Les quadrilatères au collège avec GéoPlan

Quadrilatère orthodiagonal, cerf-volant, pseudo-carré, quadrilatère inscriptible, antiparallélogramme.

Sommaire

1. Définitions
2. Quadrilatère orthodiagonal
3. Cerf-volant
4. Pseudo-carré
5. Quadrilatère inscriptible
6. Théorème de Ptolémée
7. Quadrilatère inscriptible orthodiagonal
8. Bissectrices d'un quadrilatère
9. Antiparallélogramme

Quadrilatères au lycée

2.1. Centre de gravité d'un quadrilatère
2.2. Médiatrices d'un quadrilatère

Extrait du programme de sixième

Parallélogramme

Collège : parallélogramme, losange, rectangle
Lycée

Aire du parallélogramme

Carré au collège

Quadrilatère de Varignon

Page n^o 114, réalisée le 28/11/2007, mise à jour le 4/12/2008

Faire de la géométrie dynamique

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Construction à
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Problèmes de construction
au collège

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Quadrilatères remarquables

Polygone convexe : polygone plan dont les sommets sont dans un même demi-plan par rapport à n'importe quel côté du polygone.
Polygone concave : polygone qui n'est pas convexe, on dit aussi non convexe.

Quadrilatère convexe, concave, croisé

Un quadrilatère ABCD est un polygone qui a quatre côtés [AB], [BC], [CD] et [DA].
Les quatre points A, B, C, D, situés dans un même plan, tels que trois quelconques d'entre eux ne soient pas alignés, sont les sommets du quadrilatère.
Les points A et C d'une part, B et D d'autre part, sont des sommets opposés.
Les diagonales [AC] et [BD] sont les segments qui joignent deux sommets opposés.

Un quadrilatère est convexe si les deux diagonales sont à l'intérieur du quadrilatère.
Un quadrilatère est concave si (au moins) une des diagonales est à l'extérieur du quadrilatère.
Un quadrilatère est croisé si les deux diagonales sont à l'extérieur du quadrilatère. Un quadrilatère croisé est concave (papillon).

Quadrilatère

Le quadrilatère ABCD est un polygone convexe qui a :
quatre sommets A, B, C et D ;
quatre côtés [AB], [BC], [CD] et [DA] ;
deux diagonales (AC), (BD) ;
le point d'intersection des diagonales I est le point diagonal.

Télécharger la figure GéoPlan quadrilatere.g2w

Quadrilatère complet

Le quadrilatère complet a formé avec les points A, B, C et D, a :
quatre côtés, situés sur les droites (AB), (CD), (AD) et (BC) ;
six sommets A, B, C, D, E et F ;
trois diagonales (AC), (BD) et (EF) ;
leurs points d'intersection I, J, K sont les trois points diagonaux.

Télécharger la figure GéoPlan quadri_complet.g2w (quadrilatère nu), quadri_complet_diag.g2w (quadrilatère avec les diagonales)
feuille de travail dynamique
Télécharger la figure GeoGebra quadrilatere_complet.ggb, quadri_complet_diag.ggb (quadrilatère avec les diagonales)

Quadrangle

Les quatre points A, B, C et D sont les sommets du quadrangle.

Les six droites joignant les points deux à deux sont les côtés du quadrangle.

Si le quadrangle est complet, les trois points diagonaux I, E et F sont les intersections des paires de côtés opposés.

Télécharger la figure GéoPlan quadrangle.g2w

Quadrilatère complet

Définition : un quadrilatère complet est formé de quatre droites du plan se coupant, deux à deux, en six points.

Remarques (Lycée 1S-TS) : deux des points peuvent être « à l'infini ». Le quadrilatère est alors un parallélogramme. L'étude de ce cas particulier ne présente pas d'intérêt dans le plan projectif.
Si uniquement un des points est à l'infini, on obtient un trapèze complet.

Ici, nous considérons le quadrilatère complet strict où deux quelconques des quatre droites ne sont pas parallèles, trois quelconques ne sont concourantes :
le quadrilatère complet a quatre côtés, six sommets, trois diagonales et trois points diagonaux.

Lycée 1S-TS, voir : plan projectif

Quadrangle

Un quadrangle est la figure formée par quatre points A, B, C, D tels que trois quelconques d'entre eux ne soient pas alignés : ce sont les sommets du quadrangle.
Les six droites joignant ces points deux à deux sont les côtés du quadrangle.
Deux côtés qui n'ont pas de sommet en commun sont dits opposés.
Deux côtés opposés (non parallèles) ont un point commun appelé point diagonal du quadrangle.
Un quadrangle complet a quatre sommets, six côtés et trois points diagonaux.

Voir : points caractéristiques du triangle

Quadrilatère gauche

C'est un quadrilatère dont les quatre sommets n'appartiennent pas au même plan.
Les côtés et les diagonales forment alors un tétraèdre. L'étude du quadrilatère gauche en lui-même n'a pas de grand intérêt pédagogique.
Nous nous limiterons ici, « avec GéoPlan », aux quadrilatères plans.

Cercle inscrit

Pour qu'un quadrilatère convexe possède un cercle inscrit, il faut que ses bissectrices soient concourantes. Leur point d'intersection est alors le centre du cercle. Un point de ce cercle se trouve en traçant la projection orthogonale de ce centre, sur l'un des côtés du quadrilatère.
GéoPlan permet de tracer directement ce cercle avec l'instruction : « Créer>Ligne>Cercle>Cercle défini par centre et tangente ».

Quadrilatères particuliers

On peut classer les quadrilatères suivant les longueurs des côtés ou des diagonales, le parallélisme des côtés (trapèze, parallélogramme) ou leurs angles, l'orthogonalité des diagonales (cerf-volant), les éléments de symétrie (antiparallélogramme) ou l'inscription d'un cercle.

En classe de 5^ème se fait l'étude du parallélogramme, préparée en 6^ème par les cas particuliers losange, rectangle ou carré.
Dans cette page, on trouvera l'étude de quadrilatères orthodiagonaux ou inscriptibles.

Quadrilatères usuels

Trapèze : quadrilatère convexe ayant deux côtés opposés parallèles ; les deux côtés parallèles sont les bases : la grande base et la petite base.

Certains imposent comme condition supplémentaire la convexité du quadrilatère, ce qui conduit exclut le « trapèze croisé ».

Télécharger la figure GéoPlan trapeze.g2w

Propriété
Un quadrilatère convexe est un trapèze si et seulement s'il possède une paire d'angles consécutifs de somme égale à 180 degrés.

trapèze rectangle Cas particuliers

Un trapèze rectangle est un trapèze qui possède un angle droit.

Télécharger la figure GéoPlan trapeze_rect.g2w

Trapèze isocèle Un quadrilatère est un trapèze isocèle si c'est un trapèze et s'il vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :
• Les deux côtés opposés, non parallèles, sont de même longueur.
• Deux angles adjacents à une même base sont égaux.
• La médiatrice d'une des bases est axe de symétrie du trapèze. Elle est aussi la médiatrice de l'autre base.

Télécharger la figure GéoPlan trapeze_isocele.g2w

Les côtés non parallèles se coupent en I, point situé sur l'axe de symétrie.
De même, les diagonales sont concourantes en un point J, situé sur l'axe de symétrie.

Les points I, J et les milieux M et P des côtés parallèles sont alignés (cas particulier du théorème du trapèze complet, classe de 1S).

Deux droites parallèles coupent un cercle selon un trapèze isocèle ; voir :
• un exemple avec les angles inscrits
• Réciproque : une construction de parallèle

Voir : aire du trapèze

Parallélogramme - cas particuliers : losange, rectangle ou carré.

Cerf-volant, pseudo-carré, antiparallélogramme, chevron, quadrilatère orthodiagonal, quadrilatère inscriptible.

Quadrilatères quelconques

Chevron : ABMC est un exemple de quadrilatère non convexe : la diagonale [BC] est à l'extérieur du quadrilatère.

Théorème du chevron

Si M est un point à l'intérieur d'un triangle ABC et A’ le point d'intersection de (AM) et de (BC),
alors le rapport des aires des triangles ABM et ACM est égal au rapport .

Télécharger la figure GéoPlan chevron.g2w

Technique GéoPlan : calcul de l'aire d'un quadrilatère convexe

Il n'y pas de fonction dans le logiciel pour calculer l'aire d'un quadrilatère. Avec GéoPlan, comme souvent dans la vie courante, on peut le décomposer en deux triangles le long d'une des diagonales. Calculer l'aire de chacun des triangles formés par cette diagonale et deux côtés consécutifs correspondants, puis additionner les deux aires.

s1 aire du triangle ABC (unité de longueur Uoxy)
s2 aire du triangle ADC (unité de longueur Uoxy)
s = s1+s2

Il est aussi possible de transformer un quadrilatère convexe en triangle.

2. Quadrilatère orthodiagonal

Quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires.

Quadrilatère orthodiagonal convexe

Chevron orthodiagonal non convexe

Autre chevron orthodiagonal non convexe

Autre chevron

Quadrilatère orthodiagonal inscrit dans un rectangle.

Chevron inscrit dans un rectangle

Chevron inscrit dans un rectangle.

Quadrilatère orthodiagonal croisé

Quadrilatère orthodiagonal croisé.

Cas particuliers : pseudo-carré, cerf-volant, losange, carré.	Télécharger la figure GéoPlan quadri_orthodiagonal.g2w
Aire du quadrilatère orthodiagonal non croisé Le quadrilatère orthodiagonal convexe ABCD de la figure de gauche est inscrit dans un rectangle. L'aire du rectangle est égale au produit des longueurs des diagonales AC × BD. L'aire du quadrilatère orthodiagonal est alors AC × BD. (Conforme au cas général étudié au lycée : l'aire d'un quadrilatère convexe est égale au demi-produit des diagonales multiplié par le sinus de l'angle qu'elles forment – Le sinus d'un angle droit vaut 1.) Ce résultat est encore valable pour les chevrons orthodiagonaux : par exemple, dans la figure du milieu l'aire du quadrilatère est égale à la somme des aires des triangles ABC et ABD. Leurs aires sont la moitié des aires des rectangles ACQP et ACRS, soit la moitié du rectangle PQRS. L'aire du quadrilatère orthodiagonal ABCD, non croisé, est encore AC × BD. L'aire d'un quadrilatère orthodiagonal ABCD, non croisé, est égale à la moitié du produit des longueurs des diagonales : AC × BD. Ce calcul ne permet pas de trouver l'aire d'un quadrilatère orthodiagonal croisé – Le décomposer en deux triangles de part et d'autre du point d'intersection des diagonales. Exemple de calcul d'aire d'un quadrilatère non convexe, non croisé, voir : prenons de la hauteur
3. Cerf-volant	Classe de sixième
En géométrie plane, le cerf-volant est un quadrilatère orthodiagonal symétrique par rapport à une de ses diagonales. C'est un quadrilatère isocèle. On le nomme aussi rhomboïde : quadrilatère en forme de losange. Dérivé de rhombe, l'ancien nom français du losange, provenant du latin rhombus, mot conservé en anglais pour le losange.

Pointe de flèche

Pointe de flèche.

Le cerf-volant ABCD étant un quadrilatère orthodiagonal non croisé, son aire est égale à la moitié du produit des longueurs de ses diagonales :
AC × BD.

La pointe de flèche, cerf-volant concave, ne doit pas être écartée de l'étude des quadrilatères en classe de 6^ème.

Cas particuliers : losange, carré.

Cercle inscrit

Classe de troisième

Soit ABCD un cerf-volant convexe, tracer le point I, intersection de la bissectrice de l'angle ABC – angle de côtés de longueurs différentes – avec l'axe de symétrie (AC) du cerf-volant.

I est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC, et en raison de la symétrie, ce cercle est inscrit dans le quadrilatère.

Le cercle inscrit est construit grâce au point H, projection orthogonale de son centre I sur le côté [AB].

Télécharger les figures GéoPlan cerf_volant.g2w, cerf_volant_cercle_inscrit.g2w

4. Pseudo-carré

Quadrilatère orthodiagonal dont les deux diagonales sont de même longueur.

Le pseudo-carré convexe est inscrit dans un carré. L'aire du pseudo-carré ABCD est égale à la moitié de celle du carré, de côté la longueur d'une diagonale : Aire(ABCD) = AC².
Exemples, voir : quadrilatère de Varignon, Carrés de Varignon Configuration de Von Aubel	Cas particulier : carré.
Télécharger la figure GéoPlan pseudo_carre.g2w
5. Quadrilatère inscriptible - Points cocycliques	Classe de 3^ème
Définitions Des points cocycliques sont situés sur un même cercle. Un quadrilatère est inscriptible si les quatre sommets sont cocycliques. Un quadrilatère est inscriptible si (et seulement si) deux angles opposés sont égaux ou supplémentaires. Pour les figures, voir la page : angles inscrits 6. Théorème de Ptolémée Théorème : un quadrilatère convexe est inscriptible, si et seulement si la somme des produits des côtés opposés est égale au produit des diagonales. Avec les notations de la figure ci-contre : AB × CD + BC × DA = AC × BD. Démonstration, voir : cercle en seconde Télécharger la figure GéoPlan ptolemee.g2w Sommaire Faire de la géométrie dynamique 7. Quadrilatère inscriptible orthodiagonal Classe de seconde Théorème de Brahmagupta (mathématicien indien du VII^ème siècle) : si les diagonales d'un quadrilatère inscriptible sont perpendiculaires l'une à l'autre et se coupent en un point O, une droite passant par O et perpendiculaire à l'un quelconque des côtés coupe le côté opposé en son milieu. Démonstration, voir : cercle en seconde Cercle des huit points d'un quadrilatère orthodiagonal, voir : 1S : produit scalaire Télécharger la figure GéoPlan qua_insc.g2w 8. Bissectrices d'un quadrilatère Les intersections des bissectrices intérieures d'un quadrilatère forment un quadrilatère inscriptible. Démonstration Calcul d'angles au lycée Montrer que s = (, ) + (, ) = π (2π). Par angles égaux (éventuellement opposés par le sommet) on a : s = (, ) + (, ) = (, ) + (, ). La somme des angles d'un triangle étant égale à π, dans les triangles MAD et PCB on a : s = π − (, ) − (, ) + π − (, ) − (, ), s = (, ) + (, ) + (, ) + (, ) (2π). Les bissectrices partagent en deux les angles du quadrilatère : s = [(, ) + (, ) + (, ) + (, )]. La somme des angles du quadrilatère est 2π : s = [−2π] = π (2π). Les angles (, ) et (, ) sont supplémentaires. Le quadrilatère MNPQ est inscriptible. Télécharger la figure GéoPlan bissectrice_quadrilatere.g2w 9. Antiparallélogramme Un antiparallélogramme ABCD est un quadrilatère croisé dont les côtés opposés sont de même longueur deux à deux : AB = CD et AD = CB. Dans un antiparallélogramme les angles opposés ont la même mesure. Les diagonales (AC) et (BD) sont parallèles. L'antiparallélogramme admet un axe de symétrie qui est la médiatrice des diagonales. Deux côtés opposés ont leur point d'intersection situé sur cette médiatrice. Le quadrilatère convexe ABDC formé par les deux côtés non croisés et les diagonales est un trapèze isocèle. Un antiparallélogramme est un quadrilatère inscriptible (les quatre sommets sont cocycliques car les angles ABC et ADC sont égaux). Un antiparallélogramme, n'étant pas convexe, n'est pas un parallélogramme. Télécharger la figure GéoPlan antiparallelogramme.g2w Figure articulée AD = BC = a ; AB = CD = b ; a > b. Si les sommets A, B, C et D sont articulés, la figure varie, mais le produit p = DB × CA reste constant. Cette constante p est égale à a² − b². Démonstration : elle se fait, après le bac, en considérant la puissance du point C par rapport au cercle de centre B passant par A : p = CE × CA = DB × CA ; les côtés [CE] et [DB] sont égaux, car CEBD est un parallélogramme. Télécharger la figure GéoPlan antiparallelogramme_puissance.g2w Quadrilatères au lycée 2.1. Centre de gravité d'un quadrilatère Définition : les médianes sont les segments reliant les milieux de deux côtés opposés d'un quadrilatère Propriété : les deux médianes et le segment joignant les milieux des diagonales sont concourants au point G, centre de gravité du quadrilatère, qui est leurs milieux. Télécharger la figure GéoPlan quad_f16.g2w Télécharger la figure Cabri quadrilatere_milieux.fig Voir : théorème de Varignon Cette figure est extraite de la page : le barycentre 2.2 Médiatrices d'un quadrilatère Les médiatrices d'un quadrilatère ABCD se coupent en P, Q, R et S. Que dire de PQRS ? Déplacer les points A, B, C ou D avec GéoPlan. Étudier les cas particuliers. Le point P est confondu avec Q, qu'en est-il de R et S. Montrer que les points A, B, C, D sont alors cocycliques sur un cercle de centre P.