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	Géométrie du triangle III - IV -V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques Cercle et droite et d'Euler, théorème de Feuerbach, point d'Apollonius.	…avec GéoPlan

III. Cercle et droite d'Euler

1. Cercle des neuf points d'Euler

Le cercle d'Euler (1707-1783) passe par les neuf points suivants :
    – les milieux des côtés du triangle,
    – les pieds des hauteurs,
    – les milieux des segments [AH], [BH] et [CH] où H est l'orthocentre du triangle ABC.

Le cercle des neuf points d'Euler est l'homothétique du cercle circonscrit au triangle dans une homothétie de centre H et de rapport .

Comme son nom ne le l'indique pas le cercle d'Euler a été découvert en 1808 par Serge Brianchon (Paris, 1783 - 1864). On dit aussi cercle de Feuerbach (voir : Transmath 1S, page 383 - Nathan, 2001).

(OH) est la droite d'Euler. Le centre de gravité G est au tiers de [OH] à partir de O. Le centre J du cercle d'Euler est le milieu de [OH].
Le point I est le centre du cercle inscrit.

Figure 12

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2. Droite d'Euler

Soit ABC un triangle non équilatéral, O le centre du cercle circonscrit, G le centre de gravité et H l'orthocentre.

Pour démontrer l'égalité vectorielle = + + (relation d'Euler), faire un changement de point de vue en transformant l'exercice en « caractériser le point M tel que = + + ».

Le vecteur est colinéaire à qui est un vecteur directeur de la médiatrice de [BC]. On en déduit que (AX), parallèle à (OA’), est perpendiculaire à (BC) ; c'est la hauteur (AA₁) du triangle.
On montre de même que (BX) est aussi la deuxième hauteur (BB₁) et on conclut que le point X, intersection de deux hauteurs, est l'orthocentre H de ABC.

En remplaçant X par H on obtient la relation vectorielle = 2 et la relation d'Euler = + + .

La définition vectorielle du centre de gravité permet d'écrire 3 = + + donc = 3.
Les points O, G et H sont alignés sur une droite dite droite d'Euler (1707-1783) et GH = 2 GO (relation d'Euler : G est au tiers de [OH] ).

Voir : relations d'Euler

Symétriques de l'orthocentre

Nous venons de démontrer que = 2 .
Si A₂ est le symétrique de A par rapport à O, dans le triangle AHA₂, (OA’) passant par le milieu O du diamètre [AA₂] et parallèle au côté (AH) est la droite des milieux du triangle. A’ est le milieu de [HA₂] et A₂ est le symétrique de H par rapport à A’.

Les symétriques de l'orthocentre par rapport aux milieux des côtés du triangle sont situés sur le cercle circonscrit au triangle.

[AA₂] étant un diamètre, le triangle AH₁A₂, inscrit dans un demi-cercle, est rectangle. La droite (BC), perpendiculaire à (AH₁) est parallèle à (H₁A₂) et passe par le milieu A’ de [HA₂].
Dans le triangle HH₁A₂, (A₁A’) est la droite des milieux, A₁ est milieu de [HH₁].
(HH₁) étant perpendiculaire à (BC), H₁ est le symétrique de H par rapport à (BC).

Les symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés du triangle sont situés sur le cercle circonscrit au triangle.

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La droite d'Euler est la droite de Pascal de l'hexagramme A’A₁B’B₁C’C₁ inscrit dans le cercle d'Euler
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3. Théorème de Feuerbach

Théorème : dans un triangle, le cercle d'Euler est tangent au cercle inscrit et aux trois cercles exinscrits.

Comme son nom l'indique, ce théorème a été découvert en 1822 par Feuerbach (1800-1834), puis démontré par M'Clelland en 1891 et Lachlan en 1893.

Les quatre points de contact entre le cercle d'Euler et le cercle inscrit et les trois cercles exinscrits s'appellent les points de Feuerbach.
Les trois points de tangence des cercles exinscrits forment le triangle de Feuerbach du triangle.

F₀ est situé sur la droite des centres (IJ) ; I et J centres des cercles inscrit et d'Euler.
F₁F₂F₃ est le triangle de Feuerbach du triangle ABC.

Figure 14

Le centre I du cercle inscrit dans le triangle ABC est l'orthocentre du triangle I₁I₂I₃ (acutangle : dont les trois angles sont aigus) formé par les trois bissectrices extérieures.

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4. Point d'Apollonius

Dans un triangle, les droites joignant respectivement les sommets aux trois points de contact d'un cercle tangent intérieurement aux cercles exinscrits sont concourantes.
Le point de concours est le point d'Apollonius.

Construction

Dans un triangle ABC, tracer les bissectrices intérieures et extérieures. Leurs points d'intersection extérieurs au triangle, situés à égale distance des trois côtés du triangle, sont les centres I₁, I₂, I₃ des cercles exinscrits (c₁), (c₂), (c₃), tangents aux trois côtés du triangle.

La méthode des cercles tangents à trois cercles, vue dans la page construction de cercle, permet de construire le cercle (c) :

Soit S₁, S₂ et S₃ les centres des homothéties positives échangeant les trois cercles : S₁ est l'intersection de (BC) et (I₂I₃), S₂ intersection de (AC) et (I₁I₃) et S₃ intersection de (AB) et (I₁I₂).

Étant donné un point M variable sur le cercle (c₃) construisons les points P intersection bien choisie de (c₁) avec (S₂M) et Q intersection de (c₂) avec (S₁M).

Le cercle circonscrit au triangle MPQ recoupe (c₃) en N. La droite (MN) est l'axe radical de MPQ et de (c₃). Elle coupe la ligne (S₁S₂) des centres d'homothétie en H
Le point H est indépendant du point M, la puissance du point H par rapport à (c₃) est aussi celle par rapport à au cercle cherché (c).
Une tangente commune à (c) et (c₃) passe par H.

Il suffit de trouver les points de tangence T et T’ intersection de (c₃) avec le cercle de diamètre [I₃H].

En traçant le point U intersection de (c₁) avec (S₂T) et le point S de (c₂) avec (S₁T), on trouve le cercle (c) circonscrit à TUS.

De même, on trace U’ intersection de (c₁) avec (S₂T’), et S’ intersection de (c₂) avec (S₁T’).
T’, U’ et S’ sont les points de Feuerbach du triangle. T’U’S’ est le triangle de Feuerbach du triangle ABC.
Le cercle (c’) circonscrit à T’U’S’ n'est autre que le cercle d'Euler tangent aux trois cercles exinscrits. Ce résultat constitue le Théorème de Feuerbach.

Les droites (AS), (BU) et (CT) sont concourantes au point d'Apollonius F.

Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, I le centre du cercle inscrit dans ABC, Ω’ le centre du cercle (c’) d'Euler et Ω le centre du cercle (c).
Les droites (OI) et (ΩΩ’) sont parallèles et perpendiculaires à la ligne des centres d'homothétie (S₁S₂). Les points O, I et F sont alignés.

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5. Cercles de Tücker

Cercles de Lemoine

Deux cas particuliers de cercles de Tücker :

Lemoine Émile, mathématicien français spécialiste de la géométrie du triangle, 1840-1912
Tücker Robert 1832-1905

Autre cercle de Tücker : cercle de Taylor

IV. Lieux géométriques

1. Lieux des centres : gravité, orthocentre, centre du cercle inscrit

Étude lorsqu'un des sommets M du triangle ABM parcourt le cercle circonscrit, les deux autres A et B étant fixes.

Le logiciel fait apparaître le lieu de l'orthocentre comme un cercle.
Est-ce une simple apparence ?
Tous les points du cercle sont-ils des points du lieu ?
Comment déterminer le centre et le rayon ?

Document d'accompagnement des programmes de 1S - page 49

Sur un cercle (c) ; A et B sont deux points fixes et M un point variable de (c)  – {A, B}.

Quels sont les lieux géométriques des points remarquables du triangle ABM ?

  – En bleu L₁ lieu géométrique de G centre de gravité,
  – En sépia L₂ lieu géométrique de H orthocentre,
  – En rouge L₃ lieu géométrique centre I du cercle inscrit.

Cliquer dans la figure et déplacer le point M.

  – Taper G pour la trace du centre de gravité,
  – taper H pour la trace de l'orthocentre,
  – taper I pour la trace du centre du cercle inscrit.

  – Taper T pour Tracer les lieux géométriques des trois points.

  – Taper S pour Sortir du mode trace.

L₂ est le symétrique de (c) -{A, B} par rapport à (AB).

L₃ se déduit de L₂ par une homothétie de centre O et de rapport .

Lieu de l'orthocentre - cas général : voir parabole

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Lieux géométriques
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2. Cercles d'Apollonius

Apollonius de Perge ou Apollonios de Perga - Astronome et mathématicien grec 262/190 avant J.-C.

Les bissectrices intérieure et extérieure d'un angle AMB coupent la droite (AB) en I et J.

Le cercle de diamètre [IJ] est le cercle d'Apollonius.

Les quatre points (A, B, I, J) forment une division harmonique et

= = .

Application : lieu des points M tels que = k (k > 0).

Placer les points I et J de (AB) partageant le segment [AB] dans le rapport k.

Le lieu cherché est le cercle d'Apollonius de diamètre [IJ].

Démonstration avec les notions de barycentre et de produit scalaire

Élever l'égalité au « carré » MA² = k² MB², transformer les carrés de longueur en produit scalaire ² - k^{2 2} = 0,
factoriser : ( + k ).( - k ) = 0.

Si k est différent de 1, soit I le barycentre de (A, 1) ; (B, k) et J le barycentre de (A, 1) ; (B, -k).

La formule vectorielle de Leibniz α + β = (α + β) permet d'écrire ( + k ) = (1 + k) et ( - k ) = (1 - k) .

Le produit scalaire nul est donc égal à (1 - k²) . = 0. Les deux vecteurs sont orthogonaux, le point M est sur le cercle de diamètre [IJ].

En posant b = MA et a = MB, alors k = , Les droites (MI) et (MJ) sont les bissectrices de l'angle en M du triangle MAB. Le lieu est le cercle d'Apollonius du triangle MAB.

Réciproquement, si M est un point du cercle, le produit scalaire ( + k ).( - k ) est nul, d'où MA² = k² MB².

On a donc  = k ; M est un point du lieu.

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Axe radical

Notion disparue de l'enseignement français au lycée.

L'axe radical de deux cercles, de centres distincts, est l'ensemble des points qui ont même puissance par rapport à ces deux cercles.
L'axe radical est une droite perpendiculaire à la ligne des centres.
Si les cercles sont sécants, l'axe radical est la droite joignant les points d'intersection.

Voir géométrie du cercle
Inversions échangeant deux cercles

Faisceau des cercles d'Apollonius

Soit ABC un triangle. Le cercle c₄ de centre I est circonscrit au triangle ABC.

Les bissectrices en A coupent [BC] en I₁ et J₁, le cercle c1 de centre O₁ a pour diamètre [I₁J₁].
Les bissectrices en B coupent [AC] en I₂ et J₂, le cercle c₂ de centre O₂ a pour diamètre [I₂J₂].
Les bissectrices en C coupent [AB] en I₃ et J₃, le cercle c₃ de centre O₃ a pour diamètre [I₃J₃].

Les trois cercles c₁, c₂ et c₃ d'Apollonius ont deux points communs P et Q.
Leurs centres O₁, O₂ et O₃ sont alignés sur la médiatrice de [PQ].

Les points P et Q sont les centres isodynamiques du triangle ABC.
La droite (PQ) est l'axe radical du faisceau de cercles d'Apollonius. P et Q sont les points de base du faisceau.

Le centre I du cercle circonscrit (c₄) est situé sur la droite (PQ).

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Lieux géométriques
Recherche de lieux et barycentre

Le point de Lemoine est sur l'axe radical

Le rayon (AI) de c₄ est perpendiculaire au rayon (AO₁) de c₁. Les cercles c₁ et c₄ sont orthogonaux.
De même, les droites (BO₂) et (CO₃) sont tangentes au cercle circonscrit.

Le cercle circonscrit est orthogonal aux cercles d'Apollonius c₁, c₂ et c₃. Il appartient au faisceau à points limites P et Q.

T₁T₂T₃ est le triangle tangentiel formé par les tangentes au cercle circonscrit. Les droites (AT₁), (BT₂) et (CT₃) sont les symédianes du triangle ABC. Leur point de concours K est le point de Lemoine. Il a même puissance par rapport aux cercles c₁ et c₂. Il est situé sur l'axe radical (PQ).

Les centres isodynamiques, le centre du cercle circonscrit et le point de Lemoine sont alignés.

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V. Relations métriques dans le triangle

Soit ABC un triangle tel que BC = a, AC = b et AB = c, on note Â, B et C les angles du triangle.

Inégalités triangulaires

|b - c| < a < |b + c|

(les inégalités sont strictes pour un triangle non aplati. Réciproquement, lorsque l'on a une égalité, les points A, B et C sont alignés).

Théorème d'Al-Kashi

Formules de Pythagore généralisées dans le triangle quelconque :

a² = b² + c² - 2 b c cos(Â),
b² = a² + c² - 2 a c cos(B),
c² = a² + b² - 2 a b cos(C).

Avec ces formules on peut calculer les cosinus des angles du triangle à partir des longueurs des côtés a, b, c.
Par exemple, cos C = .

Somme des angles d'un triangle

La somme des angles géométriques d'un triangle est un angle plat :

+ + = 180°.

L'angle extérieur d'un triangle est égal à la somme des deux angles intérieurs non adjacents.

Démonstration, classe de cinquième, voir : triangle au collège

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Arrondi

Avec les angles BAC = 87°, ABC = 33°, ACB = 59°, la somme de ces angles est égale à 179°. Plus haut, il est dit que la somme des angles d'un triangle est égale à 180° ?

Les calculs étant fait « au degré près » GéoPlan arrondi les trois angles par défaut et on perd un degré pour l'arrondi de la somme.
Avec un calcul au dixième les angles BAC = 87,5°, ABC = 33,5° sont arrondis par excès et ACB = 59,0° par défaut : la somme est bien arrondie à 180,0°.

Loi des sinus

S est l'aire du triangle ABC, R est le rayon du cercle circonscrit à ABC :

= = = = 2R.

d'où abc = 4RS

Formule de Héron d'Alexandrie

Aire du triangle en fonction des longueurs des trois côtés.

p = (a + b + c) désigne le demi-périmètre.

S =

Dans son traité « sur le dioptre » Héron en donne la plus ancienne démonstration connue.

Calcul des hauteurs

Si h_A, h_B, h_C sont les longueurs des trois hauteurs d'un triangle ABC, alors S = a h_A = b h_B = c h_C,
D'où h_A = = , h_B = = …, h_C = = …

Formule des aires

r désigne le rayon du cercle inscrit.
Soit I le centre du cercle inscrit dans le triangle et r son rayon. Le triangle ABC est décomposable en trois triangles de sommet I et de même hauteur r.
L'aire du triangle est donc S = ar + br + cr = (a + b + c) × r = p × r.

Donc, S = p r et r = = .

Avec la formule de Héron on a : r = =

Avec la formule de l'aire du triangle S =   bc sin A, on trouve le rayon du cercle inscrit qui est  r = = .

Centre de gravité (application du théorème de la médiane)

G désigne le centre de gravité de ABC.

GA² + GB² + GC² = (a² + b² + c²).

Résoudre un triangle

Ces formules permettent de résoudre un triangle, c'est-à-dire d'en calculer les différents éléments à partir, d'en général, trois données particulières.