Soit trois points I, J et K sur 3 faces d'un cube

(ayant un point commun F.)

Trouver les intersections du plan (IJK) avec les faces (BEF), (BFG) et (EFG) du cube.

Trouvez la droite d'intersection (LN) du plan (BIJ) avec la face EFGH.

Les deux droites (LN) et (IJ) se coupant en N, point des plans (IJK) et (EFG), montrez que la droite (KN) est l'intersection de ces deux plans. Déduisez-en que sur la droite d'intersection (KN), le point P de l'arête [EF] et le point Q de l'arête [FG] sont deux points du plan (IJK).

Tracez le troisième point R sur l'arête [BE], en prolongeant les droites (PI) et (QJ).

Les droites (PR) et (RQ) sont les intersections de (BEF) et (EFG) avec le plan (IJK).

Cliquer sur la figure et déplacer I, J ou K.

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2.5. Variation de la section par un plan variable

2.6. Problème de Bergson

I, J, K, L, M, N sont les milieux des arêtes du cube de centre O (cf. figure).
Quelle est la nature de l'hexagone IJKLMN ?

Donné au concours général de 1896 où Bergson eut le premier prix (variante d'après Bernard Destainville - Enseigner la géométrie dans l'espace - brochure APMEP n^o 99).

Il est facile de démontrer que les six segments sont égaux (à la moitié de la longueur d'une diagonale du cube) et parallèle deux à deux :
par exemple (IJ) // (AC) // (EG) // (LM).

a. En géométrie dans l'espace il faut montrer que les six points sont coplanaires : ils sont dans le plan (P) passant par O parallèle au plan (ACH).
Dans le rectangle ABGH, [IL] a pour milieu O est parallèle à [AH] donc [IL] est contenu dans le plan (P). Même démonstration pour [JM] et [KN]. IJKLMN est donc contenu dans le plan (P) : c'est un hexagone régulier.

b. Une autre démonstration utilise le plan médiateur de [DF] comme plan (P) :
IF = ID comme hypoténuses de triangles rectangles ayant pour petits côtés un côté du cube et l'autre égal au demi-côté du cube. I est donc dans (P). De même pour J, K…

IJKLMN contenu dans le plan (P) est un hexagone régulier.

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c. Calcul vectoriel et analytique

ÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2004 - Sujet 19
Banque de sujets 2007 - D'après le sujet 019 (enseignement obligatoire)

Soit ABCDEFGH un cube. On choisit le repère orthonormal (D ; , , ) avec = , = et = .
On appelle I, J, K, L, M et N les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CG], [GH], [HE] et [EA].

Déterminer les coordonnées des points I, K, M.

Montrer que les six points I, J, K, L, M et N sont coplanaires, dans un plan que l'on notera (P) (on donnera une équation du plan (P) dans le repère choisi).
Montrer que le vecteur est un vecteur normal au plan (P).

Montrer que les projetés orthogonaux des points I, J, K, L, M et N sur la droite (DF) sont confondus en un même point. On appellera O ce point.
Déterminer la position du point O sur le segment [DF].

Montrer que IJKLMN est un hexagone inscriptible dans un cercle dont on précisera le centre et le rayon et montrer que tous ses côtés ont même longueur.

On considère la pyramide ayant pour base cet hexagone et pour sommet le point F.
Quelle fraction du volume du cube représente le volume de cette pyramide ?

Indications

Les coordonnées des milieux sont I(1, , 0) ; K(0, 1, ) et M(, 0, 1).
Le plan (P) a pour équation x + y + z = , ce plan est orthogonal au vecteur de coordonnées (1, 1, 1) : le vecteur .
L'hexagone régulier est situé sur un cercle de centre O, milieu de [DF], de rayon . La longueur des côtés est aussi .

L'aire de l'hexagone formé de six triangles équilatéraux de côtés est S_base = 6 × .
La hauteur de la pyramide est OF = .
Le volume de la pyramide V est = × S_base × hauteur = × (6 × ) × = .

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