Le triangle au collège
Milieux et parallèles

Six exercices avec GéoPlan sur le triangle - Construction de triangles.

Sommaire

1. Triangles particuliers
2. Somme des angles d'un triangle
3. Droite des milieux
4. Angles et triangles
5. Triangle rectangle isocèle
6. Droites parallèles
7. Trouver un triangle isocèle
8. Triangle bisocèle

Le triangle dans les programmes du collège

Programme de 5^e
Programme de 4^e

Figures interactives avec GeoLabo : visualisation sur tout ordinateur sans installation préalable

Triangles en seconde
Triangles rectangles

Triangles équilatéraux
Aire du triangle

Page n^o 72, réalisée le 19/7/2004, modifiée le 5/12/2007

Faire de la géométrie dynamique

GéoPlan en 3^ème
Théorème de Thalès

GéoPlan en 5^e
Construction de triangles

Triangles
remarquables

Collège
Problèmes de construction

Index
collège

1. Triangles particuliers

Classe de sixième (sauf Thalès et Pythagore pour le triangle rectangle en troisième)

Triangle isocèle

Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Le troisième côté s'appelle la base.

Thalès a découvert que dans un triangle isocèle les angles à la base sont égaux.

La médiatrice de la base est axe de symétrie du triangle.

Télécharger les figures GéoPlan tri_iso.g2w ou tri_iso2.g2w
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Triangle équilatéral

Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur,
les trois angles sont égaux et mesurent 60 degrés.

Les trois médiatrices sont axes de symétrie du triangle.

Télécharger les figures GéoPlan tri_equi.g2w ou triangle_equilateral.g2w
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Triangle rectangle

Un triangle rectangle a un angle droit, les deux autres angles sont aigus et complémentaires.
Le plus grand côté est l'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit.

Thalès : un triangle rectangle s'inscrit dans un demi-cercle et réciproquement.

Pythagore : la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse et réciproquement.

Télécharger la figure GéoPlan tri_rect.g2w
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Triangle quelconque

Un triangle scalène est un triangle dont les trois côtés sont de longueurs inégales.
On dit qu'un triangle est quelconque s'il n'est ni rectangle, ni isocèle.

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Arrondi

Avec les angles BAC = 87°, ABC = 33°, ACB = 59°, la somme de ces angles est égale à 179°. Plus bas vous dites que la somme des angles d'un triangle est égale à 180°.
Les mathématiques étant maintenant loin derrière pour moi, et étant un brin fatigué au moment où je vous écris ce mail, il subsiste encore un doute, mais je pense qu'un degré s'est perdu en route.
S'il s'agissait d'un centime, nous n'aurions pas chipoté, mais là il s'agit de mathématiques.

MonsieurPommeDeTerre

Pas d'erreur, mais un souci d'arrondi : les calculs étant faits « au degré près » GéoPlan arrondi les trois angles par défaut et on perd un degré pour l'arrondi de la somme.
Avec un calcul au dixième les angles BAC = 87,5°, ABC = 33,5° sont arrondis par excès et ACB = 59,0° par défaut : la somme est bien arrondie à 180,0°.

Technique GéoPlan

Pour nommer un côté, y placer un point comme le milieu A₈, et écrire, à la fin du texte de la figure, l'instruction :

A la place de A8, afficher: $ia

(pour italique avec $i, voir formatage d'un texte)

Ou bien avec la valeur de a, la longueur de BC, écrire :

A la place de A8, afficher: \val(a,1)\

Instruction qui affiche la longueur le long du segment.

La commande affichage du texte : $ia$m = BC = val(a,1) permet d'écrire a = BC = 9.6.

Le prototype marquer un angle trace un arc de cercle dans le coin d'un angle (dans le sens trigonométrique).
Le prototype point dans angle renvoie un point de la bissectrice dans le coin de l'angle.
Associé à l'instruction A la place de … afficher : \hat … \ il permet de nommer les angles , , .

A9 point dans angle BAC
A la place de A9, afficher: \hat(A)\

Avec a’ mesure de l'angle , la commande affichage du texte : \hat(BAC)\ = val(a',0)° permet d'écrire = 87°.

Remplacer val(a',0) par val(a',1), pour écrire = 87.5° avec une décimale.

2. Somme des angles d'un triangle

Classe de cinquième

La somme des angles géométriques d'un triangle est un angle plat : + + = 180°.

Pour un triangle isocèle en A, = donc = 180 − 2 et = = 90 − : les angles égaux sont aigus.
Pour un triangle équilatéral = = = = 60°.

Un triangle a au moins deux angles aigus. Si le troisième angle est :
• droit, on parle de triangle rectangle : pour un triangle rectangle en A, = 90°, + = 90° : les deux angles aigus sont complémentaires.
• obtus, on parle de triangle obtusangle : un triangle admet au maximum un angle obtus : si > 90°, + < 90°, les deux autres angles sont aigus.
• aigu, on parle de triangle acutangle : les trois angles sont aigus.

a. Démonstration des « anciens Grecs »

Soit ABC un triangle et [AH] une hauteur (si le triangle est obtusangle, on choisira la hauteur issue du sommet de l'angle obtus, [BC] étant alors le plus grand côté).
On peut inscrire le triangle dans un rectangle BCED.

Dans le rectangle BHAD, les angles BAH et ABD sont de même mesure (angles alternes internes par rapport à la diagonale [AB] et les côtés parallèles [AH] et [BD]).
De même, HAC = ECA.

La somme des angles du triangle ABC + BAC + ACB = ABC + BAH + HAC+ ACB.
Avec les angles alternes internes, on trouve que cette somme est :
ABC + ABD + ECA+ ACB = CBD + ECB, soit 2 angles droits.

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b. Figure des disciples de Pythagore, vers le V^ème siècle avant J.-C.

On mène par A une parallèle à (BC). La somme des angles du triangle est égale à l'angle plat en A.

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c. Figure d'Euclide, III^ème siècle avant J.-C.

L'angle extérieur d'un triangle est égal à la somme des deux angles intérieurs non adjacents.

Télécharger la figure GéoPlan angle_exterieur.g2w
Télécharger la figure Cabri angle_exterieur.fig
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Démonstration des pythagoriciens La symétrie centrale, et la caractérisation angulaire du parallélisme qui en découle, permet de démontrer que la somme des angles d'un triangle est égale à 180 degrés. b. On mobilise deux fois le même pas de démonstration, qui consiste à utiliser les symétries centrales de centre I et J milieux de [AC] et de [AB], transformant la droite (BC) en (d), pour établir les égalités d'angles CBA = C’ÂB et ACB = CÂB’ et on conclut avec l'angle plat C’ÂB’ = C’AB + BÂC + CÂB’ = CBA + BÂC + ACB = + + = 180°. c. Dans la figure d'Euclide, en traçant la parallèle au troisième côté, on montre que l'angle extérieur est égal à la somme de deux angles, pour les angles correspondants et pour les angles alternes-internes. d. Pliage d'un triangle selon une droite des milieux, voir : aire du triangle
3. Droite des milieux	Classe de quatrième
Premier théorème des milieux (théorème direct de la droite des milieux) Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté. Dans un triangle ABC, si I est le milieu de [AB] et J le milieu [AC], alors (IJ) est parallèle à (BC). Deuxième théorème des milieux (théorème réciproque) Si une droite parallèle à un côté d'un triangle passe par le milieu d'un autre côté alors elle passe par le milieu du troisième côté. Dans un triangle ABC, soit I le milieu de [AB]. La parallèle à (BC) passant par I coupe (AC) en J. J est alors le milieu [AC]. C'est un cas particulier du théorème direct de Thalès. Troisième théorème des milieux (théorème direct) Dans un triangle ABC, si I est le milieu de [AB] et J le milieu [AC], alors IJ = BC. Démonstration du théorème de la droite des milieux Soit I le milieu de [AB], J le milieu [AC] et K le symétrique de J par rapport à I. Le point I est alors le milieu de [KJ] et IJ = KJ. Comme par hypothèse I est le milieu de [AB], les diagonales de AJBK se coupent en leur milieu commun I, donc AJBK est un parallélogramme. Les côtés [AJ] et [KB] sont parallèles et de même longueur, et il en est donc de même pour [JC] et [KB], donc KBCJ, quadrilatère non croisé, est un parallélogramme. Par les propriétés du parallélogramme, les côtés opposés [KJ] et [BC] sont parallèles, la droite (IJ) est donc parallèle à (BC) ce qui prouve le premier théorème des milieux. Comme les côtés opposés du parallélogramme sont égaux, de KJ = BC on déduit le troisième théorème des milieux : IJ = BC. Démonstration du deuxième théorème des milieux En classe de quatrième, notamment, la mise en place du théorème de la droite des milieux (et sa réciproque) ou plus généralement du théorème de Thalès (dans un cas générique) permet de mobiliser les connaissances sur les aires de triangles dans des conditions faciles d'accès. Méthode des aires : démonstration utilisant les propriétés d'Euclide : « les triangles ou les parallélogrammes qui ont la même hauteur sont l'un relativement à l'autre comme leurs bases ». Le deuxième théorème des milieux est la réciproque du premier : l'unicité de la parallèle à (BC) passant par I, on en déduit que la droite des milieux est confondue avec cette parallèle : elle coupe (AC) au milieu J de [AC]. Autre démonstration par la méthode des aires Montrer que AJ = JC. D'après la propriété du trapèze, les triangles IBC et JBC ont la même aire. Cette aire est égale à la moitié de l'aire du triangle ABC. En effet, Aire(ABC) = Aire(IBC) + Aire(IAC). Or IA = IB, donc, Aire(IBC) = Aire(IAC) = (CN × IB) où CN est la hauteur du triangle ABC issue de C. Donc, l'aire du triangle ABJ (complément dans ABC du triangle CBJ) est aussi égale à la moitié de celle de ABC et donc égale à l'aire du triangle CBJ. En revenant à l'expression de l'aire d'un triangle, comme les deux triangles ABJ et CBJ ont la hauteur BM, issue de B, en commun, Aire(ABJ) = (BM × AJ) est égal à Aire(CBJ) = (BM × JC). Les longueurs AJ et JC sont alors égales et J est le milieu de [AC].
Télécharger la figure GéoPlan milieux.g2w Télécharger la figure Cabri milieux.fig Télécharger la figure GeoLabo milieux.glb

4. Angles et triangles

OBC est un triangle équilatéral.
OAC est un triangle rectangle (B milieu de l'hypoténuse).
OCD est un triangle rectangle isocèle en C.

Trouver les mesures des angles de cette figure.

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Télécharger la figure Cabri triangle_1.fig
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5. Triangle rectangle isocèle

ABCD est un carré.
E est le symétrique de C par rapport à D.
I est le milieu de [BC], J est le milieu de [DE].

Montrer que le triangle AIJ est rectangle isocèle en A.

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Télécharger la figure Cabri triangle_2.fig
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6. Droites parallèles

Soit ABC un triangle et son cercle circonscrit (c) de centre O.
A’ est le point diamétralement opposé à A sur le cercle (c).
La hauteur (AH) issue de A du triangle ABC recoupe le cercle (c) au point D.

Montrer que la droite (DA’) est parallèle à (BC).

Indication

Le triangle rectangle ADA’ est inscrit dans un demi-cercle.

Télécharger la figure GéoPlan dr_para.g2w
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Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

7. Trouver un triangle isocèle

Classe de quatrième, troisième ou seconde

ABC est un triangle,
M un point du segment [AB],
la parallèle à (BC) passant par M coupe [AC] en N.

Où doit-on placer le point M pour que le triangle BMN soit isocèle en M ?

APMEP Extrait de : Favoriser l'activité mathématique
Serge Betton & Sylvie Coppé
Bulletin APMEP n^o 461 - Nov. 2005

Le point N est sur la bissectrice de l'angle ABC.

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Télécharger la figure Cabri cherche_triangle_isocele.fig
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8. Triangle bisocèle

Un triangle bisocèle est un triangle isocèle qui est partagé, par l'une de ses bissectrices, en deux triangles eux-mêmes isocèles.

Triangle isocèle rectangle

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Trouver un triangle bisocèle

Il est possible de faire une recherche
avec GéoPlan en déplaçant le point A.

Télécharger la figure GéoPlan bisocele.g2w

Triangle d'or

Construction du triangle d'or

Télécharger la figure GéoPlan trian_or.g2w

Soit ABC un triangle isocèle de base [BC] et d'angle à la base ABC = 2α (α > 0) et une bissectrice qui coupe le côté opposé en D.

Si la bissectrice est issue du sommet A, c'est aussi la médiatrice et (AD) partage le triangle ABC en deux triangles rectangles isocèles ADB et ADC. Les angles aigus sont de 45°. L'angle en A est de 90° et le triangle ABC est rectangle isocèle.

Si la bissectrice est issue d'un des sommets de la base, B par exemple, le triangle BDC doit être isocèle. L'angle BDC est alors égal à α ou à 2α.

α est une valeur impossible : en effet, les droites (AD) et (AB) déterminant deux angles alternes-internes égaux à α par rapport (BD) seraient parallèles, ce qui est contradictoire avec l'existence du sommet A.

Si BDC = 2α alors la somme des angles du triangle BDC est 5α = 180°, ce qui donne un angle α = 36°. BDC est alors égal à 72°, c'est aussi l'angle extérieur de ABD, angle égal à ABD + BÂD, d'où BÂD = ABD = 36°, ABD est aussi isocèle. Le triangle ABC est un triangle d'or.

Conclusion : il n'y a que deux types de triangles bisocèles : le triangle d'or et le triangle isocèle rectangle.

Wikipédia : triangle isocèle

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Activité B2i

Domaine B2i

Item collège validable

Le triangle en 5^ème ou en 4^ème

Triangles particuliers
Somme des angles d'un triangle
Angles et triangles
Triangle rectangle isocèle
Droites parallèles

1 – S'approprier un environnement informatique de travail.

1.1 – Je sais m'identifier sur un réseau ou un site et mettre fin à cette identification.

1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail.

Le triangle dans les programmes du collège

Extrait du programme de géométrie de 6^e (2008)

Connaissances	Capacités	Commentaires
Propriétés des triangles usuels	– Connaître les propriétés relatives aux côtés et aux angles des triangles suivants : triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle. – Utiliser ces propriétés pour reproduire ou construire des figures simples. – Construire une figure simple à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique.	On travaillera à la fois les constructions sur papier par les outils de dessin traditionnels et les constructions sur écran à l’aide d’un logiciel de géométrie.

Extrait du programme de géométrie de 5^e (2008)

Connaissances	Capacités	Commentaires
Triangle Somme des angles d'un triangle	– Connaître et utiliser, dans une situation donnée, le résultat sur la somme des angles d'un triangle. Savoir l'appliquer aux cas particuliers du triangle équilatéral, d'un triangle rectangle, d'un triangle isocèle.	La symétrie centrale ou la caractérisation angulaire du parallélisme qui en découle permettent de démontrer que la somme des angles d'un triangle est égale à 180 degrés
Construction de triangles et inégalité triangulaire.	– Connaître et utiliser l'inégalité triangulaire. – Construire un triangle connaissant : • la longueur d'un côté et les deux angles qui lui sont adjacents, • les longueurs de deux côtés et l'angle compris entre ces deux côtés, • les longueurs des trois côtés. – Sur papier uni, reproduire un angle au compas.	Dans chaque cas où la construction est possible, les élèves sont invités à remarquer que lorsqu'un côté est tracé, on peut construire plusieurs triangles, deux à deux symétriques par rapport à ce côté, à sa médiatrice et à son milieu. L'inégalité triangulaire est mise en évidence à cette occasion et son énoncé est admis : AB + BC ≥ AC. Le cas de l'égalité AB + BC = AC est reconnu comme caractéristique de l'appartenance du point B au segment [AC].
Cercle circonscrit à un triangle	– Construire le cercle circonscrit à un triangle.	La construction doit être justifiée
Médianes et hauteurs d'un triangle	– Connaître et utiliser la définition d'une médiane et d'une hauteur d'un triangle.	Ces notions sont à relier au travail sur l'aire d'un triangle. La démonstration des propriétés de concours n'est pas envisageable en classe de cinquième. La notion de hauteur d'un triangle ne fait pas partie du socle.
Aire du triangle	Calculer l'aire d'un triangle connaissant un côté et la hauteur associée.	La formule de l'aire du triangle est déduite de celles de l'aire du parallélogramme, du triangle rectangle ou du rectangle. Le fait que chaque médiane d'un triangle le partage en deux triangles de même aire est justifié. Dans le cadre du socle, les élèves peuvent calculer ainsi l'aire d'un parallélogramme. Les élèves peuvent calculer l'aire latérale d'un prisme droit ou d'un cylindre de révolution à partir du périmètre de leur base et de leur hauteur.

Extraits du programme de géométrie de 4^e (2008)

Connaissances

Capacités

Commentaires

Triangles :

Milieux et parallèles

– Connaître et utiliser les théorèmes relatifs aux milieux de deux côtés d'un triangle.

Ces théorèmes sont démontrés en utilisant la symétrie centrale et les propriétés caractéristiques du parallélogramme ou les aires.
Dans le cadre du socle commun, seules les propriétés directes de la droite des milieux sont exigibles.

Bissectrice d'un angle

[reprise des programmes antérieurs]

– Connaître et utiliser la définition de la bissectrice.

– Utiliser différentes méthodes pour tracer :
• la médiatrice d'un segment ;
• la bissectrice d'un angle.

La bissectrice d'un angle est définie comme la demi-droite qui partage l'angle en deux angles adjacents de même mesure.

La justification de la construction de la bissectrice à la règle et au compas est reliée à la symétrie axiale. Elle n'est pas exigible dans le cadre du socle.

Pavage

Collège
Problèmes de construction

GéoPlan
Parallélogramme

Construction du pentagone régulier

GéoPlan en 3^ème
Théorème de Thalès

GéoPlan
au collège