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Exercices de-ci, de-là

Diverses constructions, niveau seconde, réalisées avec GéoPlan.

Descartes
Faire de la géométrie dynamique

APM Pour chercher et approfondir

Sommaire

2 - 451. Diviser l'aire d'un trapèze en deux,
              en quatre
4 - 452. Construction de-ci, de-là
4 - 453. Découpage d'aires dans un carré

Tourniquette sur un polygone

 

Page no 78, réalisée le 18/10/2004,
mise à jour le 15/12/2005

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Faire de la géométrie dynamique

GéoPlan en 1e
Paraboles en S

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Rotations

GéoPlan
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GéoPlan
Problèmes du BOA

GéoSpace
Tétraèdres

Rubrique du bulletin de l'APMEP diffusant des exercices proposables à nos élèves, exercices d'origines diverses. Rubrique crée en 2004 par Serge Parpay et son équipe de Poitevins « le groupe du Clain » par référence à une publication, appréciée, de l'IREM de Poitiers lors des années 70 (le Clain est l'affluent de la Vienne qui passe à Poitiers) et un clin œil, aussi, au grand Félix Klein.
Bruno Alaplantive prend le relai en 2009.

2 - 451. Diviser l'aire d'un trapèze en deux

Diviser un trapèze en deux parties équivalentes par une parallèle aux bases.

Enseignement secondaire spécial et baccalauréat ès sciences
Géométrie théorique et pratique. Eysseric et Pascal. Delagrave 1874

Bulletin APMEP no 451 - mars 2004

Cliquer dans la figure et taper dans l'ordre :
2, 3, 4, 5 et terminer par 6 ;
puis taper 6, 5, 4, 3 et 2.

Cliquer dans la figure et taper dans l'ordre :
5, 4, 3 et terminer par 2 ;
puis taper 2, 3, 4, 5 et 6.

Solution de Bruno Alaplantive : Bulletin APMEP no 453 - septembre 2004

En posant EA = 1 et ED = k = DC/AB, pour les aires on a Aire(EDC) = k2Aire(EAB) donc Aire(ABCD) = (k2 - 1) Aire(EAB).

On obtient de même, en posant EP = p, Aire(ABQP) = (p2 - 1) Aire(EAB) et la demande Aire(ABQP) = 1/2 Aire(ABCD) équivaut à :
p2 - 1 = (k^2-1)/2, soit p = rac((k²+1)/2).

Construction à la façon de Descartes.

La parallèle à (BD) coupe (ED) en F. Les triangles EDB et EFC sont semblables avec le rapport de similitude k. Comme ED = k, on a EF = k2.
En reportant l'unité EA en FG, puis en plaçant le milieu M de [EG], on a EM = (k²+1)/2.

On termine alors par la construction classique de la racine carrée d'un nombre :
Reporter l'unité EA en EA’ et tracer le cercle de diamètre [MA’]. La perpendiculaire à (MA’) en E coupe le cercle en H. EH est la moyenne géométrique de EA’ et EM.
Il suffit de rabattre H en P sur [ED] et de terminer (PQ) parallèle aux bases du trapèze.

g2w Télécharger la figure GéoPlan ex2_451.g2w

Diviser un trapèze en quatre parties égales

Diviser en 4 parts égales l'aire d'un trapèze rectangle. Ces 4 parts ont leurs bases parallèles à la base du grand trapèze, cela revient à diviser ce grand trapèze en 4 petits trapèzes de même aire…

ABCD est un trapèze rectangle en D, de petite base b = AB,
de grande base b’ = CD et de hauteur h = AD.
Les côtés non parallèles du trapèze se rencontrent en E.

La propriété de Thalès dans le triangle ECD permet d'écrire les rapports :
k = ED/EA = DC/AB = b'/b, or ED/EA = (EA + AD)/EA = 1 + AD/EA, soit AD/EA = k - 1
et EA = AD/(k - 1) = h/(k - 1).

Le partage en quatre se fait par les segments [MN], [PQ] et [RS] parallèles aux bases.

[PQ] correspond au partage en deux, traité ci-dessus avec EP = p EA :
Aire(ABQP) = (p2 - 1) Aire(EAB) et la demande Aire(ABQP) = 1/2 Aire(ABCD) équivaut à :
p2 - 1 = 1/2 (k2 - 1), soit p = rac((k²+1)/2).

[MN] correspond au quart de l'aire trapèze avec EM = m EA :
Aire(ABNM) = (m2 - 1) Aire(EAB) et Aire(ABNM) = 1/4 Aire(ABCD) équivaut à : m2 - 1 = 1/4 (k2 - 1),
soit m = rac(k² + 3)/2.

[RS] correspond aux trois quarts de l'aire avec ER = r EA :
Aire(ABSR) = (r2 - 1) Aire(EAB) et Aire(ABSR) = 3/4 Aire(ABCD) équivaut à : r2 - 1 = 3/4 (k2 - 1), soit r = rac(3k² + 1)/2.

g2w Télécharger la figure GéoPlan div_trap_en4.g2w

4-452. Construction de-ci, de-là

Existe-t-il un triangle ABC tel que la hauteur issue de A, la bissectrice de l'angle BÂC et la médiane relative au côté [BC] partagent l'angle BÂC en quatre angles de même mesure ?

Jean Fromentin
Bulletin APMEP no 452, mai 2004 - no 456, janvier 2005
Bulletin APMEP - IREM - Poitiers : corol'aire no 23, février 1996

Avec un énoncé un peu modifié qui le rendait un peu captif de la loi des sinus
a/sin A = b/sin B = c/sin C énoncée en préambule

Solution

ABC est un triangle rectangle en A, l'angle droit est partagé en quatre angles de 22,5°. un angle aigu du triangle mesure 22,5° et si O est le milieu de [BC], la médiane (AO) fait un angle de 45° avec l'hypoténuse.

Indications (Colette Grippon - 86 Buxerolles)

Une solution de ce problème repose sur l'idée que les quatre angles égaux interceptent quatre arcs de même mesure sur le cercle circonscrit au triangle ABC.

Soit un triangle ABC et (c) son cercle circonscrit de centre O.
La bissectrice (AI) de l'angle BÂC recoupe le cercle circonscrit (c) en E. Le point E, milieu de l'arc BC, est situé sur la médiatrice de [BC], la droite (OE). La médiatrice (OE) et la hauteur (AH), perpendiculaires à (BC), sont parallèles ; elles forment avec la droite (AE) des angles alternes-internes HÂE et AÊO égaux. Le triangle OAE est isocèle, les angles à la base AÊO et OÂE sont égaux. Par transitivité HÂE = OÂE. (AE) est la bissectrice de HÂO.
Pour répondre au problème posé, il faut donc que (AO) soit la médiane relative au côté [BC]. Le point O, centre du cercle circonscrit, est le milieu de [BC]. Le triangle ABC est rectangle en A. C'est une condition nécessaire, mais pas suffisante.
La hauteur (AH) recoupe le cercle circonscrit (c) en D et la médiane (AO) en F. Les points D, E et F partagent le demi-cercle en quatre arcs égaux. Les points A et D sont symétriques par rapport à la droite (BC). Le point A est le milieu de l'arc CG.

Programme de construction

Tracer un cercle (c) et deux diamètres [BC] et [EG] perpendiculaires. Tracer les deux bissectrices de ces diamètres qui coupent le cercle en A et F pour l'une, et en D pour l'autre ; les points A et D étant d'un même côté de la droite (EG). Le triangle rectangle ABC est une solution du problème et les trois droites remarquables (AD), (AE) et (AF) partagent l'angle BÂC en quatre angles de 22,5°.

Relations métriques

Soit r le rayon du cercle circonscrit. Dans le triangle rectangle isocèle AHB on a OH = AH = rrac(2)/2.

BH = BO + OH = r + rrac(2)/2 = r/2(2 + rac(2)) et HC = OC - OH = r - rrac(2)/2 = r/2(2 - rac(2))

Dans le triangle rectangle ABH la propriété de Pythagore permet d'écrire
AB2 = AH2 + BH2 = r²/2 + r²/4(2 + rac(2))2 = r²/4[2 + (2 + rac(2))2] = r²/4[8 + 4rac(2)] = r2 (2 + rac(2))

AB = r rac(2+rac(2)).

Un calcul analogue dans le triangle rectangle AHC donne
AC2 = r2 (2 - rac(2)) et AC = r rac(2-rac(2)).

On trouve les lignes trigonométriques cos 22,5° = rac(2+rac(2))/2 et sin 22,5° = rac(2-rac(2))/2

Généralisation : calcul des valeurs trigonométriques de l'angle moitié :

soit OAH un triangle rectangle en H, d'hypoténuse [OA] de longueur 1, dont on connaît cos Ô ou sin Ô.
En plaçant sur la droite (OA) les deux points B et C à une distance 1 de O, le point C sur la demi-droite [OH), on obtient un triangle ABC d'angle ABC = AÔC/2. Dans les triangles rectangles AHB et AHC, le calcul de AB et AC en fonction de OH = cosÔ et de AH = sinÔ, permet d'en déduire cosÔ/2 = 1/2 AB et sinÔ/2 = 1/2 AC.

g2w Télécharger la figure GéoPlan trois_bissect.g2w
Retrouver cet exercice dans triangles en seconde

4 - 453. Découpage d'aires dans un carré

g2w Télécharger la figure GéoPlan aire_ds_carre.g2w

g2w Télécharger la figure GéoPlan p_s_car.g2w

Soit ABCD un carré de côté a, J et K les milieux de [BC] et [CD].
Quelle est l'aire du quadrilatère PJCK ?
Si M est le point d'intersection de (BK) et (AC), quelle est l'aire du quadrilatère PJCM ?

Quadrilatère PJCK

Calcul d'aire de triangles

D'après la propriété de Pythagore dans le triangle ABJ, rectangle en B, AJ2 = a2 + a²/4 = 5/4a2, d'où l'hypoténuse AJ = a.

Montrer que la droite (AJ) est perpendiculaire à (BK) : voir droites orthogonales dans un carré : angles - rotations.

Le triangle BPJ, rectangle en P, d'hypoténuse 1/2a, est semblable au triangle ABJ dans le rapport 1/rac(5).

Aire(ABJ) = 1/2a × 1/2 a = 1/4a2, Aire(BPJ) = 1/5 × Aire(ABJ) = 1/20a2.

Par différence : Aire(PJCK) = Aire(BCK) - Aire(BPJ) = 1/4a2 - 1/20a2 = 1/5a2.

Carré d'aire cinq fois plus petite (figure de droite)

Montrer que la droite (AJ) est perpendiculaire à (BK), calculer PQ en fonction de a, justifier que PQRS est un carré,
montrer que son aire est égale à 1/5 de l'aire de ABCD.

Un découpage de ABCD permet de reconstituer 5 petits carrés en collant aux 4 trapèzes adjacents au carré central PQRS, 4 triangles rectangles : faire pivoter ces triangles par des rotations de 180° autour des milieux des côtés du grand carré.

Chacun des quadrilatères PJCK, QKCL… a donc une aire de 1/5a2

Voir : carré au collège
produit scalaire

Quadrilatère PJCM

Étude du triangle KCM :

Dans le carré ABCD, les droites (ID) et (BK), joignant deux sommets opposés aux milieux des côtés opposés, sont parallèles et partagent la diagonale [AC] joignant les deux autres sommets en trois parties égales : voir parallélogramme et milieux.

Si H est la projection de M sur (CD), MH = 1/3a et Aire(KCM) = 1/2 × KC × MH = 1/2 × 1/2a × 1/3 a = 1/12a2.

Par différence : Aire(PJCM) = Aire(PJCK) - Aire(KCM) = 1/5a2 - 1/12 a2 = 7/60a2.

Tourniquette sur un polygone

Figures de Thompsen

Tourniquette : ligne brisée formée par une suite de segments deux à deux parallèles tracés sur une figure comme un polygone ou une conique. Ces figures de Thompsen sont des problèmes intéressants de clôture : le tourniquet peut-il être infini ou se ferme-t'il ? Si oui, au bout de combien de tours ?

Tourniquette sur un triangle
Soit ABC un triangle et M1 un point de [AB].
On effectue la construction suivante :
M2 point de [AC] tel que (M1M2) // (BC),
M3 point de [BC] tel que (M2M3) // (AB),
M4 point de [AB] tel que (M3M4) // (AC),
M5 sur [AC]…
M6 sur [BC]…
La tourniquette se referme en deux tours et M7 = M1.

Tourniquette sur un quadrilatère
La tourniquette se referme en un tour et M5 = M1 ;
la figure M1M2M3M4 est un parallélogramme.

Tourniquette sur un pentagone
(M1M2) // (AC), (M2M3) // (BD), (M3M4) // (CE)…
La tourniquette se referme en deux tours : M11 = M1.

Pour d'autres polygones, en déduire une conjecture suivant la parité du nombre de côtés.

Tourniquette sur un cercle

On choisit sur un cercle quatre points distincts M1, M2, M3 et M4.

On construit les deux points M5 et M6 tels que :
M5 point du cercle tel que (M4M5) // (M1M2),
M6 point du cercle tel que (M5M6) // (M2M3).

(M6M1) // (M3M4) : la tourniquette se referme et M7 = M1.
La figure M1M2M3M4M5M6 est un hexagone aux côtés deux à deux parallèles.

Technique GéoPlan

Pour les polygones les figures utilisent le prototype :

M2 point parallèle M1, A, C, B

qui permet de calculer le point M2 intersection de la parallèle à (AC) passant par M1 et de la droite (CB).

g2w Télécharger la figure GéoPlan point_parallele.g2w

Dans les figures ci-dessous déplacer le point M1 et examiner les cas particuliers.

1. Triangle

g2w Télécharger la figure GéoPlan tour_tri.g2w

2. Quadrilatère

g2w Télécharger la figure GéoPlan tour_qua.g2w

3. Pentagone

g2wTélécharger la figure GéoPlan tour_pen.g2w

4. Cercle

g2w Télécharger la figure GéoPlan tour_cer.g2w

Technique GéoPlan

Pour les polygones les figures utilisent le prototype :

M2 point parallèle M1, A, C, B

qui permet de calculer le point M2 intersection de la parallèle à (AC) passant par M1 et de la droite (CB).

g2w Télécharger le prototype GéoPlan point_parallele.g2w

Voir aussi tourniquette sur une conique : parabole

 

Théorème de Thalès

GéoPlan 2nde
La géométrie du triangle

Droites remarquables dans le triangle

1S
Produit scalaire

GéoSpace
Tétraèdres

Démonstrations géométriques de Pythagore

Sommaire

2 - 451. Diviser l'aire d'un trapèze en deux,
              en quatre
4 - 452. Construction de-ci, de-là
4 - 453. Découpage d'aires dans un carré

Tourniquette sur un polygone

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