Exercices résolus en 1S avec GéoPlan par le calcul de produits scalaires : application à des triangles, des trapèzes, des carrés…
	Produit scalaire	…avec GéoPlan

Définitions

Définition 1 (carré des normes)

si = , |||| = |||| = AB.

On appelle produit scalaire de deux vecteurs le nombre :

. = [ || + ||² - ||||² - ||||² ].

. se note ² = ||||² et si = , alors ² = ² = ||||² = AB².

Définition un peu délicate du produit scalaire comme forme bilinéaire symétrique définie positive. Comme souvent avec les mathématiques modernes c'est simple, les calculs sont faciles, mais trop abstraits et hors programme de 1S.

Définition 2 (projection orthogonale)

Le produit scalaire de deux vecteurs et colinéaires est égal à AB × CD s'ils sont de même sens, et à - AB × CD s'ils sont de sens contraires.
Pour calculer le produit scalaire ., on peut remplacer le vecteur par sa projection orthogonale sur le vecteur .

Sur la figure . = . = . = AB × C’D’ (lorsque et sont de même sens).

Définition simple et intuitive, issue de l'expérience physique du travail d'une force. Il faut démontrer, ou admettre, que le produit scalaire est indépendant du choix des bipoints représentant les vecteurs.

Définition 3 (expression trigonométrique)

. = |||| × |||| × cos θ, où θ est l'angle (, ) formé par les directions des vecteurs.

Sur la figure de droite, en choisissant deux vecteurs de même origine O :
. = . = . = OM × OH = OM × ON × cos θ.

Si - < θ < , . = . = OM × OH,
si < |θ| < π, . = . = − OM × OH.

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Définition 4 (expression analytique dans le plan)

Si dans un repère orthonormal (O, , ), et ont pour coordonnées respectives (x, y) et (x’, y’), alors . = xx’ + yy’.

Définition simple et calculs faciles. On retrouve xx’ + yy’ = 0 pour les vecteurs orthogonaux.
On retrouve aussi le calcul de distance de deux points : |||| = = AB, où x et y sont les coordonnées de .
Il faut admettre que le calcul du produit scalaire est indépendant du choix du repère.

Règles de Calcul

Commutativité : . = ..

Les propriétés de bilinéarité suivantes sont valables :
distributivité : .( + ’) = . + .’; ( + ’). = . + ’.,
Multiplication par un réel : (k). = k (.) ; .(k) = k (.).

Orthogonalité

Si deux vecteurs sont perpendiculaires entre eux, le produit scalaire est nul.

1. Hauteur et médiane d'un triangle rectangle

Le triangle OAB est rectangle en O.

(OI) est la médiane et (OH) la hauteur, issues de O.

Le point H se projette orthogonalement en J et K sur les petits côtés du triangle.

Montrer que les droites (OI) et (JK) sont orthogonales.

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2. La médiane de l'un est la hauteur de l'autre

Soit A et B deux points libres sur la demi-droite (Ox).

Sur la demi-droite (Oy) on place les points C et D tels que OC = OB et OD = OA.

I est le milieu de [AC].
Montrer que la médiane (OI) du triangle OAC est la hauteur du triangle OBD.

De même, la médiane (OJ) du triangle OBD est la hauteur du triangle OAC.

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Voir : les problèmes du BOA
Homothéties au bac
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3.Carré d'aire cinq fois plus petite…

I, J, K et L sont les milieux des côtés d'un carré ABCD (longueur du côté AB = a).

Montrer que la droite (IC) est perpendiculaire à (LB),
calculer PQ en fonction de a,
justifier que PQRS est un carré,
montrer que son aire est égale à de l'aire de ABCD.

Indications

Montrer que le produit scalaire . est nul :
Méthode 1 : faire le calcul dans un repère en choisissant le repère canonique
(A, , ) ou le repère (A, , ).
Méthode 2 : avec des relations de Chasles et la bilinéarité du produit scalaire calculer
( + ).( + ) en remarquant les deux produits scalaires nuls.

Calculer la longueur PQ à l'aide du produit scalaire . en remarquant que est le projeté orthogonal de sur .

Un découpage de ABCD permet de reconstituer 5 petits carrés en collant aux 4 trapèzes adjacents au carré central PQRS, 4 triangles rectangles : faire pivoter ces triangles par des rotations de 180° autour des milieux des côtés du grand carré.

Droites orthogonales dans un carré, voir : angles - rotations
Olympiades académiques : Nancy 2004
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Application : composer un carré avec cinq carrés

Problème du carreleur : avec cinq carreaux de céramique, paver un grand carré.

Disposer les cinq carrés autour du carré central PQRS en forme de croix suisse.

Joindre A à B, B à C, C à D et D à A, on obtient un carré.

Les quatre triangles rectangles AS’S₁, BP’P₁… sont, par symétries centrales de centres S’, P’…, égaux aux triangles DS’S, AP’P…

En découpant les quatre triangles AS’S₁… et en les portant, par des rotations de 180°, en DS’S… on obtient un carré ABCD, d'aire égale à 5 fois l'aire de PQRS.

Puzzle 1 : avec les dix fragments issus de cinq carrés découpés, comme le carré ci-dessus à droite, on reconstitue le carré de gauche.

Remarque 2 : en découpant le carré central en quatre triangles rectangles égaux à DS’S, les trapèzes autour en trois triangles et avec les quatre triangles dans les creux de la croix, on obtient un pavage du grand carré ABCD en 20 triangles rectangles.

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Puzzle 2 : On aligne comme sur la figure ci-contre cinq carrés égaux.

Reconstituer un carré.

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Composer un carré de deux carrés de côtés a et b : carré au collège
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4. Dans la foulée : droites perpendiculaires

M est un point variable de la diagonale [AC] d'un carré ABCD, distinct de A et C.

Il se projette en P et Q sur les côtés [AB] et [BC] du carré.

Montrer que la droite (DM) est perpendiculaire à (PQ).

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5. Triangle rectangle isocèle

M est un point variable de la diagonale [AC] d'un carré ABCD, distinct de A et C.
Il se projette en P et Q sur les côtés [AB] et [BC] du carré.

Si O est le milieu du carré, montrer que OPQ est un triangle rectangle isocèle.

Indications

Calculer le produit scalaire . :

. = ( + ).( + ) = ² + .( + ) + . = ² + .() + 0.
Or le produit scalaire . est égal au produit de par la projection de sur (OM)
soit . = − ².
. = ² - ² = 0, l'angle PÔQ est droit.

La rotation de centre O et d'angle , transforme les droites (AB) en (BC), (OP) en (OQ) ; leurs points d'intersection P en Q.
Donc, OP = OQ et le triangleOPQ est rectangle isocèle en O.

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6. Trapèze rectangle

ABCD est un trapèze rectangle en A et D tel que la petite base AB = a, la grande base DC = 2a et la hauteur AD = h.

Sachant que = + , calculer le produit scalaire . en fonction de a et de h.

Trouver la valeur h pour laquelle les diagonales [AC] et [BD] sont orthogonales.

Commandes :
cliquer dans la figure et modifier h avec les flèches du clavier.
Taper S pour obtenir la figure correspondant à la solution : h = a .

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7. Un curieux point de concours

On projette orthogonalement les sommets d'un triangle ABC sur une droite d en A’, B’ et C’.

Soit d₁ la droite, passant par A’, perpendiculaire à (BC),
d₂ la droite, passant par B’, perpendiculaire à (AC),
d₃ la droite, passant par C’, perpendiculaire à (AB).

Montrer que les droites d₁, d₂ et d₃ sont concourantes.

Méthode à mettre en œuvre

Les droites d₂ et d₃ sont concourantes en K.

Montrer que le produit scalaire des vecteurs . est nul en décomposant :
 =  + et = + .
La droite (KA’) est orthogonale à (BC), c'est la droite d₁ qui passe par K.

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Théorème de Ménélaüs : configurations fondamentales
Démonstration comme point de concours de trois axes radicaux : géométrie du cercle

8. Hauteur d'un triangle

Cas particulier de l'exercice précédent, lorsque la droite (d) passe par un sommet du triangle.

On considère un triangle ABC et une droite (d) passant par C.
On désigne par H et K les projetés orthogonaux de A et B sur (d) et, par M le point d'intersection de la perpendiculaire menée de H à (BC) et de la perpendiculaire menée de K à (AC).

Démontrer avec un calcul de produit scalaire que les droites (CM) et (AB) sont orthogonales :

Par projection sur la droite (AC) :

. = . et . = . d'où . = .

Par projection sur la droite (d) : . = . donc . = .

Par projection sur la droite (BC) :

. = . et . = . d'où . = .

Par projection sur la droite (d) : . = . donc . = .

Soit . = . = . d'où . - . = 0 et ( - ). = ( + ). = . = 0.

Le produit scalaire est nul, et les droites sont bien perpendiculaires.

Lorsque la droite (d) tourne autour du point C, le point M décrit la hauteur du triangle ABC, issue de C, perpendiculaire à (AB).
Si la droite (d) est confondue avec un des côtés (AC) ou (BC) du triangle, le point M est l'orthocentre du triangle.

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Famille de cercle : GéoPlan en terminale S

9. Quadrilatère inscriptible orthodiagonal

Exercices

1. Droites perpendiculaires

Rectangle (cf. papier A4)

ABCD est un rectangle de largeur AD = a et de longueur AB = a.
E est le milieu de [AB].
Que peut-on dire des droites (AC) et (DE) ?

Calculer le produit scalaire . dans le repère (A, , ) où I est le point de [AB] tel que AI = a.

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Triangle rectangle et isocèle

Soit ABC un triangle rectangle isocèle en A.
Soit le point I de [AB] tel que AI = ;
le point J de [AC] tels que AJ = et le milieu K de [IC].

Démontrer que les droites (AK) et (JB) sont perpendiculaires.

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2. Calculs d'angles

Les points I et J sont les milieux des côtés [AB] et [BC] d'un carré ABCD (où AB = a, a > 0).
On note θ l'angle (, ). Donner une valeur exacte de cos θ, puis une valeur approchée de θ en degré à 0,1° près.

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Le cerf-volant AICJ

Les points I et J sont les milieux des côtés [BC] et [CD] d'un carré ABCD (où AB = a, a > 0).
On note θ l'angle (, ). Donner une valeur exacte de cos θ, puis une valeur approchée de θ en degré à 0,1° près.

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Variante : calculer l'angle (, ).

3. Triangulation

À partir de deux points, sur la côte [AB], on vise deux îlots C et D dont on veut calculer la distance.

Les angles suivants ont été mesurés à partir de deux points A et B distants d'un kilomètre :
BÂC = 47°; DÂB = 113°; ABD = 39° et ABC = 95°.

calculer les distances AC, AD et CD.

4. Équations de droites et cercles en géométrie analytique

Rappels de cours

Équation cartésienne d'une droite

« Si (a, b) est un vecteur normal d'une droite (d) passant par un point A, alors (d) est le lieu des points M(x, y) tels que . = 0 ;
une équation de (d) s'écrit sous la forme ax + by + c = 0 ».
Réciproquement, si a et b sont deux réels non nuls, l'équation ax + by + c = 0 est l'équation d'une droite dont le vecteur de coordonnées (a, b) est un vecteur normal.

Application : équation de la médiatrice d'un segment [AB] ; droite passant par le milieu I de [AB], orthogonale au vecteur .

Équation cartésienne d'un cercle

« Le cercle de centre I(a, b) et de rayon r est l'ensemble des points M(x, y) tels que IM² = r² ».
Une équation de ce cercle est : (x - a)² + (y - b)² = r² ; soit x² + y² - 2ax - 2by + c = 0.
Le cercle de diamètre [AB] est l'ensemble des points M du plan tels que : . = 0 soit (x - x_A) (x - x_B) + (y - y_A) (y - y_B) = 0.

Application : soit (c) un cercle de centre I et A un point de (c). Pour la tangente en A au cercle (c), écrire l'équation de la droite passant par A, orthogonale au vecteur .

Triangle

Dans un repère orthonormé, on donne les points : A(-1, 3) ; B(-2, 5) et C(1, 4).

1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle en A.
2. Déterminer une équation du cercle circonscrit au triangle ABC.
3. Déterminer une équation de la médiatrice de [BC].

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Deux cercles

on définit les cercles (c₁) et (c₂) par les équations suivantes :
(c₁) : x² + y² + 6x + 6y - 7 = 0,
(c₂) : x² + y² + x - 4y - 2 = 0.

a) Déterminer les coordonnées des centres I₁ et I₂, les rayons r₁ et r₂ de ces deux cercles et les tracer.
b) Quelles sont les coordonnées des points d'intersection I et J, de ces deux cercles.

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5. Lieux de points

soit A et B deux points du plan tels que AB = 5 (l'unité est égale à 1 cm) et I est le milieu de [AB].
a) Dire quel est l'ensemble (c₁) des points M tels que . = 0.
Construire (c₁).
b) Dire quel est l'ensemble (d₁) des points M tels que . = −10.
Construire (d₁).
c) Dire quel est l'ensemble (d₂) des points M tels que MA² - MB² = 10
Construire (d₂).
d) Dire quel est l'ensemble (d₃) des points M tels que ( + ). = 0.
Construire (d₃).
e) Dire quel est l'ensemble (c₂) des points M tels que . = −4.
Construire (c₂).

6. Hauteur d'un triangle

Dans un triangle ABC, on nomme H le pied de la hauteur, issue de A, et K le pied de la hauteur, issue de C.
a) Prouver que . = .
b) En déduire que le triangle ABC est rectangle en A, si et seulement si :
BA² = .
c) La relation BA² = BH × BC implique-t-elle que le triangle ABC soit rectangle en A ?
Construire un contre-exemple.

Commandes GéoPlan

Cliquer dans la figure et déplacer A,

Taper 2 pour un triangle rectangle,

touche 3 pour un contre-exemple,

touche 1 pour retrouver la stuation initiale.

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7. Produit scalaire et théorème de la médiane

Soit ABC un triangle, I et J les milieux respectifs de [BC] et [AC].

En utilisant le théorème de la médiane, démontrer que :
les médianes (AI) et (BJ) sont perpendiculaires si, et seulement si, BC² + AC² = 5 AB².

Indications

D'après le théorème de la médiane, avec K milieu de [AB], on a : CA² + CB² = 2 CK² + .
Le triangle est alors dit « orthomédian » en A et B.

Voir preuve - Classe de première : triangle