Diverses constructions réalisées avec GéoPlan : triangle, cercle, carré.
Sommaire1. Carré, cercles et tangente Page no 66, réalisée le 29/3/2004, modifiée le 26/1/2008 | |||||
GéoPlan en 3ème |
Construction à la règle et au compas |
GéoPlan |
Faire de la géométrie dynamique |
D'après : « Activités significatives » - Groupe collège de l'IREM de Toulouse - Bulletin APMEP no 392 - février 1994
Classe de quatrième 1. ABCD est un carré, I le milieu de [CD]. Que dire des triangles ADI et ATI ? 2. La droite (IT) coupe (BC) en K. Télécharger la figure GéoPlan carre_ce.g2w |
Classe de troisième 3. A, T, I et D sont cocycliques et appartiennent au cercle (c2) de diamètre [AI]. Soit O milieu de [AI] son centre. 4. La droite (AT) coupe (BC) en E. Montrer que ET = EC. 5. Montrer que le quadrilatère OMEI est un carré. Télécharger la figure GéoPlan carre_c2.g2w |
Indications Soit 2a la longueur du côté du carré. Le cercle (c1) de centre I et diamètre [CD] a pour rayon a. 1. D a pour image T par la symétrie d'axe (IA). (IA) est la médiatrice de [DT], ces droites sont perpendiculaires. 2. Les triangles rectangles ATK et ABK ont même hypoténuse [AK], les côtés AT et AB sont égaux à 2a. 3. Les triangles rectangles ADI et ATI sont inscrits dans le cercle de diamètre [AI]. A, T, I et D sont cocycliques. 4. Les triangles rectangles ECI et ETI ont même hypoténuse [EI], les côtés CI et TI sont égaux à a. Les deux triangles sont isométriques, 5. (IE) et (IA) sont les bissectrices des angles supplémentaires CÎT et TÎD. Elles sont donc perpendiculaires. EÎO = 90°. Retrouver cet article dans le wiki de MIAM : carré, cercles et tangente 2. Angle inconnuDans cette figure, BAC = 30°, BD = CD et ED = EC. Les droites (BC) et (DE) sont parallèles. Quelle est la mesure de l'angle ABC ? Télécharger la figure GéoPlan angle_inconnu.g2w Sommaire |
ABCD est un quadrilatère non convexe, non croisé. Les points A et C sont situés sur deux droites (d) et (d’) parallèles, distantes de 4 cm. Quelle est l'aire du quadrilatère ? Calcul L'aire du quadrilatère est de 14 cm2, égale à la différence des aires des triangles ABD et CBD : Aire(ABD) = × 7 × (4 + l) ; Aire(CBD) = × 7 × l. Aire(ABCD) = × 7 × [(4 + l) - l] = × 7 × 4 = 14. Télécharger la figure GéoPlan prenons_hauteur.g2w |
Méthode des aires Démonstration utilisant les propriétés d'Euclide : « les triangles ou les parallélogrammes qui ont la même hauteur sont l'un relativement à l'autre comme leurs bases ». Soit I et J les points d'intersection de (AB) et (AD) avec (d’), L'aire du quadrilatère est : Soit E le point d'intersection de (d’) avec la parallèle à (AD) passant par B. D'après le théorème du papillon, Aire(IJB) = Aire(IAE). L'aire du quadrilatère est égale à l'aire du triangle AEJ, GénéralisationABCD est un quadrilatère non convexe, non croisé, de diagonale extérieure [BD]. |
4. Hauteurs et médianes dans un triangleClasses de troisième - seconde a. Dans un triangle ABC, le point P est le pied de la hauteur issue de A. Indications avec des transformations Les points A et P sont symétriques par rapport la droite des milieux (KJ). Les segments [AI] et [KJ] se coupent en leur milieu M. Les points A et I d'une part, K et J d'autre part, sont symétriques part rapport à M. La composée des symétries par rapport à (KJ) et à M transforme [KP] en [JI] (par l'intermédiaire de [KJ]). Le résultat de la composition est la symétrie par rapport à la médiatrice de [KJ]. Cette médiatrice est l'axe de symétrie du quadrilatère KPJI qui bien un trapèze isocèle. Télécharger la figure GéoPlan hauteur_mediane.g2w b. Dans un triangle ABC, PQR est le triangle orthique. Les points I, J et K sont les milieux des côtés. Indication Les triangles rectangles BRC et BAC sont inscrits dans le cercle de diamètre [BC] de centre I. [RQ] est une corde de ce cercle, sa médiatrice passe par le milieu I de [BC]. Remarque : le centre O du cercle circonscrit au triangle orthique PQR est aussi situé sur cette médiatrice. Les médiatrices du triangle orthique passent par les milieux des côtés du triangle ABC. Télécharger la figure GéoPlan hauteur_mediatrice.g2w |
Construire un pentagone régulier |
Problèmes de construction |
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