Lieux géométriques avec GéoPlan Travaux pratiques de mathématiques assistés par ordinateur : recherche de lieux avec GéoPlan : milieux, cercles, symétriques…	Faire de la géométrie dynamique

Latin - English - lieu : locus - plural : lieux : loci

Commandes GéoPlan

Pour toutes les figures de cette page cliquer dans la figure et déplacer le point pilote avec les flèches du clavier.

Taper sur les touches :
T : laisser la Trace du point.
S : Sortie du mode trace et effacement du lieu,
L : afficher/cacher le Lieu géométrique.

1. Centres de cercles tangents à deux cercles tangents donnés

Un cercle variable C₃(O₃ ; |R₃|) est tangent à deux cercles fixes C₁(O₁ ; |R₁|) et C₂(O₂ ; |R₂|), eux même tangents entre eux.
On cherche le lieu L des centres des cercles C₃ lorsque R₃ varie.

Avec GéoPlan, explorer la situation en faisant varier R₁, R₂ ou R₃ (cliquer dans la figure ci-dessous, touches 1, 2 ou 3).
La courbe semble être une conique. Une étude bifocale, avec le calcul de O₃O₁ + O₃O₂, permettra dans certains cas de trouver facilement une ellipse.
Par contre, le calcul de la différence O₃O₁ - O₃O₂, pour l'étude bifocale de l'hyperbole, est plus délicat et dépasse les compétences d'un élève de 1S !

Paramètres modifiables : O₁ centre du premier cercle ; des mesures algébriques R₁, R₂ et R₃ correspondant aux rayons des trois cercles.
O est le milieu du segment [O₁O₂]. a est la moitié de la différence entre R₁ et R₂.

Cliquer dans la figure, vous pouvez :

Déplacer le centre O₁ du premier cercle avec la souris.
Modifier les valeur du rayon R₃ du cercle variable avec les flèches du clavier.

Taper sur la touche 1 pour faire varier R₁ avec les flèches du clavier,
taper sur la touche 2 pour faire varier R₂,
taper sur la touche 3 pour faire varier R₃.

Taper sur L pour l'effacement ou l'affichage du Lieu de points,
taper sur T pour la Trace du point O₃ et sur S pour Sortir du mode trace,
taper sur R pour cacher/montrer les axes.

Pour modifier les rayons des cercles donnés, taper sur :
touche 4 : R₁ = −1   et R₂ = −2    (a = 0,5 ; L est une partie d'une branche d'hyperbole “à préciser” ; C₁ et C₂ sont à l'intérieur de C₃)
touche 5 : R₁ = 1,5 et R₂ = −4,5 (a = 3 ; L est une ellipse : C₁ et C₃ sont à l'intérieur de C₂),
touche 6 : R₁ = 2,5 et R₂ = −1    (a = 1,75 ; L est une ellipse : C₂ et C₃ sont à l'intérieur de C₁),
touche 7 : R₁ = 2    et R₂ = 2      (a = 0 ; L est l'axe Ox ; R₁ = R₂),
touche 8 : R₁ = 2    et R₂ = 1      (a = 0,5 ; L est une branche d'hyperbole “à préciser” ; C₁, C₂ et C₃ sont tangents extérieurement).

Télécharger la figure GéoPlan certang4.g2w
Cercle tangent à deux cercles passant par un point : voir construction de cercles
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Cas limite

On n'a pas de parabole, mais lorsque R₁ est grand par rapport à R₂, on trouve la curieuse branche d'hyperbole suivante !

Télécharger la figure GéoPlan certang5.g2w
Foyer et directrice d'une parabole
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2. GéoPlan et les lieux géométriques

Pour créer un lieu géométrique, dérouler la suite des menus :
créer > ligne > courbe > lieu d'un point.

  – Le pilote est le nom de l'objet que l'on déplacerait au clavier ou à la souris pour générer le lieu.
Dans l'exemple précédent, il s'agit du rayon R₃ du cercle variable.

  – on cherchera le lieu du centre O₃ du cercle variable.

  – Préciser le nombre de points à calculer pour le lieu,

  – Par exemple, nommer la courbe L comme Lieu.

GéoPlan crée l'instruction :

L lieu du point O3, pilote R3 (200 points)
   Objet dessinable L, particularités: points non liés

Ici 200 points sont dessinés, on a souvent intérêt, avec le menu style ou dans l'éditeur de texte, à supprimer le « non » de « points non liés » pour obtenir une courbe :

L lieu du point O3, pilote R3 (200 points)
   Objet dessinable L, particularités: points liés

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3. Intersection de deux cercles

Énoncé de l'exercice

Soit (d) une droite fixée du plan et un point A n'appartenant pas à (d).
Pour chaque point M de la droite d on considère les cercles (c) de centre M passant par A et (c’) de centre A passant par M.
Quels sont les lieux géométriques L₁ et L₂ des points M₁ et M₂ intersection des deux cercles ?

Méthode à mettre en œuvre

On considère les transformations T et T’ suivantes :
à tout point M de d on fait correspondre par T le point M₁ intersection des cercles c et c’ tel que la mesure de l'angle orienté ( ; ) soit positif ;

et par T’ le deuxième point M₂ d'intersection de ces deux cercles tel que la mesure de l'angle orienté ( ; ) soit négatif.

AMM₁ et AMM₂ sont des triangles équilatéraux, T et T’ sont les rotations de centre A et d'angles et - .

Les droites L₁ et L₂ sont les images par T et T’ de la droite d. Leur point d'intersection est le symétrique de A par rapport à d.

Cliquer dans la figure, vous pouvez :

- Taper sur la touche T pour obtenir les traces des points M₁ et M₂,
- déplacer le point M avec la souris ou les flèches du clavier,
- taper S pour Sortir du mode trace,
- taper L pour afficher/cacher les lieux des points M₁ et M₂.

Note technique GéoPlan :

Points fixes : A ; B et C définissant la droite (d) = (BC),
point variable : M sur la droite (BC).

L'instruction : M point libre sur la droite (BC) ne permet pas de tracer les lieux L₁ et L₂ à la demande.

Pour visualiser ces lieux il faut faire varier M sur un segment [B₁C₁] de la droite (d) = (BC).
Nous avons donc calculé l'équation de la droite (d) et les coordonnées des deux points B₁ et C₁ de (d) d'abscisses mi et ma suffisamment grandes en valeurs absolues.

télécharger la figure GéoPlan inter2ce.g2w

b. Deuxième point d'intersection de deux cercles

La droite (d) et les points O et O’ sont fixes.
À tout point M de (d) on associe le point N, deuxième intersection des cercles (c) et (c’) de centre O et O’ passant par M.

Quel est le lieu du point N lorsque M décrit la droite (d) ?

Cliquer dans la figure, vous pouvez :

  – Taper sur la touche T pour obtenir la trace du point N,
  – déplacer le point M avec la souris ou les flèches du clavier,
  – taper S pour Sortir du mode trace.
  – Taper L pour afficher/cacher le lieu (l) du point N.

Solution

Les points M et N sont symétriques par rapport à la droite (OO’) axe de symétrie des deux cercles.
Le lieu (l) est la droite symétrique de (d) par rapport à (OO’).

télécharger la figure GéoPlan inter2_2.g2w
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4. Lieu du milieu d'un segment

A et B sont deux points libres (pilotables à la souris).
Le point P varie sur un segment [AB].
Le point R varie sur un cercle de centre O.
M est le milieu de [PR].

Quel est le lieu géométrique des points M ?

Commandes :

Les points P et R se déplacent à la souris ou au clavier après les commandes P et R.

La touche T permet de garder la Trace de M quand P varie (R fixe) et quand R varie (P fixe),
la touche L permet de faire apparaître ou disparaître les lieux L₁ de M quand P varie (R fixe) et L₂ de M quand R varie (P fixe),
la touche F permet de garder la trace des lieux L₁ et L₂ de M quand P ou R varient,
la touche S pour Sortir du mode trace.

Télécharger la figure GéoPlan lieu1.g2w
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5. Lieu des symétriques d'un point

A et B sont deux points fixes, la droite (d) est une droite variable passant par A.

B’ est l'image de B dans la symétrie par rapport à D.

Quel est le lieu du point B’ ?

Cliquer dans la figure et déplacer la droite (d) avec les flèches du clavier :
  – la touche T permet de garder la Trace de B’ quand (d) varie,
  – la touche S pour Sortir du mode trace,
  – la touche L permet de faire apparaître ou disparaître le lieu des points B’.

Télécharger la figure GéoPlan lieu_sym.g2w
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6. Autre milieu

A est un point à l'intérieur du secteur angulaire xOy.
M point variable sur (Ox).

Soit N le point de (Oy) tel que MAN soit droit.
I est le milieu de [MN].

Quel est l'ensemble des points I ?

Le mode trace permet de conjecturer que l'ensemble cherché est situé sur la médiatrice de [OA].

Cliquer dans la figure et déplacer le point M.
Commandes :
T : Trace du point I,
S : Sortie du mode trace,
L : afficher/cacher le Lieu géométrique de I.

Télécharger la figure GéoPlan lieu_mil.g2w
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7. Demi-paraboles

On place deux points O et A tels que OA = 1. Soit M un point variable sur la droite (OA).

Sur la demi-droite perpendiculaire en A à (OA) située dans P₁, un des demi-plans de frontière (OA), on trace le point N tel que AN = OM.

La perpendiculaire à (OA) en M rencontre la droite (ON) au point P.
Quel est l'ensemble des points P ?

Le mode trace permet de conjecturer que l'ensemble cherché est constitué de deux demi-paraboles.
Cliquer dans la figure et déplacer le point M.

Commandes :
T : Traces du point P,
S : Sortie du mode trace,
L : afficher cacher le lieu géométriques de P

Fichier MIPAR du Creem - Imagiciels géométrie plane - page 97

Télécharger la figure GéoPlan mil_para.g2w

Voir : parabole

Épreuve pratique en TS
2007 : Tangente à une parabole
2008 : Points équidistants d'une droite et d'un point
            Cercles et paraboles
2009 : Propriétés de la parabole

8. Le carré

Classe de seconde

A est un point fixe de (Oy). Un point M est libre sur l'axe des abscisses (Ox).

Placer les points M’ et P tels que MPM’A soit un carré direct.

On déplace le carré en « faisant glisser » M sur l'axe (Ox).

Le mode trace permet de conjecturer que l'ensemble cherché est une droite perpendiculaire à (Ox).

Indication

Une rotation de centre A.

Commandes GéoPlan :
T : Trace du point M’,
S : Sortie du mode trace.

En terminale S, étudier le lieu du point P.

Télécharger la figure GéoPlan carre.g2w
Télécharger la figure Cabri carre.fig
Télécharger la figure GeoLabo carre.glb

9. L'équerre contre un mur

Classe de seconde

Exercice repris dans ÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2007 - Sujet 012

Une équerre ABC, rectangle en C, est placée de telle façon que le point A est un point variable du demi-axe des abscisses [Ox) et le point B est sur le demi-axe des ordonnées [Oy).

On déplace l'équerre en « faisant glisser » A et B sur les axes.

Montrer que le point C se déplace sur une droite issue du point O.

Indication

BCA et BOA sont deux triangles rectangles inscrits dans le cercle de diamètre [BA]. Les angles inscrits AOC et ABC dans ce cercle sont égaux. Le point C se trouve sur la droite fixe passant par O faisant un angle égal à ABC avec l'axe (Ox).

Le lieu L des points est un segment porté par cette droite.

Télécharger la figure GéoPlan equerre.g2w

ÉduSCOL - Terminale S

On s'intéresse à l'étude du lieu de certains points de l'équerre lorsque l'on fait glisser les points A et B.

Technique GéoPlan

Le point A étant placé sur (Ox), le point B est l'intersection de l'axe (Oy) avec le cercle de centre A et de rayon égal à la longueur l de l'équerre. Le point C est situé sur le cercle de diamètre [AB].
Si l'équerre est définie par son angle en Â, avec GéoPlan, le plus simple est de construire le point C comme image de B par une similitude de centre A et de rapport cos(Â).

Le point G de l'équerre dont on cherche le lieu est défini comme barycentre des points pondérés (A, α) ; (B, β) et (C, γ) où les coefficients α, β ou γ sont positifs.

Commandes GéoPlan
Cliquer dans les figures et déplacer le point A :
T : Trace du point
S : Sortie du mode trace,
L : afficher/cacher le Lieu géométrique,
I : indication pour la solution.

Compétences évaluées
Compétences TICE
– Construire une figure avec un logiciel de géométrie dynamique ;
– Visualiser un lieu ;
– Tester les conjectures émises.

Compétences mathématiques
– Exploiter les propriétés du triangle rectangle ;
– Utiliser les lignes trigonométriques dans un triangle ?