Constructions avec GéoPlan au collège : triangles, carrés, trapèzes, cercles, tangentes…
	Problèmes de construction « à la règle et au compas »	…avec GéoPlan

1. Construire un triangle connaissant les longueurs des trois côtés

Étant donné trois nombres positifs a, b et c, construire un triangle ABC tel que BC = a, AC = b et AB = c.

Placer un point libre B,
sur le cercle de centre B et de rayon a, placer un point libre C.

Tracer les cercles (c₁) de centre B, de rayon c et (c₂) de centre C de rayon b.

Si les cercles (c₁) et (c₂) sont sécants en deux points distincts A et A’, le triangle ABC est une solution, le triangle A’BC est une autre solution. Ces deux triangles sont symétriques par rapport à la droite (BC).

Commandes GéoPlan

Faire varier la taille du triangle avec les flèches du clavier (à partir de la classe de cinquième, vérifier les inégalités triangulaires).

Taper sur la touche A pour modifier la longueur a de BC,
B pour modifier la longueur b de AC
et C pour modifier c, longueur de AB.

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Cas particulier : construire un triangle équilatéral

Proposition 1 du livre I des Éléments d'Euclide :
Construire un triangle équilatéral sur une ligne droite donnée et finie.

EXPOSITION. Soit AB une droite donnée et finie (on dirait maintenant un segment [AB]).

DÉTERMINATION. Il faut construire sur la droite finie AB un triangle équilatéral.

CONSTRUCTION. Du centre A et de l'intervalle AB, décrivons la circonférence ACD (demande 3) ; et de plus, du centre B et de l'intervalle BA, décrivons la circonférence BCE; et du point C, où les circonférences se coupent mutuellement, conduisons aux points A, B les droites CA, CB (demande 1).

DÉMONSTRATION. Car, puisque le point A est le centre du cercle ACD, la droite AC est égale à la droite AB (définition 15) ; de plus, puisque le point B est le centre du cercle BCE, la droite BC est égale à la droite BA ; mais on a démontré que la droite CA était égale à la droite AB ; donc chacune des droites CA, CB est égale à la droite AB ; or, les grandeurs qui sont égales à une même grandeur, sont égales entre elles (notion 1) ; donc la droite CA est égale à la droite CB ; donc les trois droites CA, AB, BC sont égales entre elles.

CONCLUSION. Donc, le triangle ABC (définition 24) est équilatéral, et il est construit sur la droite donnée et finie AB. Ce qu'il fallait faire.

Rappels

Demande 3. D'un point quelconque, et avec un intervalle quelconque, décrire une circonférence de cercle.

Définition 15. Un cercle est une figure plane, comprise par une seule ligne qu'on nomme circonférence ; toutes les droites, menées à la circonférence d'un des points placés dans cette figure, étant égales entre elles.

Définition 24. Parmi les figures trilatères, le triangle équilatéral est celle qui a ses trois côtés égaux.

Construction avec un logiciel de géométrie :
Placer deux points A et B et dessiner le segment [AB],
tracer les cercles de centre A et B et de rayon AB (cercles de centre A passant par B et de centre B passant par A),
construire C, un des points d'intersection des deux cercles,
tracer les segments [BC] et [AC].

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Voir : Cabri en sixième
Retrouver ce paragraphe dans : le triangle équilatéral

2. Carré

Construire un carré connaissant deux sommets (consécutifs ou opposés).

À partir de deux sommets consécutifs A et B

Placer deux points libres A et B et dessiner le segment [AB],
tracer la perpendiculaire à [AB] passant par A et le cercle de centre A passant par B.
Le point D est un des points d'intersection de cette perpendiculaire et du cercle.

Terminer comme pour un parallélogramme la construction du point C avec le symétrique de A par rapport au milieu O de [BD] ou encore la translation de vecteur .

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À partir de deux sommets opposés A et C

Construction du carré à partir d'une diagonale [AC]

Tracer deux points libres A et C, le segment [AC] et son milieu O.
La médiatrice (d) de [AC] coupe le cercle (c) de diamètre [AC] en B et D.
Tracer le losange ABCD et montrer que ABCD est un carré.

Commandes GéoPlan :
Déplacer les points A, B ou D et vérifier que ABCD est bien un parallélogramme.
Touche M : Masquer les constructions,
touche D : afficher les Diagonales.

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Télécharger la figure Cabri carre2.fig
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Voir : carré au collège

3. Parallélogramme

Construire un parallélogramme ABCD connaissant les longueurs AB = a, BC = b de deux côtés consécutifs et la longueur AC = d  d'une diagonale

Construire un triangle ABC et compléter le parallélogramme avec le quatrième point D.

Placer un point libre A,
sur le cercle de centre A et de rayon a, placer un point libre B.

Tracer les cercles (c₁) de centre A, de rayon d et (c₂) de centre B de rayon b.

Si les cercles (c₁) et (c₂) sont sécants en C et C’, choisir C.

Compléter avec le point D : ici en continuant avec le compas, avec un des points d'intersection des cercles de centres A et C ; de rayons b et a.
Il est aussi possible d'utiliser la symétrie par rapport au milieu de [AC] ou encore la translation de vecteur .

Commandes GéoPlan

Cliquer dans la figure et faire varier la taille du parallélogramme avec les flèches du clavier. (vérifier les inégalités triangulaires).

Taper A pour modifier la longueur a de AB,
B pour modifier la largeur b de BC
et D pour modifier la hauteur d de AC.

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4. Rectangle

Construire un rectangle ABCD connaissant la longueur AB = a d'un côté et de la diagonale AC = c.

Indications

Placer un point A sur une droite (d),
Le cercle de centre A et de rayon a rencontre (d) en B et B’.

Si c > a les cercles de centre B et B’ et de rayon c permette de construire la médiatrice (DD’) de [BB’].

Lorsque le point D existe, l'angle BÂD est droit.

Compléter le rectangle par le point C à l'aide par exemple de la translation de vecteur .

Commandes GéoPlan

Cliquer dans la figure et faire varier la taille du rectangle avec les flèches du clavier.

Taper A pour modifier la longueur a de AB
et C pour modifier la longueur c de la diagonale AC.

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5. Construction d'un trapèze

Construire un trapèze connaissant les longueurs des quatre côtés

Construction d'un trapèze de bases b et b’ et de côtés a et c :
AB = b = 6,5.
AD = a = 2,6 ; D est sur le cercle c₁ de centre A et de rayon a.
BC = c = 3,7 ; C est sur le cercle c₂ de centre B et de rayon c.
CD = b’ = 3,4 ; placer le point E sur [AB] tel que AE = b’.
Le point C est aussi sur le cercle c₃ de centre E et de rayon a.
C est donc un des points d'intersection de c₂ et de c₃.
D est le quatrième point du parallélogramme AECD, image du point C par la translation de vecteur .

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6. Construire un triangle connaissant un angle, un côté adjacent et la somme des deux autres

Trouver un triangle ABC connaissant l'angle BCA, la longueur c du côté AB et la somme d des côtés AC + BC.

l'angle BCA est donné par BAx. Avec GéoPlan, déplacer le « point noté x » pour modifier cet angle ;
la longueur c du côté adjacent AB est donnée : le point B variable sur la droite horizontale passant par A permet de faire varier cette longueur AB ;
la somme des côtés AC + BC est donnée par d, d > c. Avec GéoPlan, déplacer le « point d » pour modifier ce nombre.

Le cercle de centre A et de rayon d rencontre la demi-droite [Ax) en C’.
La médiatrice de [BC’] rencontre [Ax) en C.
Le triangle ABC est solution.

Cliquer dans la figure et déplacer C’.

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Voir aussi : construire un triangle connaissant deux côtés et l'angle compris entre ces deux côtés

7. Construire un triangle rectangle connaissant l'hypoténuse c et la somme d des deux autres côtés de l'angle droit.

D'après : la géométrie au Creusot - enseignement primaire supérieur - A. Béché - 1920
cité par Patrick Guyot - bulletin APMEP n^o 438.
Retrouver ce paragraphe dans : triangle rectangle

Supposons le problème résolu :
ABC est le triangle rectangle en C demandé tel que :
AB = c et AC + CB = d.
Le point C est sur le cercle de diamètre AB. Le cercle de centre A et de rayon d coupe la droite (AC) en D tel que CD = CB. Le triangle BCD est donc isocèle, mais comme l'angle en C est droit, il est aussi rectangle, l'angle ADB est égal à 45°. D est donc sur l'arc capable qui « voit » le segment [AB] sous un angle de 45°. Cet arc capable correspond à un angle au centre de 90°. Le centre M de cet arc est à l'intersection du cercle de diamètre [AB] et de la médiatrice de [AB]. Sur le cercle de centre M passant par A et B, le point N est le symétrique de A par rapport à M. Le triangle ANB est rectangle isocèle, avec un angle en N de 45°.

Le point D est donc l'intersection du cercle de centre A et de rayon d et du cercle de centre M passant par A. C est le point d'intersection de la droite (AD) et du cercle de diamètre [AB], il aussi situé sur la médiatrice de [BD], cette médiatrice passe par M.

Le problème admet une solution si les cercles sont sécants,
donc si c < d ≤ 2AM.

Pour une hypoténuse [AB] donnée, si c < d  < 2AM on a quatre solutions : C et C’ et leurs symétriques par rapport à (AB) ; les quatre sommets d'un rectangle de centre O.

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8. Construire un triangle connaissant un angle, la somme des côtés adjacents et le côté opposé

Trouver un triangle ABC tel que :
le côté AB soit donné : le point libre B sur la droite horizontale passant par A permet de modifier la longueur AB,
La somme des côtés AC + BC soit donnée par le nombre d, cliquer sur « point libre d » pour le faire varier,
et l'angle ACB soit égal à l'angle donné xÎy où (Ix) est parallèle à (AB). Avec GéoPlan, déplacer le « point libre y » pour modifier cet angle.

Le point C se trouve sur l'arc capable qui « voit » le segment [AB] sous un angle égal à xÎy. Le centre J de cet arc se trouve à l'intersection de la médiatrice de [AB] et de la perpendiculaire à (Iy) passant par A. En effet, l'angle AOJ est égal à xÎy, c'est la moitié de l'angle au centre AJB.

Le cercle de centre A et de rayon d recoupe la droite (AC) en C’.

La somme AC + BC est égale à AC₁ avec le point C₁ sur la droite (AC) tel que CC₁ = BC. Le triangle BCC₁ est isocèle ; les angles CBC₁ et BC₁C sont égaux, la somme des angles est CBC₁ + BC₁C + C₁CB = 180°, donc 2 BC₁C + C₁CB = 180°.
De l'angle plat ACB + BCC₁ = 180° on en déduit que ACB = 2 BC₁C = 2 AC₁B = xÎy.

C₁ est sur l'arc capable de centre M qui « voit » [AB] sous un angle égal à xÎy/2 ;
en effet : le point d'intersection M de la médiatrice de [AB] avec le cercle de centre J correspond à un angle inscrit AMB égal à xÎy.
AMB est l'angle au centre associé à l'angle inscrit AC₁B. La médiatrice de [BC₁] passe par M.

Une solution se trouve lorsque les points C’ et C₁ sont confondus à l'intersection du cercle de centre A et de rayon d et du cercle de centre M passant par A et B.
À partir d'une solution, on trouve les trois autres par symétries par rapport à la droite (AB) ou à la médiatrice de [AB].

Technique GéoPlan

Pour tracer les deux solutions, correspondant aux points d'intersection C₁ ou C₂, des deux cercles utiliser des commandes d'affectations directes.

Réaliser la figure avec un point libre C’ :
Par simple appui sur la touche 1 l'affectation directe permet de donner la valeur de l'objet C₁ à l'objet libre C’ (point de même genre).
Cette affectation est provisoire puisque la variable C’ reste libre.
Par appui sur la touche 2 une autre affectation directe permet de donner la valeur du point C₂ au pointlibre C’.

9. Construire un triangle connaissant deux sommets et le centre de gravité

Du triangle ABC, il ne reste que le côté [AB] et le centre de gravité G.
Construire le point C à la « règle et au compas ». Expliquer la construction.

Pieds des médianes : D'un triangle ABC, il ne reste que les points I milieu de [AB], J milieu de [BC] et K milieu de [CA].
Reconstituer le triangle ABC, voir : le triangle, c'est le pied

10. Construire un cercle passant par trois points,

11. Construire un cercle tangent à trois cercles de même rayon

Soit trois cercles c₁(O₁, r) ; c₂(O₂, r) et c₃(O₃, r) de même rayon.

Construire le point O intersection des médiatrices du triangle O₁O₂O₃.
Le cercle (c₄) de centre O circonscrit au triangle O₁O₂O₃ a pour rayon OO₁ = r₄.

Lecercle de centre O et de rayon r + r₄ est tangent à ces trois cercles etles contient tous les trois.

Si O est à l'extérieur des trois cercles, alors r₄ > r. Lecercle de centre O et de rayon r₄ - r est tangent à ces trois cercles, à l'extérieur detous les trois.

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12. Construire un cercle de rayon donné, tangent à deux cercles donnés

Soit deux cercles c₁(O₁, r₁) et c₂(O₂, r₂).

Un cercle (c) de rayon r est tangent extérieurement à (c₁) si son centre est situé à une distance r + r₁ de O₁,
il est tangent intérieurement à (c₁) et (c) est à l'intérieur de (c₁) si r₁ > r et si son centre est situé à une distance r₁ - r de O₁,
enfin (c₁) est à l'intérieur de (c) si r > r₁ et le centre de (c) est situé à une distance r - r₁ de O₁.
De même, le cercle (c) est tangent à (c₂) si son centre est situé à une distance de O₂ égale, selon les cas, à r + r₂, r - r₂ ou r₂ - r.
Lorsque le problème admet une solution (c), le cercle (c’) symétrique par rapport à la ligne des centres (O₁O₂) s'en déduit immédiatement.
On trouvera 0, 2, 4, 6 ou 8 solutions illustrées par les situations suivantes :

Commandes GéoPlan :

Touche 1 : effacer/dessiner le cercle (c) tangent extérieurement à (c₁) et (c₂). Son centre A ou A’ est à l'intersection des cercles de centre O₁, de rayon r + r₁ et de centre O₂, de rayon r + r₂.

Touche 2 : (c) tangent intérieurement à (c₁) et (c₂). Son centre B ou B’ est à l'intersection du cercle de centre O₁, de rayon r - r₁ ou r₁ - r et du cercle de centre O₂, de rayon r - r₂ ou r₂ - r.

Touche 3 : (c) de centre C, tangent intérieurement à (c₁) et extérieurement à (c₂).

Touche 4 : (c) de centre D tangent extérieurement à (c₁) et intérieurement à (c₂).

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Cercle passant par un point tangent à deux cercles : voir construction de cercles
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13. Construire les tangentes communes à deux cercles (sécants ou non)

Soit deux cercles c(O, r) et c’(O’, r’) avec r < r’, le petit cercle (c) n'est pas à l'intérieur de (c’) : r + OO’ > r’.

Trouver le point I, intersection de deux tangentes, situé sur la ligne des centres (OO’). Pour le tracer il suffit, étant donné un point libre M sur (c), de trouver un point M₁ de (c’) tel que le rayon OM₁ soit parallèle à OM et de même sens. Le point I est l'intersection des droites (OO’) et (MM₁).

Par I on peut mener les deux tangentes communes aux deux cercles.
Pour les tracer avec précision, on trouve les points de contact comme intersection du cercle (c) avec le cercle de diamètre [IO] ou comme intersection du cercle (c’) avec le cercle de diamètre [IO’].

De même, si les cercles (c) et (c’) sont extérieurs l'un à l'autre (r + r’ < OO’), on trouve un deuxième point J en traçant le point M₂ de (c’), tel que le rayon OM₂ soit parallèle à OM et de sens contraire. L'intersection J des droites (OO’) et (MM₂) est alors le point de concours de deux autres tangentes. Tracer les points de contact de ces tangentes, par exemple comme intersection du cercle (c) avec le cercle de diamètre [OJ].

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Paragraphe extrait de la page : homothéties
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14. Construire un cercle tangent à trois droites

Classe de quatrième - Droites remarquables d'un triangle

a. Trois droites sécantes deux à deux, non concourantes.

Les trois bissectrices intérieures d'un triangle ABC sont concourantes en I.
Le point I est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC, tangent aux trois côtés de ce triangle.

Scénario GéoPlan : taper C, A, A, B, B, C, D :

Cliquer dans la figure,

taper C pour les effacer les bissectrices et retrouver uniquement le triangle ABC,
taper A pour tracer la bissectrice en A, retaper A pour l'effacer,
taper B pour tracer la bissectrice en B, retaper B pour l'effacer,
taper C pour retrouver les trois bissectrices,
terminer par D pour obtenir le cercle inscrit.

Au lycée, on construira les trois cercles exinscrits du triangle avec les bissectrices extérieures : voir le théorème de Feuerbach dans la géométrie du triangle.

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b. Cercle tangent à trois droites dont deux sont parallèles

Le rayon r du cercle est égal à la moitié de la distance entre les deux parallèles (d₁) et (d₂).

Le centre du cercle se trouve sur la droite équidistante des deux parallèles et sur une des droites situées à une distance r de la sécante (d₃).

Il y a donc deux cercles solutions, centrés en O et O’.

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Cercles tangents à des droites ou à des cercles : problèmes des contacts, voir construction de cercles.