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Configurations du plan en seconde

Exercices de géométrie avec GéoPlan : parallélogrammes, problèmes d'alignement

Descartes
…avec GéoPlan

Sommaire

Théorème de Varignon

1. Thalès et parallélogramme
2. Projections orthogonales
3. D'un parallélogramme à l'autre
4. Translation et alignement
5. Trisection d'un angle droit !
6. La bille
7. Parallélogramme et bissectrice

Parallélogramme inscrit

Tourniquette sur un polygone

Collège : parallélogrammes

GéoPlan en seconde

Configurations fondamentales

1S : Barycentres et parallélogrammes

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Page no 64, réalisée le 22/2/2004, mise à jour le 4/2/2006

Droites remarquables dans le triangle

GéoPlan
Problèmes du BOA

GéoPlan
La géométrie du triangle

Démonstrations géométriques de Pythagore

Problèmes de construction au collège

Problèmes de construction en 1L

Parallélogrammes - Rectangles

Propriétés

Voir : parallélogrammes au collège

Théorème de Varignon

Un quadrilatère étant donné, si l'on joint les milieux des côtés consécutifs, on obtient un parallélogramme.

En corollaire les médianes d'un quadrilatère ont même milieu (étant les diagonales du parallélogramme), leur milieu G est le centre de gravité du quadrilatère.
Le périmètre du parallélogramme de Varignon est égal à la somme des longueurs des diagonales du quadrilatère,
l'aire du quadrilatère, non croisé, est le double de celle du parallélogramme de Varignon.

Si ABCD est un quadrilatère non croisé, appliquer le théorème de Varignon aux quadrilatères (croisés) ABDC et ACBD permet d'obtenir deux autres parallélogrammes.

Pour un quadrilatère, les milieux et des côtés, les milieux des deux côtés opposés et des diagonales forment des parallélogrammes.
Ces trois parallélogrammes ont même milieu : le centre de gravité G du quadrilatère.
Les droites qui joignent les milieux des côtés et les milieux des diagonales se coupent en G qui est leur milieu.

Commandes GéoPlan
Taper M pour afficher les médianes du quadrilatère, concourantes au point G, centre de gravité.
Taper P pour obtenir les parallélogrammes joignant les milieux de deux côtés opposés et les milieux des diagonales.

Démonstration

« IJKL est un parallélogramme » peut être démontré dès la classe de quatrième, grâce au théorème des milieux des côtés d'un triangle :
on montre que les côtés opposés de IJKL sont chacun parallèle à une diagonale de ABCD, donc parallèles entre eux :
par exemple, [IL] et [JK] sont parallèles et leurs longueurs égales à la moitié de [BD].

Calcul de l'aire :
Soit ABCD quadrilatère non croisé.
Soit d = BD diagonale de ABCD, base des triangles ABD et CBD. Toujours d'après le théorème des milieux, la base b = JK du parallélogramme IJKL est égale à la moitié de d.
La hauteur h du parallélogramme, prise perpendiculairement à la diagonale (BD), se décompose en deux longueurs h1 et h2 de part et d'autre de la droite (BD).
h1 est égale à la moitié de la hauteur h1’ issue de A de ABD et h2 est égale à la moitié de la hauteur h2’ issue de C de CBD.

Donc, Aire(ABCD) = Aire(ABD) + Aire(CBD) = 1/2 × d × h1’ + 1/2 × d × h2’ = 1/2 × d × (h1’ + h2’) = 1/2 × 2b × (2h1 + 2h2) = 1/2 × 2b × 2h = 2 × Aire(IJKL).

Pierre Varignon (1654-1722), ami de Jean Bernouilli, est surtout connu pour avoir assis en France les idées de Leibniz sur l'analyse (reprises par De L'Hospital) face à l'opposition de Rolle et aux travaux de Newton.

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1. Thalès et parallélogramme

A, B et D sont trois points libres ; ABCD est un parallélogramme.

M est un point libre sur la droite (DC) tel que vect(DM) = x vec(DC).

M’ est le point de la droite (BC) tel que vec(BM') = 1/xvec(BC).

Montrer que les points A, M et M’ sont alignés.

 

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Sommaire
Faire de la géométrie dynamique


2. Projections orthogonales

ABCD est un parallélogramme (A, B et D points libres).
I, J, K, L sont les projections orthogonales des sommets sur les diagonales.

Montrer que IJKL est un parallélogramme.

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3. D'un parallélogramme à l'autre

Les points P, Q, R et S sont les points d'intersection des droites perpendiculaires aux diagonales issues des sommets.
Montrer que PQRS est un parallélogramme.

Lorsque ABCD est un rectangle, montrer que PQRS est alors un losange.

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4. Translation et alignement

ABCD est un rectangle. M un point du plan.
Ici A et B sont deux points libres du plan et D est un point libre sur la perpendiculaire à (AB) issue de A.

C’ est le projeté orthogonal de C sur (AM),
D’ est le projeté orthogonal de D sur (BM),
M’ est le projeté orthogonal de M sur (AB).
Les, droites (CC’) et (DD’) se coupent en I.

Montrer que les points M, M’ et I sont alignés.

Indications :

Dans la translation de vecteur vect(CB) :
la droite (MM’) est globalement invariante,
(CC’) a pour image la hauteur issue de B du triangle MAB,
(DD’) a pour image la hauteur issue de A du triangle MAB.
Ces trois hauteurs sont concourantes en H, orthocentre de MAB.

L'image réciproque de H est I point de concours des trois droites (CC’), (DD’) et (MM’).
Les points M, M’, H et I sont alignés.

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5. Trisection d'un angle droit !

Construction à la règle au compas.

E et F partagent un segment [AB], de longueur 3, en trois unités.
Le point O complète le triangle équilatéral EFO.
C et D sont les deux autres sommets du rectangle ABCD de centre O.

Montrer que les droites (CA) et (CF) sont les trisectrices de l'angle DCB.

AB = BC = 3 et BC = AD = rac(3).
Calculer tan(DCA) et tan(FCB).

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Trisection : grands problèmes de la géométrie grecque
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6. La bille

Calculer l'aire de la surface hachurée.

AB = 2, BC = 1.

Le cercle a pour rayon r = rac(2) - 1.

L'aire de la surface hachurée est π(3 - 2rac(2)) + 1

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7. Parallélogramme et bissectrice

Résoudre par une méthode géométrique, dans R,
l'équation 2 |x - 1| - |x - 4| = 0.

AMEC est un parallélogramme. Une droite (d) passant par A coupe les segments [MC] et [CE] respectivement en I et B, et intercepte la droite (ME) en J.

Sachant que AI = 2 et IB = 1, calculer la longueur BJ.

Comme (AM) est parallèle à (BC), les triangles IAM et IBC sont semblables et de rapport de similitude 1/2. Donc, BC = 1/2 AM = 1/2 CE et B est le milieu de [EC].
Dans le triangle JAM, EB = 1/2 AM, la droite (BE) parallèle à (AM) est la droite des milieux : B est le milieu de [AJ] et E le milieu de [MJ].

On admettra que les droites (MJ) et (MC) sont perpendiculaires.
Si F est le milieu de [MA], (BF), joignant les milieux des côtés du parallélogramme AMEC, est parallèle à (ME) ; donc perpendiculaire à (MC).
(MC) diagonale du parallélogramme est une médiane du triangle MBF, elle est aussi une médiatrice, d'où MBF admettant (MC) comme axe de symétrie est un triangle isocèle et MB = MF = 1/2 MA

Comme MA = 2 MB, M est sur (c), cercle d'Apollonius de diamètre [IJ], ensemble des points M tels que ma/mb = 2. Si M est distinct de I et J, les droites (MI) et (MJ) sont les bissectrices intérieure et extérieure de l'angle AMB.

Sur la droite (d) choisissons le repère (O, B) d'origine O milieu de [IJ]. On a alors les abscisses B(1) et A(4).
Un point M de la droite d'abscisse x est tel que MB = |x - 1| et MA = |x - 4|.

L'intersection du cercle (c) et de la droite (d) est l'ensemble des points de la droite vérifiant ma/mb = 2. C'est l'ensemble des points {I, J} dont les abscisses vérifient l'équation 2 |x - 1| - |x - 4| = 0, soit x = 2 ou x = −2. D'où les points d'abscisses I(2) et J(-2).

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