Homothétie : problèmes de construction, points de concours.

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MIAM

Homothétie - Figures interactives avec GéoPlan

Descartes
…avec GéoPlan

 L'homothétie n'est plus étudié en classe de première.

Sommaire

1. Transformé d'un triangle par homothétie
2. Configuration de base des homothéties
3. Parallélogramme et diagonale
4. Carré inscrit dans un triangle
5. Demi-cercle et carré
6. Prouver un point de concours
7. Parallélogramme et homothétie
8. Problème de construction
9. Homothéties transformant deux cercles
      Tangentes communes à deux cercles
10. Cercle tangent à deux droites, passant par un point donné
11. Homothétie, triangle et centre de gravité

Homothétie

Cordes de cercles tangents et point fixe : Angles - Rotations

Quadrilatère complet : le plan projectif
Itération d'homothéties : pentagone

Les carrés autour de BOA
Euler : la géométrie du triangle

Si vous ne visualisez pas l'image dans le cadre ci-contre, les contrôles ActiveX du CREEM ne sont pas installés sur votre PC. Vous pouvez :

Page no 44, réalisée le 16/6/2003, modifiée le 10/1/2008

Faire de la géométrie dynamique

Angles
Rotations

Barycentre

GéoPlan
Carrés autour de BOA

GéoPlan
Paraboles en S

GéoSpace
Tétraèdres

1. Transformé d'un triangle par homothétie

M varie sur un triangle ABC. Soit h une homothétie de centre O et de rapport k. A’, B’, C’ et M’ les images respectives par h de A, B, C et M.

Commandes : P : Affiche ou supprime le dessin du triangle A’B’C’.
K : Pilote au clavier la valeur de k.
O : Pilote le déplacement de O.
C : Pilote le déplacement de C.
M : Pilote un paramètre t (bouclé) qui déplace le point M sur le triangle ABC.
T : Efface le triangle A’B’C’ et laisse la trace du point M’ lorsque M se déplace.
S : Sortie du mode trace et dessine le triangle A’B’C’.
R : Triangle ABC rectangle en B.
I : Triangle ABC isocèle de sommet C.
E : Triangle ABC équilatéral.
P : Affecte à k la valeur -1 (symétrie-point).
A : Affecte O en A.

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Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

2. Configuration de base des homothéties

[AB], [CD] et [EF] sont trois segments parallèles distincts.

Les points I, J et K sont alignés.

Indications

Il existe une homothétie f de centre K qui transforme le segment [AB] en [CD],
et une homothétie g de centre I qui transforme le segment [CD] en [EF].

Par g le point K a pour image K’, K et son transformé K’ sont alignés avec le centre I, I est situé sur la droite (KK’).

La composée h = gοf est une homothétie qui transforme le segment [AB] en [EF], son centre est le point J.

Par h le point K a pour image gοf (K) = g(K) = K’, K et K’ sont alignés avec le centre J, J est situé sur la droite (KK’).

Les points I et J, situés sur la droite (KK’), sont alignés avec K.

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3. Parallélogramme et diagonale

A, B et C sont trois points fixes du plan. ABCD est un parallélogramme et M un point variable.

a. Droites parallèles

M est un point variable sur la diagonale [AC].

Les parallèles issues de M à (BC) et à (AB) déterminent les points I, J, K et L.

En utilisant deux homothéties de centre A et C, montrer que les droites (IL), (BD) et (JK) sont parallèles.

Les parallélogrammes complémentaires ALMI et MJCK sont dits équivalents (Legendre - Éléments de géométrie - 1794).

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b. Problème réciproque

I, J et L sont trois points situés respectivement sur les côtés [AB], [CD] et [AD] d'un parallélogramme ABCD, distinct des sommets.
La parallèle à (IL) passant par J rencontre (BC) en K.
Montrer que les droites (AC), (IJ) et (KL) sont concourantes.

Solution

Pour cela, on considère le repère (A, vect(AB), vect(AD)) et on note i et j les abscisses de I et J, l et k les ordonnées de L et K.

Coordonnées des points de la figure : I(i, 0) ; J(j, 1) ; L(0, l) ; K(1, k).
Coordonnées de vecteurs : vect(IL) (-i, l) ; vect(JK)(1-j, k-1) ; vect(IJ)(j-i, 1) ; vect(LK)(1, k-l)

Les vecteurs vect(IL) et vect(JK) étant colinéaires on a : i (1 - k) = l (1 - j).

La droite (AC) a pour équation y = x.
Une équation de la droite (IJ), de vecteur directeur (j-i, 1), est y = 1/(j-i) (x-i).
Ces deux droites étant sécantes, en résolvant le système formé par ces deux équations, on trouve les coordonnées de leur point M d'intersection qui sont :
xM = yM = i/(i-j+1).
La droite (LK), de vecteur directeur (1, k-l), a pour équation y - l = (k - l)x.
En substituant xM et yM dans cette équation on obtient : i/(i-j+1) - l = (k - l) i/(i-j+1),

soit i - l (i - j + 1) = (k - l)i, d'où i- ki = l - lj cette égalité étant vérifiée en raison de la colinéarité de vect(IL) et vect(JK), le point M est bien sur la droite (LK) et les droites (AC), (IJ) et (KL) sont concourantes en M.

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c. Parallélogramme de Pappus

Soit M un point variable du plan n'appartenant pas à la diagonale (BD).
La parallèle à (AD) passant par M coupe (AB) en I et (CD) en J.
La parallèle à (AB) passant par M coupe (BC) en K et (AD) en L.

Les droites (IK) et (JL) sont sécantes en un point N, les points A, C et N sont alignés.

Commande GéoPlan : déplacer M avec la souris ou les flèches du clavier.

Indications

On note P l'intersection de (IK) et (CD) et Q l'intersection de (LJ) et (BC).
Montrer que les droites (IL) et (PQ) sont parallèles.

L'homothétie h de centre N, qui transforme I en P, transforme (IL) en sa parallèle (PQ), donc transforme L en Q.
h transforme la droite (AB), passant par I, en sa parallèle passant par P, donc en (CD).
De même, h transforme (AD), passant par L, en sa parallèle passant par Q, donc en (BC).
h transforme donc (AB) et (AD) en (CD) et (BC). h transforme le point d'intersection A des deux premiers côtés en C point d'intersection des deux autres.
Le centre d'homothétie N est aligné avec le point A et son image C : les points N, A et C sont alignés.

g2w Télécharger la figure GéoPlan hom_par2.g2w
Théorème de Pappus : plan projectif
Parallélogramme de Pappus : homothétie
Figure de Pappus : Thalès
Démonstration de Pappus : Pythagore
Le problème de Pappus

Classe de seconde

À l'aide du repère (A, vect(AB), vect(AD)), il est facile et élégant de faire une démonstration en géométrie analytique.

Si les coordonnées de M sont (a, b), celles des points d'intersection avec le parallélogramme sont : I(a, 0) ; J(a, 1) ; L(0, b) et K(1, b).
Les coordonnées des vecteurs directeurs vect(IK)(1-a, b) et vect(LJ)(a, 1-b) permettent de trouver les équations des droites (IK) et (LJ) :
bx + (a-1)y = ab,
(b-1)x + ay = ab.

En calculant la différence de ces deux équations et en substituant on obtient :
x - y = 0,
x = ab/(a + b - 1).

Le point N est bien sur la diagonale (AC) d'équation x - y = 0, à condition que M ne soit pas sur l'autre diagonale (BD) d'équation a + b - 1 = 0.

Remarque : vect(IL)(-a, b) : la droite (IL), d'équation bx + ay = ab, a coefficient directeur - b/a.
Les coordonnées de P et Q sont P(1, (ab + 1 - a)/b) et Q((ab + 1 - b)/a), 1) ; d'où vect(PQ)((ab + 1 - a - b)/b, (ab + 1 - a - b)/a).
La droite (PQ) a aussi pour coefficient directeur - b/a et est parallèle à (IL).

Cette figure permet aussi de proposer, en classe de troisième, le problème assez difficile suivant :
Si M est un point variable sur la diagonale [AC], montrer que les aires des parallélogrammes IBKM et LMJD sont égales.
Voir : Deux parallélogrammes d'aires égales

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

4. Carré inscrit dans un triangle

Soit ABC un triangle. Trouver un carré DEFG inscrit dans le triangle ABC (ses sommets sont sur les côtés du triangle).

a. Figure 1

Construire un carré de côté [AB] et utiliser une homothétie de centre C.

g2w Télécharger la figure GéoPlan hom_care.g2w

Carré d'aire maximale, voir : olympiades Versailles 2005

b. Problème BOA

Les perpendiculaires à (CB’), issue de A, et à (CC’), issue de B, se coupent en I.
La droite (CI) semble perpendiculaire à la droite (AB) ?

g2w Télécharger la figure GéoPlan hom_car2.g2w

c. Figure 2 : homothétie de centre A

Placer un point (libre) M sur le côté [AC] du triangle.
Soit P la projection orthogonale de M sur la droite (AB).
Construire le carré direct MPQR de côté [MP], son deuxième côté [PQ] se trouve sur la droite (AB).

Commande GéoPlan
Cliquer sur la figure ;
Taper sur la touche S pour effacer le carré DEFG ;
chercher la solution en déplaçant le point M
.

Vérifier en tapant à nouveau sur S : votre carré doit coïncider avec le carré DEFG.

Preuve :

La droite (AR) rencontre la droite (BC) en F.
L'homothétie de centre A qui transforme R en F transforme le carré MPQR en un carré GDEF dont les sommets sont sur les côtés du triangle ABC.

g2w Télécharger la figure GéoPlan hom_car3.g2w

 

5. Demi-cercle et carré

a. Inscrire un carré entre un demi-cercle et son diamètre [AB].

Classe de première L

Construire un carré de côté [AB] et utiliser une homothétie de centre O milieu de [AB].

Le côté du carré est égal au diamètre AB, divisé par rac(5).

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan cer_care.g2w
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

b. Construction d'un carré à partir d'un point sur un demi-cercle

ABCD est un carré et (c) le demi-cercle extérieur de diamètre [CD].
M un point variable sur (c).
Les droites (MA) et (CD) se coupent en P ; (MB) et (CD) se coupent en Q.
Les perpendiculaires à (CD) en P et Q coupent [MC] en P et [MD] en R.

Montrer que PQRS est un carré
Montrer que les triangles DPS et QRC sont semblables et que :
PQ2 = DQ × PC.

PQ est maximum lorsque M est au milieu du demi-cercle (c).

g2w Télécharger la figure GéoPlan care_cer.g2w

c. Paraboles et situation géométrique

On note a le côté du carré ABCD, b le côté du carré PQRS. Soit x la longueur de DP reportée en IP’ et y la longueur de QC reportée en IQ’.

Si s = x + y = a - b et p = xy = b2, x et y sont les solutions de l'équation x2 - sx + p = 0.

La forme canonique du trinôme est x2 - sx + p = x2 - (a - b)x + b2 = [x - (a - b)/2]2 - (a - 3b)(a + b)/4.

PQ est maximum lorsque b = a/3, les points P’ et Q’ sont confondus et M est au milieu du demi-cercle (c).

D'après le classeur du professeur - Déclic - classe de seconde - Hachette

g2w Télécharger la figure GéoPlan car_cer2.g2w

6. Prouver un point de concours

Deux carrés ABCD etBEFG ont un sommet commun B et deux côtés alignés :
E est sur la droite (AB) ; G est sur la droite (BC).

Montrer que les droites (AB), (DG) et (CF) sont concourantes.

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan deu_care.g2w


7. Parallélogramme et homothétie

ABCD est un parallélogramme et I le milieu [CD]. Les diagonales du parallélogramme coupent [IA] en P et [IB] en Q.

Que représente le point P dans le triangle ACD et le point Q dans le triangle BCD ?

En utilisant une homothétie de centre I, montrer que la droite (PQ) est parallèle à (AB)
et que PQ = AB/3.

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan hom_par5.g2w


8. Problème de construction

Construire un triangle inscrit dans ABC ayant ses « côtés perpendiculaires » à ceux de ABC.

Utilisation des propriétés de l'homothétie.

Analyse : Soit un point variable M de (AB). On appelle N le projeté orthogonal de M sur (BC), P le projeté orthogonal de N sur (AC), Q le projeté orthogonal de P sur (AB).

En général, la ligne brisée MNPQ ne se referme pas et on appelle R le point d'intersection des droites (MN) et (PQ).

Cliquer dans la figure et déplacer le point M avec la souris ou les flèches du clavier. On trouve une solution lorsque les points M et Q sont confondus en un point M’.

Taper T pour obtenir la trace du point R. On trouve une droite, passant par C, permettant de mettre en évidence les homothéties de centre C.

Commandes GéoPlan
Touche T : Trace du point R,
S : Sortie du mode trace,
C : Construction d'une solution :le triangle M’N’P’.

g2w Figure GéoPlan tria_cote_perpendiculaire.g2w

En plaçant le point N1 sur la perpendiculaire à (AB) en M, on construit le triangle N1P1R1. La droite (CR1) rencontre (AB) en M”. L'homothétie de centre C qui transforme R1 en M” permet de construire une deuxième solution : le triangle M”N”P”.

g2w Figure GéoPlan tria_cote_perpendiculaire_2.g2w

Synthèse : la droite (CR) rencontre (AB) en M’. L'homothétie de centre C qui transforme R en M’ transforme N en N’ et P en P’. Le triangle M’N’P’ a ses côtés parallèles aux côtés de RNP, donc orthogonaux aux côtés du triangle ABC.
Le triangle M’N’P’, inscrit dans ABC, est une solution.

9. Homothéties transformant deux cercles
Tangentes communes à deux cercles

Soit deux cercles c(O, r) et c’(O’, r’) avec r < r’, le petit cercle (c) n'est pas à l'intérieur de (c’) : r + OO’ > r’.

Il existe une homothétie de rapport positif r’/r transformant (c) en (c’). Le centre I de cette homothétie est situé sur la ligne des centres (OO’). Pour le trouver, il suffit, étant donné un point libre M sur (c), de tracer un rayon OM1 parallèle à OM et de même sens. Le point M1 de (c’) est alors l'image de M par l'homothétie et ces points sont alignés avec I. Le point I est l'intersection des droites (OO’) et (MM1).

Par le point I on peut mener deux tangentes communes aux deux cercles.
Les points de contact se tracent avec précision, par exemple, comme points d'intersection du cercle (c) avec le cercle de diamètre [IO].

De même, on trouve le centre J de l'homothétie, de rapport négatif -r’/r, transformant (c) en (c’), en traçant le point M2 de (c’), tel que le rayon OM2 soit parallèle à OM et de sens contraire.
Si les cercles (c) et (c’) sont extérieurs l'un à l'autre (r + r’ < OO’), J est alors le point de concours de deux autres tangentes.
Dans ce cas, on trouve les points de contact comme intersection du cercle (c) avec le cercle de diamètre [OJ] ou comme intersection du cercle (c’) avec le cercle de diamètre [JO’].

Commandes : taper N pour visualiser l'homothétie de rapport négatif et éventuellement les deux autres tangentes.

Étudier les cas particuliers où les cercles ont le même rayon : il existe deux tangentes communes parallèles à la ligne des centres.

En conclusion si un des cercles est l'intérieur de l'autre, pas de tangente commune.
Si les cercles sont tangents intérieurement, la tangente au point de contact est la seule tangente commune.
Si les cercles sont sécants en deux points, il y a deux tangentes communes.
Si les cercles sont tangents extérieurement il y a trois tangentes communes, en comptant la tangente au point de contact.
Si les cercles sont extérieurs l'un à l'autre, il y a quatre tangentes communes.

g2w Télécharger la figure GéoPlan homo_cercle.g2w

Axe radical

L'axe radical de deux cercles, de centres distincts, est l'ensemble des points qui ont même puissance par rapport à ces deux cercles.
L'axe radical est une droite perpendiculaire à la ligne des centres.
Les tangentes menées aux deux cercles à partir d'un point de l'axe radical (extérieur aux deux cercles) ont même longueur.

Notion disparue de l'enseignement français au lycée.

Voir géométrie du cercle
inversions échangeant deux cercles

Tangentes aux points de contact

APMEP Exercice de-ci, de-là, no 462-3 - Solution de Richard Beczkowski - Bulletin APMEP no 464

Soit I le point d'intersection des tangentes extérieures à deux cercles extérieurs. Par I on trace une droite qui coupe les deux cercles en quatre points. Les tangentes en ces quatre points forment un quadrilatère.
Montrer que :
a) ce quadrilatère est un parallélogramme,
b) une de ses diagonales passe par S,
c) l'autre diagonale est l'axe radical des deux cercles.

Le point I existe si les cercles (c) et (c’) sont de rayons différents, il est alors le centre d'homothétie positive de ces deux cercles.

a) La sécante menée par I coupe (c) en A et B et (c’) en ses images A’ et B’.
Les tangentes en A’ et B’ à (c’) sont les images des tangentes à (c) en A et B.
Nous avons donc deux couples de droites parallèles qui forment un parallélogramme CDEF à condition que la sécante ne soit pas confondue avec la ligne des centres (OO’).

b) Les tangentes en A et B se coupent en C, les images, tangentes en A’ et B’, se coupent en E.
Par l'homothétie, les points C et E sont homologues et sont donc alignés avec son centre I.

Les triangles BAC et BA’D ayant leurs côtés deux à deux parallèles ou confondus sont homothétiques. Le premier étant isocèle, car CA = CB, le deuxième l'est aussi : DA’ = DB, le point D a même puissance par rapport aux deux cercles.
À l'aide des triangles B’AF et B’A’E on procède de même pour prouver que F a même puissance par rapport aux deux cercles.
La droite (DF) est l'axe radical des deux cercles.

Points libres que l'on peut déplacer en cliquant dans la figure :
les centres O et O’,
les marques (c) et (c’) déterminant les rayons,
le point A sur le cercle (c).

g2w Télécharger la figure GéoPlan ex_462_3.g2w

10. Cercle tangent à deux droites, passant par un point donné

On donne deux droites (d1), (d2) sécantes et un point A n'appartenant pas à ces droites.
Existe-t-il un cercle (c), passant par A, tangent à ces deux droites ?
Combien y a-t-il de solutions à ce problème ?

Analyse

Placer un point libre Ω sur la bissectrice de (d1, d2) située dans le même secteur angulaire que le point A et tracer le cercle (c), passant par H, projection orthogonale de Ω sur la droite (d1).
Ce cercle est tangent aux deux droites.

Commandes GéoPlan
Cliquer dans la figure et déplacer Ω pour que le cercle (c) passe par le point A.
Taper S pour visualiser les deux solutions,
taper 0 pour la solution par étape,
puis touche 1 pour afficher/effacer (c1)
ou touche 2 pour (c2).

Solution

Utiliser des homothéties de centre I transformant le cercle (c) en des cercles passant par A.

Étant donné un cercle (c), la droite (IA) rencontre (c) en deux points A1 et A2.
L'homothétie de centre I qui transforme A1 en A, transforme Ω en O1, H en H1 et le cercle (c) en (c1),
l'autre homothétie de centre I qui transforme A2 en A, transforme Ω en O2, H en H2 et le cercle (c) en (c2).

Les cercles (c1) et (c2), passant par A, tangents à (d1) et (d2), sont les deux solutions du problème.

g2w Télécharger la figure GéoPlan cercl_tg_2_droites.g2w
Construction de Wallis basée sur la puissance d'un point par rapport à un cercle : voir construction de cercles


11. Homothétie, triangle et centre de gravité

Soit ABC un triangle;
A’, B’ et C’ les milieux des côtés [BC], [CA] et [AB] ;
G son centre de gravité.

Les points A, B et C sont les images de A’, B’ et C’ par l'homothétie h de centre G et de rapport -2.

Le triangle A’B’C’, dont les sommets sont les pieds des médianes, est le triangle médian du triangle ABC.
Le triangle médian est l'homothétique du triangle ABC, par l'homothétie réciproque h– 1, de centre G et de rapport -1/2.

Les droites des milieux partagent le grand triangle en quatre triangles homothétiques : dans le rapport -1/2 pour le triangle médian, dans le rapport 1/2 pour les trois autres.

g2w Télécharger la figure GéoPlan medianes.g2w
cabri Télécharger la figure Cabri medianes.fig
GeoLabo Télécharger la figure GeoLabo medianes.glb


Exercice a

Soit P, Q et R les symétriques d'un point M du plan par rapport aux milieux A’, B’ et C’ des côtés d'un triangle ABC.

Montrer que [AP], [BQ] et [CR] ont même milieu.

Solution

La composée de l'homothétie de centre M et de rapport 1/2, suivie l'homothétie h de centre G et de rapport -2 a pour rapport k = 1/2 × (−2) = −1, c'est une symétrie centrale de centre I.

 

f(M, 1/2)

  h(G, -2)  
P

A’

A
Q

B’

B
R

C’

C

I est donc le milieu des segments [AP], [BQ] et [CR]

g2w Télécharger la figure GéoPlan sym_milieux_triangle.g2w

Exercice b

Étant donné un point M du plan, montrer que la parallèle en A à (MA’), la parallèle en B à (MB’) et la parallèle en C à (MC’) sont concourantes.

Solution

Le point P de concours est l'image de M par l'homothétie h de centre G et de rapport -2.

L'homothétie h transforme (A, B, C) en (A’, B’, C’) et M en un point P.
Ce point P est sur l'image par h de (MA’), c'est-à-dire la parallèle en A à (A’M).
Pour les mêmes raisons il est sur la parallèle en B à (B’M) et sur sur la parallèle en C à (C’M).

Ces trois droites sont concourantes en P.

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan para_milieux_triangle.g2w

 

TS
Similitudes

Angles
Rotations

Angles
Trigonométrie

GéoPlan
Fonctions distance

GéoPlan
Lieux géométriques

Première
Tangente à une courbe

Sommaire

1. Transformé d'un triangle par homothétie
2. Configuration de base des homothéties
3. Parallélogramme et diagonale
4. Carré inscrit dans un triangle
5. Demi-cercle et carré
6. Prouver un point de concours
7. Parallélogramme et homothétie
8. Problème de construction
9. Homothéties transformant deux cercles
      Tangentes communes à deux cercles
10. Cercle tangent à deux droites, passant par un point donné
11. Homothétie, triangle et centre de gravité

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