Les théorèmes de ThalèsThalès a vécu à Milet au VIème siècle avant J.-C. Mathématicien et philosophe grec de l'école ionienne, l'un des sept sages de la Grèce, il fut
le premier à donner une explication rationnelle, et non mythologique, de l'univers, en faisant de l'eau l'élément premier. On attribue le premier raisonnement géométrique à Thalès : pour mesurer la hauteur d'une pyramide, il eut l'idée de mesurer la longueur de l'ombre de la pyramide sur le sol et la longueur de l'ombre d'un bâton. Il montrera que le rapport de la pyramide avec son ombre était le rapport que le bâton avec la sienne. Deux grands théorèmes de géométrie lui sont attribués : Notre théorème de géométrie affine étudié dans les classes de la quatrième à la seconde.
On lui attribue plus sûrement l'inscription du triangle rectangle dans un demi-cercle, plus connue comme théorème de Thalès outre-Manche ou outre-Rhin que chez nous :
À cette occasion, d'après la légende, il sacrifia un bœuf. Extrait de l'ancien programme de géométrie de 4e (2007)
Télécharger la figure GéoPlan thales_base.g2w Accompagnement du programme de 4e (1998)En classe de 4e, on demande de façon plus systématique de repérer et de mettre en œuvre les théorèmes appropriés. Le recours, si besoin est, à plusieurs pas de démonstration amène à comprendre le changement de statut d'une assertion au fil d'une démonstration : un résultat intermédiaire est une conclusion dans un pas de démonstration et une hypothèse dans un pas ultérieur.
Par exemple, à propos des « triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes », l'étude
d'un cas particulier de « l'égalité des rapports » (valeur ) repose sur une telle démarche. On pourra remarquer que contrairement aux deux cas évoqués pour la classe de 5e, l'évidence
« visuelle » du résultat ne fait ici guère de doute ; la question qui se pose est donc celle de l'établir au moyen des résultats déjà acquis. Si l'on considère la même figure, mais maintenant avec les hypothèses que les côtés du
triangle sont coupés en trois segments de même longueur : Mais on s'aperçoit que la démonstration suppose ici l'utilisation des deux théorèmes des milieux. Télécharger la figure GéoPlan rapport_un_tiers.g2w 1. Démonstration d'Euclide par la méthode des airesa. Thalès a découvert le théorème, mais c'est Euclide qui l'a prouvé. GéoPlan : cliquer dans la figure du milieu ou celle de droite et taper T pour visualiser les aires des triangles BMC ou BNC Télécharger les figures GéoPlan thales_demo_1.g2w, thales_demo_2.g2w, thales_demo_3.g2w Les triangles MBC et NBC ont le côté [BC] commun ; les troisièmes sommets sont sur une parallèle
à ce côté commun ; ils ont des hauteurs MP et NQ égales ; ces deux triangles ont la même
aire et par complément dans le triangle ABC on a l'égalité des aires A(AMC) = A(ABN). Soit h’ = CI la hauteur en C des triangles AMC et ABC. On a : A(AMC) = AM × et A(ABC) = AB × , enfin h = BH la hauteur en B des triangles ABN et ABC. On a : A(ABN) = AN × et A(ABC) = AC × . Les rapports des aires sont = = et = = . Conclusion : = . b. Calcul de
Soit [AH] la hauteur en A de ABC qui coupe (MN) en I. Or A(AHN) = × AH × IN et A(AIC) = × AI × HC soit AH × IN = AI × HC d'où = . On démontre, de même, que = . Un calcul sur les proportions =
= = =
= Télécharger la figure GéoPlan thales_base2.g2w c. Autre démonstration par les aires
On étudie l'égalité des aires des triangles MNB et MNC et on calcule de deux façons l'aire de AMN. (MN) est parallèle à (BC). Les triangles MNB et MNC ont même base [MN] et leurs hauteurs sont égales à la distance entre les deux parallèles. Leurs aires A(MNB) et A(MNC) sont égales (propriété du trapèze). Les triangles AMN et MNB ont pour hauteur commune [NH]. Leurs aires sont : Les triangles AMN et MNC ont pour hauteur commune [MI]. Le rapport de leurs aires A(AMN) et A(MNC) est . Ces deux rapports d'aires, avec un numérateur égal à A(AMN) et des dénominateurs A(MNB) et A(MNC) égaux, sont des rapports égaux, donc = . De là, le calcul sur les proportions : = = = , permet, en permutant les « moyens » entre le premier et le dernier rapport, Télécharger la figure GéoPlan thales_aire2.g2w 2. Thalès et médianeABC est un triangle, [BB’] est une médiane. M est le point du segment [BC] tel que BM = BC. En utilisant deux fois le théorème de Thalès, calculer les rapports et . Montrer, avec la réciproque de Thalès, que les droites (DE) et (BB’) sont parallèles.
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Sommaire 3. Concours au centre de gravitéChacun des côtés d'un triangle ABC est partagé en trois segments de même longueur ; grâce aux points : I et J sur [AB], K et L sur [BC], M et N sur [CA]. 1. Montrer que le centre de gravité du triangle ABC est le milieu de [JM]. 2. En déduire que les droites (IL), (JM) et (KN) sont concourantes en G. Remarque : Il est aussi possible de montrer que KLNI est un parallélogramme. Cliquer dans la figure et taper 2 pour la question 2,
Télécharger la figure GéoPlan concours.g2w Sommaire 4. Quadrilatère et droites parallèles
5. Parallèle à une diagonale d'un quadrilatère
ABCD est un quadrilatère quelconque, Par K nous menons la parallèle à (BC) qui recoupe [AB] en J. Montrer que les droites (IJ) et (BD) sont parallèles. Indication : en utilisant deux fois la propriété de Thalès nous pouvons montrer l'égalité des rapports et , puis, démontrer que la droite (IJ) et (BD) sont parallèles avec la réciproque de Thalès. Variante : I est le milieu du côté [DA]. Montrer que K est le milieu de [AC], que J est le milieu de [AB] et en déduire que (IJ) et (BD) sont parallèles.
Télécharger la figure GéoPlan quadri_para.g2w 6. Moyennes géométriquesClasse de troisième Dans un triangle ABC, D est un point du segment [AB]. Placer le point E tel que : (DE) // (BC) et (EF) // (CD). En utilisant ces deux hypothèses l'une après l'autre, en écrivant les rapports égaux, démontrer que l'on a : AD2 = AF × AB.
Télécharger la figure GéoPlan moy_geom.g2w Classe de seconde Soit A et B deux points sur une demi-droite [OX) et E un point sur [OY). Placer les points F sur [OY) et C sur [OX) tels que les droites (AE) et (BF) soient parallèles, ainsi que les droites (BE) et (CF). Montrer que : OB2 = OA × OC.
Télécharger la figure GéoPlan ex_thales.g2w Sommaire 7. BarrièreUn chemin bordé par deux murs [AA’] et [BB’], de hauteurs a et b est barré par deux chevrons en bois [AB’] et [BA’]. De quoi peut bien dépendre la hauteur h laissée libre ? Commande GéoPlan Cliquer dans la figure et déplacer A’ ou B’ montre que h dépend certainement de a et b. Déplacer A ou B pour montrer que contrairement à ce que l'on pourrait penser, que cette hauteur h ne dépend pas de la distance AB. Démonstration Les droites (A’A) et (IH) perpendiculaires à (AB) sont parallèles. Télécharger la figure GéoPlan barriere.g2w b. Deux échelles
Une échelle AB’ de 2 mètres et une échelle BA’ de 3 mètres se croisent à un mètre du sol dans un chemin bordé par deux murs. Recherche avec GéoPlan Déplacer le point B avec la souris ou les flèches du clavier jusqu'à ce que h soit égal à 1. Solution (TS) On a montré dans l'exercice ci-dessus que + = . Si x est la largeur du chemin (0 < x < 2), d'après le théorème de Pythagore, Pour h = 1, la relation + = 1 donne l'équation . Une méthode numérique permet de résoudre cette équation. Télécharger la figure GéoPlan edhelle.g2w 8. Constructions des inverserses des premiers naturels
Réciproque du théorème de Thalès1. Cordes parallèlesDeux cercles (c1) et (c2) de rayons r et r’ ont même centre O. Deux droites (d1) et (d2), passant par ce centre O, coupent le premier cercle en A et B et le deuxième en C et D. Que peut-on dire des droites (AB) et (CD) ? Le démontrer. Faire une figure où ce n'est pas le cas. Indications . D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Cliquer dans la figure et taper 2 pour voir un contre-exemple, qui montre que c'est faux. Il faut préciser que O, A, C et O, B, D sont dans le même ordre sur les deux droites (d1) et (d2), ce qui n'est le cas que dans le premier exemple que l'on retrouve en tapant 1. Télécharger la figure GéoPlan cordes.g2w 2. Figure de DesarguesDesargues Girard 1591-1661 Placer un point O. Tracer trois demi-droites (d1), (d2) et (d3), issues de O. Placer les points A et D sur la première demi-droite, B et C sur les deux autres demi-droites et tracer les segments [AB] et [BC]. Tracer la droite passant par D parallèle à la droite (AB). Cette droite coupe la demi-droite [OB) en E. Tracer la droite passant par E parallèle à la droite (BC). Cette droite coupe la demi-droite [OC) en F. Que peut dire des droites (AC) et (DF) ?
Formulation plus générale : voir le plan projectif Télécharger la figure GéoPlan desargue.g2w 3. Figure de PappusPappus d'Alexandrie (vers l'an 300) Placer un point O, Placer les points A et B sur la première demi-droite, D et E sur la deuxième demi-droite et tracer les segments [AE] et [BD], Cliquer dans la figure et déplacer les points libres A, B, D ou E sur les demi-droites. Que peut dire des droites (AD) et (CF) ? Télécharger la figure GéoPlan pappus.g2w Théorème de Pappus : plan projectif Sommaire 4. Quadrilatère et parallèlesSoit ABCD un quadrilatère convexe. On suppose que la parallèle en A à (BC) coupe (BD) en E et que la parallèle en B à (AD) coupe (AC) en F. Montrer que la droite (EF) est parallèle à (CD). Indications Soit I le point d'intersection des diagonales. Sachant que (AE)//(BC), la propriété de Thalès dans les triangles IAE et ICB permet d'écrire l'égalité : En effectuant le quotient de ces deux égalités et après simplification de IA et IB, on trouve = .
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