Cinq constructions réalisées avec GéoPlan : triangle, cercle, carré.
	Exercices de géométrie au collège	Faire de la géométrie dynamique

1. Carré, cercles et tangente

D'après : « Activités significatives » - Groupe collège de l'IREM de Toulouse - Bulletin APMEP n^o 392 - février 1994

Indications

Soit 2a la longueur du côté du carré. Le cercle (c₁) de centre I et diamètre [CD] a pour rayon a.

1. D a pour image T par la symétrie d'axe (IA). (IA) est la médiatrice de [DT], les droites sont perpendiculaires.
Par la symétrie d'axe (IA) les points I et A sont fixes et D a pour image T, [ID] a pour image [IT] donc IT = ID = a rayon du cercle (c₁), le point T est sur le cercle. La symétrie transforme le triangle rectangle ADI en ATI. (AT) est perpendiculaire à (IT). La droite (AT) perpendiculaire au rayon [IT] est tangente au cercle (c₁) en T.
(IA) est l'axe de symétrie du cerf-volant IDAT. Les angles DÂI et IÂT ont même mesure, IÂT = DÂT.
De même, les angles DÎA et AÎT sont égaux, (IA) est la bissectrice de DÎT.
Les côtés [AD] et [AT] des triangles rectangles ADI et ATI sont égaux au côté du carré : AD = AT = 2a.
D'après la propriété de Pythagore, l'hypoténuse AI² = AD² + DI² = (2a)² + a² = 5a². D'où AI = a.

2. Les triangles rectangles ATK et ABK ont même hypoténuse [AK], les côtés AT et AB sont égaux à 2a. Les deux triangles sont isométriques, d'où TK = BK et TÂK = KÂT. (AK) est l'axe de symétrie du cerf-volant ATKB. TÂK = TÂB.
On a donc IÂT = DÂT et TÂK = TÂB, soit IÂK = IÂT + TÂK = (DÂT + TÂB) = DÂB = 90° = 45°.

3. Les triangles rectangles ADI et ATI sont inscrits dans le cercle de diamètre [AI]. A, T, I et D sont cocycliques.
Pour l'arc IM du cercle (c₂), l'angle inscrit IÂM = 45° est égal à la moitié l'angle au centre IÔM. IÔM = 2 × 45° est droit. Les droites (MO) et (DT) perpendiculaires à (IA) sont parallèles.

4. Les triangles rectangles ECI et ETI ont même hypoténuse [EI], les côtés CI et TI sont égaux à a. Les deux triangles sont isométriques, d'où EC = ET et CÎE = EÎT. (IE) est la bissectrice de CÎT.

5. (IE) et (IA) sont les bissectrices des angles supplémentaires CÎT et TÎD. Elles sont donc perpendiculaires. EÎO = 90°.
Les triangles rectangles ADI et IEC ont leurs côtés perpendiculaires, ils ont les mêmes angles : DÂI = CÎE.
cos(DÂI) = = = . CI = a et EI = = a.
IO et OM sont deux rayons perpendiculaires du cercle (c₂) égaux à a. Les côtés EI et OM de OMEI, perpendiculaires à IO sont parallèles et égaux. OMEI est un parallélogramme ayant un angle droit, soit un rectangle. La longueur est égale à la largeur a, c'est un carré.

Retrouver cet article dans le wiki de MIAM : carré, cercles et tangente

2. Carré et triangle équilatéral : étude d'un alignement

ABCD est un carré de milieu E.
BDF est un triangle équilatéral.

Montrer que A, E, C et F sont alignés.

Prolongement, voir carré et deux triangles équilatéraux : angles - rotations

Télécharger la figure GéoPlan carre_triangle.g2w
Télécharger la figure Cabri carre_triangle.fig
Télécharger la figure GeoLabo carre_triangle.glb

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

3. Tangente commune à deux cercles tangents

Deux cercles c et c’ de centres O et O’ sont tangents extérieurement en A. Les deux cercles sont d'un même côté d'une tangente commune, tangente en B au cercle c et en B’ au cercle c’.

Le milieu I de [BB’] est sur la tangente en A, commune aux deux cercles. BAB’ est un triangle rectangle en A et le cercle de diamètre [BB’] est tangent en A à la droite des centres (OO’).

Construction :
Soit J le milieu de [OO’] et I un point d'intersection du cercle de diamètre [OO’] et de la perpendiculaire en A à la ligne des centres (OO’). La tangente en I à ce cercle, perpendiculaire à (IJ) est la droite (BB’) cherchée.

Télécharger la figure GéoPlan deux_cercles.g2w

4. Hauteurs et médianes dans un triangle

Classes de troisième - seconde

Hauteurs et médianes dans un triangle.

a) Montrer que IJKP est un trapèze isocèle.

b) Montrer que I est un point de la médiatrice de [RQ].

Télécharger la figure GéoPlan hauteur_mediane.g2w

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

5. Recopier une figure

Réaliser cette figure sur une feuille ou avec GéoPlan sachant que les arcs interceptent les côtés d'un triangle équilatéral.

Télécharger la figure GéoPlan trois_arcs.g2w

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

6. Comparer deux longueurs

Classe de sixième

Projet de document d'accompagnement - Géométrie - Janvier 2007

La figure ci-contre représente un cercle de centre O, [MN] et [PQ] sont deux de ses diamètres perpendiculaires.

OHAI et OJBK sont deux rectangles.

Que peut-on dire des longueurs des deux segments [HI] et [JK] ?

Indications

Les justifications sont simples et accessibles aux élèves, et permettent de réinvestir d'une façon non triviale le fait que les diagonales d'un rectangle sont de même longueur et que tous les rayons d'un même cercle sont de même longueur.

Télécharger la figure GéoPlan comparer_longueur.g2w