Géométrie du triangle I Droites, points, cercles remarquables Droites concourantes du triangle, triangle orthique - Figures interactives avec GéoPlan.	Faire de la géométrie dynamique

I. Droites remarquables dans le triangle

II. Points caractéristiques du triangle

III Cercles remarquables

1. Rappel : barycentre de trois points

Soit (A, α) ; (B, β) et (C, γ) trois points pondérés tels que α + β + γ ≠ 0,
il existe un point unique G tel que α + β + γ =  ;

le point G est appelé barycentre des points pondérés (A, α) ; (B, β) et (C, γ).

Si α + β ≠ 0, α + γ ≠ 0 et β +γ ≠ 0 le théorème d'associativité permet de dire :

si A’ est le barycentre partiel de (B, β) et (C, γ), alors G est le barycentre de (A, α) et (A’, β +γ),
si B’ est le barycentre partiel de (A, α) et (C, γ), alors G est le barycentre de (B, β) et (B’, α + γ),
si C’ est le barycentre partiel de (A, α) et (B, β), alors G est le barycentre de (C, γ) et (C’, α + β) ;

les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes en G.

Coordonnées barycentriques

Soit A, B et C trois points du plan, tous distincts et non alignés.

Théorème de Gergonne (Joseph Gergonne 1771-1859) :
Pour tout point M du plan, il existe un triplet unique (α, β, γ) de nombres réels tels que :
• α + β + γ = 1;
• M est le barycentre des points pondérés (A, α) ; (B, β) et (C, γ).

(α, β, γ) sont les coordonnées barycentriques de M relativement à A, B et C.

Voir : le barycentre

2. Médianes et centre de gravité

Les médianes sont les droites joignant les sommets d'un triangle aux milieux des côtés opposés. Les trois médianes sont concourantes au centre de gravité du triangle, situé aux de chaque médiane à partir du sommet correspondant.

Voir ci-dessous une démonstration de cette propriété. Si on admet que les trois médianes sont concourantes il est possible de lire directement la démonstration de droite sachant que dans le triangle BCC₁, G est sur la droite des milieux (A’G) parallèle à (BC₁).

 Triangle médian

Le triangle A’B’C’, dont les sommets sont les pieds des médianes, est le triangle médian du triangle ABC.

Le triangle médian est l'homothétique du triangle ABC; par l'homothétie de centre G et de rapport .

Les segments [A’B’], [B’C’] et [C’A’] partagent le triangle ABC en quatre triangles d'aires égales.

Aire et médiane

Une médiane partage un triangle en deux triangles d'aires égales.

Les droites des milieux partagent un triangle en quatre triangles homothétiques d'aires égales.

Les trois médianes d'un triangle partagent celui-ci en six petits triangles d'aires égales.

Les trois triangles GAB, GBC et GAC sont d'aires égales.

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Théorèmes de la médiane - Théorème d'Apollonius

Premier théorème de la médiane : calcul avec la médiane [AA’] :
grâce au calcul : + = ( + ) + ( + ) = 2 ,
avec + = ,
on obtient la forme vectorielle du « théorème de la médiane » dans le triangle ABC :

+ = 2 .

Deuxième théorème de la médiane

En géométrie analytique ou avec le produit scalaire, on peut vérifier les formes numériques des « théorèmes de la médiane » :

AB² + AC² = 2AA’² + (formule d'Apollonius de Perge - deuxième théorème de la médiane).

Troisième théorème de la médiane

Avec le produit scalaire : AB² - AC² = ² - ² = ( + ).( - ) = 2 .(+ ) = 2 ..
Soit H, le point projeté orthogonal de A sur (BC). La projection de sur est , d'où . = . = ..

Donc AB² - AC² = 2 ..

D'où = 2 BC × A’H  (troisième théorème de la médiane) ;

En effet, le produit scalaire de deux vecteurs colinéaires est égal à BC × A’H ou à son opposé, d'où la valeur absolue.

Longueur des médianes

Soit ABC un triangle tel que BC = a, AC = b, AB = c et m = AA’ la médiane relative au côté BC, d'après le « 2^e théorème de la médiane » on a :
b² + c² = 2m² + ()²,
d'où m = .

Théorème des trois médianes

a) Démontrer que dans tout triangle, la somme des carrés des médianes est les trois quarts de la somme des carrés des côtés.
b) Que devient cette propriété si on l'applique à un triangle équilatéral ?
c) Et si on l'applique à un triangle rectangle ?

Pieds des médianes : D'un triangle ABC, il ne reste que les points I milieu de [AB], J milieu de [BC] et K milieu de [CA].
Reconstituez le triangle ABC, voir : le triangle, c'est le pied

Médianes perpendiculaires

Construire un triangle connaissant ses médianes
Barycentre
Produit scalaire
Symédianes et point de Lemoine : points caractéristiques du triangle
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Faire de la géométrie dynamique

3. Bissectrices

Démonstration

Montrer que   est la somme de deux vecteurs de même norme.

D'après la définition du barycentre I et en prenant le point A pour origine on a :

(a+b+c) = b + c .

Les vecteurs b et c ont la même norme bc.

Donc, = + = + .
Ces deux vecteurs ont même norme et AB₁IC₁ est un losange : la diagonale [AI] est la bissectrice de l'angle Â.

Formule des aires

Soit I le centre du cercle inscrit dans le triangle et r son rayon. Le triangle ABC est décomposable en trois triangles de sommet I et de même hauteur r.
L'aire du triangle est donc S = ar + br + cr = (a + b + c) × r = p × r, où p désigne le demi-périmètre : p = (a + b + c).

Doc S = pr et r = = .

Avec la formule de l'aire du triangle S =   bc sin A, on trouve que le rayon du cercle inscrit est  r = = .

Relation d'Euler

Distance entre les centres des cercles inscrit et circonscrits

Si le cercle circonscrit a pour centre O et pour rayon R et le cercle inscrit a pour centre I et pour rayon r, la relation d'Euler permet de calculer le carré de la distance des deux centres :

OI² = R² - 2Rr.

Démonstration : voir la puissance du point I par rapport au cercle circonscrit (c) et un cercle (Γ).

Voir : relations d'Euler

Bissectrices extérieures et cercles exinscrits

Les bissectrices extérieures partagent en deux l'angle bordé par un côté du triangle et le prolongement de l'autre côté.
En un sommet, les bissectrices intérieure et extérieure sont orthogonales.

Deux bissectrices extérieures, associées à deux sommets, et la bissectrice intérieure, associée au troisième sommet, sont concourantes.
Leur point d'intersection situé à égale distance des trois côtés du triangle est le centre d'un cercle exinscrit, tangent aux trois côtés du triangle.

Le point I₁ intersection de la bissectrice intérieure issue de A et des deux bissectrices extérieures issues de B et C est le barycentre de (A, -a) ; (B, b) ; (C, c). I₁ est le centre du cercle (c₁) exinscrit au triangle,
son rayon est r₁ = = = .

Relation d'Euler : OI₁² = R² + 2Rr₁.

Le point I₂ intersection de la bissectrice intérieure issue de B et des deux bissectrices extérieures issues de A et C est le barycentre de (A, a) ; (B, -b) ; (C, c).
I₂ est le centre du cercle (c₂) exinscrit au triangle, son rayon est  .

Le point I₃ intersection de la bissectrice intérieure issue de C et des deux bissectrices extérieures issues de A et B est le barycentre de (A, a) ; (B, b) ; (C, -c).
I₃ est le centre du cercle (c₃) exinscrit au triangle, son rayon est .

Le triangle I₁I₂I₃ formé par les centres des trois cercles exinscrits s'appelle le triangle de Bevan de ABC.
Le centre I du cercle inscrit est l'orthocentre du triangle I₁I₂I₃ de Bevan.
Le triangle ABC est le triangle orthique du triangle I₁I₂I₃.

L'ensemble des points équidistants des droites (AB), (BC) et (AC) est formé des quatre points I, I₁, I₂ et I₃.

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Cercles tangents à des droites : voir construction de cercles

Bissectrices intérieure et extérieure

Les bissectrices recoupent le cercle circonscrit aux milieux des arcs déterminés par le côté opposé au sommet de l'angle.

Dans l'exemple ci-contre pour le sommet A du triangle ABC direct,
la bissectrice intérieure (AI) recoupe le cercle circonscrit en A₂ qui est le milieu de l'arc BC (parcouru dans le sens trigonométrique) ;
la bissectrice extérieure (AJ) recoupe le cercle circonscrit en A₁ qui est le milieu de l'autre arc BC, lorsque l'on parcourt le cercle en sens inverse.

Dessin des bissectrices à partir du cercle circonscrit.

Soit ABC un triangle inscrit dans un cercle (c).
Tracer le diamètre [A₁A₂] porté par la médiatrice de [BC].
(AA₂) et (AA₁) sont les bissectrices des angles, de sommet A, formés par les droites (AB) et (AC).

Théorème de la bissectrice : IB/IC = c/b

Division harmonique

Les pieds des bissectrices sur (BC) sont I et J.
On pose AB = c et AC = b.
La parallèle à (AI) passant par B coupe (AC) en D₁.
Le calcul des angles permet de montrer que ABD₁ est isocèle.
Donc, AD₁ = AB = c.

La propriété de Thalès dans le triangle BCD1 montre que IB/IC = AD₁/AC = c/b.
I est le barycentre de (B, b) et (C, c).

De même, la parallèle à (AJ) passant par B coupe (AC) en D₂.
Le triangle ABD₂ est isocèle et AD₂ = AB = c.
La propriété de Thalès dans le triangle JAC montre que JB/JC = AD₂/AC = c/b.
J, à l'extérieur de [BC], est le barycentre de (B, -b) et (C, c).

IB/IC = JB/JC = c/b : les quatre points [B, C, I, J] forment une division harmonique de rapport c/b.

Relations métriques

AB × AC = AI² + IB × IC

AB × AC = JB × JC - AJ²

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Cercle d'Apollonius
Théorème de Feuerbach
Construire un triangle connaissant ses bissectrices
Barycentre
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4. Hauteurs et orthocentre

Si ABC est acutangle (dont les trois angles sont aigus) H est le centre du cercle inscrit dans A’B’C’ et les points A, B, C sont les centres des cercles exinscrits à A’B’C’.

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Construire un triangle connaissant ses hauteurs
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5. Médiatrices

Application : retrouver le centre d'un cercle

Placer trois points distincts A, B et C sur le cercle et dessiner deux médiatrices. Le centre est le point d'intersection de ces médiatrices.
Dans le menu point GéoPlan permet de retrouver le centre d'un cercle déjà crée.

Problème de Napoléon : construction au compas seul

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Construire un triangle connaissant ses médiatrices
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6. Triangle orthique

Le triangle orthique a pour sommets les pieds des hauteurs.

Perpendiculaires et parallèles aux côtés du triangle orthique

Les côtés du triangle orthique sont perpendiculaires aux rayons du cercle circonscrit issus des sommets.

Dans un triangle dont les angles sont aigus, l'orthocentre est le centre du cercle inscrit dans le triangle orthique.

Soit (c₁) le cercle circonscrit au triangle ABC de centre O et (t) la tangente en A.
(c₂) est le cercle de diamètre [BC]. B’ et C’ sont situés sur ce cercle.

Une étude des angles inscrits permet de montrer que (B’C’) est parallèle à (t). Donc, (OA) est perpendiculaire à (B’C’).

De même, la droite (OB) est perpendiculaire à (A’C’) et (OC) est perpendiculaire à (A’B’).

On peut dire aussi : « les tangentes au cercle circonscrit passant par les sommets du triangle sont parallèles aux côtés du triangle orthique ».

Antiparallélisme, voir : théorème de Nagel

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Triangle de périmètre minimum : trouver le triangle inscrit dans un triangle qui a le plus petit périmètre.

Le triangle de périmètre minimal dont les sommets appartiennent aux côtés d'un triangle initial ABC est le triangle orthique : voir géométrie en troisième.

Axe orthique

L'axe orthique d'un triangle est l'axe radical du cercle circonscrit et du cercle d'Euler de ce triangle. Il est perpendiculaire à la droite d'Euler.

Dans un triangle ABC, soit A’ (respectivement B’ et C’) le pied de la hauteur issue de A (respectivement issue de B et de C). A₁, B₁ et C₁ sont les trois autres points d'intersection des côtés du triangle ABC et de ceux du triangle orthique A’B’C’ : on note A₁ l'intersection de (BC) et de (B’C’), B₁ l'intersection de (AC) et de (A’C’), C₁ l'intersection de (AB) et de (A’B’).

Les trois points A₁, B₁ et C₁ sont alignés sur une droite dénommée l'axe orthique du triangle.

L'axe orthique est aussi l'axe radical du cercle circonscrit et du cercle d'Euler.

La droite d'Euler, ligne des centres O et I des deux cercles, est perpendiculaire à l'axe.

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Triangle médian du triangle orthique

Soit un triangle ABC non rectangle,
soit A’, B’ et C’ les pieds des hauteurs du triangle ABC issues respectivement de A, B et de C,
on note A₁ et A₂ les projections orthogonales de A’ sur (AB) et (AC),
A₃ et A₄ les symétriques de A’ par rapport à A₁ et A₂.

La droite (A₃A₄) est parallèle à (A₁A₂),
les points B’, C’, A₃ et A₄ sont alignés,
la droite (A₁A₂) contient les milieux Q et R des côtés [A’C’] et [A’B’] du triangle orthique de ABC,
(A₁A₂) est un des côtés de PQR, triangle médian du triangle orthique.

A₃A₄ est égal au périmètre du triangle orthique A’B’C’. Ce périmètre est égal à 8S²/(abc) où S est l'aire du triangle ABC et où a, b, c sont égaux aux longueurs des côtés de ABC.

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Cercle de Taylor

Soit un triangle ABC non rectangle,
soit A’, B’ et C’ les pieds des hauteurs du triangle ABC issues respectivement de A, B et de C,
on note A₁ et A₂ les projections orthogonales de A’ sur (AB) et (AC),
B₁ et B₂ les projections orthogonales de B’, C₁ et C₂ les projections orthogonales de C’.

Les projections des pieds des hauteurs sur les deux autres côtés d'un triangle forment six points situés sur un même cercle, appelé cercle de Taylor.

Cliquer dans la figure et taper C pour visualiser le triangle médian.

Le centre du cercle de Taylor est le centre du cercle inscrit dans le triangle médian du triangle orthique lorsque le triangle est acutangle.

C'est celui du cercle exinscrit dans l'angle de sommet le milieu de B’C’ (respectivement C’A’, A’B’) si A (respectivement B, C) est obtus.

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