Calculs d'aires Partage de parallélogrammes, aire d'une couronne, d'une lunule, d'un pentagone - Figures interactives avec GéoPlan.	…avec GéoPlan

Les méthodes de découpages et recollement de figures pour des calculs d'aires peuvent être considérées comme des démonstrations mathématiques : le découpage et le recollement correspondent à l'application d'un déplacement ou d'un antidéplacement et ces deux types d'applications du plan dans le plan conservent les aires.
Avec les élèves, on peut considérer que l'on a démontré si l'on vérifie qu'il y a bien « recollement ».

1. Aire du parallélogramme

Classe de cinquième

L'aire d'un parallélogramme a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

Soit ABCD un parallélogramme, E et F les projections orthogonales de C et D sur (AB).

Le rectangle FECD a même aire que le parallélogramme, car les triangles rectangles ADF et BCE sont isométriques.

Aire(ABCD) = AB × DF = a × h où a = AB = CD et h = DF = CE.

Chaque diagonale partage le parallélogramme en deux triangles de même aire.
En effet, les deux triangles sont symétriques par rapport au milieu de la diagonale.

Cette propriété est utilisée pour calculer l'aire d'un parallélogramme avec GéoPlan en doublant l'aire du triangle.

Commande GéoPlan : Déplacer les points libres A, B ou D

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Aire du trapèze

Classe de cinquième

On peut calculer l'aire, par décomposition en triangles et rectangle, à l'aide de hauteurs issues de deux sommets.

Comme pour tout quadrilatère convexe, l'aire se calcule avec GéoPlan en le partageant, par une diagonale, en deux triangles.

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Calcul

La surface d'un trapèze a pour mesure le produit de la moyenne des bases par la hauteur :

b = AB, b’ = CD, h = HE : Aire(ABCD) = × h.

Soit ABCD un trapèze de grande base [AB], et de petite base [CD] parallèle à (AB).
I et J les milieux des côtés [BC] et [AD]. D'après la propriété de Thalès, IJ est égal à la moyenne des bases.
E et F les projections orthogonales de J et I sur (AB) ainsi que G et H les projections orthogonales de I et J sur (CD).

Le rectangle EFGH a même aire que le trapèze ABCD, car les triangles rectangles
IGC et IFB sont isométriques, de même que les triangles JHD et JEA.

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Autre démonstration : parallélogramme formé par deux trapèzes

Soit ABCD un trapèze de grande base [AB], et de petite base [CD] parallèle à (AB).
I le milieu des côtés [BC].

La symétrie de centre I transforme A en A’ et D en D’.

Les points A, B et C’ sont alignés comme les points D, C et A’.
(BD’) est parallèle à (A’C). BD'A’C est un trapèze de même aire que ABCD et on a :
b = AB = A’C, b’ = CD = A’C, h = CH.

(AD) est parallèle à (A’D’). AD'A’D est un parallélogramme de base AD’ = b + b’.
Aire(AD’A’D) = AD’ × CH = (b + b’) × h.

Or Aire(AD’A’D) = Aire(ABCD) + Aire(BD’A’C) = 2 Aire(ABCD),
soit 2 Aire(ABCD) = (b + b’) × h.

On retrouve Aire(ABCD) = × h.

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2. Aire du triangle

Classe de cinquième

L'aire d'un triangle a pour mesure le demi-produit d'un côté par la hauteur perpendiculaire à ce côté.

Le rectangle BCED a une aire double de celle du triangle ABC
Aire(ABC) = Aire(BCED) = BC × AH = base × hauteur.

Au lycée, voir la formule de Héron d'Alexandrie dans l'article : relations métriques du triangle.

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La propriété du trapèze

Deux triangles qui ont une même base et des sommets sur une parallèle à la base sont d'aires égales.

En effet, leurs aires sont égales à base × hauteur.

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Voir le théorème du papillon

Démonstration par découpage

Transformation de ABC en ABD par l'intermédiaire d'un parallélogramme

Cas où la parallèle à (BD) passant par C coupe (AB) entre A et B (CD < AB).

Soit I, J, K et L les milieux des côtés [AC], [BC], [AD] et [AD].

La parallèle à (BD) passant par C coupe [IJ] en M.
Par symétrie de centre I, le triangle ICM est transformé en IAP,
la symétrie de centre J, transforme le triangle JCM en JBL.
APLP est un parallélogramme (côtés opposés parallèles) de même aire que le triangle ABC.

K est le milieu de [PL], car dans le parallélogramme PL = AB
et KL = AB avec la droite [KL] des milieux du triangle ABD.
Par symétrie de centre K, le triangle KAP est transformé en KDL, le parallélogramme a même aire que le triangle ABD.

En conclusion, les triangles ABC et ABD ont même aire, celle du parallélogramme ABLP.

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Faire de la géométrie dynamique

3. Aire et médiane

Classe de cinquième

Une médiane partage un triangle en deux triangles d'aires égales.

Si (AA’) est une médiane de ABC, les triangles ABA’ et ACA’ ont des bases de même longueur et la même hauteur. Leurs aires sont égales.

Réciproquement, soit A’ un point du côté [BC] ; (AA’) est médiane du triangle ABC si les triangles ABA’ et ACA’ ont même aire.

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4. La propriété des proportions

Si A’ est un point du côté [BC] d'un triangle ABC, le rapport des aires des triangles ABA’ et ACA’ est égal au rapport de leurs bases.

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Théorème du chevron

Si M est un point à l'intérieur d'un triangle ABC et A’ le point d'intersection de (AM) et de (BC),

alors le rapport des aires des triangles ABM et ACM est égal au rapport .

Ce résultat se démontre par un calcul de proportions en appliquant deux fois la propriété des proportions !

Il reste valable si M est à l'extérieur du triangle ABC.

Prolongement : voir le barycentre

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Chevron et médiane

Si M est un point à l'intérieur d'un triangle ABC, les triangles ABM et ACM ont même aire si et seulement si M est sur la médiane issue de A.

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Application : démontrer que les médianes d'un triangle sont concourantes.

Démonstration basée sur la transitivité de l'égalité :

Soit G le point d'intersection des médianes [AA’] et [BB’] d'un triangle ABC.
G est sur [AA’] donc d'après la propriété ci-dessus Aire(ACG) = Aire(ABG) ;
de même, le point G est sur [BB’] donc Aire(ABG) = Aire(BCG).

On en déduit : Aire(ACG) = Aire(BCG) d'où, d'après la réciproque de la propriété ci-dessus, G est sur la médiane [CC’] et les médianes sont concourantes en G centre de gravité du triangle.

Les trois triangles ABG, BCG et ACG sont d'aires égales.

Corollaire : [GA’] est la médiane de GBC, les triangles GA’B et GA’C ont même aire. On en déduit que G permet le partage du triangle ABC en six triangles d'aires égales.

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Démontrer par les aires - André Laur - Bulletin APMEP n^o 463 - Mars 2006

5. Partage en deux d'un triangle

Niveau 3^ème - 2^nde

Solution

Si comme sur la figure ci-dessus à droite le point M est sur le côté [AB] on a :

Aire(BCPM) = Aire(BCP) + Aire(BPM)
      = Aire(BCP) + Aire(BPI) (BPM et BPI ont même aire d'après la propriété du trapèze)
      = Aire(BCI)
      = Aire(ABC) (Car la médiane [BI] partage ABC en deux triangles d'aires égales).

Exercices : étudier le cas ou l'aire de MPA est le tiers de l'aire de ABC ; le quart ?

6. Aire d'un pentagone

Soit ABCDE un pentagone (convexe).

Les parallèles aux diagonales AC et AD coupent la droite (CD) en P et Q.

L'aire du pentagone est égale à l'aire du triangle APQ.

Indications : l'aire du pentagone est égale à la somme des aires des trois triangles ABC, ACD et ADE.

Solution : les triangles ABC et APC ont même base AC et la même hauteur égale à la distance entre les droites (AC) et (PC) ; ils ont donc même aire.
De même, les triangles ADE et ADQ ont même aire.
L'aire du pentagone est alors égale à la somme des aires des trois triangles APC, ACD et ADQ : c'est l'aire du triangle APQ.

Remarque : dans GéoPlan il n'existe pas fonction permettant de calculer l'aire a d'un pentagone.
On peut trouver a en calculant a = a1 + a2 +a3 somme des aires des trois triangles ABC, ACD et ADE ou utiliser l'aire de APQ.

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7. Deux parallélogrammes d'aires égales

M est un point libre sur la diagonale [AC] d'un parallélogramme ABCD.

Démontrer que les aires des deux parallélogrammes hachurés sont égales.

Vérification assez facile avec GéoPlan : le logiciel ne sait pas calculer l'aire d'un parallélogramme, mais il sait trouver la moitié de cette aire : l'aire d'un triangle formé par deux côtés et une diagonale.

GéoPlan : cliquer dans la figure et déplacer le point M avec la souris ou les flèches du clavier,
taper H pour visualiser les Hauteurs.

Classe de cinquième

Montrer qu'une diagonale d'un parallélogramme le partage en deux triangles d'aires égales.

Démontrer que les aires hachurées sont égales, en utilisant cette propriété dans les parallélogrammes ABCD, AIML et MKCJ.

Classe de troisième - assez difficile

Indication : (AB) étant parallèle à (CD), la propriété de Thalès dans les triangles rectangles AMG et CMH permet d'écrire : = .

(AD) étant parallèle à (BC), avec la propriété de Thalès dans les triangles ALM et CKM on a : = .

Par transitivité = .

Le produit des « extrêmes » est égal au produit des « moyens » : KM × MG = LM × MH.
Aire(IBKM) = Aire(LMJD).

Cas particulier de rectangles : les Éléments d'Euclide (classe de quatrième)

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8. Partage d'un parallélogramme en deux polygones croisés

Classe de cinquième

Un fermier possède un très grand champ en forme de parallélogramme ABCD à l'intérieur duquel se trouve un puits en un certain point M.
Se sentant mourir, il donne à son fils Pierre les deux champs triangulaires MAB et MCD et tout le reste à son autre fils Jean.
Un des frères est-il défavorisé ?

Il est possible de simplifier cet exercice en considérant un champ rectangulaire.

Défi « Héritage » - Jeune Archimède n^o 3 - 1990

GéoPlan : cliquer dans la figure et déplacer le point M avec la souris ou les flèches du clavier,
taper H pour visualiser les Hauteurs.

Formulation plus classique :

M est un point variable à l'intérieur du parallélogramme ABCD.

Démontrer que la somme des aires des deux triangles hachurés est égale à celle des deux triangles non hachurés.

Indication : tracer les points H et K projections orthogonales de M sur (AB) et (CD). (HK) est perpendiculaire à (AB) et à (CD).

(HM) est une hauteur de ABM et Aire(ABM) = AB × HM.
(MK) est une hauteur de CDM et Aire(CDM) = CD × MK.

Dans le parallélogramme ABCD, les côtés [AB] et [CD] sont de même longueur.
D'où Aire(ABM) + Aire(CDM) = AB × HM + AB × MK = AB × (HM + MK).
Aire(ABM) + Aire(CDM) = AB × HK = Aire(ABCD).

La somme des aires des deux triangles hachurés est égale à la moitié de l'aire du parallélogramme. Celle des deux triangles non hachurés est égale à l'autre moitié. Le partage est équitable.

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9. Théorème du papillon

ABCD est un trapèze. Les diagonales se coupent en I.

Classe de cinquième

a. Les aires des deux triangles hachurés ADI et BCI sont égales.

Théorème du papillon : si la droite (AB) est parallèle à la droite (DC) alors Aire(ADI) = Aire(BCI).

Indication : tracer les points H et K projections orthogonales de I sur (AB) et (CD). (HK) est perpendiculaire à (AB) et à (CD).
Les triangles ABC et ABD ont même aire, égale à la moitié de la base AB multipliée par la hauteur de longueur HK. En enlevant à ces deux triangles la surface du triangle CDI, on a bien :
Aire(ADI) = Aire(BCI).

Classe de troisième

b. Montrer que le rapport est égal au carré du rapport (Thalès…).
Indication : (AB) étant parallèle à (CD), la propriété de Thalès dans les triangles ABI et CDI permet d'écrire :
= = k.
De même, la propriété de Thalès dans les triangles rectangles AHI et CKI permet d'écrire :
= = k.
Aire(ABI) = AB × HI et Aire(CDI) = CD × KI d'où :
= × = = k² car = = k.

En classe de seconde, on dira que les triangles ABI et CDI ayant leurs trois angles respectivement égaux sont semblables avec un coefficient d'agrandissement k. Cette démonstration montre que le rapport de leurs aires est k².

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10. Couronne

Niveau 4^e - 3^e

Dans la figure ci-contre on ne connaît pas les rayons r = OM et R = OA des cercles (c₁) et (c₂) de centre O. On sait seulement que la corde [AB] mesure a = 3 cm et qu'elle est tangente au cercle intérieur (c₁).

On demande cependant de trouver l'aire s de la couronne circulaire comprise entre (c₁) et (c₂).

Indications : la tangente (AB) au cercle (c₁) en M est perpendiculaire au rayon [OM]. Le triangle AMO est rectangle en M et la propriété de Pythagore permet d'exprimer l'aire s de la couronne en fonction de a.

Cas particulier : Si AB est égal au diamètre du cercle (c₁), r = AB,
alors R = r . L'aire du cercle (c₂) est double de celle de (c₁), l'aire de la couronne est alors égale à l'aire du cercle intérieur.

Cliquer dans la figure :

Déplacer le point M avec la souris ;
Modifier la longueur a de la corde [AB]avec les flèches du clavier.

Voir : Haha ou l'éclair de la compréhension mathématique - Martin Gardner - Pour la science - Belin - 1979

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11. Lunule

Définitions : une lunule est une portion de surface délimitée par deux cercles non concentriques de rayons différents, formant un croissant de lune en forme de ménisque : convexe d'un côté et concave de l'autre.

Ici une lunule désigne aussi un segment circulaire (segment de cercle) : la portion de surface délimitée par un arc de cercle et sa corde.

Exercice

AB est un quart de cercle de rayon 1 et de centre O ; OC un demi-cercle de centre A et de même rayon. Soit I le point d'intersection du quart de cercle et du demi-cercle.

a. Calculer l'aire de la lunule déterminée par la corde IA sur le cercle de centre O.

b. Calculer l'aire de la surface hachurée.

Concours EPF - 2002 - Anabac S 2003 - Hatier

Indication : a. Les trois côtés de OIA sont des rayons des cercles :
OA = OI = IA = r = 1, OIA est équilatéral, son aire est r² = .
Le cercle de centre O a une aire égale à πr² = π. Le secteur angulaire, d'angle 60°, compris entre l'arc de ce cercle et les rayons [OA] et [OI] correspond à du cercle, son aire est .
L'aire de la lunule déterminée par la corde IA est - ≈ 0,09.

b. Le secteur angulaire, d'angle 120°, compris entre l'arc du cercle de centre A et les rayons [AI] et [AC] correspond à du cercle, son aire est .

La surface hachurée, formée de ce secteur auquel on enlève la lunule, a pour aire - ( - ) = + ≈ 0,96.

c. Méthode des aires

En introduisant le point D, milieu de l'arc , on obtient un triangle équilatéral ADI d'aire et un secteur angulaire, d'angle 60°, compris entre l'arc du cercle de centre A et les rayons [AD] et [AC] correspondant à du cercle, son aire est .
Les lunules déterminées par la corde IA sur le cercle de centre O et celle déterminée par la corde ID sur le cercle de centre A ont même aire, car les cordes ont même longueur et les cercles même rayon.
En enlevant au triangle équilatéral la lunule déterminée par la corde IA et en ajoutant celle déterminée par la corde ID on obtient, avec le secteur angulaire DAC, la surface hachurée d'aire + .

Commande GéoPlan : cliquer dans la figure ci-dessus et taper S pour visualiser le triangle équilatéral

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Technique GéoPlan

Pour créer la surface hachurée, colorier le demi-cercle de diamètre [CO] avec le motif, colorier l'arc AB avec la couleur de fond et redessiner le demi-cercle de diamètre [CO].

Voir : arc de cercle