Exercices résolus en 1S avec GéoPlan par le calcul de produits scalaires : application à des triangles, des trapèzes, des carrés…

Ac-aix-mrs
MIAM

Produit scalaire

Descartes
…avec GéoPlan

Sommaire

1. Hauteur et médiane d'un triangle rectangle
2. La médiane de l'un est la hauteur de l'autre
3. Carré d'aire cinq fois plus petite…
4. Dans la foulée : droites perpendiculaires
5. Triangle rectangle isocèle
6. Trapèze rectangle
7. Un curieux point de concours
8. Hauteur d'un triangle
9. Quadrilatère inscriptible orthodiagonal

Exercices

1. Droites perpendiculaires
2. Calculs d'angles
3. Triangulation
4. Équations de cercles en géométrie analytique
5. Lieux de points
6. Hauteur d'un triangle
7. Produit scalaire et théorème de la médiane

Exercices résolus par produit scalaire

Produit scalaire dans l'espace

Cercle d'Apollonius : lieux géométriques du triangle
Droites remarquables dans le triangle
Retrouver un triangle à partir de centres ou de pieds

Si vous ne visualisez pas l'image dans le cadre ci-contre, les contrôles ActiveX du CREEM ne sont pas installés sur votre PC. Vous pouvez :

Page no 45, réalisée le 16/6/2003, modifiée le 30/12/2006

Produit scalaire
Les problèmes du BOA

GéoPlan
Paraboles en 1S

GéoPlan
Paraboles en 1L

Le barycentre

Angles
Rotations

GéoPlan
Homothéties

Définitions

Définition 1 (carré des normes)

si vec(u) = vec(AB), ||vec(u)|| = ||vec(AB)|| = AB.

On appelle produit scalaire de deux vecteurs le nombre :

vec(u).vec(v) = 1/2 [ ||vec(u) + vec(v)||2 - ||vec(u)||2 - ||vec(v)||2 ].

vec(u).vec(u) se note vec(u)2 = ||vec(u)||2 et si vec(u) = vec(AB), alors vec(u)2 = vec(AB)2 = ||vec(AB)||2 = AB2.

Définition un peu délicate du produit scalaire comme forme bilinéaire symétrique définie positive. Comme souvent avec les mathématiques modernes c'est simple, les calculs sont faciles, mais trop abstraits et hors programme de 1S.

Définition 2 (projection orthogonale)

Le produit scalaire de deux vecteurs vec(AB) et vec(CD) colinéaires est égal à AB × CD s'ils sont de même sens, et à - AB × CD s'ils sont de sens contraires.
Pour calculer le produit scalaire vec(AB).vec(CD), on peut remplacer le vecteur vec(CD) par sa projection orthogonale sur le vecteur vec(AB).

Sur la figure vec(u).vec(v) = vec(AB).vec(CD) = vec(AB).vec(C'D') = AB × C’D’ (lorsque vec(AB) et vec(C'D') sont de même sens).

Définition simple et intuitive, issue de l'expérience physique du travail d'une force. Il faut démontrer, ou admettre, que le produit scalaire est indépendant du choix des bipoints représentant les vecteurs.

Définition 3 (expression trigonométrique)

vec(u).vec(v) = ||vec(u)|| × ||vec(v)|| × cos θ, où θ est l'angle (vec(u), vec(v)) formé par les directions des vecteurs.

Sur la figure de droite, en choisissant deux vecteurs de même origine O :
vec(u).vec(v) = vect(OM).vect(ON) = vect(OM).vect(OH) = OM × OH = OM × ON × cos θ.

Si - pi/2 < θ < pi/2, vec(u).vec(v) = vect(OM).vect(OH) = OM × OH,
si pi/2 < |θ| < π, vec(u).vec(v) = vect(OM).vect(OH) = − OM × OH.

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Définition 4 (expression analytique dans le plan)

Si dans un repère orthonormal (O, vect(i), vect(j)), vec(u) et vec(v) ont pour coordonnées respectives (x, y) et (x’, y’), alors vec(u).vec(v) = xx’ + yy’.

Définition simple et calculs faciles. On retrouve xx’ + yy’ = 0 pour les vecteurs orthogonaux.
On retrouve aussi le calcul de distance de deux points
: ||vec(AB)|| = rac(x²+y²) = AB, où x et y sont les coordonnées de vec(AB).
Il faut admettre que le calcul du produit scalaire est indépendant du choix du repère
.

Règles de Calcul

Commutativité : vec(u).vec(v) = vec(v).vec(u).

Les propriétés de bilinéarité suivantes sont valables :
distributivité : vec(u).(vec(v) + vec(v)’) = vec(u).vec(v) + vec(u).vec(v)’; (vec(u) + vec(u)’).vec(v) = vec(u).vec(v) + vec(u).vec(v),
Multiplication par un réel : (kvec(u)).vec(v) = k (vec(u).vec(v)) ; vec(u).(kvec(v)) = k (vec(u).vec(v)).

Orthogonalité

Si deux vecteurs sont perpendiculaires entre eux, le produit scalaire est nul.

1. Hauteur et médiane d'un triangle rectangle

Le triangle OAB est rectangle en O.

(OI) est la médiane et (OH) la hauteur, issues de O.

Le point H se projette orthogonalement en J et K sur les petits côtés du triangle.

Montrer que les droites (OI) et (JK) sont orthogonales.

 

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cabri Télécharger la figure Cabri p_s_triangle_rect.fig
GeoLabo Télécharger la figure GeoLabo p_s_triangle_rect.glb

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Faire de la géométrie dynamique


2. La médiane de l'un est la hauteur de l'autre

Soit A et B deux points libres sur la demi-droite (Ox).

Sur la demi-droite (Oy) on place les points C et D tels que OC = OB et OD = OA.

I est le milieu de [AC].
Montrer que la médiane (OI) du triangle OAC est la hauteur du triangle OBD.

De même, la médiane (OJ) du triangle OBD est la hauteur du triangle OAC.

 

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Voir : les problèmes du BOA
Homothéties au bac
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3.Carré d'aire cinq fois plus petite…

I, J, K et L sont les milieux des côtés d'un carré ABCD (longueur du côté AB = a).

Montrer que la droite (IC) est perpendiculaire à (LB),
calculer PQ en fonction de a,
justifier que PQRS est un carré,
montrer que son aire est égale à 1/5 de l'aire de ABCD.

Indications

Montrer que le produit scalaire vect(IC).vect(LB) est nul :
Méthode 1 : faire le calcul dans un repère en choisissant le repère canonique
(A, vec(i), vec(j)) ou le repère (A, vec(AB), vec(AD)).
Méthode 2 : avec des relations de Chasles et la bilinéarité du produit scalaire calculer
(vect(IB) + vec(BC)).(vec(LA) + vec(AB)) en remarquant les deux produits scalaires nuls.

Calculer la longueur PQ à l'aide du produit scalaire vect(IC).vect(BJ) en remarquant que vect(PQ) est le projeté orthogonal de vect(BJ) sur vect(IC).

Un découpage de ABCD permet de reconstituer 5 petits carrés en collant aux 4 trapèzes adjacents au carré central PQRS, 4 triangles rectangles : faire pivoter ces triangles par des rotations de 180° autour des milieux des côtés du grand carré.

Droites orthogonales dans un carré, voir : angles - rotations
Olympiades académiques : Nancy 2004
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Application : composer un carré avec cinq carrés

Problème du carreleur : avec cinq carreaux de céramique, paver un grand carré.

Disposer les cinq carrés autour du carré central PQRS en forme de croix suisse.

Joindre A à B, B à C, C à D et D à A, on obtient un carré.

Les quatre triangles rectangles AS’S1, BP’P1… sont, par symétries centrales de centres S’, P’…, égaux aux triangles DS’S, AP’P…

En découpant les quatre triangles AS’S1… et en les portant, par des rotations de 180°, en DS’S… on obtient un carré ABCD, d'aire égale à 5 fois l'aire de PQRS.

Puzzle 1 : avec les dix fragments issus de cinq carrés découpés, comme le carré ci-dessus à droite, on reconstitue le carré de gauche.

Remarque 2 : en découpant le carré central en quatre triangles rectangles égaux à DS’S, les trapèzes autour en trois triangles et avec les quatre triangles dans les creux de la croix, on obtient un pavage du grand carré ABCD en 20 triangles rectangles.

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Puzzle 2 : On aligne comme sur la figure ci-contre cinq carrés égaux.

Reconstituer un carré.

 

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Composer un carré de deux carrés de côtés a et b : carré au collège
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4. Dans la foulée : droites perpendiculaires

M est un point variable de la diagonale [AC] d'un carré ABCD, distinct de A et C.

Il se projette en P et Q sur les côtés [AB] et [BC] du carré.

Montrer que la droite (DM) est perpendiculaire à (PQ).

 

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5. Triangle rectangle isocèle

M est un point variable de la diagonale [AC] d'un carré ABCD, distinct de A et C.
Il se projette en P et Q sur les côtés [AB] et [BC] du carré.

Si O est le milieu du carré, montrer que OPQ est un triangle rectangle isocèle.

Indications

Calculer le produit scalaire vect(OP).vect(OQ) :

vect(OP).vect(OQ) = (vect(OM) + vect(MP)).(vect(OM) + vect(MQ)) = vect(OM)2 + vect(OM).(vect(MQ) + vect(MP)) + vect(MP).vect(MQ) = vect(OM)2 + vect(OM).(vect(MB)) + 0.
Or le produit scalaire vect(OM).vect(MB) est égal au produit de vect(OM) par la projection de vect(MB) sur (OM)
soit vect(OM).vect(MO) = − vect(OM)2.
vect(OP).vect(OQ) = vect(OM)2 - vect(OM)2 = 0, l'angle PÔQ est droit.

La rotation de centre O et d'angle pi/2, transforme les droites (AB) en (BC), (OP) en (OQ) ; leurs points d'intersection P en Q.
Donc, OP = OQ et le triangleOPQ est rectangle isocèle en O.

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6. Trapèze rectangle

ABCD est un trapèze rectangle en A et D tel que la petite base AB = a, la grande base DC = 2a et la hauteur AD = h.

Sachant que vect(BD) = vect(BA) + vect(AD), calculer le produit scalaire vec(AC).vect(BD) en fonction de a et de h.

Trouver la valeur h pour laquelle les diagonales [AC] et [BD] sont orthogonales.

Commandes :
cliquer dans la figure et modifier h avec les flèches du clavier.
Taper S pour obtenir la figure correspondant à la solution : h = a rac(2).

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7. Un curieux point de concours

On projette orthogonalement les sommets d'un triangle ABC sur une droite d en A’, B’ et C’.

Soit d1 la droite, passant par A’, perpendiculaire à (BC),
d2 la droite, passant par B’, perpendiculaire à (AC),
d3 la droite, passant par C’, perpendiculaire à (AB).

Montrer que les droites d1, d2 et d3 sont concourantes.

Méthode à mettre en œuvre

Les droites d2 et d3 sont concourantes en K.

Montrer que le produit scalaire des vecteurs KA'.vect(BC) est nul en décomposant :
KA' = KC' + C'A' et vect(BC) = vect(BA) + vec(AC).
La droite (KA’) est orthogonale à (BC), c'est la droite d1 qui passe par K.

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Théorème de Ménélaüs : configurations fondamentales
Démonstration comme point de concours de trois axes radicaux : géométrie du cercle

8. Hauteur d'un triangle

Cas particulier de l'exercice précédent, lorsque la droite (d) passe par un sommet du triangle.

On considère un triangle ABC et une droite (d) passant par C.
On désigne par H et K les projetés orthogonaux de A et B sur (d) et, par M le point d'intersection de la perpendiculaire menée de H à (BC) et de la perpendiculaire menée de K à (AC).

Démontrer avec un calcul de produit scalaire que les droites (CM) et (AB) sont orthogonales :

Par projection sur la droite (AC) :

vect(CA).vect(CK) = vect(CA).vec(CQ) et vect(CA).vect(CM) = vect(CA).vec(CQ) d'où vect(CA).vect(CM) = vect(CA).vect(CK)

Par projection sur la droite (d) : vect(CA).vect(CK) = vect(CH).vect(CK) donc vect(CA).vect(CM) = vect(CH).vect(CK)

Par projection sur la droite (BC) :

vec(CB).vect(CH) = vec(CB).vec(CP) et vec(CB).vect(CM) = vec(CB).vec(CP) d'où vec(CB).vect(CH) = vec(CB).vect(CM)

Par projection sur la droite (d) : vec(CB).vect(CH) = vect(CK). vect(CH) donc vec(CB).vect(CM) = vect(CH).vect(CK)

Soit vect(CH).vect(CK) = vec(CB).vect(CM) = vect(CA).vect(CM) d'où vec(CB).vect(CM) - vect(CA).vect(CM) = 0 et (vec(CB) - vect(CA)).vect(CM) = (vec(AC) + vec(CB)).vect(CM) = vec(AB).vect(CM) = 0.

Le produit scalaire est nul, et les droites sont bien perpendiculaires.

Lorsque la droite (d) tourne autour du point C, le point M décrit la hauteur du triangle ABC, issue de C, perpendiculaire à (AB).
Si la droite (d) est confondue avec un des côtés (AC) ou (BC) du triangle, le point M est l'orthocentre du triangle.

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Famille de cercle : GéoPlan en terminale S

9. Quadrilatère inscriptible orthodiagonal

Soit (c) un cercle de centre O, de rayon r.
F un point à l'intérieur du cercle, distinct de O.
Deux droites (d) et (d2) orthogonales pivotent autour du point F.
La droite (d) coupe le cercle (c) en A et C, (d2) coupe (c) en B et D.

Les points cocycliques A, B, C et D forment le quadrilatère orthodiagonal ABCD.

Soit I, J, K, L les milieux des cordes [AB], [BC], [CD], [DA] et R, S, P, Q les projetés orthogonaux de F sur ces cordes.

Le point G, centre de gravité de ABCD, est un point fixe :
soit M est le milieu de [AC], N milieu de [BD]. G est le centre du rectangle OMFN. C'est donc le milieu de [OF].

La somme FA2 + FB2 + FC2 + FD2 = 4R2 est indépendante de F.

On a aussi : AB2 + CD2 = AD2 + CB2 = 4R2

Points libres : l'étiquette (c) pour définir le cercle, le point F, l'étiquette (d) pour déplacer les droites.

La médiane (FI) du triangle AFB est la hauteur (FQ) du triangle CFD.

Voir : théorème de Brahmagupta : le cercle en seconde
quadrilatère orthodiagonal
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Le quadrilatère de Varignon IJKL est un rectangle de centre G.

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Faire de la géométrie dynamique

Cercle des huit points d'un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires.

Les huit points I, J, K, L, P, Q, R, S appartiennent à un même cercle (fixe de centre G, point de concours des diagonales du rectangle IJKL).

Ce résultat reste vrai si ABCD n'est pas inscriptible. Vérifier qu'il est encore vrai pour un quadrilatère non convexe dont les diagonales sont perpendiculaires.

Commandes GéoPlan : cliquer dans la figure et déplacer le point B.
Taper 1 pour un quadrilatère convexe,
taper 2 pour un quadrilatère non convexe.

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cabri Télécharger la figure Cabri cercle_8_points.fig
GeoLabo Télécharger la figure GeoLabo cercle_8_points.glb

Exercices

1. Droites perpendiculaires

Rectangle (cf. papier A4)

ABCD est un rectangle de largeur AD = a et de longueur AB = arac(2).
E est le milieu de [AB].
Que peut-on dire des droites (AC) et (DE) ?

Calculer le produit scalaire vec(AC).vec(DE) dans le repère (A, vect(AI), vec(AD)) où I est le point de [AB] tel que AI = a.

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Triangle rectangle et isocèle

Soit ABC un triangle rectangle isocèle en A.
Soit le point I de [AB] tel que AI =AB/3 ;
le point J de [AC] tels que AJ = AC/3 et le milieu K de [IC].

Démontrer que les droites (AK) et (JB) sont perpendiculaires.

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2. Calculs d'angles

Les points I et J sont les milieux des côtés [AB] et [BC] d'un carré ABCD (où AB = a, a > 0).
On note θ l'angle (vect(AJ), vect(IC)). Donner une valeur exacte de cos θ, puis une valeur approchée de θ en degré à 0,1° près.

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Le cerf-volant AICJ

Les points I et J sont les milieux des côtés [BC] et [CD] d'un carré ABCD (où AB = a, a > 0).
On note θ l'angle (vect(AI), vect(AJ)). Donner une valeur exacte de cos θ, puis une valeur approchée de θ en degré à 0,1° près.

g2w Télécharger la figure GéoPlan carre_2.g2w

Variante : calculer l'angle (vec(AC), vect(AI)).


3. Triangulation

À partir de deux points, sur la côte [AB], on vise deux îlots C et D dont on veut calculer la distance.

Les angles suivants ont été mesurés à partir de deux points A et B distants d'un kilomètre :
BÂC = 47°; DÂB = 113°; ABD = 39° et ABC = 95°.

calculer les distances AC, AD et CD.


4. Équations de droites et cercles en géométrie analytique

Rappels de cours

Équation cartésienne d'une droite

« Si vec(n) (a, b) est un vecteur normal d'une droite (d) passant par un point A, alors (d) est le lieu des points M(x, y) tels que vec(n).vec(MA) = 0 ;
une équation de (d) s'écrit sous la forme ax + by + c = 0 ».
Réciproquement, si a et b sont deux réels non nuls, l'équation ax + by + c = 0 est l'équation d'une droite dont le vecteur vec(n) de coordonnées (a, b) est un vecteur normal.

Application : équation de la médiatrice d'un segment [AB] ; droite passant par le milieu I de [AB], orthogonale au vecteur vec(AB).

Équation cartésienne d'un cercle

« Le cercle de centre I(a, b) et de rayon r est l'ensemble des points M(x, y) tels que IM2 = r2 ».
Une équation de ce cercle est : (x - a)2 + (y - b)2 = r2 ; soit x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0.
Le cercle de diamètre [AB] est l'ensemble des points M du plan tels que : vec(MA).vec(MB) = 0 soit (x - xA) (x - xB) + (y - yA) (y - yB) = 0.

Application : soit (c) un cercle de centre I et A un point de (c). Pour la tangente en A au cercle (c), écrire l'équation de la droite passant par A, orthogonale au vecteur vec(IA).

Triangle

Dans un repère orthonormé, on donne les points : A(-1, 3) ; B(-2, 5) et C(1, 4).

1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle en A.
2. Déterminer une équation du cercle circonscrit au triangle ABC.
3. Déterminer une équation de la médiatrice de [BC].

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Deux cercles

on définit les cercles (c1) et (c2) par les équations suivantes :
(c1) : x2 + y2 + 6x + 6y - 7 = 0,
(c2) : x2 + y2 + x - 4y - 2 = 0.

a) Déterminer les coordonnées des centres I1 et I2, les rayons r1 et r2 de ces deux cercles et les tracer.
b) Quelles sont les coordonnées des points d'intersection I et J, de ces deux cercles.

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5. Lieux de points

soit A et B deux points du plan tels que AB = 5 (l'unité est égale à 1 cm) et I est le milieu de [AB].
a) Dire quel est l'ensemble (c1) des points M tels que vec(MA).vec(MB) = 0.
Construire (c1).
b) Dire quel est l'ensemble (d1) des points M tels que vec(AM). vec(AB) = −10.
Construire (d1).
c) Dire quel est l'ensemble (d2) des points M tels que MA2 - MB2 = 10
Construire (d2).
d) Dire quel est l'ensemble (d3) des points M tels que (vec(MA) + vec(MB)). vec(AB) = 0.
Construire (d3).
e) Dire quel est l'ensemble (c2) des points M tels que vec(MA).vec(MB) = −4.
Construire (c2).

6. Hauteur d'un triangle

Dans un triangle ABC, on nomme H le pied de la hauteur, issue de A, et K le pied de la hauteur, issue de C.
a) Prouver que vec(BK).vec(BA) = vec(BH).vec(BC)
b) En déduire que le triangle ABC est rectangle en A, si et seulement si :
BA2 = vec(BH).vec(BC)
c) La relation BA2 = BH × BC implique-t-elle que le triangle ABC soit rectangle en A ?
Construire un contre-exemple.

Commandes GéoPlan

Cliquer dans la figure et déplacer A,

Taper 2 pour un triangle rectangle,

touche 3 pour un contre-exemple,

touche 1 pour retrouver la stuation initiale.

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7. Produit scalaire et théorème de la médiane

Soit ABC un triangle, I et J les milieux respectifs de [BC] et [AC].

En utilisant le théorème de la médiane, démontrer que :
les médianes (AI) et (BJ) sont perpendiculaires si, et seulement si, BC2 + AC2 = 5 AB2.

Indications

D'après le théorème de la médiane, avec K milieu de [AB], on a : CA2 + CB2 = 2 CK2 + AB^2/2.
Le triangle est alors dit « orthomédian » en A et B.

Voir preuve - Classe de première : triangle

 

Fonctions distance

GéoPlan
Minimum-maximum

Produit scalaire
Les problèmes du BOA

GéoPlan
Le plan projectif

Construire un pentagone régulier

Démonstrations géométriques de Pythagore

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1. Hauteur et médiane d'un triangle rectangle
2. La médiane de l'un est la hauteur de l'autre
3. Carré d'aire cinq fois plus petite…
4. Dans la foulée : droites perpendiculaires
5. Triangle rectangle isocèle
6. Trapèze rectangle
7. Un curieux point de concours
8. Hauteur d'un triangle
9. Quadrilatère inscriptible orthodiagonal

Exercices

1. Droites perpendiculaires
2. Calculs d'angles
3. Triangulation
4. Équations de cercles en géométrie analytique
5-. Lieux de points
6. Hauteur d'un triangle
7. Produit scalaire et théorème de la médiane

Exercices résolus par produit scalaire

Produit scalaire dans l'espace

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