Triangle équilatéral

Sommaire

1. Construction à la règle et compas - Euclide
2. Construction de deux triangles isocèles
3. Triangle équilatéral inscrit dans un carré
4. Construire un triangle équilatéral dont deux sommets sont situés sur deux droites
Construire un triangle équilatéral dont les sommets sont situés sur des cercles concentriques
5. Relation métrique
6. D'un triangle équilatéral à l'autre
7. Triangle et cercle inscrits
8. Triangle équilatéral inscrit dans un triangle
9. Triangle équilatéral circonscrit à un triangle

Constructions d'un triangle équilatéral par pliage :
    pliage d'une bande rectangulaire
    pliage à partir d'un cercle

Cercles et triangle équilatéral

Triangle équilatéral inscrit dans un carré - aire maximale

Angles - Rotation - Trigonométrie

Triangle équilatéral à l'intérieur d'un carré au lycée
Carré et deux triangles équilatéraux - Prouver des alignements

Les problèmes du BOA

Triangles équilatéraux autour de BOA
Triangles équilatéraux autour d'un quadrilatère
Triangles de Napoléon

Page n^o 62, réalisée le 26/1/2004, mise à jour le 23/12/2009

Faire de la
géométrie
dynamique

Retrouver un triangle à partir de droites remarquables

Les droites remarquables du triangle

Collège
Constructions géométriques

GéoPlan
Triangles rectangles

Index
GéoPlan

Équilatéral : du latin aequi, égal et latus, côté. Les Grecs utilisaient le mot isopleure : qui a ses côtés égaux.

Propriétés du triangle équilatéral

Les trois propositions suivantes sont équivalentes :

  • un triangle a ses trois côtés de même longueur,
  • un triangle a ses trois angles de même mesure.
  • un triangle a trois axes de symétrie.

Le triangle est alors dit équilatéral ou triangle régulier.

Les trois angles d'un triangle équilatéral sont égaux et mesurent 60° (soit radians).

Pour monter qu'un triangle est équilatéral, on peut, au choix, vérifier que :

  • les trois côtés sont de même longueur,
  • il a deux angles de 60°,
  • il est isocèle avec un angle de 60°,
  • il a deux axes de symétrie,
  • …

Dans un triangle équilatéral, toutes les droites remarquables (médiane, hauteur, bissectrice, médiatrice) relatives à un même côté sont confondues.
Elles ont même longueur, égale à h = a , où a est la longueur du côté du triangle.
L'aire du triangle est a × h égale à a².

Le centre de gravité est confondu avec l'orthocentre et les centres des cercles inscrit et circonscrit.

Le rayon R = OA du cercle circonscrit est égal aux de la longueur de la médiane, soit R = a .

Le rayon r = OH du cercle inscrit est égal au de la longueur de la médiane, soit r = a .

Dans un triangle équilatéral, le cercle circonscrit a un rayon double de celui du cercle inscrit.

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1. Construire un triangle équilatéral à la règle et au compas

Construction avec deux cercles de même rayon

Collège : classes de sixième et cinquième

Placer A et B et dessiner le segment [AB],
tracer les cercles de centre A passant par B et de centre B passant par A,
construire C, un des points d'intersection des deux cercles,
terminer, en traçant les segments [BC] et [AC].

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Voir : construire un triangle équilatéral sur une ligne droite donnée et finie dans les Éléments d'Euclide

2. Construction de deux triangles isocèles

À partir de deux points A et B, il possible de tracer le triangle équilatéral ABC comme triangle isocèle à partir de la base, en traçant la médiatrice de [AB],
ou encore, comme triangle isocèle à partir d'un des côtés égaux, en traçant le cercle de centre A passant par B.

Le point C est alors un des points d'intersection de la médiatrice et du cercle.

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3. Triangle équilatéral inscrit dans un carré - Problème d'Abu l-Wafa

Abu'l-Wafa (Abul Wafa) est un mathématicien et astronome persan connu pour ses apports en trigonométrie et pour ses constructions à la« règle et au compas ».
Il est né en 940 à Buzjan dans la région de Khorasan. À l'âge de vingt ans, il part pour Bagdad où il restera jusqu'à sa mort en 998.

a. Le triangle d’Abu l-Wafa

Classe de première L

Étant donné un carré OPCQ, construire un triangle équilatéral CIJ, I et J étant sur les côtés du carré.

Abu l-Wafa se posait le problème comme suit :
soit OPCQ un carré de centre O₂ ; un point I quelconque sur l'arête [OP] et le point J symétrique de I par rapport à la droite (OC) ; le point J est alors sur [OQ]. Le triangle CIJ peut-il être équilatéral ?

La construction n'est pas unique, il s'agit d'en réaliser au moins une aboutissant à un triangle équilatéral inscrit dans le carré.

Construction approchée

1. Construire le cercle (c₂) de centre O₂, circonscrit à OPCQ.
2. Construire un second cercle (c₁) de centre O passant par O₂.
3. Nommer I et J les points d'intersection du cercle (c₁) avec les côtés [OP] et [OQ] du carré.

Le triangle CIJ n'est pas équilatéral, mais semble être un tracé acceptable.
Le comparer au triangle équilatéral ABC.

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Multiplication par 3 de l'aire d'un carré : construction d'Abu l-Wafa

Construction « exacte »

1. Construire le cercle (c₂) de centre O₂, circonscrit à OPCQ.
2. Construire un second cercle (c₁) de centre O passant par O₂.
3. Nommer A et B les deux points d'intersection de ces cercles
      (le triangle ABC est équilatéral comme le montre la figure
        cercles et triangle équilatéral).
4. On peut alors prouver que les droites (CA) et (CB) coupent les arêtes du carré en deux points qui sont les points I et J recherchés.

Le triangle CIJ est équilatéral, comme triangle isocèle ayant un angle ICJ de 60°.

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c. Trois triangles équilatéraux

Construction

Construire les cercles (c₁) de centre O, passant par C, et (c₂) de centre C, passant par O.
Ces deux cercles se coupent en D et H.
Soit A et B les milieux de [OD] et [OH].
Les droites (CA) et (CB) coupent les arêtes du carré aux points I et J.

Le triangle CIJ est équilatéral.

Indications

Les rayons [OD] et [OH] font un angle DÔH de 120°. Leurs médiatrices (CA) et (CB) font un angle AÔB de 60°.

En effet, si F est le symétrique de C par rapport à O, le triangle DFH est équilatéral comme le montre la figure : cercles et triangle équilatéral. O est le centre du cercle circonscrit, donc (OD) et (OH) sont deux médiatrices du triangle.

(CA) et (CB) recoupent le cercle (c₁) en E et G.
Le triangle CEG symétrique (par rapport à O) de DFG est aussi équilatéral. (On note que CDEFGH est un hexagone régulier).
Par symétrie par rapport à O, les cordes [CE] et [CG] sont les médiatrices des rayons [OD] et [OH] qu'elles coupent en leurs milieux A et B.

Enfin, on montre que la figure admettant (CF) comme axe de symétrie, le triangle CIJ est isocèle ; donc avec un angle ICJ de 60°, il est équilatéral.

Commandes GéoPlan :
Déplacer les points O ou O₂,
taper S pour la solution.

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d. Rotation de centre C et d'angle 60°

Recherche avec un triangle équilatéral ayant comme sommets le sommet C du carré et un point A variable sur le côté [OP].

Deux des sommets du triangle ne sont pas sur un même côté du carré, sinon le triangle équilatéral serait l'intérieur du carré ; donc les deux sommets du triangle, autres que C, sont sur les côtés [OP] et [OQ].

Choisissons un point A variable sur le côté [OP] et construisons le point B tel que le triangle CAB soit équilatéral.

En déplaçant le point A, nous trouvons un point A’, tel que le point B soit sur le côté [OQ] en B’. Le triangle CA’B’ est alors solution du problème.

Nous remarquons que le lieu du point B est un segment de droite, image de [OP] par la rotation de centre C et d'angle 60°. Le point B’ est situé à l'intersection de cette image avec [OQ].

Commandes GéoPlan :
Taper L pour afficher/effacer le Lieu des points B et le triangle CA’B’.
Déplacer le point A.
Touche T : garder la Trace du point B,
touche S : Sortie du mode trace.

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Construction

Construire l'image (d) de la droite (OP) par la rotation r de centre C et d'angle 60°, cette droite image (d) coupe (OQ) en B, puis on obtient A en construisant l'image de B par la rotation réciproque r^{– 1} de centre C et d'angle -60°.

Le triangle ABC est équilatéral.

Démonstration

La droite image (d) coupe bien (OQ) car sinon (d) serait parallèle à (OQ), et donc perpendiculaire à (OP) : impossible, car l'angle entre (d) et (OP) vaut 60° (ou 120°).
Enfin, ABC est bien équilatéral, car A est l'image de B par la rotation réciproque r^{– 1} de centre C et d'angle -60° ; B est sur (d), donc A est bien sur l'image réciproque (OP). Le triangle ABC est donc isocèle en C et d'angle au sommet 60°, les trois angles du triangle valent chacun 60°.

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Application de cette technique au cas où les sommets du triangle équilatéral sont sur trois des côtés du carré
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

4. Triangle équilatéral avec contraintes

a. Construire un triangle équilatéral dont deux sommets sont situés sur une droite

Étant donné un point A et une droite (d), construire un triangle équilatéral ABC, tel que les sommets B et C soient situés sur la droite (d).

Indication

À partir d'un point N de la droite (d) construire, à la « règle et au compas », un triangle équilatéral MNP qui permettra, par agrandissement-réduction de trouver le triangle ABC. Pour cela, on peut :

Placer un point N sur la droite (d).
Le cercle de centre A passant par N recoupe la droite (d) en P.
Les cercles de centre N passant par P et de centre P passant par N se coupent en M.
MNP est un triangle équilatéral.

Les points A et M étant équidistants de N et P, la droite (AM), médiatrice de [NP], est hauteur du triangle MNP et du triangle ABC cherché.

Les parallèles à (MN) et (MP) passant par A coupent (d) en B et C.
Le triangle équilatéral ABC est la solution.

Remarque

Avec GéoPlan, on peut déplacer le point N sur la droite (d) jusqu'à ce que M coïncide avec A.

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b. Construire un triangle équilatéral dont deux sommets sont situés sur deux droites

On donne un point A et deux droites (d₁) et (d₂).

Existe-t-il un point B sur (d₁) et un point C sur (d₂) tel que le triangle ABC soit équilatéral ?

Solution

Si le triangle équilatéral ABC existe, le point C est obtenu à partir du point B par une rotation de 60° (ou de - 60°) autour de A. Cela nous donne une méthode de construction de deux triangles qui, en général, répondent à la question :
– Premier triangle : on fait pivoter la droite (d₁) de 60° autour de A. La transformée (d₁’) coupe (d₂) en C. Le point de (d₁) dont C est l'image est le point B.
– Deuxième triangle : on fait pivoter la droite (d₁) de - 60° autour de A. La transformée (d₁’) coupe (d₂) en C. Le point de (d₁) dont C est l'image est le point B.

Dans le cas où (d₁) et (d₂) font entre elles un angle de 60°, l'une des deux constructions reste valable. Quant à l'autre, elle en génère une infinité ou au contraire ne produit aucun triangle selon que A est sur des bissectrices de (d₁, d₂) ou pas.

Construction

Soit H la projection de A sur la droite (d₁), on construit le cercle (c) de centre A, tangent à (d₁) en H. La médiatrice de [AH] coupe le cercle (c) en U et V. Les tangentes en U et V sont les images de (d₁) par les rotations d'angles 60° et -60°. Ces deux tangentes coupent en général (d₂) en deux points C et C’. On construit les antécédents B et B’ de C et C’ dans les deux rotations.

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c. Construire un triangle équilatéral dont deux sommets sont situés sur deux droites parallèles

Étant donné un point A et deux droites parallèles (d₂) et (d₃), construire un triangle équilatéral de sommet A tel que les deux autres sommets soient situés sur chacune des droites.

Méthode 1 - rotation

Construire l'image (d₃’) de la droite (d₃) par la rotation r de centre A et d'angle 60°, cette droite image (d₃’) coupe (d₂) en B.
Enfin, on obtient le point C en construisant l'image de B par la rotation réciproque r^{– 1} de centre A et d'angle -60° (constructions faciles, avec le compas et la règle).

Démonstration

(d₃’) coupe bien (d₂) : en effet, l'angle entre (d₃) et (d₃’) étant de 60° (ou 120°), et (d₂) et (d₃) étant parallèles, l'angle entre (d₂) et (d₃’) est donc de 60° (ou 120°).
Le point C appartient bien à (d₃) car C est l'image de B par r^{– 1} ; B appartient à (d₃’) et l'image de (d₃’) par r^{– 1} est (d₃).
Enfin, ABC est bien équilatéral, car C est l'image de B par la rotation réciproque r^{– 1} de centre A et d'angle -60°, donc ABC est isocèle en A et d'angle au sommet 60°, ces trois angles valent donc chacun 60°.

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Méthode 2 - cercle circonscrit

Construire un triangle équilatéral dont les sommets sont situés sur trois droites parallèles (d₁), (d₂) et (d₃).

On peut choisir arbitrairement un point A sur la droite (d₁) – figure plus simple en choisissant la droite du centre comme droite (d₁).

Démonstration : à partir du point A tracer les droites (d₂’) et (d₃’) faisant avec la droite (d₁) des angles de 60° (avec GéoPlan utiliser les images d'un point de (d₁) par les rotations de centre A et d'angles 60° et – 60°).

(d₂’) coupe (d₂) en B₂ et (d₃’) coupe (d₃) en C₃. Le cercle circonscrit au triangle AB₂C₃ recoupe (d₂) en B et (d₃) en C. Les angles inscrits AB₂B et AC₃C, égaux à 120°, interceptent sur le cercle deux arcs dont les longueurs sont égales au tiers de la circonférence. Les angles inscrits supplémentaires ACB et ABC sont égaux à 60° et le triangle ABC est une solution du problème.

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Problèmes analogues

Construire un triangle rectangle isocèle dont :
• les deux sommets des angles aigus sont situés sur deux droites,
• le sommet de l'angle droit est situé sur une droite, un des sommets d'un angle aigu est situé sur une autre droite.

d. Construire un triangle équilatéral dont les sommets sont situés sur des cercles concentriques

Construire un triangle équilatéral ABC connaissant les distances a, b, c de ses sommets A, B, C à un point O donné.

On peut choisir arbitrairement un point A tel que OA = a.

Construire l'image (c’) du cercle (c₁) par la rotation r de centre A et d'angle 60°.
Si l'on peut construire un triangle dont les côtés mesurent a, b,
c ; ce cercle image (c’) coupe le cercle (c₂) aux points C et C’.
Enfin, on obtient les points B et B’ en construisant les images de C et C’ par la rotation réciproque r^{– 1} de centre A et d'angle – 60°.

On obtient ainsi deux triangles équilatéraux ABC et A’B’C’.
Par symétrie autour de la droite (AO) on trouve deux autres solutions, soit quatre solutions pour un sommet donné.

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Cas particulier

Si le triangle dont les côtés mesurent a, b, c est aplati
(ici a = b + c) ; ce cercle image (c’) est tangent au cercle (c₂) en C.

On obtient ainsi un triangle équilatéral ABC.

Les quatre points O, A, B, C sont cocycliques.

On en déduit que, si O est un point du cercle circonscrit à un triangle équilatéral ABC, l'une des longueurs OA, OB, OC est la somme des deux autres.

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Classe de seconde

ABC est triangle équilatéral.
M un point de son cercle circonscrit (c), M est entre B et C.

Montrer que MA = MB + MC

Indication

Soit I le point de [AM] équidistant de M et C.
MIC triangle isocèle ayant un angle de 60° (angle inscrit AMC dans le cercle (c) égal l'angle ABC), est aussi équilatéral.

La rotation de centre C et d'angle 60° transforme I en M et A en B.
Donc, IA = MB et MB + MC = IA + IM = MA.

Bissectrice

Une étude des angles inscrits permet de remarquer que BMC complémentaire de BAC mesure 120°,

que AMB = ACB = 60° et AMC = ABC = 60°,
(MA) est la bissectrice de BMC.

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6. D'un triangle équilatéral à l'autre

Classe de seconde

ABC est un triangle équilatéral inscrit dans un cercle (c).

F est le point de [BC] tel que FB = k FC. On choisira k = 1, 2 ou 3

La droite (AF) recoupe le cercle en D.
La droite parallèle à (AD) passant par B coupe (CD) en E.

a. Montrer que BED, ayant deux angles de 60°, est un triangle équilatéral.
Vérifier que et calculer DF.
b. Calculer le rapport de l'aire du triangle ABC sur l'aire du triangle BED.

Indication

a. Les angles inscrits ADC et ADB sont égaux à 60°.
(DF) est une bissectrice du triangle BCD et DB/DC = FB/FC = k, soit DB = k DC.

Le triangle BED, ayant deux angles de 60°, est un triangle équilatéral ; on note a son côté : DB = DE = a et DC = a/k.

Par hypothèse (FD) // (BE), d'après la propriété de Thalès dans le triangle BCE on a : CE/CD = BE/FD.

1/DC + 1/DB = 1/DC + 1/DE = (DE + DC)/(DC×DE) = CE/(CD×DE) = CE/CD × 1/DE = BE/FD × 1/DE = 1/FD.

On a bien :

De DB = k DC = a, on trouve 1/DF = 1/DB + k/DB = (k + 1)/DB, d'où DF = DB/(k + 1) ; soit DF = a/(k + 1).

b. Soit I le milieu de [DE]. La hauteur de BED est IB = a.

CI = CD + DI = a/k + a/2 = a (1/k + 1/2). Avec la relation de Pythagore dans le triangle rectangle BCI :

CB² = CI² + IB² = a²((1/k + 1/2)² + 3/4) = a² ,
le rapport de l'aire du triangle ABC sur l'aire du triangle BED est égal au rapport des carrés de leurs côtés, donc .

Pour k = 2 on a un rapport de 7/4.

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Un triangle équilatéral est inscrit dans un cercle, lui-même inscrit dans un autre triangle équilatéral.

La longueur du côté du petit triangle étant 1, quelle est celle du côté du grand ?

Solution

Tracer le triangle médian A₁B₁C₁ de A’B’C’.
Ce triangle équilatéral inscrit dans le cercle a ses côtés de longueur 1.

Le triangle A’B’C’ est alors décomposé en quatre triangles équilatéraux de même taille que ABC.
Le côté A’B’ = A’C₁ + C₁B’ = 1 + 1 = 2 du grand triangle est double de celui du petit.

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Remarque

Le cercle circonscrit au triangle A’B’C’ a un rayon R double du rayon r du cercle circonscrit au triangle ABC. Ce cercle est le cercle inscrit dans le triangle. A’B’C’.
D'où : dans un triangle équilatéral le cercle circonscrit a un rayon double de celui du cercle inscrit.

8. Triangle équilatéral inscrit dans un triangle donné

Construction s'appuyant sur des rotations.

Choisir un point P sur le côté [AB].
La rotation de centre P et d'angle 60° transforme la droite (BC) en (B’C’).
Le point d'intersection R de [AC] et (B’C’), s'il existe, est un point du triangle équilatéral cherché.
On trouve le troisième point Q, image de R par la rotation réciproque d'angle -60°.

Le triangle équilatéral PQR est inscrit dans le triangle ABC.

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10. Triangle équilatéral circonscrit à un triangle donné

Construction s'appuyant sur des arcs capables.

Il s'agit de trouver des points Q et R tels que de ces points, on « voit » les côtés [ BC] et [AC] sous un an angle de 60°.

Pour cela, construire les triangles équilatéraux BCQ’ et ACR’.
Les arcs capables sont situés sur les cercles circonscrits à ces triangles.

Choisir un point Q sur l'arc BC. La droite (QC) coupe l'arc AC en R.

Terminer le triangle équilatéral avec le sommet P intersection des droites (QA) et (RA).

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Activité B2i

Domaine B2i

Item lycée validable

Le triangle équilatéral en 3^ème

1 – S'approprier un environnement informatique de travail.

1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail.

Faire de la géométrie en seconde

GéoPlan
au collège

Angles
Rotations

Construction
au compas

Collège
Triangles

Seconde
Triangles

Sommaire

1. Construction à la règle et compas - Euclide
2. Construction de deux triangles isocèles
3. Triangle équilatéral inscrit dans un carré
4. Construire un triangle équilatéral dont deux sommets sont situés sur deux droites
Construire un triangle équilatéral dont les sommets sont situés sur des cercles concentriques
5. Relation métrique
6. D'un triangle équilatéral à l'autre
7. Triangle et cercle inscrits
8. Triangle équilatéral inscrit dans un triangle
9. Triangle équilatéral circonscrit à un triangle

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