Pour chercher et approfondir
Rubrique du bulletin de l'APMEP diffusant des exercices proposables à nos élèves, exercices d'origines diverses.
Rubrique crée en 2004 par Serge Parpay et son équipe de Poitevins « le groupe du Clain » par référence à
une publication, appréciée, de l'IREM de Poitiers lors des années 70 (le Clain est l'affluent de la Vienne qui passe à Poitiers) et un clin œil, aussi, au grand Félix Klein. 2 - 451. Diviser l'aire d'un trapèze en deuxDiviser un trapèze en deux parties équivalentes par une parallèle aux bases. Enseignement secondaire spécial et baccalauréat ès sciences Bulletin APMEP no 451 - mars 2004
Solution de Bruno Alaplantive : Bulletin APMEP no 453 - septembre 2004 En posant EA = 1 et ED = k = , pour les aires on a Aire(EDC) = k2Aire(EAB) donc Aire(ABCD) = (k2 - 1) Aire(EAB). On obtient de même, en posant EP = p, Aire(ABQP) = (p2 - 1) Aire(EAB) et la demande Aire(ABQP) = Aire(ABCD) équivaut à : Construction à la façon de Descartes. La parallèle à (BD) coupe (ED) en F. Les triangles EDB et EFC sont semblables avec le rapport de similitude k.
Comme ED = k, on a EF = k2. On termine alors par la construction classique de la racine carrée d'un nombre : Télécharger la figure GéoPlan ex2_451.g2w Diviser un trapèze en quatre parties égalesDiviser en 4 parts égales l'aire d'un trapèze rectangle. Ces 4 parts ont leurs bases parallèles à la base du grand trapèze, cela revient à diviser ce grand trapèze en 4 petits trapèzes de même aire… ABCD est un trapèze rectangle en D, de petite base b = AB, La propriété de Thalès dans le triangle ECD permet d'écrire les rapports : Le partage en quatre se fait par les segments [MN], [PQ] et [RS] parallèles aux bases. [PQ] correspond au partage en deux, traité ci-dessus avec EP = p EA : [MN] correspond au quart de l'aire trapèze avec EM = m EA : [RS] correspond aux trois quarts de l'aire avec ER = r EA : Télécharger la figure GéoPlan div_trap_en4.g2w 4-452. Construction de-ci, de-làExiste-t-il un triangle ABC tel que la hauteur issue de A, la bissectrice de l'angle BÂC et la médiane relative au côté [BC] partagent l'angle BÂC en quatre angles de même mesure ? Jean Fromentin Avec un énoncé un peu modifié qui le rendait un peu captif de la loi des sinus Solution ABC est un triangle rectangle en A, l'angle droit est partagé en quatre angles de 22,5°. un angle aigu du triangle mesure 22,5° et si O est le milieu de [BC], la médiane (AO) fait un angle de 45° avec l'hypoténuse. Indications (Colette Grippon - 86 Buxerolles) Une solution de ce problème repose sur l'idée que les quatre angles égaux interceptent quatre arcs de même mesure sur le cercle circonscrit au triangle ABC. Soit un triangle ABC et (c) son cercle circonscrit de centre O. Programme de construction Tracer un cercle (c) et deux diamètres [BC] et [EG] perpendiculaires. Tracer les deux bissectrices de ces diamètres qui coupent le cercle en A et F pour l'une, et en D pour l'autre ; les points A et D étant d'un même côté de la droite (EG). Le triangle rectangle ABC est une solution du problème et les trois droites remarquables (AD), (AE) et (AF) partagent l'angle BÂC en quatre angles de 22,5°. Relations métriques Soit r le rayon du cercle circonscrit. Dans le triangle rectangle isocèle AHB on a OH = AH = r. BH = BO + OH = r + r = (2 + ) et HC = OC - OH = r - r = (2 - ) Dans le triangle rectangle ABH la propriété de Pythagore permet d'écrire AB = r . Un calcul analogue dans le triangle rectangle AHC donne On trouve les lignes trigonométriques cos 22,5° = et sin 22,5° = Généralisation : calcul des valeurs trigonométriques de l'angle moitié : soit OAH un triangle rectangle en H, d'hypoténuse [OA] de longueur 1, dont on connaît cos Ô ou sin Ô. Télécharger la figure GéoPlan trois_bissect.g2w 4 - 453. Découpage d'aires dans un carré
Soit ABCD un carré de côté a, J et K les milieux de [BC] et [CD]. Quadrilatère PJCK Calcul d'aire de triangles D'après la propriété de Pythagore dans le triangle ABJ, rectangle en B, AJ2 = a2 + = a2, d'où l'hypoténuse AJ = a. Montrer que la droite (AJ) est perpendiculaire à (BK) : voir droites orthogonales dans un carré : angles - rotations. Le triangle BPJ, rectangle en P, d'hypoténuse a, est semblable au triangle ABJ dans le rapport . Aire(ABJ) = a × a = a2, Aire(BPJ) = × Aire(ABJ) = a2. Par différence : Aire(PJCK) = Aire(BCK) - Aire(BPJ) = a2 - a2 = a2. Carré d'aire cinq fois plus petite (figure de droite) Montrer que la droite (AJ) est perpendiculaire à (BK), calculer PQ en fonction de a, justifier que PQRS est un carré, Un découpage de ABCD permet de reconstituer 5 petits carrés en collant aux 4 trapèzes adjacents au carré central PQRS, 4 triangles rectangles : faire pivoter ces triangles par des rotations de 180° autour des milieux des côtés du grand carré. Chacun des quadrilatères PJCK, QKCL… a donc une aire de a2 Voir : carré au collège Quadrilatère PJCM Étude du triangle KCM : Dans le carré ABCD, les droites (ID) et (BK), joignant deux sommets opposés aux milieux des côtés opposés, sont parallèles et partagent la diagonale [AC] joignant les deux autres sommets en trois parties égales : voir parallélogramme et milieux. Si H est la projection de M sur (CD), MH = a et Aire(KCM) = × KC × MH = × a × a = a2. Par différence : Aire(PJCM) = Aire(PJCK) - Aire(KCM) = a2 - a2 = a2. Tourniquette sur un polygoneFigures de Thompsen Tourniquette : ligne brisée formée par une suite de segments deux à deux parallèles tracés sur une figure comme un polygone ou une conique. Ces figures de Thompsen sont des problèmes intéressants de clôture : le tourniquet peut-il être infini ou se ferme-t'il ? Si oui, au bout de combien de tours ? Tourniquette sur un triangle Tourniquette sur un quadrilatère Tourniquette sur un pentagone Pour d'autres polygones, en déduire une conjecture suivant la parité du nombre de côtés. Tourniquette sur un cercle On choisit sur un cercle quatre points distincts M1, M2, M3 et M4. On construit les deux points M5 et M6 tels que : (M6M1) // (M3M4) : la tourniquette se referme et M7 = M1. Pour les polygones les figures utilisent le prototype : M2 point parallèle M1, A, C, B qui permet de calculer le point M2 intersection de la parallèle à (AC) passant par M1 et de la droite (CB). Télécharger la figure GéoPlan point_parallele.g2w Dans les figures ci-dessous déplacer le point M1 et examiner les cas particuliers.
Technique GéoPlan Pour les polygones les figures utilisent le prototype : M2 point parallèle M1, A, C, B qui permet de calculer le point M2 intersection de la parallèle à (AC) passant par M1 et de la droite (CB). Télécharger le prototype GéoPlan point_parallele.g2w Voir aussi tourniquette sur une conique : parabole
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