Sujets ÉduSCOL1. Perpendiculaire commune à deux droitesÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2007 - Sujet 015 Situation On définit, dans l'espace, deux droites particulières (d1) et (d2) non coplanaires. Télécharger la figure GéoSpace dist_2_droites.g3w Déplacer les points M et N afin de déterminer le minimum de la distance MN. Commandes GéoSpace Déplacer les droites (d1) et (d2) en cliquant sur les extrémités des segments les représentant. Fiche élève
Indications = + + = − t + + k avec (3 ; 3 ; 0), (3 ; 1 ; 1) et (-2 ; 2 ; 0), MN est minimal si -3t + 3 -2k = 0 et -3t + 1 + 2k = 0. Ce système admet la solution t = et k = correspondant aux points M(0 ; 0 ; 0) et N(0 ; 0 ; 1). MN = 1 et (0 ; 0 ; 1) est orthogonal à et ; la droite (MN) est la perpendiculaire commune à (AB) et (CD). Télécharger la figure GéoSpace dist_2_droites3.g3w Commentaires : les droites sont deux diagonales de faces d'un parallélépipède rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes. Ces calculs sont un peu compliqués en regard de la facilité des droites données. Et encore, le texte original proposait O comme point A et le point de coordonnées (0 ; 0 ; 1) pour D : Quelle note mériterait l'élève qui, sans calcul, remarquerait que les deux droites sont contenues dans les plans d'équations z = 0 et z = 1. OD = 1, étant égal à distance des deux plans, est la distance minimale entre les deux droites ? Télécharger la figure GéoSpace dist_2_droites4.g3w Tracé de la perpendiculaire commune à deux droites (d1) et (d2) étant deux droites non coplanaires de l'espace, il existe une droite et une seule, perpendiculaire à ces deux droites. Pour la construire, la méthode consiste à choisir un point A sur (d1) et à tracer une droite (d3) parallèle à (d2) passant par A. Les droites (d1) et (d3) déterminent un plan (p) contenant A. Commandes GéoSpace Télécharger la figure GéoSpace dist_2_droites2.g3w Compétences évaluées 2. Section plane d'un tétraèdre et optimisation d'une distanceÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2007 - Sujet 033 Situation Dans l'espace, on donne un tétraèdre OABC et le milieu I de [AB]. Soit M un point quelconque du segment [AC]. Le plan passant par I et orthogonal à la droite (IM) coupe la droite (OB) en N. On cherche à minimiser la distance MN.
Technique GéoPlan Avec les menus de GéoSpace, on ne peut pas calculer la longueur d'un segment, mais taper directement dans le texte de la figure : y = MN La figure de gauche, section_tetraedre, importe(Menu >Piloter>Importer) la valeur de x, de la figure de droite. x doit être défini comme réel non borné dans cette figure, bien qu'il soit borné entre 0 et 1 dans tetraedre_fct (pour permettre d'afficher la courbe comme lieu de points). Dans tetraedre_fct le tétraèdre et sa section sont dupliqués, en mode non dessiné, pour réaliser le calcul de y. Rotations de Rxyz: verticale: 90 horizontale: 0 frontale: 0 Compétences évaluées Compétences TICE 3. Plans perpendiculairesÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2004 - Sujet 11 L'espace est rapporté à un repère orthonormal (O, , , ). • Soit P’ le plan d'équation x + 2y - z + 1 = 0 et M le point de coordonnées (0, 1, 1). Calculer les distances d et d’ du point M aux plans P et P’ respectivement. • Donner une représentation paramétrique de la droite D intersection des plans P et P’. Déterminer les coordonnées du point H de D tel que la droite (MH) soit perpendiculaire à la droite D. Vérifier que MH2 = d2 + d’2. Télécharger la figure GéoSpace plans_perpendiculaires.g3w Indications GéoSpace permet de faire la figure et de réaliser des calculs. En plaçant le point B de coordonnées (0, 1, 2), le plan P est alors orthogonal au vecteur et a pour équation -x + y + z = 0. Les équations paramétriques de la droite D sont : x = k, y = − , z = k +. 4. Orthogonalité dans le cubeOn considère un cube ABCDEFGH, d'arête de longueur a (a réel strictement positif). Problème d'incidence Montrer que la droite (EC) est perpendiculaire au plan (AFH). Produit scalaire ÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2004 - Sujet 23 1. Calculer, en fonction de a, les produits scalaires suivants : ., ., . 2. En déduire que les vecteurs et sont orthogonaux. 3. En déduire que le point I est le projeté orthogonal de E sur le plan (AFH). 4. Justifier les résultats suivants : les droites (AF) et (EH) sont orthogonales, ainsi que les droites (AF) et (EI). 5. Que représente le point I pour le triangle AFH ? Télécharger la figure GéoSpace cube3.g3w Voir : produit scalaire dans l'espacesections planes d'un cube : GéoSpace en 3e, l'espace Variante La droite (AF) perpendiculaire à deux côtés du triangle BCE est perpendiculaire au plan (BCE) et en particulier à la droite (EC). (EC) perpendiculaire aux deux droites concourantes (AF) et (FH) est perpendiculaire au plan (AFH). b. Généralisation(EC) grande diagonale du cube est orthogonale aux plans (AFH) et (BDG). Ces deux plans sont parallèles. La droite (EC) perce les triangles équilatéraux AFH et BDG en leurs centres I et J. EI = IJ = JC. Télécharger la figure GéoSpace cube2.g3w c. MilieuSi O est le milieu du carré ABCD, la droite (EO) rencontre le plan (AFH) au point K. Ce point est le milieu de [EO].
Indication Si O’ est le milieu du carré EFGH, dans le plan (EAC) K est le point d'intersection des diagonales du rectangle EAOO’.
Télécharger la figure GéoSpace cube4.g3w Voir aussi coin de cube : GéoSpace en seconde Sommaire 5. TétraèdreÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2004 - Sujet 24 L'espace est rapporté à un repère orthonormal (O ; , , ). On considère les points A, B, C et S de coordonnées respectives : A(-1, 0, 1) ; B(1, 4, -1) ; C(3, -4, -3) ; S(4, 0, 4) 1. Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle en A. 2. a) Montrer que le vecteur est orthogonal aux vecteurs et . 3. a) Démontrer que O est le barycentre des points A, B, C affectés de coefficients que l'on déterminera. b) En déduire que O est situé dans le triangle ABC. 4. Calculer le volume V du tétraèdre SABC. Indications (2, 4, -2) ; (4, -4, -4) : . = 2 × 4 + 4 × (-4) + (-2) × (-4) = 0. Le produit scalaire est nul, les vecteurs sont orthogonaux. Le triangle ABC est un triangle rectangle en A. (4, 0, 4) : . = 0 ; . = 0. , orthogonal aux vecteurs et , est orthogonal au plan (ABC). 4 + + = , O est le barycentre de (A, 4) ; (B, 1) ; (C, 1). Les coefficients sont positifs, O est à l'intérieur du triangle. OS est une hauteur du tétraèdre. V = s(ABC) × OS = AB × AC × OS = 32. Télécharger la figure GéoSpace tetraedre.g3w Groupe de mutualisation7. Perdu dans l'espace, les ambiguïtés de la perspective cavalièreOn représente en perspective cavalière un cube ABCDEFGH et un point M selon la figure ci-contre. Indications Cliquer dans la figure et taper 1 pour afficher/effacer un cube montrant que le point M peut représenter un point situé sur la droite (CD), à gauche. Mais le dessin de deux cubes devant le cube initial (touche 2) montre que M peut représenter un point de la droite (GF), sur le côté droit du cube ! Si M1 est le point de l'espace situé sur (CD) et M2 est le point de l'espace situé sur (GF), le point M peut représenter n'importe quel point de la droite (M1M2). Déplacer la figure puis taper F pour retrouver la vue de face avec le plan perpendiculaire à la droite (M1M2). Télécharger la figure GéoSpace perdu_espace.g3w Voir : activités 8. Solides définis par leurs équationsExemples d'exercices pour l'articulation « première terminale » en série S Dans l'espace muni d'un repère orthonormal. Déterminer les solides définis par les équations suivantes : a) x2 + y2 + z2 = 4 b) x2 + y2 = 4 9. Distribuer une section déjà construiteDemander aux élèves de tracer les points « hors solide » qui ont permis d'obtenir cette section. Autrement dit, leur faire faire des exercices sur les sections dans les deux sens. a. Section plane d'un cube par le plan (PQR)
Télécharger la figure GéoSpace section_cube.g3w Commandes GéoSpace Touche 1 : afficher /effacer le plan (PQR) b. Section triangulaireMoins facile. À partir du plan (PQR), trouver la section plane STU. Dans l'autre sens, à partir de la section plane STU, retrouver les points P, Q et R situés sur les prolongements des côtés. Voir correction dans Avec GéoSpace
Télécharger la figure GéoSpace section_cube2.g3w
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