Constructions du triangle équilatéral : Euclide, pliages, construction avec contraintes.
Triangle équilatéral
Activité B2i |
Domaine B2i |
Item lycée validable |
Le triangle équilatéral en troisième |
1 – S'approprier un environnement informatique de travail. |
1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail. |
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Équilatéral : du latin aequi, égal et latus, côté. Les Grecs utilisaient le mot isopleure : qui a ses côtés égaux. Propriétés du triangle équilatéral
• un triangle a ses trois côtés de même longueur, Le triangle est alors dit équilatéral ou triangle régulier. Les trois angles d'un triangle équilatéral sont égaux et mesurent 60° (soit Pour monter qu'un triangle est équilatéral, on peut, au choix, vérifier que : • les trois côtés sont de même longueur, Dans un triangle équilatéral, toutes les droites remarquables (médiane, hauteur, bissectrice, médiatrice) relatives à un même côté sont confondues. Le centre de gravité est confondu avec l'orthocentre et les centres des cercles inscrit et circonscrit. Le rayon R = OA du cercle circonscrit est égal aux Le rayon r = OH du cercle inscrit est égal au Dans un triangle équilatéral, le cercle circonscrit a un rayon double de celui du cercle inscrit.
1. Construire un triangle équilatéral à la règle et au compasConstruction avec un logiciel de géométrie dynamiqueCollège : classes de sixième et cinquième
Les éléments d'EuclideProposition 1 du Ier livre des éléments d'Euclide : EXPOSITION. Soit AB une droite donnée et finie (on dirait maintenant un segment [AB]). DÉTERMINATION. Il faut construire sur la droite finie AB un triangle équilatéral. CONSTRUCTION. Du centre A et de l'intervalle AB, décrivons la circonférence ACD (demande 3) ; et de plus, du centre B et de l'intervalle BA, décrivons la circonférence BCE ; et du point C, où les circonférences se coupent mutuellement, conduisons aux points A, B les droites CA, CB (demande 1). DÉMONSTRATION. Car, puisque le point A est le centre du cercle ACD, la droite AC est égale à la droite AB (définition 15) ; de plus, puisque le point B est le centre du cercle BCE, la droite BC est égale à la droite BA ; mais on a démontré que la droite CA était égale à la droite AB ; donc chacune des droites CA, CB est égale à la droite AB; or, les grandeurs qui sont égales à une même grandeur, sont égales entre elles (notion 1) ; donc la droite CA est égale à la droite CB ; donc les trois droites CA, AB, BC sont égales entre elles. CONCLUSION. Donc, le triangle ABC (définition 24) est équilatéral, et il est construit sur la droite donnée et finie AB. Ce qu'il fallait faire. Rappels Demande 3. D'un point quelconque, et avec un intervalle quelconque, décrire une circonférence de cercle. Définition 15. Un cercle est une figure plane, comprise par une seule ligne qu'on nomme circonférence ; toutes les droites, menées à la circonférence d'un des points placés dans cette figure, étant égales entre elles. Définition 24. Parmi les figures trilatères, le triangle équilatéral est celle qui a ses trois côtés égaux. Retrouver ce paragraphe dans : les éléments d'Euclide 2. Construction de deux triangles isocèles
Le point C est alors un des points d'intersection de la médiatrice et du cercle.
3. Construction par pliage à partir d'un cercle
Dessiner un cercle et tracer deux diamètres perpendiculaires [AA’] et [DE]. Rabattre le point A’ sur O. Le pli rencontre [AA’] en H le cercle en B et C. Quelle est la nature du triangle ABC ? Solution Les triangles OBA’ et OCA’, ayant leurs trois côtés de longueur égale au rayon du cercle, sont équilatéraux ; l'angle au centre BOC mesure 120°. L'angle inscrit BAC mesure 60°. ABC est un triangle équilatéral. Longueur du côté et aire Le centre O est aussi le centre de gravité du triangle ABC, situé aux Avec le calcul de la hauteur h = a L'aire du triangle est
Sommaire 4. Triangle équilatéral inscrit dans un carré - Problème d'Abu l-WafaAbu'l-Wafa (Abul Wafa) est un mathématicien et astronome persan connu pour ses apports en trigonométrie et pour ses constructions à la« règle et au compas ». a. Le triangle d’Abu l-Wafa
Classe de première L Étant donné un carré OPCQ, construire un triangle équilatéral CIJ, I et J étant sur les côtés du carré. Abu l-Wafa se posait le problème comme suit : La construction n'est pas unique, il s'agit d'en réaliser au moins une aboutissant à un triangle équilatéral inscrit dans le carré. b. Solution d'Abu l-Wafa1. Construire le cercle (c2) de centre O2, circonscrit à OPCQ.
c. Trois triangles équilatéraux
Construire les cercles (c1) de centre O passant C et (c2) de centre C passant par O. Le triangle CIJ est équilatéral. Indications Les rayons [OD] et [OH] font un angle DÔH de 120°. Leurs médiatrices (CA) et (CB) font un angle AÔB de 60°. En effet, si F est le symétrique de C par rapport à O, le triangle DFH est équilatéral comme le montre la figure : cercles et triangle équilatéral. O est le centre du cercle circonscrit, donc (OD) et (OH) sont deux médiatrices du triangle. (CA) et (CB) recoupent le cercle (c1) en E et G. Enfin, on montre que la figure admettant (CF) comme axe de symétrie, le triangle CIJ est isocèle ; donc avec un angle ICJ de 60°, il est équilatéral. Commandes GéoPlan
d. Rotation de centre C et d'angle 60° |
radians)..
, où a est la longueur du côté du triangle.
a × h égale à 
a2.
de la longueur de la médiane, soit R = a 
.
de la longueur de la médiane, soit r = a 
.
Télécharger la 
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R.
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Recherche avec un triangle équilatéral ayant comme sommets le sommet C du carré et un point A variable sur le côté [OP]. Deux des sommets du triangle ne sont pas sur un même côté du carré, sinon le triangle équilatéral serait l'intérieur du carré ; donc les deux sommets du triangle, autres que C, sont sur les côtés [OP] et [OQ]. Choisissons un point A variable sur le côté [OP] et construisons le point B tel que le triangle CAB soit équilatéral. En déplaçant le point A, nous trouvons un point A’, tel que le point B soit sur le côté [OQ] en B’. Le triangle CA’B’ est alors solution du problème. Nous remarquons que le lieu du point B est un segment de droite, image de [OP] par la rotation de centre C et d'angle 60°. Le point B’ est situé à l'intersection de cette image avec [OQ]. Commandes GéoPlan
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Construction Construire l'image (d) de la droite (OP) par la rotation r de centre C et d'angle 60°, cette droite image (d) coupe (OQ) en B, puis on obtient A en construisant l'image de B par la rotation réciproque r– 1 de centre C et d'angle -60°. Le triangle ABC est équilatéral. Démonstration La droite image (d) coupe bien (OQ) car sinon (d) serait parallèle à (OQ), et donc perpendiculaire
à (OP) : impossible, car l'angle entre (d) et (OP) vaut 60° (ou 120°).
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5. Triangle équilatéral avec contraintesa. Construire un triangle équilatéral dont deux sommets sont situés sur une droite
Indication À partir d'un point N de la droite (d) construire, à la « règle et au compas », un triangle équilatéral MNP qui permettra, par agrandissement-réduction de trouver le triangle ABC. Pour cela, on peut : Placer un point N sur la droite (d). Les points A et M étant équidistants de N et P, la droite (AM), médiatrice de [NP], est hauteur du triangle MNP et du triangle ABC cherché. Les parallèles à (MN) et (MP) passant par A coupent (d) en B et C. Remarque Avec GéoPlan, on peut déplacer le point N sur la droite (d) jusqu'à ce que M coïncide avec A.
b. Construire un triangle équilatéral dont deux sommets sont situés sur deux droitesÉquidistance : Affaire de logique no 239 - Le Monde 11-18 septembre 2001
Existe-t-il un point B sur (d1) et un point C sur (d2) tel que le triangle ABC soit équilatéral ? SolutionSi le triangle équilatéral ABC existe, le point C est obtenu à partir du point B par une rotation de 60°
(ou de - 60°) autour de A. Cela nous donne une méthode de construction de deux triangles qui, en général,
répondent à la question : Dans le cas où (d1) et (d2) font entre elles un angle de 60°, l'une des deux constructions reste valable. Quant à l'autre, elle en génère une infinité ou au contraire ne produit aucun triangle selon que A est sur des bissectrices de (d1, d2) ou pas. Construction
Bibliographie : Carrega J.-C. - Théorie des corps : la règle et le compas - Hermann 2001
c. Construire un triangle équilatéral dont deux sommets sont situés sur deux droites parallèlesÉtant donnés un point A et deux droites parallèles (d2) et (d3), construire un triangle équilatéral de sommet A tel que les deux autres sommets soient situés sur chacune des droites.
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Construire l'image (c’) du cercle (c1) par la rotation r de centre A et d'angle 60°. On obtient ainsi deux triangles équilatéraux ABC et A’B’C’.
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Cas particulier Si le triangle dont les côtés mesurent a, b, c est aplati On obtient ainsi un triangle équilatéral ABC. Les quatre points O, A, B, C sont cocycliques. On en déduit que, si O est un point du cercle circonscrit à un triangle équilatéral ABC, l'une des longueurs OA, OB, OC est la somme des deux autres.
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6. Construction d'un triangle équilatéral par pliage d'une bande rectangulaire
b. Construction d'un triangle ayant pour côté, la largeur de la bande
Plier une bande rectangulaire ABB’A’ de largeur a = AB suivant la médiatrice (A1B1) du rectangle. Plier l'angle en B en rabattant le coin A, sur la médiatrice (A1B1), en C. Le coin BAD se trouve alors en BCD. C est équidistant de A et B, soit BC = AC = a. Avec GéoPlan, construire le point C intersection de [A1B1] et du cercle de centre A passant par B.
Retrouver ces paragraphes dans : constructions par pliages |
c. Construction d'un triangle ayant pour hauteur, la hauteur de la bande
Plier une bande rectangulaire ABB’A’ de hauteur h = AB suivant la médiatrice (A1B1) du rectangle. Plier l'angle en B pour amener le coin A, sur la médiatrice (A1B1), en H. On obtient le pied H de la hauteur [BH] du triangle. Le pli marque le côté [BC]. Marquer enfin le pli (CH) pour obtenir le côté [CD]. H est équidistant de A et B. Par le pliage BH = BA = h. H est le milieu de [CD] du triangle équilatéral BCD de hauteur h. Avec GéoPlan, construire le point H intersection de [A1B1] et du cercle de centre A passant par B.
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Retrouver ces paragraphes dans la page construction par pliage et dans la page construction à la règle seule
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique
7. Relation métrique
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ABC est triangle équilatéral. Montrer que MA = MB + MC Indication Soit I le point de [AM] équidistant de M et C. La rotation de centre C et d'angle 60° transforme I en M et A en B. Bissectrice Une étude des angles inscrits permet de remarquer que BMC complémentaire de BAC mesure 120°, que AMB = ACB = 60° et AMC = ABC = 60°,
8. D'un triangle équilatéral à l'autre
ABC est un triangle équilatéral inscrit dans un cercle (c). F est le point de [BC] tel que FB = k FC. On choisira k = 1, 2 ou 3 La droite (AF) recoupe le cercle en D. a. Montrer que BED, ayant deux angles de 60°, est un triangle équilatéral. Indication a. Les angles inscrits ADC et ADB sont égaux à 60°. Le triangle BED, ayant deux angles de 60°, est un triangle équilatéral ; on note a son côté : DB = DE = a et DC = a/k. Par hypothèse (FD) // (BE), d'après la propriété de Thalès dans le triangle BCE on a : CE/CD = BE/FD. 1/DC + 1/DB = 1/DC + 1/DE = (DE + DC)/(DC×DE) = CE/(CD×DE) = CE/CD × 1/DE = BE/FD × 1/DE = 1/FD. On a bien : De DB = k DC = a, on trouve 1/DF = 1/DB + k/DB = (k + 1)/DB, d'où DF = DB/(k + 1) ; soit DF = a/(k + 1). b. Soit I le milieu de [DE]. La hauteur de BED est IB = a CI = CD + DI = a/k + a/2 = a (1/k + 1/2). Avec la relation de Pythagore dans le triangle rectangle BCI : CB2 = CI2 + IB2 = a2((1/k + 1/2)2 + 3/4) = a2 Pour k = 2 on a un rapport de 7/4.
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et calculer DF.
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,9. Triangle et cercle inscrits
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Un triangle équilatéral est inscrit dans un cercle, lui-même inscrit dans un autre triangle équilatéral. La longueur du côté du petit triangle étant 1, quelle est celle du côté du grand ? SolutionTracer le triangle médian A1B1C1 de A’B’C’. Le triangle A’B’C’ est alors décomposé en quatre triangles équilatéraux de même taille que ABC.
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RemarqueLe cercle circonscrit au triangle A’B’C’ a un rayon R double du rayon r du cercle circonscrit au triangle ABC. Ce cercle est le cercle inscrit dans le triangle. A’B’C’. |
Inscrire, circonscrire un triangle équilatéral à un triangle donné
Classe de première L
10. Triangle équilatéral inscrit dans un triangle donné
Construction s'appuyant sur des rotations. Choisir un point P sur le côté [AB]. Le triangle équilatéral PQR est inscrit dans le triangle ABC.
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11. Triangle équilatéral circonscrit à un triangle donné
Construction s'appuyant sur des arcs capables. Il s'agit de trouver des points Q et R tels que de ces points, on « voit » les côtés [ BC] et [AC] sous un an angle de 60°. Pour cela, construire les triangles équilatéraux BCQ’ et ACR’. Choisir un point Q sur l'arc BC. La droite (QC) coupe l'arc AC en R. Terminer le triangle équilatéral avec le sommet P intersection des droites (QA) et (RA).
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