Constructions du triangle équilatéral : Euclide, pliages, construction avec contraintes.
Équilatéral : du latin aequi, égal et latus, côté. Les Grecs utilisaient le mot isopleure : qui a ses côtés égaux. Propriétés du triangle équilatéral
• un triangle a ses trois côtés de même longueur, Le triangle est alors dit équilatéral ou triangle régulier. Les trois angles d'un triangle équilatéral sont égaux et mesurent 60° (soit Pour monter qu'un triangle est équilatéral, on peut, au choix, vérifier que : • les trois côtés sont de même longueur, Dans un triangle équilatéral, toutes les droites remarquables (médiane, hauteur, bissectrice, médiatrice) relatives à un même côté sont confondues. Le centre de gravité est confondu avec l'orthocentre et les centres des cercles inscrit et circonscrit. Le rayon R = OA du cercle circonscrit est égal aux Le rayon r = OH du cercle inscrit est égal au Dans un triangle équilatéral, le cercle circonscrit a un rayon double de celui du cercle inscrit.
1. Construire un triangle équilatéral à la règle et au compasConstruction avec deux cercles de même rayonCollège : classes de sixième et cinquième
Voir : construire un triangle équilatéral sur une ligne droite donnée et finie dans les Éléments d'Euclide 2. Construction de deux triangles isocèles
Le point C est alors un des points d'intersection de la médiatrice et du cercle.
3. Triangle équilatéral inscrit dans un carré - Problème d'Abu l-WafaAbu'l-Wafa (Abul Wafa) est un mathématicien et astronome persan connu pour ses apports en trigonométrie et pour ses constructions à la« règle et au compas ». a. Le triangle d’Abu l-WafaClasse de première L Étant donné un carré OPCQ, construire un triangle équilatéral CIJ, I et J étant sur les côtés du carré. Abu l-Wafa se posait le problème comme suit : La construction n'est pas unique, il s'agit d'en réaliser au moins une aboutissant à un triangle équilatéral inscrit dans le carré. |
Construction approchée1. Construire le cercle (c2) de centre O2, circonscrit à OPCQ. Le triangle CIJ n'est pas équilatéral, mais semble être un tracé acceptable.
Multiplication par 3 de l'aire d'un carré : construction d'Abu l-Wafa |
Construction « exacte »1. Construire le cercle (c2) de centre O2, circonscrit à OPCQ. Le triangle CIJ est équilatéral, comme triangle isocèle ayant un angle ICJ de 60°.
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c. Trois triangles équilatérauxConstruire les cercles (c1) de centre O, passant par C, et (c2) de centre C, passant par O. Le triangle CIJ est équilatéral. Indications Les rayons [OD] et [OH] font un angle DÔH de 120°. Leurs médiatrices (CA) et (CB) font un angle AÔB de 60°. En effet, si F est le symétrique de C par rapport à O, le triangle DFH est équilatéral comme le montre la figure : cercles et triangle équilatéral. O est le centre du cercle circonscrit, donc (OD) et (OH) sont deux médiatrices du triangle. (CA) et (CB) recoupent le cercle (c1) en E et G. Enfin, on montre que la figure admettant (CF) comme axe de symétrie, le triangle CIJ est isocèle ; donc avec un angle ICJ de 60°, il est équilatéral. Commandes GéoPlan :
d. Rotation de centre C et d'angle 60° |
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Recherche avec un triangle équilatéral ayant comme sommets le sommet C du carré et un point A variable sur le côté [OP]. Deux des sommets du triangle ne sont pas sur un même côté du carré, sinon le triangle équilatéral serait l'intérieur du carré ; donc les deux sommets du triangle, autres que C, sont sur les côtés [OP] et [OQ]. Choisissons un point A variable sur le côté [OP] et construisons le point B tel que le triangle CAB soit équilatéral. En déplaçant le point A, nous trouvons un point A’, tel que le point B soit sur le côté [OQ] en B’. Le triangle CA’B’ est alors solution du problème. Nous remarquons que le lieu du point B est un segment de droite, image de [OP] par la rotation de centre C et d'angle 60°. Le point B’ est situé à l'intersection de cette image avec [OQ]. Commandes GéoPlan :
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Construction Construire l'image (d) de la droite (OP) par la rotation r de centre C et d'angle 60°, cette droite image (d) coupe (OQ) en B, puis on obtient A en construisant l'image de B par la rotation réciproque r– 1 de centre C et d'angle -60°. Le triangle ABC est équilatéral. Démonstration La droite image (d) coupe bien (OQ) car sinon (d) serait parallèle à (OQ), et donc perpendiculaire
à (OP) : impossible, car l'angle entre (d) et (OP) vaut 60° (ou 120°).
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4. Triangle équilatéral avec contraintesa. Construire un triangle équilatéral dont deux sommets sont situés sur une droite
Indication À partir d'un point N de la droite (d) construire, à la « règle et au compas », un triangle équilatéral MNP qui permettra, par agrandissement-réduction de trouver le triangle ABC. Pour cela, on peut : Placer un point N sur la droite (d). Les points A et M étant équidistants de N et P, la droite (AM), médiatrice de [NP], est hauteur du triangle MNP et du triangle ABC cherché. Les parallèles à (MN) et (MP) passant par A coupent (d) en B et C. Remarque Avec GéoPlan, on peut déplacer le point N sur la droite (d) jusqu'à ce que M coïncide avec A.
b. Construire un triangle équilatéral dont deux sommets sont situés sur deux droites
Existe-t-il un point B sur (d1) et un point C sur (d2) tel que le triangle ABC soit équilatéral ? SolutionSi le triangle équilatéral ABC existe, le point C est obtenu à partir du point B par une rotation de 60°
(ou de - 60°) autour de A. Cela nous donne une méthode de construction de deux triangles qui, en général,
répondent à la question : Dans le cas où (d1) et (d2) font entre elles un angle de 60°, l'une des deux constructions reste valable. Quant à l'autre, elle en génère une infinité ou au contraire ne produit aucun triangle selon que A est sur des bissectrices de (d1, d2) ou pas. Construction
c. Construire un triangle équilatéral dont deux sommets sont situés sur deux droites parallèlesÉtant donné un point A et deux droites parallèles (d2) et (d3), construire un triangle équilatéral de sommet A tel que les deux autres sommets soient situés sur chacune des droites.
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Construire l'image (c’) du cercle (c1) par la rotation r de centre A et d'angle 60°. On obtient ainsi deux triangles équilatéraux ABC et A’B’C’.
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Cas particulier Si le triangle dont les côtés mesurent a, b, c est aplati On obtient ainsi un triangle équilatéral ABC. Les quatre points O, A, B, C sont cocycliques. On en déduit que, si O est un point du cercle circonscrit à un triangle équilatéral ABC, l'une des longueurs OA, OB, OC est la somme des deux autres.
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ABC est triangle équilatéral. Montrer que MA = MB + MC Indication Soit I le point de [AM] équidistant de M et C. La rotation de centre C et d'angle 60° transforme I en M et A en B. Bissectrice Une étude des angles inscrits permet de remarquer que BMC complémentaire de BAC mesure 120°, que AMB = ACB = 60° et AMC = ABC = 60°,
6. D'un triangle équilatéral à l'autreABC est un triangle équilatéral inscrit dans un cercle (c). F est le point de [BC] tel que FB = k FC. On choisira k = 1, 2 ou 3 La droite (AF) recoupe le cercle en D. a. Montrer que BED, ayant deux angles de 60°, est un triangle équilatéral. Indication a. Les angles inscrits ADC et ADB sont égaux à 60°. Le triangle BED, ayant deux angles de 60°, est un triangle équilatéral ; on note a son côté : DB = DE = a et DC = a/k. Par hypothèse (FD) // (BE), d'après la propriété de Thalès dans le triangle BCE on a : CE/CD = BE/FD. 1/DC + 1/DB = 1/DC + 1/DE = (DE + DC)/(DC×DE) = CE/(CD×DE) = CE/CD × 1/DE = BE/FD × 1/DE = 1/FD. On a bien : De DB = k DC = a, on trouve 1/DF = 1/DB + k/DB = (k + 1)/DB, d'où DF = DB/(k + 1) ; soit DF = a/(k + 1). b. Soit I le milieu de [DE]. La hauteur de BED est IB = a CI = CD + DI = a/k + a/2 = a (1/k + 1/2). Avec la relation de Pythagore dans le triangle rectangle BCI : CB2 = CI2 + IB2 = a2((1/k + 1/2)2 + 3/4) = a2 Pour k = 2 on a un rapport de 7/4.
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Un triangle équilatéral est inscrit dans un cercle, lui-même inscrit dans un autre triangle équilatéral. La longueur du côté du petit triangle étant 1, quelle est celle du côté du grand ? SolutionTracer le triangle médian A1B1C1 de A’B’C’. Le triangle A’B’C’ est alors décomposé en quatre triangles équilatéraux de même taille que ABC.
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RemarqueLe cercle circonscrit au triangle A’B’C’ a un rayon R double du rayon r du cercle circonscrit au triangle ABC. Ce cercle est le cercle inscrit dans le triangle. A’B’C’. |
Classe de première L
8. Triangle équilatéral inscrit dans un triangle donnéConstruction s'appuyant sur des rotations. Choisir un point P sur le côté [AB]. Le triangle équilatéral PQR est inscrit dans le triangle ABC.
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10. Triangle équilatéral circonscrit à un triangle donnéConstruction s'appuyant sur des arcs capables. Il s'agit de trouver des points Q et R tels que de ces points, on « voit » les côtés [ BC] et [AC] sous un an angle de 60°. Pour cela, construire les triangles équilatéraux BCQ’ et ACR’. Choisir un point Q sur l'arc BC. La droite (QC) coupe l'arc AC en R. Terminer le triangle équilatéral avec le sommet P intersection des droites (QA) et (RA).
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Activité B2i |
Domaine B2i |
Item lycée validable |
Le triangle équilatéral en 3ème |
1 – S'approprier un environnement informatique de travail. |
1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail. |
Faire de la géométrie en seconde | Angles | Collège | Seconde | ||
Sommaire1. Construction à la règle et compas - Euclide |
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