Angles et rotations Exercices avec GéoPlan : cercle, arc capable, pivot, quadrilatère complet, point de Miquel ; montrer un alignement.	…avec GéoPlan

1. Arc capable

A et B sont deux points donnés du plan.

Le problème consiste à trouver l'ensemble L des points M du plan tels que l'angle
(, ) soit égal à a.
(a donné en degrés entre -180° et 180°).

Commandes GéoPlan :
Touche A : pilotage de a au clavier
Touche M : pilotage de M au clavier
Touche L : dessine ou efface le lieu L de M
Touche D : affecte la valeur 90° (Direct) à a
Touche I : affecte la valeur -90° (Indirect) à a
Touche E : fournit une aide par Étapes pour la solution
Touche T : Trace du point M
Touche S : Sortie du mode trace

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Angles inscrits
Lieux géométriques

2. Théorème du pivot

3. Parallélisme d'un côté du triangle orthique et d'une tangente au cercle circonscrit

ABC est un triangle et (c) son cercle circonscrit.
Les points B’ et C’ sont les pieds des hauteurs, issues de B et C.
Montrer que la droite (B’C’) est parallèle à la tangente en A au cercle circonscrit (c).

Voir : triangle orthique ou théorème de Nagel : « Les tangentes au cercle circonscrit passant par les sommets du triangle sont parallèles aux côtés du triangle orthique ».

Cliquer sur la figure et déplacer le point A,
taper S pour visualiser le cercle de diamètre [BC].

Solution

L'angle ACB inscrit dans le cercle (c) est égal à l'angle BÂT de la corde et de la tangente.

L'angle extérieur B’CA du triangle BB’C’ est égal à la somme des deux angles intérieurs :
B’CA = C’BB’ + C’B’B.
Les points B’ et C’ sont situés sur le cercle (c’) de diamètre [BC].
Des égalités des angles inscrits B’BC’ = B’CC’ et C’B’B = C’CB on déduit que :
B’CA = C’BB’ + C’B’B = B’CC’ + C’CB = B’CB.

On a donc B’CA = ACB et avec ACB = BÂT, on a montré que les angles alternes-internes B’C’A et BÂT sont égaux.
La droite (B’C’) est parallèle à la tangente (AT).

Application : montrer que les hauteurs d'un triangle sont concourantes ; démonstration d'Archimède : la géométrie du triangle.

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4.a. Cordes de cercles tangents

Deux cercles (c₁) de centre O₁ et (c₂) de centre O₂ sont tangents en T. Deux droites, passant par T, coupent le cercle (c₁) en M et N, elles coupent le cercle (c₂) en M’ et N’.
Montrer que les droites (MN) et (M’N’) sont parallèles.

Cliquer dans une des figures : déplacer les points M ou N’ avec la souris.

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Solutions

Corde et tangente

Dans les figures ci-dessus, d'après le théorème limite de cocyclicité on remarque que l'angle inscrit NMT est égal à l'angle de la corde [NT] et de la tangente en T.
Cet angle est aussi opposé à l'angle de la tangente ne T et de la corde [TN’] égal à l'angle inscrit N’M’T.

Les angles NMT et N’M’T, alternes-internes, dans la figure de gauche, ou correspondants, dans la figure de droite, sont égaux. Les droites (MN) et (M’N’) sont parallèles.

Calcul d'angles au centre

Les angles O₁TM et O₂TM’, opposés par le sommet, sont égaux.
Les triangles isocèles O₁TM et O₂TM’ sont donc semblables.
Les angles MO₁T et M’O₂T sont égaux.

Dans le cercle (c₁), l'angle inscrit MNT est égal à la moitié de l'angle au centre MO₁T,
dans (c₂), l'angle inscrit M’N’T est égal à la moitié de l'angle au centre M’O₂T.

Les angles MNT et M’N’T, alternes-internes dans la figure ci-contre sont égaux.
Les droites (MN) et (M’N’) sont parallèles.

Homothétie

En classe de première, utiliser l'homothétie h de centre T qui transforme (c₁) en (c₂). Par h, M’ est l'image de M, N’ est l'image de N, la droite (M’N’), image de (MN), est parallèle à (MN).

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b. Recherche d'un point fixe

Soit O₁, O₂ et A trois points du plan et T un point à l'intérieur du segment [O₁O₂].

Deux cercles (c₁) de centre O1 et (c₂) de centre O2 sont tangents en T.
M est un point variable sur le cercle (c₁).
La droite (MT) recoupe le cercle (c₂) en M’.
La droite (MA) recoupe le cercle (c₁) en N.
La droite (NT) recoupe le cercle (c₂) en N’.

Les droites (MN) et (M’N’) sont parallèles.
Montrer que lorsque le point M varie, la droite (M’N’) passe par un point fixe A’.

Utiliser l'homothétie h de centre T qui transforme (c₁) en (c₂). Le point A’ est l'image de A par h.

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Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

5. Carré et deux triangles équilatéraux - Prouver des alignements

Cinq méthodes de résolution d'un exercice de la sixième à la terminale S, sans oublier que cette activité peut faire l'objet d'une belle leçon de Capes.

a) Vérifier un alignement - Classe de sixième

Sur du papier quadrillé, construire un carré ABCD, puis les triangles équilatéraux ABE, à l'intérieur du carré, et BCF, à l'extérieur.
Vérifier, avec la règle, que les points D, E et F sont alignés.

b) Avec une configuration - Classe de seconde

ABCD est un carré direct.
À l'intérieur placer le point I tel que ABI soit un triangle équilatéral et à l'extérieur placer le point J tel que BCJ soit un autre triangle équilatéral.
Placer le point E tel que BJEI soit un carré.

Montrer que :
• le triangle BDE est équilatéral,
• les points A, C et E sont alignés,
• les points D, I et J sont alignés.

Démonstration :

• Par la rotation r(B, - ) le point A a pour image I, le point C a pour image J, et on appelle E’ l'image de D.

L'image IBJE’ du carré ABCD a par l'isométrie r est un carré donc E’ est confondu avec E.

L'image par r de [BD] est [BE] dons BD = BE et BDE = , BDE est donc un triangle équilatéral.

• BE est alors égal à DE, le point E est donc sur la médiatrice de [BD], c'est-à-dire sur la droite (AC). Les points A, C et E sont alignés.

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Deuxième alignement

• Placer le point F tel que BDF soit un triangle équilatéral contenant le point A. {F est le symétrique de E par rapport à (BD).}

F point de la médiatrice de [BD] est donc aligné avec A et C.

Par la rotation r(B, - ) le point F a pour image D.

A, C et F sont alignés, leurs images réciproques I, J et D par la rotation r^{– 1}(B, ) sont donc alignées.

Il est possible d'utiliser cette figure pour construire un triangle équilatéral (BDE) d'aire double d'un triangle équilatéral donné (ABI).

Calculs trigonométriques pour l'angle CDI mesurant , voir : triangle équilatéral à l'intérieur d'un carré

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c) Avec la géométrie analytique - Classe de seconde

Méthode pas drôle du tout

Dans le repère (A, , ) calculer les coordonnées des points A, B, C et D.
Calculer les coordonnées des points E et F.
Calculer les coordonnées des vecteurs et .
Montrer que les vecteurs et sont colinéaires.
Conclure

e) Avec les complexes - Terminale S

Choisir A comme origine du plan complexe
Calculer les affixes d, e et f des points D, E et F.
Conclure en étudiant f- d et e - d.

Alignement de trois points - Capes

Prouver de trois manières différentes l'alignement des trois points.
Proposer des exercices où il s'agit de montrer dans des situations diverses l'alignement de trois points.

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6. Alignement avec un point et son transformé

Un point A fixe et un point M variable sont placés sur un cercle (c₁). Une rotation de centre A, d'angle t, transforme le cercle (c₁) en un cercle (c₂) et le point M en un point M’.

Les cercles (c₁) et (c₂) ont comme deuxième point d'intersection le point B.

Montrer que les points M, B et M’ sont alignés.

Le principe de démonstration est le suivant : le triangle AMM’ est isocèle (l'image de [AM] par la rotation est [AM’] donc AM = AM’) ; son angle au sommet A reste constant égal à l'angle t de la rotation ; il en est donc de même des angles en M et M’, les côtés [MA], [MM’] de l'angle en M découpent sur le cercle (c₁) un arc AB de longueur fixe ; l'extrémité B est donc un point fixe du cercle (c₁).
De même, la droite (MM’) passe par un point fixe du cercle (c₂).
La droite (MM’) passe par un point commun aux deux cercles : le point B, deuxième point d'intersection de ces cercles.

Cliquer dans la figure et déplacer le point M (O₁ et A sont aussi deux points libres).
Taper T pour modifier l'angle t de la rotation,
taper M pour déplacer M au clavier.

Réciproquement : soit deux cercles (c₁) et (c₂) de même rayon qui se coupent en A et B.
Si M et M’ sont les deux points diamétralement opposés à A respectivement sur les cercles (c₁) et (c₂) alors les points M, B et M’ sont alignés.

Démonstration avec les angles inscrits, voir : angles inscrits en troisième,
Pour deux cercles de rayons différents, voir le problème analogue avec une similitude.

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7. Quadrilatère complet - point de Miquel

Définition : un quadrilatère complet est formé de quatre droites du plan se coupant, deux à deux, en six points.

Remarques : deux des points peuvent être « à l'infini ». Le quadrilatère est alors un parallélogramme. Ici, l'étude de ce cas particulier ne présente pas d'intérêt.
Si uniquement un des points est à l'infini, on obtient un trapèze complet.

Dans la suite de cet article nous considérons le quadrilatère complet strict où deux quelconques des quatre droites ne sont pas parallèles, trois quelconques ne sont concourantes :

A, B, C et D sont quatre points libres formant un quadrilatère convexe (qui n'est pas un trapèze), les droites (AB) et (CD) se coupent en E, puis (AD) et (BC) en F.

Les quatre cercles circonscrits aux triangles ADE, BCE, CDF et ABF, formés par des sommets (voir figure), sont concourants en M, point de Miquel du quadrilatère complet.

Figure de droite : les centres O₁, O₂, O₃, O₄ des quatre cercles et le point M sont cocycliques.

Feuille de travail dynamique avec GeoGebra : angles-rotation

Configuration du quadrilatère complet, point de Miquel : plan projectif
Autres cercles concourants, démontré par Miquel, voir : triangles de Napoléon
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8. Alignement - concours - cocyclicité

Deux cercles (c₁) de centre O et (c₂) de centre O’ sont sécants en A et B.

La droite (OA) recoupe (c₁) en P et (c₂) en P’,
la droite (O’A) recoupe (c₁) en Q et (c₂) en Q’.

Alignement

Montrer que les points P, B et Q’ sont alignés.

Cocyclicité

Montrer que les points P, Q, P’ et Q’ sont sur un même cercle

Concours

Montrer que les droites (AB), (PQ) et (P’Q’) sont concourantes en I.

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Télécharger la figure Cabri cercle_2.fig
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9. Droites orthogonales dans un carré

Calcul d'angle : le cerf-volant AICJ

Les points I et J sont les milieux des côtés [BC] et [CD] d'un carré ABCD (où AB = a, a > 0).
On note θ l'angle (, ). Donner une valeur exacte de cos θ, puis une valeur approchée de θ en degré à 0,1 près.

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Variante : calculer l'angle (, ).

Droites orthogonales

Les points I et J sont les milieux des côtés [BC] et [CD] d'un carré ABCD.

Montrer que les droites (AI) et (BJ) sont orthogonales.

Indication

Utiliser une rotation, quart de tour de centre O, milieu du carré.

En 1S, montrer que le produit scalaire . est nul.

Voir carré d'aire cinq fois plus petite : produit scalaire

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Variante : I et J sont deux points situés respectivement sur les côtés [BC] et [CD] d'un carré ABCD tels que BI = CJ.

Montrer que les droites (AI) et (BJ) sont orthogonales.

Autre figure

Les points I et J sont les milieux des côtés [BC] et [CD] d'un carré ABCD. Les droites (AB) et (IJ) se rencontrent en K.

Montrer que la droite (AC) est orthogonale à (IJ) et en déduire que (AI) est orthogonale à (CK).

Montrer que BKCJ est un parallélogramme et en déduire que les droites (AI) et (BJ) sont orthogonales.

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Hauteurs du triangle AIJ

Les points I, J et K sont les milieux des côtés [BC], [CD] et [AD] d'un carré ABCD.

Les droites (DI) et (BJ) sont les hauteurs du triangle AIJ.

Médiane de l'un, hauteur de l'autre

La droite (DI) est la hauteur du triangle ADJ et la médiane du triangle CDK.

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