Constructions géométriques.
Coniques à centre
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GéoPlan |
GéoPlan |
Point à l'intérieur d'une ellipse définie paramétriquement |
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SommaireConstructions de l'ellipse
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Étude de l'hyperboleH.0. Les hyperboles dans la dioptrique de DescartesH.1. Étude bifocale de l'hyperbole Page no 136, créée le 5/10/2003, modifiée le 20/10/2010 | ||||
Constructions de l'ellipse
E.0. Les coniques dans la dioptrique de DescartesDescartes s'est intéressé aux propriétés des coniques pour la confection des lentilles en optique. Les ellipsesL'ellipse ou l'ovale est une ligne courbe que les mathématiciens ont accoutumé de nous exposer en coupant de travers un cône ou un cylindre, et que j'ai vu aussi quelquefois employer par des jardiniers dans les compartiments de leurs parterres, où ils la décrivent d'une façon qui est véritablement fort grossière et peu exacte, mais qui fait, ce me semble, mieux comprendre sa nature que la section du cylindre ni du cône.
E.1. Image d'un cercle par affinité
Soit P un point du cercle (c) de centre o, et de rayon a. Une affinité d'axe (oy), au point P(x, y1), fait correspondre le point M(x, y) tel que y = Avec GéoPlan, réaliser la trace du point M, avec le point P comme pilote. Le cercle (c) ayant pour équation x2 + y12 = a2, on a donc Soit Q un point du cercle (c’) de centre o, et de rayon b. Une autre affinité d'axe (ox), au point Q(x2, y), fait correspondre le point M(x, y) tel que x =
E.2. Technique de la bande de papier
Avec GéoPlan, la trace du point M, avec le point P sur l'intervalle [L’, L] comme pilote, permet d'obtenir une demi-ellipse de sommets A, A’, B.
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Ils plantent en terre deux piquets, comme, par exemple, l'un au point H, l'autre au point I, et, ayant noué ensemble les deux bouts d'une corde, ils la passent autour d'eux en la façon que vous voyez ici BHI ; puis, mettant le bout du doigt en cette corde, ils le conduisent tout autour de ces deux piquets en la tirant toujours à eux d'égale force, afin de la tenir tendue également, et ainsi décrivent sur la terre la ligne courbe DBK, qui est une ellipse. Et si, sans changer la longueur de cette corde BHI, ils plantent seulement leurs piquets H et I un peu plus proches l'un de l'autre, ils décriront derechef une ellipse, mais qui sera d'autre espèce que la précédente : et s'ils les plantent encore un peu plus proches, ils en décriront encore une autre; et enfin, s'ils les joignent ensemble tout-à-fait, ce sera un cercle qu'ils décriront ; au lieu que, s'ils diminuent la longueur de la corde en même proportion que la distance de ces piquets, ils décriront bien des ellipses qui seront diverses en grandeur, mais qui seront toutes de même espèce.
Construction d'une ellipse de sommets A, A’, B, B’ ; de grand axe A’A = 2a et de petit axe BB’ = 2b.
y1.
x2.
Génération mécanique de l'ellipse : sur une règle [PQ] de longueur l = a + b, on place un place un point
M tel que QM = a. On déplace la règle pour obtenir le lieu du point M en plaçant P sur l'axe des abscisses et Q sur l'axe des ordonnées.E.3. Méthode du jardinier
Définition bifocale de l'ellipse - Construction par le cercle directeur
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Étant deux points F et F’ dont la distance est 2c, on appelle ellipse l'ensemble des points M tels que MF + MF’ = 2a (c<a). La construction se réalise avec le cercle directeur (c) de centre F et de rayon 2a. Soit P un point de cercle. La médiatrice de [PF’] coupe [FP] en M, point de l'ellipse. Cette médiatrice est la tangente à l'ellipse en M. Avec GéoPlan, réaliser la trace du point M, avec le point P comme pilote. Remarque : on a : a2= b2 + c2. |
 L'ellipse de cercle directeur (c) et de foyer F’ est l'ensemble des centres M des cercles tangents à (c) et passant par F’. Commande GéoPlan : taper C pour visualiser le cercle de centre M, passant par F’, tangent intérieurement au cercle directeur (c).
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E.4 L'ellipse chez les Anciens
Ellipse d'équation x2/a2 + y2/b2 = 1 (a > b).
[AA’] est le traversant de l'ellipse de longueur 2a.
Une corde qui passe par un des foyers est une corde focale.
Chez les « anciens Égyptiens », la corde focale perpendiculaire au traversant est le côté droit de l'ellipse, on l'appelle aussi par son nom latin le latus rectum.
[CC’] est côté droit de l'ellipse de longueur 2c avec c2 = a2 - b2 ; c >0.
Le paramètre c, demi-longueur du côté droit, est aussi nommé latus rectum.
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Propriétés diamétrales des coniques Si on coupe une conique par des droites parallèles, les milieux des cordes ainsi obtenues sont alignés, sur une droite appelée « un diamètre ». |
Voir aussi : côté droit de la parabole
Étude de l'hyperbole
H.0. Les hyperboles dans la dioptrique de Descartes
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L'hyperbole est aussi une ligne courbe que les mathématiciens expliquent par la section d'un cône, comme l'ellipse ; mais, afin de vous la faire mieux concevoir, j'introduirai encore ici un jardinier qui s'en sert à composer la broderie de quelque parterre. Il plante derechef deux piquets aux points H et I ; et, ayant attaché au bout d'une longue règle le bout d'une corde un peu plus courte, il fait un trou rond à l'autre bout de cette règle dans lequel il fait entrer le piquet I, et une boucle à l'autre bout de cette corde qu'il passe dans le piquet H ; puis, mettant le doigt au point X où elles sont attachées l'une a l'autre, il le coule de là en bas jusqu'à D, tenant toujours cependant la corde toute jointe et comme collée contre la règle depuis le point X jusqu'à l'endroit où il la touche, et avec cela toute tendue, au moyen de quoi, contraignant cette règle de tourner autour du piquet I à mesure qu'il abaisse son doigt, il décrit sur la terre la ligne courbe XBI qui est une partie d'une hyperbole.H.1 Étude bifocale de l'hyperbole
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Étant deux points F et F’ dont la distance est 2c, on appelle hyperbole l'ensemble des points M tels que |MF - MF’| = 2a (c>a). La construction se réalise avec le cercle directeur (c) de centre F et de rayon 2a. Soit P un point de cercle. La médiatrice de [PF’] coupe (FP) en M, point de l'hyperbole. Avec GéoPlan, réaliser la trace du point M, avec le point P comme pilote. |
 L'hyperbole de cercle directeur (c) et de foyer F’ est l'ensemble des centres M des cercles tangents à (c) et passant par F’. Commande GéoPlan : taper C pour visualiser le cercle de centre M, passant par F’, tangent extérieurement au cercle directeur (c). Les sommets A, A’ de l'hyperbole sont tels que A’A = 2a. (A’A), un des axes de symétrie de l'hyperbole, est appelé axe focal ou axe transverse. Remarque : avec GéoPlan, en modifiant a ou c, on utilise la même figure pour le tracé de l'ellipse du jardinier ou pour cette hyperbole.
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H.2. Équations de l'hyperbole
À partir du grand axe A’A = 2a et de la distance des foyers FF’ = 2c on définit le nombre positif b tel que b2 = c2 - a2.
L'hyperbole a pour équation x2/a2 - y2/b2= 1.
Avec GéoPlan on définit les deux fonctions
f1 fonction: x|->b*rac(x^2/a^2-1) f2 fonction: x|->-b*rac(x^2/a^2-1)
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Équation de l'hyperbole par rapport à ses asymptotes
Les points B(a, b) et B’(-a, b) sont situés sur les asymptotes.
Dans le repère (o, oI, oJ) formé par les deux asymptotes, l'hyperbole a pour équation :
y = 
.
Avec GéoPlan
f fonction: x|->c^2/(4x) h graphe de f sur [-20,20] (1000 points, repère R) Objet dessinable h, particularités: rouge, points liésTechnique GéoPlan : le point M reste sur l'hyperbole grâce à la méthode du point collé sur le graphe de f.
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Construction du pentagone |
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