Travaux pratiques en option L avec GéoPlan : huit méthodes de construction du pentagone à la « règle et au compas ».
	Construire le pentagone régulier	…avec GéoPlan

Angles et côtés

L'angle au centre du Pentagone régulier est de et l'angle intérieur de .

Si a est la longueur du côté, d la longueur d'une diagonale et r le rayon du cercle circonscrit, on a montré dans polygones réguliers que :
a = 2 r sin = = r ≈ 1,176 r ;

d = = r ≈ 1,902 r.

Le rapport est égal au nombre d'or Φ = .

Méthodes de construction du pentagone régulier

Pour construire un pentagone régulier on peut se donner :

• Le centre O du cercle circonscrit et un sommet A

• Un côté en choisissant deux sommets consécutifs A et B

• Une diagonale en choisissant deux sommets non consécutifs A et C

1. Construction de Ptolémée

Construction dite de Ptolémée ; Alexandrie 85-165 après J.-C.

Pour construire un pentagone régulier convexe inscrit dans un cercle à la « règle et au compas » il suffit de savoir construire un angle au centre de dont le cosinus est égal à .

Pour un pentagone inscrit dans un cercle de centre O, ayant un sommet A donné on peut effectuer la construction suivante adaptée du procédé de création du rectangle d'or :

tracer un cercle (c₁) de centre O, passant par A. On choisira comme unité le rayon du cercle. Placer un diamètre [AA’] et un rayon [OB’], perpendiculaire à [AA’].

K est le milieu de [OA’], le cercle de « Ptolémée » (c₂) de centre K et de rayon KB’ coupe [OA] en U. La longueur du côté du pentagone est égale à B’U.

La médiatrice de [OU] coupe le premier cercle (c₁) aux points B et E qui sont deux sommets du pentagone. Le cercle de centre B passant par A recoupe (c₁) en C. Le symétrique D de C par rapport à (AA’) termine la construction du pentagone.

En effet, KB’ = KU = d'après la propriété de Pythagore dans le triangle OKB’ rectangle en O,
donc OU = - = et OI = . L'angle (, ) a un cosinus égal à , c'est bien un angle de .

La corde [AB] est donc le premier côté du pentagone régulier convexe ABCDE. [EB] est un côté du pentagone étoilé EBDAC inscrit dans le même cercle.

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Pentagramme mystique

Dans la figure de droite, les points A’, C’, E’, B’, D’, nommés dans cet ordre sont les sommets d'un polygone régulier étoilé appelé pentagramme. Ce pentagramme de Pythagore était le sceau secret de reconnaissance des pythagoriciens.

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Mathématiques amusantes

Un jardinier plante 10 arbres, il réalise 5 rangs de 4 arbres.
Quelle est la disposition ?

Feuille de travail dynamique avec GeoGebra : pentagone

2. Construction du R.P. Durand

Variante de la construction de Ptolémée

Points libres : le centre O et un sommet A.

Placer les points O et A, tracer le cercle c₁ de centre O passant par A, placer le symétrique A’ de A par rapport à O.

Sur un rayon perpendiculaire au diamètre [AA’], placer le point K au milieu de ce rayon.

Tracer le cercle c₂ de centre K passant par A, ce cercle coupe la droite (OK) en U et T. AU est égal à la longueur du côté d'un pentagone convexe inscrit dans le cercle c₁, AT est égal à la longueur du côté du pentagone croisé.

Tracer les cercles c₃ et c₄ de centre A, passant par U et T. Le cercle c₃ coupe c₁ en B et E. Le cercle c₄ coupe c₁ en C et D.

ABCDE est un pentagone régulier.

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3. Méthode des tangentes à un cercle

Construire la longueur comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle ayant pour côtés et .
Le cercle c₃, homothétique du cercle de Ptolémée c₂, par l'homothétie de centre O et de rapport , permet de reporter cette longueur PQ en PI.

Construction

Tracer un cercle c₁ de centre O, passant par A. Placer un diamètre [AA’] et un rayon [OB’], perpendiculaire à [AA’].

P est au quart de [OA’] à partir de O : OP = OA’ et Q est le milieu de [OB’], le cercle c₃ de centre P et passant par Q, coupe [OA] en I et [OA’] en J. La perpendiculaire en I à (AA’) coupe le cercle c₁ en B et E.
La perpendiculaire en J à (AA’) coupe le cercle c₁ en C et D (placés suivant la figure).
ABCDE est un pentagone régulier.

Démonstration utilisant le produit scalaire (Classe de 1S) :

pour le prouver il suffit démontrer que AÔB = et AÔC = .

On choisira comme unité le rayon du cercle.
Dans le triangle rectangle OPQ, le théorème de Pythagore permet de trouver :
PQ = et OI = PI - PO = PQ - = .

I étant la projection orthogonale de B sur (OA), on trouve l'égalité des produits scalaires :

. = . = 1 × OI

= .

Ce produit scalaire s'exprime en fonction de l'angle des deux vecteurs :

. = OA × OB cos(AÔB) = 1 × 1 × cos(AÔB)

= ,

donc cos(AÔB) = ; AÔB = .

De même, OJ = OP + PJ = + PQ = .

J étant la projection orthogonale de C sur (OA), on a :

. = . = − 1 × OJ

= − ,

et en fonction de l'angle des vecteurs :

. = OA × OC cos(AÔC) = 1 × 1 × cos(AÔC)

= − ,

donc cos(AÔC) = −  ; la formule de duplication cos(2x) = 2cos²x − 1 permet, en vérifiant que 2 cos² − 1 = − , de déduire que AÔC = .

Les points D et E étant les symétriques de C et B par rapport à (OA), on a donc AÔD = et AÔE = , la figure est bien un pentagone régulier.

Démonstration utilisant les nombres complexes (TS)

Dans le plan complexe choisira le centre du pentagone comme origine O et pour le sommet A, le point d'affixe 1.

Pour montrer que l'on obtient un pentagone régulier, il suffit démontrer que les affixes des sommets sont les racines cinquièmes de l'unité :
1, z = , z², , ; les cinq solutions de l'équation z⁵ - 1 = 0.

Le polynôme z⁵ - 1 se factorise sous la forme z⁵ - 1 = (z - 1)(z⁴ + z³ + z² + z + 1) (formule classique utilisée pour la somme des 5 premiers termes d'une suite géométrique).

La factorisation peut se poursuivre par z⁵ - 1 = (z - 1) (z² - 2αz + 1) (z² - 2βz + 1) avec, par identification, les réels α et β vérifiant :
α + β = −  et αβ = − .

Dans le triangle IJQ rectangle en Q, P est le milieu de [IJ] donc OI - OJ = −2 OP = −  ;
la relation métrique pour la hauteur [OQ] permet d'écrire : OI × OJ = OQ² = .
α et β sont donc les affixes des points I et J.

Il est possible de résoudre le système d'équations α + β = −  et αβ = − et les réels α et β sont les solutions d'une équation du second degré, mais utilisons plutôt la calculatrice TI-92 qui permet de factoriser dans C et en regroupant les facteurs trouvés avec factorC(z^5-1,z) on a :

(z² - 2αz + 1) =

et  (z² - 2βz + 1) = ,

soit z⁵ - 1 = (z - 1).

Dans tous les cas (en vérifiant éventuellement les valeurs des cosinus), on trouve :

α =  = Re() ; partie réelle des solutions de z² - 2αz + 1 = 0,
et β = –   = Re() ; partie réelle des solutions de z² - 2βz + 1 = 0.

α et β sont les parties réelles des racines cinquièmes de l'unité, racines imaginaires.
Les sommets du pentagone régulier sont bien l'intersection du cercle unité avec les parallèles à (Oy) passant par I et J.

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Voir : plan complexe
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4. Méthode des cercles tangents

Construction proposée par Dumont (1996) à propos des tracés régulateurs des temples d'Angkor.

Placer deux points O, A et le cercle c₁ de centre O, de rayon r, passant par A. A’ est le symétrique de A par rapport à O. I est le milieu d'un rayon perpendiculaire au diamètre [AA’]. c₂ est le cercle de centre I et de rayon . La droite (A’I) coupe le cercle c₂ en P et Q. c₃ et c₄ sont les cercles de centre A’ tangents à c₂. Le cercle c₃ est tangent intérieurement au cercle c₂ en P et le cercle c₄ est tangent extérieurement au cercle c₂ en Q. Le cercle c₃ coupe c₁ en B et E et le cercle c₄ coupe c₁ en C et D. Les points ABCDE sont les sommets du pentagone cherché.

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TS : Démonstration par calcul d'affixes de complexes.

En choisissant r = 1 et O comme origine, on va montrer que l'affixe ω = e^iθ de B a pour argument θ = en calculant cosθ.

Le rayon de c₃ est A’B tel que = + donc A’B = |1 + ω|,
or A’B = A’P = A’I + IP = + d'où |1 + ω| = (le nombre d'or Φ).

On a donc |1 + ω|² = (1 + cosθ)² + sin²θ = 2(1 + cosθ) = ,
d'où l'on tire cosθ = soit θ = (voir angle trigonométrie).

Démonstration (d'après Georges Lion - Bulletin APMEP n^o 433)

Dans le triangle rectangle O’OI on a (puissance du point O’ par rapport au cercle c₂) :

O’O² = O’I² - IO² = O’I² -

O’O² = (O’I - )(O’I + )

O’O² = (O’I - IQ)(O’I + IP) = O’Q × O’P.

O’O² est donc le produit des rayons des cercles c₃ et c₄.

Soit M le point d'intersection du segment [O’B] et du cercle c₄.

Le produit des rayons est donc :

O’O² = O’M × O’B soit O’O/O’M = O’B/O’O.

Ayant déjà l'angle OÔ’B en commun les triangles O’MO et O’OB sont semblables.

Le triangle O’OB ayant deux côtés égaux à r est isocèle, le triangle O’MO l'est aussi.

Soit α la mesure des angles égaux OÔ’B = OBO’ = MÔO’.

Les angles « au sommet » des triangles isocèles sont donc A’MO = O’ÔB = π - 2α.

D'autre part, le triangle BOM est isocèle (puisque BM = r). D'où MÔB = .

On a donc O’ÔB = π - 2α = O’ÔM + MÔB= α + .

De là, α = , MÔB = , O’ÔB = . Donc, AÔB = et B est le deuxième sommet du pentagone.

Le point C d'intersection de la demi-droite [OM) et du cercle c₁ est le troisième sommet du pentagone, car : CÔB = MÔB = . Montrons que ce sommet C du pentagone est sur le cercle c₄.

L'angle CÔ’B inscrit dans le cercle c₁ est égal à la moitié de l'angle au centre : CÔ’B = CÔB = .

CMO’ = MÔB = .

Le troisième angle du triangle O’MC est MCO’ = . Ce triangle ayant deux angles égaux est isocèle. O’M = O’C. C est bien sur le cercle c₄.

La symétrie par rapport à (AO’) donne les autres sommets E et D.

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Une construction égyptienne

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5. Construction à partir d'un losange

Autre variante de la construction de Ptolémée

Placer deux points O et A et le cercle c₁ de centre O, passant par A, de rayon r.

O₃ est le symétrique de A par rapport à O. B’ est un des points d'intersection du diamètre perpendiculaire à [O₃A] avec le cercle c₁.

K est le milieu du rayon [O₃O].

Le cercle c₂ de centre K passant par B’ coupe [OA] en U et [OO₃) en T.

Le cercle c₃ de centre O₃ passant par U coupe le cercle c₁ en B et E et la droite (O₃A) en V.

Les droites (BV) et (EV) coupent le cercle c₁ en C et D.

Les points ABCDE sont les sommets du pentagone cherché.

Démonstration

Comme pour la méthode précédente, B’U = AB comme côté du polygone convexe et B’T = BE comme côté du pentagone croisé.

On a aussi : O₃ U = Φr = r ainsi que O₃B et O₃E rayons du cercle c₃.

Dans le cercle c₁ le triangle O₃BA, inscrit dans un demi-cercle, est rectangle en B.

cos AÔ₃B = = = = cos . Les angles aigus du triangle sont donc et .

L'angle BÂE est égal à . Les deux segments égaux [AB] et [AE] sont deux côtés d'un pentagone régulier inscrit dans le cercle c₁.

Le triangle isocèle O₃BU a un angle au sommet égal à , c'est un triangle d'or de côtés O₃B = Φr et BU = r.

Dans le cercle c₃ l'angle inscrit correspond à l'angle au centre EÔ₃B = 2 AÔ₃B = . Cet angle inscrit est donc = .

Les angles aigus du triangle VBA sont égaux à et . Le troisième angle est = . Le point C est aussi un sommet du pentagone. Même démonstration pour D, ce qui permet de conclure que ABCDE est un pentagone régulier.

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6. Construction d'un pentagone à partir d'un côté [AB]

Voir « un triangle intéressant » - Daniel Reisz - Bulletin APMEP n^o 430

Points libres : A et B.

Comme expliqué dans le chapitre sur le triangle d'or, trouver le point P, en traçant le triangle rectangle isocèle BAA’ et le cercle c₆ de centre K milieu de [AB] et tracer le triangle d'or BEP.

Enfin, terminer la construction du pentagone comme dans la méthode 5 ci-dessus.

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7. Construction d'un pentagone étoilé à partir d'un côté [BE]

Points libres : B et E.

Comme expliqué dans le chapitre sur le triangle d'or, trouver le point P formant une section d'or sur [BE] :
tracer le triangle rectangle BEM tel que EM = BE,
tracer le cercle c₁ de centre M passant par E coupant [BM] en Q
et le cercle c₂ de centre B passant par Q.
Le cercle c₂ coupe [BE] en P.

Les cercles c₃, de centre P passant par B, et c₄, de centre B passant par E, se coupent en D sommet du triangle d'or BED.

Terminer la construction des pentagones :
le point C est le symétrique de P par rapport à (BD), et le cercle c₂ recoupe (DP) en A.

Le point C est aussi situé sur le cercle c₂.

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8. Autre construction d'un pentagone à partir d'un côté [AB]

Dessin à partir d'un côté du pentagone : les points libres  sont deux sommets consécutifs A et B.

Placer les deux premiers points A et B du polygone,

placer le point B’ symétrique de B par rapport à A,

tracer le cercle c₁ de centre A passant par B (diamètre [B’B]),

la perpendiculaire en A à (AB) coupe le cercle c₁ en A’.

Soit c₂ le cercle de diamètre [AA’] : son centre J est le milieu de [AA’].

Tracer la droite (B’J), cette droite coupe le cercle c₂ au point K.

Tracer le cercle c₃ de centre B’ passant par le point K,

les cercles c₁ et c₃ se coupent en D’, tracer le segment [BD’].

La médiatrice de [AB] coupe le segment [BD’] en O : O est le centre du cercle circonscrit c₄ au pentagone et on peut vérifier que l'angle AÔB mesure .

Pour tracer le pentagone régulier ABCDE, il suffit de placer le point C symétrique de A par rapport à (OB), le point E intersection des cercles c₁ et c₄, le point D est l'intersection du cercle circonscrit c₄ et de la médiatrice de [AB] qui passe par O.

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9. Isobarycentre du pentagone

O, intersection des axes de symétrie du pentagone régulier, en est le centre de gravité, donc : + + + + =  ;
en étudiant les abscisses, on trouve x_A + x_B + x_C + x_D + x_E = 0.

Choisissons un repère où est le vecteur unité de (Ox) : x_A = 1.

En raison de la symétrie de B et E, puis de C et D par rapport à (Ox) on a x_B = x_E, puis x_C = x_D, donc x_A + 2x_B + 2x_C = 0,
formule que l'on peut exprimer avec les cosinus : 1 + 2cos + 2cos = 0.

En posant x = cos , avec la formule de duplication, on trouve :

cos = 2 cos² - 1 = 2 x² - 1.

Nous avons donc l'équation 4x² + 2x - 1 = 0. Elle permet de retrouver cos = solution positive de cette équation.
La solution négative est -  = 2cos² - 1 = cos .

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10. Pentagone et nombre d'or

Soit ABCC₁A₁ un pentagone régulier. On note c la longueur du côté de ce pentagone et d la longueur de la diagonale. Soit B₁ le point d'intersection des diagonales (AC₁) et (A₁C). Les points A₁, B₁ et C₁ sont les sommets du pentagone régulier A₁B₁C₁C₂A₂ de côté B₁C₁ = AC₁ - AB₁ = d - c et de diagonale A₁C₁ = c.

Comme tous les pentagones réguliers sont semblables on a :

= = = .

Prendre c = 1 en choisissant la longueur AB comme unité.
On a alors d = soit d² - d + 1 = 0.

La solution positive de cette équation est le nombre d'or Φ = .
Dans tous les cas d = c Φ. Le pentagone A₁B₁C₁C₂A₂ est l'image du pentagone ABCC₁A₁ par l'homothétie de centre O et de rapport .

Si AA₁ = 1, A₁A₂ = ; AA₂ = 1 + = Φ.

Quand on itère cette homothétie, on obtient une suite infinie de pentagones. Observer la suite des points A, A₁, A₂…
A₂A₃ = = − Φ + 2, A₃A₄ = = 2Φ -3, A₄A₅ = = −3Φ + 5 et ainsi de suite ;
voir TI-92 : nombre d'or et suite de Fibonacci.

AA_n = AA₁ + A₁A₂ + A₂A₃ +…+ A_n-1A_n, somme des premiers termes d'une suite géométrique de raison , converge vers AO = 1 + Φ.

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Nombre d'or
      Rectangle d'or
      Triangle d'or

11. Pliage et nœud

Cet ingénieux procédé de construction du pentagone régulier se trouve indiqué sans démonstration dans un Ouvrage d'Urbano d'Aviso, publié à Rome, en 1682.

Édouard Lucas - Mathématicien français 1842-1891
L'arithmétique amusante - Adamant Media Corporation

Lorsque l'on fait un nœud avec une bande rectangulaire, si l'on aplatit ce nœud en marquant les plis, la silhouette qui apparaît est celle d'un pentagone.

La construction est exacte, mais un peu difficile.

Construction par pliage
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12. Construction d'architecte

Dessin à partir d'un côté du pentagone : les points libres sont deux sommets consécutifs A et B.

Tracer le cercle (c) de centre A passant par B. Soit R un des points d'intersection entre le cercle (c) et la droite perpendiculaire à (AB) passant par A.
Soit I le milieu de [AB]. Le cercle de centre I passant par R coupe la demi-droite [BA) en S.
Le cercle de centre B passant par S coupe le cercle (c) en E.
Il coupe aussi la médiatrice de [AB] en D.

Les segments [BA], [AE], [ED] sont trois côtés consécutifs du pentagone régulier.
Tracer le cercle de centre D passant par E, puis celui de centre B passant par A.
Seul un des points d'intersection de ces deux cercles permet d'obtenir un polygone convexe : le point C.
ABCDE est un pentagone régulier.

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Constructions approchées

1. Construction de Dürer

« Albert Dürer (né à Nuremberg en 1471, mort en 1528) appartient, comme Léonard de Vinci, à cette génération de grands artistes, peintres, sculpteurs et architectes, pour lesquels la géométrie est non seulement un instrument d'analyse, mais un puissant moyen de perfectionnement. L'étude de la perspective le conduisit à la transformation des figures en d'autres figures du même genre. Et de là naquirent plusieurs méthodes géométriques, comme celle qui consiste à faire croître proportionnellement les ordonnées des points d'une figure, dans le dessin d'un profil dont on veut rendre les dimensions en hauteur plus facilement appréciables. Dürer maniait très habilement le compas pour tracer des ellipses et d'autres figures géométriques. Le pentagone de Dürer est un pentagone, construit avec une seule ouverture de compas ; mais d'autres géomètres ont démontré depuis que ce pentagone n'a pas tous les angles égaux et que sa figure n'est qu'approximative. »

Source : Ferdinand Hoefer, Histoire des mathématiques, Paris, Hachette, 1874, p. 337

Placer deux points A et B. À partir de ce segment qui sera un côté du pentagone, on trace cinq cercles de même rayon :

Tracer les cercles de centre A, passant par B, et de centre B, passant par A. Ces deux cercles se coupent en P et Q.
Le cercle de centre P, passant par A (et par B), coupe les deux premiers cercles en R et S, et le segment [PQ] en G.
La droite (SG) coupe le premier cercle en E (voir figure) et (RG) coupe le deuxième cercle en C.
Le dernier point D se trouve à l'intersection des cercles de centre E, passant par A, et de centre C, passant par B.

Le pentagone ABCDE a ses cinq côtés égaux. L'erreur sur les angles est d'un demi-degré à un degré et demi. Le point D est très légèrement au-dessous du point « exact » D’ du pentagone régulier. Télécharger la deuxième figure pe_dure2.g2w pour mieux visualiser la différence avec GéoPlan.

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2. Pliage d'une feuille A4

AbId est une feuille au format A4 (ou An). Ab = Ib .

[AI] étant une diagonale, replier I sur A. Le pli est le segment [ef]. Le point b se place en b’. Plier ensuite [b’e] sur la diagonale [AI] en plaçant b’ en b₁. De même, plier [df] sur la diagonale [AI] en plaçant d en b₁.

ABCD est pentagone presque régulier tel que tan IÂB = b’I/Ib’ = ce qui correspond à un angle d'environ 54,8° supérieur aux 54° degrés attendus.

Voir ci-dessous une autre construction de ce pentagone.

Constructions par pliage : triangle équilatéral

Télécharger la figure GéoPlan pent_pli.g2w

Construction des bâtisseurs du Moyen-âge

Construction d'un pentagone de centre O et de sommet A. Voir figure ci-dessus.

Expliquer pourquoi cette figure n'est qu'une construction approchée du pentagone régulier :

Dans le triangle rectangle OAI, tan OÂI = = . Le point B est très légèrement en dessous du point « exact » B’ du pentagone régulier.

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3. Construction dite « de Thalès »

Cette construction d'un pentagone presque régulier est attribuée au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet (vers 600 avant J.-C.). Elle nécessite la règle et deux ouvertures de compas.

Tracer les points libres A et A₁ ; puis le cercle (c) de diamètre [AA₁]. Les cercles de centres A et A₁ et de rayon AA₁ se coupent en P et Q.

On divise le diamètre [AA₁] en n = 5 parties égales.

Les droites (PI₂) et (PI₄) rencontrent le cercle (c) en B et C, sommets du polygone. Ici on le complète par symétrie par rapport à (AA₁). On obtient les points D et E intersections du cercle (c) et des droites (QI₄) et (QI₂).

Construction d'un polygone de n côtés

Cette méthode s'applique à un polygone régulier de n côtés. Elle est d'une grande facilité et d'une précision très satisfaisante jusqu'à n = 10.

Télécharger la figure GéoPlan polygo_5.g2w
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Les polygones réguliers
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4. Les étoiles de Compostelle

Tracer les points libres M et N, puis le carré MNPQ. Le cercle de centre M passant par P coupe la demi-droite [MN) en O.
La droite (OQ) coupe la diagonale [MP] du carré en C
Le cercle de centre O passant par C coupe [MN] en B. [BC] est un premier côté du pentagone.
Le cercle de centre B passant par C coupe [NM) en A, sommet du pentagone.
Le cercle de centre C passant par B coupe [CQ) en D, quatrième sommet du pentagone.
On termine le pentagone en trouvant l'intersection E des cercles de même rayon de centres A et D.

Le pentagone ABCDE a ses cinq côtés égaux. L'erreur sur les angles est de un à deux degrés.

Voir : Henri Vincenot - Les étoiles de Compostelle - Denoël - Folio

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