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Un triangle a été effacé. Il n'en reste que certains éléments (médianes, hauteurs…), retrouver le triangle ! Droites remarquables dans le triangle
Droites et points remarquables du triangleDès la classe de quatrième, les élèves doivent connaître, construire et distinguer les médianes, les hauteurs, les bissectrices et les médiatrices d'un triangle; savoir qu'elles sont concourantes et connaître leur point de concours. L'expression droite remarquable sous-entend assez souvent segment de droite remarquable et on admet des phrases comme : MédianeLes médianes sont les droites joignant les sommets d'un triangle aux milieux des côtés opposés. Les trois médianes sont concourantes au centre de gravité du triangle, situé aux HauteurLes hauteurs sont les perpendiculaires abaissées d'un sommet sur le côté opposé. BissectriceLa bissectrice d'un angle est la droite qui, passant par le sommet de cet angle, le partage en deux angles de même mesure. MédiatriceLa médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment en son milieu. C'est l'ensemble des points équidistant des extrémités du segment. Triangle isocèleDans un triangle isocèle, les droites remarquables (médiane, hauteur, bissectrice, médiatrice) relatives à la base sont confondues avec l'axe de symétrie du triangle. Triangle équilatéralDans un triangle équilatéral, toutes les droites remarquables (médiane, hauteur, bissectrice, médiatrice) relatives à un même côté sont confondues. Le centre de gravité est confondu avec l'orthocentre et les centres des cercles inscrit et circonscrit. Triangle rectangleDans un triangle rectangle, la longueur de la médiane relative à l'hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse. Défi mathématiqueVoici un certain nombre d'exercices de « résolution de triangle » assez difficiles de 14 à 77 ans. Ces casse-tête géométriques consistent à retrouver un triangle à partir de points ou de droites remarquables. Ils sont particulièrement adaptés aux classes de la quatrième à la seconde. L'utilisation des logiciels Cabri-Géomètre ou GéoPlan est une aide précieuse dans la recherche des solutions. Ainsi, si l'on se donne le triangle médian, il n'est pas difficile de reconstruire le triangle donné dont les côtés sont parallèles à ceux du triangle médian. Les exercices 1, 3 et 5 sont les plus abordables. Ils ont été réalisés en classe de quatrième en 2001, et avec guère moins de difficultés, en seconde en 2004. Les autres font l'objet du défi. Interactivité avec GéoPlanActivez une figure en cliquant dessus… Elle devient interactive ! Souvent mes exemples sont pilotables au clavier : cliquez sur la figure puis appuyez sur les flèches de déplacement pour mouvoir un point caractéristique. Exercice 1 : Centre de gravitéDu triangle ABC, il ne reste que le côté [AB] et le centre de gravité G.
Analyse-synthéseCommandes GéoPlan Analyse : Supposons que le triangle ABC a été reconstitué : IJK est le triangle médian du triangle ABC ; la médiane AJ coupe [IK] en son milieu A’, BK en B’ milieu de [IJ] et CI en C’. IC’, JA’ et KB’ sont les médianes de IJK et les triangles ABC et IJK ont le même centre de gravité. Synthèse - Pour retrouver le triangle ABC :
Exercice 2 : médianes
Exercice 3 : hauteursa. Du triangle ABC, il ne reste que le côté [AB] et l'orthocentre H.
Classe de première L b. Du triangle, il ne reste que le pied des trois hauteurs. Les hauteurs sont les bissectrices du triangle orthique dont les sommets A, B et C sont les pieds des hauteurs. Le triangle initial cherché est formé par les centres des cercles exinscrits au triangle ABC. En effet, les hauteurs sont les bissectrices (intérieures) du triangle orthique ABC. Ces bissectrices sont concourantes en I centre du cercle inscrit dans le triangle ABC. (AI), (BI) et (CI) sont les trois hauteurs. Les côtés du triangle cherché, perpendiculaires aux hauteurs, sont donc perpendiculaires aux bissectrices intérieures, ce sont les bissectrices extérieures de ABC. Le triangle solution est I1I2I3 dont les sommets sont les centres des cercles exinscrits à ABC. Exercice 4 : hauteursTrois droites (d1), (d2) et (d3) sont concourantes au point H et non perpendiculaires deux à deux.
b. Points cocycliques
d. Construire un triangle connaissant les pieds des hauteurs sur le cercle circonscrit Construire un triangle ABC connaissant les pieds des hauteurs A’, B’, C’ situés sur le cercle circonscrit (c).
Construction Pour ce genre de problème, on a souvent intérêt à supposer le problème résolu et à trouver les liaisons entre la construction réalisée et les points remarquables de la figure donnée. Si le triangle ABC est une solution, B’ est le symétrique de l'orthocentre H par rapport au côté (AC), A’AC = CAB’ = La construction ci-dessus consiste à tracer un triangle A1B1C1 semblable à ABC. Pour cela, placer sur le cercle (c) un point A5 entre C’ et B’ et un point A5 entre C’ et A’. En prenant la moitié des angles inscrits C’A5A’ et C’B5A’ on obtient les angles du triangle cherché que l'on reporte le long de n'importe quel segment A1B1 ce qui permet de terminer le triangle avec le point C1. Construire le cercle circonscrit (c1) et les hauteurs (A1A2), (B1B2), (C1C2) de A1B1C1 où les pieds A2, B2, C2 sont situés sur le cercle circonscrit. L'homothétie qui transforme (c1) en (c) transforme le triangle A1B1C1 en A3B3C3 et les hauteurs (A1A2), (B1B2), (C1C2) en des hauteurs (A3A4), (B3B4), (C3C4) de A3B3C3, tous les points étant situés sur le cercle (c). La rotation de centre O, centre du cercle (c), qui transforme A4 en A’, transforme les pieds des hauteurs B4 et C4 en B’ et C’.
Exercice 5 : bissectricesDu triangle ABC, il ne reste que le côté [AB] et le point O, intersection des bissectrices.
Exercice 6 : bissectricesTrois droites (d1), (d2) et (d3) sont concourantes au point I et non perpendiculaires deux
à deux. a. Changement de point de vue
Avec la première méthode du chapitre 2, placer un point A, distinct de I, sur la droite Le triangle ABC est le triangle orthique de PQR. Les hauteurs (d1), (d2) et (d3) de PQR sont les bissectrices du triangle orthique ABC.
b. Suppression d'une contrainte : recherche avec GéoPlan du lieu du point C lorsque B varie. D'après Jean-Jacques Dahan- Plot no 101-102 Avec GéoPlan, à partir de deux points libres A sur (d1) et B sur (d2) tracer le triangle ABC ayant (d1) et (d2) comme bissectrices. Il suffit de tracer les droites symétriques de (AB) par rapport à (d1) et (d2). C est le point d'intersection de ces deux bissectrices. En général, le point C n'est pas sur (d3). En déplaçant le point B on peut trouver une position amenant le point C sur (d3). Cherchons cette position en affichant la trace du point C, il semble que le lieu soit un arc de cercle passant par I. Une analyse plus précise permet de conjecturer que l'arc est contenu dans le cercle passant par A et I, dont le centre O est situé dur (d2). Il suffit donc de trouver le deuxième point C’ d'intersection du cercle et de (d3) et de trouver le triangle solution AB’C’ où B’ est l'intersection de (d2) et la droite symétrique de (AC’) par rapport à (d1). Commandes Cliquer dans la figure et taper : Touche T : obtenir la trace du point C
c. Cercle inscrit dans le triangle ABC Tracer un cercle (c1) et choisir un point J sur ce cercle. La tangente en J à ce cercle coupe, par exemple, (d1) en A et (d2) en B. Les deux autres tangentes au cercle issues respectivement de A et B, tangentes en L et K, se coupent en C. Le cercle (c1) est inscrit dans le triangle ABC. En général, le point C n'est pas sur (d3). Commande : déplacer le point J sur le cercle jusqu'à ce que le point C soit sur la droite (d3).
La bissectrice (CI) est alors confondue avec (d3).
d. Construire un triangle connaissant les pieds des bissectrices sur le cercle circonscrit
Construction Il suffit de tracer les hauteurs du triangle A’B’C’. Les sommets A, B et C du triangle sont les points d'intersection de ces hauteurs avec le cercle. Preuve Les points A, B et C sont les symétriques de l'orthocentre I de A’B’C’ par rapport aux côtés de ce triangle. B est le symétrique de I par rapport à (A’C’) ; [A’B] est le symétrique de [A’I] ; A’B = A’I. D'où A’B = A’C ; les arcs correspondants à ces cordes sont égaux. Les angles inscrits BÂA’ et A’ÂC, associés à des arcs de même longueur, sont égaux. (AA’) est la bissectrice de BÂC. On montre, de même, que (BB’) est la deuxième bissectrice.
Exercice 7 : médiatricesTrois droites (d1), (d2) et (d3) sont concourantes au point O et non perpendiculaires deux à deux. a. Changement de point de vue
b; Recherche avec GéoPlan (d'après Henri Bareil - Plot no 106 septembre 2003)
Si nous essayons de déterminer A, B étant son symétrique par rapport à (d1)
et C le symétrique de B par rapport à (d2), nous devrions retrouver A en symétrisant par rapport
à (d3), donc au terme de trois symétries successives d'axes concourants en O. Avec GéoPlan, à partir d'un point A libre dans le plan traçons les symétriques B et C. Soit a
le symétrique de C par rapport à (d3). Si a = A on a une solution, en général
ce n'est pas le cas et soit I le milieu [aA] et d = (OI) la médiatrice de [aA]. Cliquer dans la figure et taper S pour visualiser la solution.
Avec une translation (d'après Henri Bareil) Hors programme À partir d'un point I, tracer les perpendiculaires à (d1) et (d2), J étant un point d'une des perpendiculaires, la perpendiculaire à d3 passant par J coupe la deuxième perpendiculaire en K. Le triangle IJK a ses médiatrices parallèles à (d1), (d2) et (d3). Soit O’ leur point de concours. Il suffit alors de la translation amenant O’ sur O pour obtenir un triangle ABC solution.
c. Suppression d'une contrainte : recherche avec GéoPlan lorsque A varie (à partir de la classe de troisième) | |||||||||||||||||||||||||
de chaque médiane à partir du sommet correspondant.
, où a est la longueur du côté du triangle.
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A’AB’ ;
Nous ramenons au 
Construire un triangle ABC connaissant les pieds des bissectrices A’, B’, C’ situés sur le cercle circonscrit.|
Placer au hasard un point A ; tracer le triangle ABC ayant pour médiatrices (d1) et (d3) et inscrit dans le cercle (c) de centre O. B et C sont les symétriques de A par rapport respectivement à (d1) et à (d3). Le point A’ symétrique de B’ par rapport à (d1) achève la construction du triangle A’B’C’ solution du problème. Pour visualiser ce résultat, déplacer le point A sur le cercle jusqu'à ce que le point I’ soit sur la droite (d3).
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