Angles inscrits au collège

Angles inscrits égaux et supplémentaires, théorème limite de cocyclicité, milieux d'arcs et bissectrices, quadrilatères inscriptibles.

Page n^o 103, créée le 4/2/2007, modifiée le 6/1/2008

Index
collège

Collège
Problèmes de construction

La géométrie du triangle
Droites

Retrouver un triangle à partir de droites remarquables

GéoPlan en 3^e
Théorème
de Thalès

Faire de la géométrie
dynamique

Un secteur angulaire est une figure plane obtenue par intersection ou réunion de deux demi-plans délimités par des droites sécantes ou confondues.
L'angle d'un secteur angulaire est le nombre réel positif qui mesure la proportion du plan occupée par le secteur angulaire.

La somme des angles d'un triangle vaut 180° (π radians).

L'angle extérieur d'un triangle est égal à la somme des deux angles intérieurs non adjacents.

Deux angles sont complémentaires si leur somme vaut 90° (les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires).

Deux angles sont supplémentaires si leur somme vaut 180°.

Deux angles à côtés parallèles sont égaux s'ils sont de même nature (aigu ou obtus) ou supplémentaires si l'un est aigu, l'autre obtus.

Deux angles à côtés perpendiculaires sont égaux s'ils sont de même nature (aigu ou obtus) ou supplémentaires si l'un est aigu, l'autre obtus.

Deux droites parallèles découpent sur une sécante des angles alternes internes, alternes externes ou correspondants de même mesure. Les angles internes du même côté ou externes du même côté sont supplémentaires. Les réciproques sont vraies.

1. Angles inscrits

en : inscribed angle

Classe de troisième

Soit (c) un cercle de centre O et de rayon r, A et B deux points de ce cercle et M un point variable sur le cercle.

L'angle inscrit AMB intercepte l'arc AB. AÔB est l'angle au centre correspondant.
Propriété : la mesure de l'angle inscrit est la moitié de celle de l'angle au centre qui intercepte le même arc.

Télécharger la figure GéoPlan angle_inscrit.g2w

Deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure.

AMB = ANB.

(N et M d'un même côté par rapport à la corde [AB]).

Télécharger la figure GéoPlan angle_inscrit_2.g2w

Lorsque deux points M et N sont de part et d'autre de la corde [AB], les angles inscrits AMB et ANB sont supplémentaires :

AMB + ANB = 180°.

L'angle au centre correspondant à l'angle inscrit obtus est rentrant.

Télécharger la figure GéoPlan angle_inscrit_3.g2w

Corde et tangente

Théorème limite de cocyclicité

L'angle inscrit BMA a même mesure que l'angle BÂT de la corde [BA] et de la tangente [AT).

L'angle inscrit BNA a même mesure que l'angle BÂT’ de la corde [BA] et de la tangente [AT’).

Angle corde et tangente

Démonstration : Si H est le milieu de [AB], les angles HÔA et BÂT ont leurs côtés deux à deux perpendiculaires, ils sont égaux. (OH) étant la bissectrice du triangle isocèle BOA,
on a HÔA = BÔA et BÂT est bien égal à la moitié de l'angle au centre BÔA.

BÂT est la position limite de l'angle inscrit BMA lorsque M « tend » vers A.

Télécharger les figures GéoPlan corde_tangente.g2w, angle_inscrit_4.g2w

Démonstration

Angles inscrits - Démonstration Cas où l'angle AMB est aigu ; A et B de part et d'autre de (MO)

Soit I le deuxième point de rencontre du cercle (c) avec le diamètre issu de M.
L'angle plat MÔI est égal à : MÔA + AÔI = 180°.
OA = OM = r. Dans le triangle isocèle MOA, OMA = MÂO et la somme des angles du triangle est :
180° = MÔA + OMA + MÂO = MÔA + 2 OMA
De ces deux égalités on en déduit 2 OMA = IÔA, soit 2 IMA = IÔA.
De même, pour le triangle isocèle MOB, on a 2 IMB = IÔB.

Si le point I est entre A et B faire l'addition des angles :
2 AMB = 2 AMI + 2 IMB = AÔI + IÔB = AÔB.
En collège on ne fera pas la démonstration dans les deux autres cas (soustraction d'angles).

Arc capable : angle-rotation

2. Angle inscrit dans un demi-cercle : théorème dû à Thalès

Un angle inscrit dans un demi-cercle est droit.

Télécharger la figure GéoPlan tr_rect5.g2w

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

3. Bissectrice

Si M est un point variable sur l'arc AB, le point I, intersection de la bissectrice de l'angle inscrit AMB avec (c), est fixe : c'est le milieu de l'arc AB.

Réciproquement, si I est le milieu d'un arc AB, et M un point du cercle situé sur le complément de l'arc AB ne contenant pas I, alors la droite (MI) est la bissectrice de l'angle inscrit AMB.

Application : les points d'intersection des bissectrices d'un triangle avec son cercle circonscrit sont les milieux des arcs déterminés par les sommets.

Télécharger la figure GéoPlan bissectrice.g2w

Problèmes de constructions
Constructions utilisant des configurations connues

CAPES Externe de Mathématiques - Épreuve sur dossier - sujet n^o 19 du 20 juillet 2006

L'exercice proposé :
Soit (Γ) un cercle de centre O et [AB] une corde de (Γ). Soit M un point de (Γ), distinct de A et de B. La bissectrice de AMB coupe (Γ) en I.

a. À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, construire la figure. Quelle conjecture peut-on faire sur le point I et sur le triangle AIB lorsque M décrit un arc de cercle d'extrémités A et B ?

b. Démontrer cette conjecture et préciser la position de I.

c. Soit (Γ) un cercle de centre O, [AB] une corde de (Γ) et N un point de ]AB[. Construire un triangle ABC tel que C Î (Γ) et tel que la bissectrice de ACB passe par N.

Le travail demandé au candidat :

Q.a. Présenter la figure réalisée sur la calculatrice et l'animation permettant de mettre en évidence la conjecture.

Q.b. Dégager les propriétés mises en jeu dans la résolution de l'exercice et indiquer à quel niveau on peut le proposer.

c. Le candidat rédigera et présentera plusieurs énoncés d'exercices, variés, de constructions de triangles vérifiant des conditions métriques ou géométriques.

Indications

L'exercice proposé par le jury se situait délibérément à un niveau de troisième ou de seconde ;
il s'appuyait essentiellement sur le théorème dit de l'angle inscrit. La rédaction de la réponse à la question a. pouvait se limiter à l'observation de l'invariance du point I d'intersection lorsque l'on déplace le point M, la conjecture étant donc que ce point est fixe.

c. Le point C est le deuxième point d'intersection du cercle (Γ) et de la droite (IN).

Télécharger la figure GéoPlan construc_triangle.g2w

4. Quadrilatère inscriptible - Points cocycliques

Définitions

Des points cocycliques sont situés sur un même cercle.
Un quadrilatère est inscriptible si les quatre sommets sont cocycliques.

Un quadrilatère est inscriptible si (et seulement si) deux angles opposés sont égaux ou supplémentaires.

a. Quadrilatère croisé (papillon)

Rappel : un quadrilatère ACBD est croisé si les deux diagonales [AB] et [CD] sont à l'extérieur du quadrilatère. Un quadrilatère croisé est concave.

Un quadrilatère croisé est inscriptible si (et seulement si) deux angles opposés sont égaux.

ACB = ADB.

Les deux autres angles opposés sont aussi égaux.

Télécharger la figure GéoPlan point_cocycliques.g2w

b. Quadrilatère convexe

Rappel : un quadrilatère ACBD est convexe si les deux diagonales [AB] et [CD] sont à l'intérieur du quadrilatère.

Un quadrilatère convexe est inscriptible si (et seulement si) deux angles opposés sont supplémentaires.

ACB + ADB = 180°.

Les deux autres angles opposés sont aussi supplémentaires.

Télécharger la figure GéoPlan point_cocycliques2.g2w

Cas particuliers : rectangle, carré.

Angles orientés

Quatre points A, B, C et D sont cocycliques (ou alignés) si et seulement si on a : (, ) = (, ) (mod π).

Voir : théorème de Ptolémée
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

c. Orthogonalité

Quatre points A, B, C et D sont placés dans cet ordre sur un cercle (Γ). Le point a est le milieu de l'arc AB, b de l'arc BC, c de l'arc CD et d de l'arc DA.

Les droites (ac) et (bd) se coupent en I. Montrer qu'elles sont perpendiculaires.

Indications : étude d'angles pour montrer que le triangle Iab est rectangle.

(ab) est la bissectrice de BâC, la droite (ac) est la bissectrice de CâD ; (ba) est la bissectrice de BbA et (bd) est la bissectrice de AbD.
L'angle bâc est égal à la moitié de BâD, et l'angle abd à la moitié de BbD.
Les angles inscrits BâD et BbD sont supplémentaires, leurs moitiés sont complémentaires : bâc + abd = 90°.
L'angle en I du triangle Iab est droit, car aIb + bâc + abd =180°.

Télécharger la figure GéoPlan cocy_ortho.g2w

Deux cercles inscrits

Les points J et K sont les centres des cercles inscrits dans les triangles ABD et ACD. Montrer que la droite (bd) est la médiatrice de [JK].

Télécharger la figure GéoPlan cocy_ortho_2.g2w

Quatre cercles inscrits

Les points L et M sont les centres des cercles inscrits dans les triangles BCD et ABC.
JKLM est un rectangle de centre I.

Télécharger la figure GéoPlan cocy_ortho_3.g2w

Deux cercles inscrits - solution

Solution

Le centre J du cercle inscrit dans le triangle ABD est situé à l'intersection des bissectrices (Da) et (Bd).

Dans le cercle (Γ) l'angle ADa est la moitié de l'angle ADB. Cet angle inscrit est égal à l'angle inscrit AdB.

Dans le cercle de centre d, passant par A, et par D (sur le cercle Γ, le point d est le milieu de l'arc AD), soit J’ l'intersection de ce cercle avec [dB], l'angle au centre AdJ’ est la moitié de l'angle inscrit ADJ’. J’ est aussi sur (Da) : les points J et J’ sont confondus. Le point J est situé sur le cercle.

On montre, de même, que le centre K du cercle inscrit dans le triangle ACD est situé sur le cercle de centre d passant par A.

La droite (db), bissectrice de l'angle BdC, est la médiatrice de la corde [JK] (axe de symétrie du triangle isocèle dJK).

5. Trapèze isocèle

Deux parallèles coupent un cercle selon un trapèze.
Montrer que les diagonales forment des triangles isocèles :

Deux droites parallèles (d) et (d’) coupent un cercle (c) en A, B et C, D de telle façon que ABCD soit un trapèze convexe.
Les diagonales [AD] et [BC] se coupent en I.

Montrer que ABI est un triangle isocèle.

Indications

Les angles inscrits BÂC et BDC sont égaux.
Les angles alternes-internes BDC et ABD sont égaux.
D'où BÂC = ABD ; ABI est isocèle.

Télécharger la figure GéoPlan trapeze_isocele.g2w

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Montrer que le trapèze est isocèle :

Deux droites parallèles (d) et (d’) coupent un cercle (c), de centre O, en formant un trapèze ABCD.
Les diagonales [AD] et [BC] se coupent en I distinct de O.
Les points H et K sont les milieux des côtés parallèles [AB] et [CD].
Les droites (AB) et (CD) se coupent en J.

Montrer que ABCD est un trapèze isocèle.

Indications

ABI est isocèle, d'où BÂC = ABD,
les angles inscrits CÂD et CBA sont égaux,
d'où BÂD =ABC. ABJ est un triangle isocèle et ABCD est un trapèze isocèle.

Les points O, I et J sont alignés sur la droite (HK) médiatrice de [AB] et [CD].

(cas particulier du théorème du trapèze complet, classe de 1S)

Télécharger la figure GéoPlan trapeze_isocele_2.g2w

6. Milieux d'arcs et cordes

A, B et C étant trois points situés sur un cercle (c), D est le milieu de l'arc AB et E le milieu de l'arc AC.

La droite (DE) coupe la corde (AB) en F et la corde (AC) en G.

Démontrer que AF = AG.

Indications

Les arcs AD et DB sont égaux et on les égalités d'angles inscrits
α = BÂD = ABD = AED.
De même, les arcs AE et EC sont égaux et β = CÂE = ECA = EDA.

Les angles externes EGC et DFB des triangles EAG et DAF sont égaux à α + β.

De même, les angles opposés par le sommet AGF = AFG = α + β.
Le triangle AGF est isocèle et AF = AG.

Télécharger la figure GéoPlan mi_corde.g2w

7. Triangle inscrit dans deux cercles sécants

Deux cercles (c) et (c’) de centres distincts I et J sont sécants en A et B.
Soit C un point du cercle (c). La droite (BC) recoupe le cercle (c’) en D.
Que dire du triangle ACD lorsque l'on déplace le point C sur le cercle (c).

Indication

Le triangle ACD a des angles fixes, les mêmes angles que AIJ (Ces triangles sont semblables).

Chacun des cercles passe par le centre de l'autre

Télécharger la figure GéoPlan deux_cercles_egaux.g2w

Cas général

Télécharger la figure GéoPlan deux_cercles.g2w
En terminale S, voir l'étude avec une similitude.

Étudier les angles inscrits ACB et ADB :
– en les comparant aux angles aux centres AIB et AJB,
– ou bien en étudiant le cas particulier où [AC] est un diamètre de (c).

Cas particuliers :
le triangle ACB est équilatéral, si chacun des cercles passe par le centre de l'autre,
Il est isocèle, si les cercles sont de même rayon (seconde, voir : alignement avec un point et son transformé),
Il est rectangle, si le triangle AIJ est rectangle (les cercles sont orthogonaux).

Activité B2i

Domaine B2i

Item collège validable