Parallélogrammes - RectanglesPropriétés Voir : parallélogrammes au collège Théorème de VarignonUn quadrilatère étant donné, si l'on joint les milieux des côtés consécutifs, on obtient un parallélogramme. En corollaire les médianes d'un quadrilatère ont même milieu (étant les diagonales du parallélogramme), leur milieu G est le centre de gravité du quadrilatère. Si ABCD est un quadrilatère non croisé, appliquer le théorème de Varignon aux quadrilatères (croisés) ABDC et ACBD permet d'obtenir deux autres parallélogrammes. Pour un quadrilatère, les milieux et des côtés, les milieux des deux côtés opposés et des diagonales forment des parallélogrammes. Commandes GéoPlan Démonstration « IJKL est un parallélogramme » peut être démontré dès la classe de quatrième, grâce au théorème des milieux des côtés d'un triangle : Calcul de l'aire : Donc, Aire(ABCD) = Aire(ABD) + Aire(CBD) = × d × h1’ + × d × h2’ = × d × (h1’ + h2’) = × 2b × (2h1 + 2h2) = × 2b × 2h = 2 × Aire(IJKL). Pierre Varignon (1654-1722), ami de Jean Bernouilli, est surtout connu pour avoir assis en France les idées de Leibniz sur l'analyse (reprises par De L'Hospital) face à l'opposition de Rolle et aux travaux de Newton. Télécharger la figure GéoPlan varignon.g2w 1. Thalès et parallélogrammeA, B et D sont trois points libres ; ABCD est un parallélogramme. M est un point libre sur la droite (DC) tel que = x . M’ est le point de la droite (BC) tel que = . Montrer que les points A, M et M’ sont alignés.
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4. Translation et alignement
ABCD est un rectangle. M un point du plan. C’ est le projeté orthogonal de C sur (AM), Montrer que les points M, M’ et I sont alignés. Indications : Dans la translation de vecteur : L'image réciproque de H est I point de concours des trois droites (CC’), (DD’) et (MM’). Télécharger la figure GéoPlan rect_tra.g2w 5. Trisection d'un angle droit !Construction à la règle au compas. E et F partagent un segment [AB], de longueur 3, en trois unités. Montrer que les droites (CA) et (CF) sont les trisectrices de l'angle DCB. AB = BC = 3 et BC = AD = . Télécharger la figure GéoPlan trisect.g2w 6. La billeCalculer l'aire de la surface hachurée. AB = 2, BC = 1. Le cercle a pour rayon r = - 1. L'aire de la surface hachurée est π(3 - 2) + 1 Télécharger la figure GéoPlan bille.g2w 7. Parallélogramme et bissectrice
Résoudre par une méthode géométrique, dans R, AMEC est un parallélogramme. Une droite (d) passant par A coupe les segments [MC] et [CE] respectivement en I et B, et intercepte la droite (ME) en J. Sachant que AI = 2 et IB = 1, calculer la longueur BJ. Comme (AM) est parallèle à (BC), les triangles IAM et IBC sont semblables et de rapport de similitude . Donc, BC = AM = CE et B est le milieu de [EC]. On admettra que les droites (MJ) et (MC) sont perpendiculaires. Comme MA = 2 MB, M est sur (c), cercle d'Apollonius de diamètre [IJ], ensemble des points M tels que = 2. Si M est distinct de I et J, les droites (MI) et (MJ) sont les bissectrices intérieure et extérieure de l'angle AMB. Sur la droite (d) choisissons le repère (O, B) d'origine O milieu de [IJ]. On a alors les abscisses B(1) et A(4). L'intersection du cercle (c) et de la droite (d) est l'ensemble des points de la droite vérifiant = 2. C'est l'ensemble des points {I, J} dont les abscisses vérifient l'équation 2 |x - 1| - |x - 4| = 0, soit x = 2 ou x = −2. D'où les points d'abscisses I(2) et J(-2). Télécharger la figure GéoPlan para_bissect.g2w
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