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Droites orthogonales : tétraèdre et cube - Figures avec GéoSpace.

Produit scalaire dans l'espace

Sommaire

Définitions
1. Tétraèdre : arêtes égales
2. Tétraèdre : arêtes orthogonales
3. Plan et droite orthogonaux dans le cube

GéoPlan : Produit scalaire
Exercices sur le produit scalaire

g3w Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec Internet Explorer et la version ActiveX de GéoSpace

 

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Tétraèdre

Tétraèdre orthocentrique : tétraèdre en seconde
Sections planes : GéoSpace en 1S

Section de cube

GéoSpace en troisième
Cube en 2de
Sections d'un cube en TS

Faire de la géométrie dynamique

TS - TES
Géométrie dans l'espace

GéoSpace TS
Épreuve pratique

GéoPlan TS
Épreuve pratique

GéoSpace TS
Paraboloïdes

Terminale S
Volume d'un tronc de cylindre

Définitions

Deux vecteurs de l'espace pouvant toujours être placés dans un même plan, les définitions du produit scalaire dans l'espace sont équivalentes à celles données en 1S pour le produit scalaire dans le plan.

Définition 1 (carré des normes)

si vec(u) = vec(AB), ||vec(u)|| = ||vec(AB)|| = AB.

On appelle produit scalaire de deux vecteurs le nombre : vec(u).vec(v) = 1/2 [ ||vec(u) + vec(v)||2 - ||vec(u)||2 - ||vec(v)||2 ].

Définition 3 (expression trigonométrique)

vec(u).vec(v) = ||vec(u)|| × ||vec(v)|| × cos θ, où θ est l'angle (vec(u), vec(v)) formé par les directions des vecteurs.

Définition 4 (expression analytique dans l'espace)

Si dans un repère orthonormal (O, vect(i), vect(j), vect(k)), vec(u) et vec(v) ont pour coordonnées respectives (x, y, z) et (x’, y’, z’), alors vec(u).vec(v) = xx’ + yy’ + zz’.

Définition simple et calculs faciles. On retrouve xx’ + yy’ + zz’= 0 pour les vecteurs orthogonaux.
On retrouve aussi le calcul de distance de deux points : ||vec(AB)|| = rac(x²+y²+z²) = AB, où x et y sont les coordonnées de vec(AB).
Il faut admettre que le calcul du produit scalaire est indépendant du choix du repère.

Équation cartésienne d'un plan

Le plan passant par un point A et de vecteur normal vect(n) est l'ensemble des points M tels que vect(AM).vect(n) = 0.

Dans un repère orthonormal un plan (p) a une équation de la forme ax + by + cz = d où les réels a, b, c ne sont pas simultanément tous nuls.
vect(n)(a, b, c) est un vecteur normal à (p).

En effet, si M a pour coordonnées (x, y, z), A(x0, y0, z0) et vect(n)(a, b, c), alors vect(AM)(x-x0, y-y0, z-z0) et vect(AM).vect(n) = a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0).
Le produit scalaire est nul si ax + by + cz = ax0 + by0 + cz0. Le nombre d s'obtient en calculant ax + by + cz pour les coordonnées de A.

1. Tétraèdre : arêtes égales

Tétraèdre - arêtes égalesSoit ABCD un tétraèdre et I, J, K et L les milieux de [BC], [BD], [CA] et [DA].

1. Exprimer vect(LI) et vect(KJ) en fonction de vec(A,B) et vec(C,D).

Remarque : décomposer vect(LI) en une somme de deux vecteurs et utiliser le théorème des milieux.
De même avec vect(KJ).

2. Calculer le produit scalaire vect(LI). vect(KJ).

3. Montrer que les droites (LI) et (KJ) sont orthogonales si et seulement si :
AB = CD.

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2. Tétraèdre : arêtes orthogonales

Tétraèdre : arêtes orthogonalesRappel : forme vectorielle du « théorème de la médiane »

Soit C et D deux points de l'espace et I le milieu de [CD].
Quel que soit le point M de l'espace, la médiane MI du triangle MCD permet d'écrire :
vect(MC) + vect(MD) = 2 vect(MI)
et MC2 - MD2 = 2 vect(MI).vec(DC).

En effet : vect(MC) + vect(MD) = (vect(MI) + vect(IC)) + (vect(MI) + vect(ID)) = 2 vect(MI)
et MC2 - MD2 = (vect(MC) + vect(MD)).(vect(MC)- vect(MD)) = 2 vect(MI).(vect(DM) + vect(MC)) = 2 vect(MI).vect(DC).

Exercice

Bac S - Besançon 1989

On considère quatre points distincts A, B, C et D de l'espace.

1. Exprimer AC2 - AD2 et BC2 - BD2 sous la forme de produits scalaires.

2. Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont orthogonales si et seulement si :
AC2 + BD2 = AD2 + BC2.

3. Application : on suppose que le tétraèdre ABCD soit tel que les arêtes (AB) et (CD) soient orthogonales ainsi que les arêtes (BC) et (AD). Montrer alors qu'il en est de même des arêtes (BD) et (AC).
(On dit alors que ABCD est un tétraèdre orthocentrique.)

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Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

3. Plan et droite orthogonaux dans le cube

Plan et droite orthogonaux dans le cube On considère un cube ABCDEFGH, d'arête de longueur a (a réel strictement positif). Soit I le point d'intersection de la droite (EC) et du plan (AFH).

Problème d'incidence

Montrer que la droite (EC) est perpendiculaire au plan (AFH).

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Produit scalaire

ÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2007 - Sujet 023 (enseignement obligatoire)

  • Calculer, en fonction de a, les produits scalaires suivants : vec(EA).vec(AF), vec(AB).vec(AF), vec(BC).vec(AF)

  • En déduire que les vecteurs vec(EC) et vec(AF) sont orthogonaux,
le point I est alors le projeté orthogonal de E sur le plan (AFH),
les droites (EI) et (AF) sont orthogonales.

  • Justifier le résultat suivant : les droites (EH) et (AF) sont orthogonales.
En déduire que la droite (HI) est orthogonale à la droite (AF).

  • Établir de même que la droite (FI) est orthogonale à la droite (AH).

  • Que représente le point I pour le triangle AFH ?

Solutions - Problème d'incidence

La droite (HF) est orthogonale à (EC) :

Les deux diagonales (HF) et (EG) du carré EFGH sont perpendiculaires.
La droite (EA) perpendiculaire au plan EFH est perpendiculaire à la droite (HF) contenue dans ce plan.

La droite (HF) perpendiculaire aux droites (EG) et (EA) du plan AEG est perpendiculaire à ce plan.
(HF) est orthogonale à toute droite du plan AEG, en particulier à la droite (EC).

On démontre de même que la droite (AF) est orthogonale à (EC) : en effet, (AF) est perpendiculaire à (BE) et à (BC).
(AF) est donc perpendiculaire au plan EBC, et à la droite (EC) contenue dans ce plan.

La droite (EC) orthogonale aux deux droites concourantes (HF) et (AF) du plan AFH est orthogonale à ce plan.

Produit scalaire

vec(EA).vec(AF) = vec(EA).(vec(AE)+vec(EF)) = − vec(EA)2 + vec(EA).vec(EF) = − a2+ 0 = − a2, car vec(EA) et vec(EF) sont orthogonaux,
vec(AB).vec(AF) = vec(AB).(vec(AE)+vec(EF)) = 0 + vec(AE)2 = a2,
vec(BC) est orthogonal au plan AEF, donc à vec(AF) : vec(BC).vec(AF) = 0.

vec(EC).vec(AF) = (vec(EA)+vec(AB)+vec(BC)).vec(AF) = − a2 + a2 + 0 = 0, vec(EC) et vec(AF) sont orthogonaux.
La droite (EI) est perpendiculaire à la droite (AF).

La droite (EH) perpendiculaire au plan AEF est orthogonale à la droite (AF) contenue dans ce plan.

La droite (AF) perpendiculaire aux droites concourantes (EI) et (EH) est perpendiculaire au plan EHI contenant ces deux droites.
(AF) est perpendiculaire à la droite (HI) contenue dans ce plan.

Le point I intersection des hauteurs (HI) et (FI) du triangle AFH est l'orthocentre du triangle.
Les côtés du triangle AFH sont égaux comme diagonales des faces du cube de longueur arac(2), AFH est un triangle équilatéral, le point I est le centre du triangle.

 

Mathématiques
en terminale

GéoPlan 1S
Produit scalaire

TS
Le barycentre au bac

GéoSpace 2de
Incidence

GéoSpace 1S
Activités

GéoSpace 1S
Fonctions

Sommaire

Définitions
1. Tétraèdre : arêtes égales
2. Tétraèdre : arêtes orthogonales
3. Plan et droite orthogonaux dans le cube
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