On appelle produit scalaire de deux vecteurs le nombre :
. = [ || + ||2 - ||||2 - ||||2 ].
. se note 2 = ||||2 et si = , alors 2 = 2 = ||||2 = AB2.
Définition un peu délicate du produit scalaire comme forme bilinéaire symétrique définie positive. Comme souvent avec les mathématiques modernes c'est simple, les calculs sont faciles, mais trop abstraits et hors programme de 1S.
Définition 2 (projection orthogonale)
Le produit scalaire de deux vecteurs et colinéaires est égal à AB × CD s'ils sont de même sens, et à - AB × CD s'ils sont de sens contraires.
Pour calculer le produit scalaire ., on peut remplacer le vecteur par sa projection orthogonale sur le vecteur .
Sur la figure . = . = . = AB × C’D’ (lorsque et sont de même sens).
Définition simple et intuitive, issue de l'expérience physique du travail d'une force. Il faut démontrer, ou admettre, que le produit scalaire est indépendant du choix des bipoints représentant les vecteurs.
Définition 3 (expression trigonométrique)
. = |||| × |||| × cos θ, où θ est l'angle (, ) formé par les directions des vecteurs.
Sur la figure de droite, en choisissant deux vecteurs de même origine O : . = . = . = OM × OH = OM × ON × cos θ.
Si - < θ < , . = . = OM × OH,
si < |θ| < π, . = . = − OM × OH.
Si dans un repère orthonormal (O, , ), et ont pour coordonnées respectives (x, y) et (x’, y’), alors . = xx’ + yy’.
Définition simple et calculs faciles. On retrouve xx’ + yy’ = 0 pour les vecteurs orthogonaux.
On retrouve aussi le calcul de distance de deux points : |||| = = AB, où x et y sont les coordonnées de .
Il faut admettre que le calcul du produit scalaire est indépendant du choix du repère.
Règles de Calcul
Commutativité : . = ..
Les propriétés de bilinéarité suivantes sont valables :
distributivité : .( + ’) = . + .’; ( + ’). = . + ’.,
Multiplication par un réel : (k). = k (.) ; .(k) = k (.).
Orthogonalité
Si deux vecteurs sont perpendiculaires entre eux, le produit scalaire est nul.
I, J, K et L sont les milieux des côtés d'un carré ABCD (longueur du côté AB = a).
Montrer que la droite (IC) est perpendiculaire à (LB),
calculer PQ en fonction de a,
justifier que PQRS est un carré,
montrer que son aire est égale à de l'aire de ABCD.
Indications
Montrer que le produit scalaire . est nul : Méthode 1 : faire le calcul dans un repère en choisissant le repère canonique
(A, , )
ou le repère (A, , ). Méthode 2 : avec des relations de Chasles et la bilinéarité du produit scalaire calculer
( + ).(
+ ) en remarquant les deux produits scalaires nuls.
Calculer la longueur PQ à l'aide du produit scalaire .
en remarquant que est le projeté orthogonal de
sur .
Un découpage de ABCD permet de reconstituer 5 petits carrés en collant aux 4 trapèzes adjacents au carré
central PQRS, 4 triangles rectangles : faire pivoter ces triangles par des rotations de 180° autour des milieux des côtés du grand carré.
Problème du carreleur : avec cinq carreaux de céramique, paver un grand carré.
Disposer les cinq carrés autour du carré central PQRS en forme de croix suisse.
Joindre A à B, B à C, C à D et D à A, on obtient un carré.
Les quatre triangles rectangles AS’S1, BP’P1… sont, par symétries centrales de centres S’, P’…, égaux aux triangles DS’S, AP’P…
En découpant les quatre triangles AS’S1… et en les portant, par des rotations de 180°, en DS’S… on obtient un carré ABCD, d'aire égale à 5 fois l'aire de PQRS.
Puzzle 1 : avec les dix fragments issus de cinq carrés découpés, comme le carré ci-dessus à droite, on reconstitue le carré de gauche.
Remarque 2 : en découpant le carré central en quatre triangles rectangles égaux à DS’S, les
trapèzes autour en trois triangles et avec les quatre triangles dans les creux de la croix, on obtient un pavage du grand carré ABCD en 20 triangles rectangles.
M est un point variable de la diagonale [AC] d'un carré ABCD, distinct de A et C.
Il se projette en P et Q sur les côtés [AB] et [BC] du carré.
Si O est le milieu du carré, montrer que OPQ est un triangle rectangle isocèle.
Indications
Calculer le produit scalaire . :
. = ( + ).( + ) = 2 + .( + ) + . = 2 + .() + 0.
Or le produit scalaire . est égal au produit de par la projection de sur (OM)
soit . = − 2. . = 2 - 2 = 0, l'angle PÔQ est droit.
La rotation de centre O et d'angle , transforme les droites (AB) en (BC), (OP) en (OQ) ; leurs points d'intersection P en Q.
Donc, OP = OQ et le triangleOPQ est rectangle isocèle en O.
On projette orthogonalement les sommets d'un triangle ABC sur une droite d en A’, B’ et C’.
Soit d1 la droite, passant par A’, perpendiculaire à (BC), d2 la droite, passant par B’, perpendiculaire à (AC), d3 la droite, passant par C’, perpendiculaire à (AB).
Montrer que les droites d1, d2 et d3 sont concourantes.
Méthode à mettre en œuvre
Les droites d2 et d3 sont concourantes en K.
Montrer que le produit scalaire des vecteurs .
est nul en décomposant : =
+ et
= + .
La droite (KA’) est orthogonale à (BC), c'est la droite d1 qui passe par K.
Cas particulier de l'exercice précédent, lorsque la droite (d) passe par un sommet du triangle.
On considère un triangle ABC et une droite (d) passant par C.
On désigne par H et K les projetés orthogonaux de A et B sur (d) et, par M le point d'intersection de la
perpendiculaire menée de H à (BC) et de la perpendiculaire menée de K à (AC).
Démontrer avec un calcul de produit scalaire que les droites (CM) et (AB) sont orthogonales :
Par projection sur la droite (AC) :
.
= .
et .
= .
d'où .
= .
Par projection sur la droite (d) : .
= .
donc .
= .
Par projection sur la droite (BC) :
.
= .
et .
= .
d'où .
= .
Par projection sur la droite (d) : .
= .
donc .
= .
Le produit scalaire est nul, et les droites sont bien perpendiculaires.
Lorsque la droite (d) tourne autour du point C, le point M décrit la hauteur du triangle ABC, issue de C, perpendiculaire à (AB).
Si la droite (d) est confondue avec un des côtés (AC) ou (BC) du triangle, le point M est l'orthocentre du triangle.
Soit (c) un cercle de centre O, de rayon r.
F un point à l'intérieur du cercle, distinct de O.
Deux droites (d) et (d2) orthogonales pivotent autour du point F.
La droite (d) coupe le cercle (c) en A et C, (d2) coupe (c) en B et D.
Les points cocycliques A, B, C et D forment le quadrilatère orthodiagonal ABCD.
Soit I, J, K, L les milieux des cordes [AB], [BC], [CD], [DA] et R, S, P, Q les projetés orthogonaux de F sur ces cordes.
Le point G, centre de gravité de ABCD, est un point fixe :
soit M est le milieu de [AC], N milieu de [BD]. G est le centre du rectangle OMFN. C'est donc le milieu de [OF].
La somme FA2 + FB2 + FC2 + FD2 = 4R2 est indépendante de F.
On a aussi : AB2 + CD2 = AD2 + CB2 = 4R2
Points libres : l'étiquette (c) pour définir le cercle, le point F, l'étiquette (d) pour déplacer les droites.
La médiane (FI) du triangle AFB est la hauteur (FQ) du triangle CFD.
Cercle des huit points d'un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires.
Les huit points I, J, K, L, P, Q, R, S appartiennent à un même cercle (fixe de centre G, point de concours des diagonales du rectangle IJKL).
Ce résultat reste vrai si ABCD n'est pas inscriptible. Vérifier qu'il est encore vrai pour un quadrilatère non convexe dont les diagonales sont perpendiculaires.
Commandes GéoPlan : cliquer dans la figure et déplacer le point B.
Taper 1 pour un quadrilatère convexe,
taper 2 pour un quadrilatère non convexe.
Les points I et J sont les milieux des côtés [AB] et [BC] d'un carré ABCD (où AB = a, a > 0).
On note θ l'angle (, ).
Donner une valeur exacte de cos θ, puis une valeur approchée de θ en degré à 0,1° près.
Les points I et J sont les milieux des côtés [BC] et [CD] d'un carré ABCD (où AB = a,
a > 0).
On note θ l'angle (,
). Donner une valeur exacte de cos θ, puis une valeur approchée de θ en degré à 0,1° près.
« Si (a, b) est un vecteur normal d'une droite
(d) passant par un point A, alors (d) est le lieu des points M(x, y) tels que . = 0 ;
une équation de (d) s'écrit sous la forme ax + by + c = 0 ».
Réciproquement, si a et b sont deux réels non nuls, l'équation ax + by + c = 0 est l'équation
d'une droite dont le vecteur de coordonnées (a, b) est un vecteur normal.
Application : équation de la médiatrice d'un segment [AB] ; droite passant par le milieu I de [AB], orthogonale
au vecteur .
Équation cartésienne d'un cercle
« Le cercle de centre I(a, b) et de rayon r est l'ensemble des points M(x, y) tels que IM2
= r2 ».
Une équation de ce cercle est : (x - a)2 + (y - b)2 = r2 ; soit
x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0.
Le cercle de diamètre [AB] est l'ensemble des points M du plan tels que : .
= 0 soit (x - xA) (x - xB) + (y - yA) (y - yB) = 0.
Application : soit (c) un cercle de centre I et A un point de (c). Pour la tangente en A au cercle (c),
écrire l'équation de la droite passant par A, orthogonale au vecteur .
Triangle
Dans un repère orthonormé, on donne les points : A(-1, 3) ; B(-2, 5) et C(1, 4).
1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle en A.
2. Déterminer une équation du cercle circonscrit au triangle ABC.
3. Déterminer une équation de la médiatrice de [BC].
on définit les cercles (c1) et (c2) par les équations suivantes :
(c1) : x2 + y2 + 6x + 6y - 7 = 0,
(c2) : x2 + y2 + x - 4y - 2 = 0.
a) Déterminer les coordonnées des centres I1 et I2, les rayons r1 et r2
de ces deux cercles et les tracer.
b) Quelles sont les coordonnées des points d'intersection I et J, de ces deux cercles.
soit A et B deux points du plan tels que AB = 5 (l'unité est égale à 1 cm) et I est le milieu de [AB].
a) Dire quel est l'ensemble (c1) des points M tels que . = 0.
Construire (c1).
b) Dire quel est l'ensemble (d1) des points M tels que . = −10.
Construire (d1).
c) Dire quel est l'ensemble (d2) des points M tels que MA2 - MB2 = 10
Construire (d2).
d) Dire quel est l'ensemble (d3) des points M tels que (
+ ). = 0.
Construire (d3).
e) Dire quel est l'ensemble (c2) des points M tels que . = −4.
Construire (c2).
Dans un triangle ABC, on nomme H le pied de la hauteur, issue de A, et K le pied de la hauteur, issue de C.
a) Prouver que .
= .
b) En déduire que le triangle ABC est rectangle en A, si et seulement si :
BA2 = .
c) La relation BA2 = BH × BC implique-t-elle que le triangle ABC soit rectangle en A ?
Construire un contre-exemple.