Normales, foyer et directrice, enveloppe, développée, lieu de points, tableau de fils, tourniquette ; théorèmes de Poncelet, de Pascal.
Sommaire1. Méthode de Torricelli La parabole en LÉpreuve pratique en TS2007 : Tangente à une parabole |
![]() Pont suspendu sur la Durance
Page no 29, réalisée le 21/1/2003, modifiée le 2/11/2009 | ||||
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Coniques à centre |
Faire de la géométrie dynamique |
La forme canonique du trinôme f(x) = a[{x +
1. Méthode de TorricelliEvangelista Torricelli : physicien et géomètre italien (1608-1647) : a connu à l'âge de 20 ans Galilée et sous son influence a étudié le mouvement parabolique des projectiles. Il découvrit la quadrature de la cycloïde en 1638 puis son aire en 1644. Il inventa le baromètre en 1643. Soit P la parabole d'équation y = f(x) = k x2, dans un repère orthogonal (O,
• construire le projeté orthogonal L de A sur l'axe des ordonnées, La tangente a donc pour équation y = f’(a) x - f(a). On dit que [LT] est la sous-tangente ; la sous-tangente à la parabole a un milieu fixe : le point O. 2. Sous-normaleLa perpendiculaire, au point de contact A, à la tangente coupe l'axe des ordonnées en N.
3. Foyer et directrice
Une parabole est l'ensemble (P) des points équidistants du foyer F et de la directrice (d). C'est donc l'ensemble des points M tels que MF = MH avec H la projection orthogonale de M sur (d). Le segment de tangente [MJ] déterminé par le point de contact et la directrice est « vue » du foyer sous un angle droit (MFJ = 90°).
La tangente en M à la parabole est la médiatrice de [FH]. La normale en M coupe l'axe (FK) de la parabole en N.
4. Cordes et tangentes
Le coefficient directeur u de (AB) est : u = Soit I le milieu du segment [AB] : la droite (CI) est parallèle à l'axe de la parabole (oy). Cette droite est appelée diamètre de la parabole relativement à la corde [AB]. Le point C est le sommet de la parabole relativement à ce diamètre. Remarque : pour l'axe focal, si K est le point de l'axe (oy) d'ordonnée le paramètre p = Si le coefficient k est positif, le point C est en dessous du segment [AB]. La parabole (P) est une courbe convexe.
La parabole chez les AnciensLes géomètres grecs n'avaient pas GéoPlan, ni GeoGebra… Les anciens géomètres français, comme Descartes dans sa Géométrie, donnent le nom d'essieu à l'axe d'une courbe, appelé aussi cathète chez les anciens Grecs. Une corde qui passe par le foyer est une corde focale. Chez les « anciens Grecs », la corde focale perpendiculaire à l'axe est le côté droit de la parabole, on l'appelle aussi par son nom latin le latus rectum. Le paramètre p, demi-longueur du côté droit, est aussi nommé latus rectum. Propriétés diamétrales des coniques Si on coupe une conique par des droites parallèles, les milieux des cordes ainsi obtenues sont alignés, sur une droite appelée « un diamètre ». |
Diamètre et côté droitSi K est le point de l'axe (ox) d'abscisse le paramètre p = Le foyer F est le milieu de [LK]. L'axe (LK) est l'essieu de la parabole. La perpendiculaire en F à (LK) coupe la parabole en A et A’. Le segment [AA’], perpendiculaire à l'axe au foyer, est le côté droit (latus rectum) de la parabole, de longueur m = 2p. De l'équation x = k y2 =
Voir aussi : côté droit de l'ellipse |
Quadrature d'un rectangleCertains appellent aussi latus rectum la corde [MM’], Le rectangle, ayant pour côtés le latus rectum et [LH], a même aire que le carré de côté HM :
AA’ × LH = HM2.
Sommaire |
Cordes parallèlesSoit A, B, D et E quatre points distincts, d'abscisses respectives a, b, d et e, points situés sur la parabole P d'équation y = k x2. On peut déduire de la question précédente que la corde [AB] est parallèle à la corde [DE] si et seulement si : (Ces deux cordes sont parallèles à la tangente au point d'abscisse TourniquetteTourniquette : ligne brisée formée par une suite de segments deux à deux parallèles tracés sur une figure comme un polygone ou une conique. ![]() On choisit sur la parabole P quatre points A, B, C et D d'abscisses respectives a, b, c et d. On construit deux points E et F sur la parabole tels que (DE) // (AB), puis (EF) // (BC). On montre que le tourniquet se referme avec (FA) // (CD). En effet, si e et f sont les abscisses de E et F on a : En ajoutant membre à membre les deux égalités et en simplifiant par b + e, on trouve :
6. Tangente et lieu géométrique - corde focale
Une droite (Δ) de coefficient directeur m passe par F et coupe P en A et B d'abscisses x1 et x2. Les tangentes à la parabole (P) en A et B se coupent en I. Objectif : trouver le lieu géométrique du point I lorsque la droite (Δ) pivote autour de F. Transmath 1S - Nathan 2001 - Exercice 70 - page 81 Définition : la courbe orthoptique d'une parabole est le lieu des points d'où l'on peut mener deux tangentes à la parabole perpendiculaires entre elles, autrement dit le lieu des points d'où l'on « voit » la parabole sous un angle droit. C'est la directrice de la parabole. Les deux tangentes sont perpendiculaires. Le lieu est donc la courbe orthoptique de la parabole. Démonstration « analytique »
Démonstration en « géométrie pure »
Soit (Δ) une droite, passant par le point F, distincte de l'axe (Oy). Analyse : si A est un point de la parabole situé sur la droite (Δ), ce point équidistant de F et de (d) est le centre d'un cercle passant par F et tangent à (d). La normale à (Δ) passant par F est tangente à ce cercle. Cette normale coupe la directrice en I. Les demi-droites [IH) et [IF) sont les deux tangentes au cercle, issues de I. Elles déterminent des segments de même longueur : IF = IH. Le point H est sur le cercle de centre I passant par F. Synthèse : la normale à (Δ) passant par F coupe la directrice en I. Le cercle de centre I passant par F coupe la directrice en deux points H et H’. Les normales à (d) passant par H et H’ coupent (Δ)
en deux points A et B. AH = AF donc A est sur la parabole P et (AI), médiatrice de [FH], est tangente à la parabole. [AB] est une corde focale de la parabole P. Les tangentes en A et B se coupent en I sur la directrice (d). Ces deux tangentes (IA) et (IB) sont les bissectrices en I des droites (d) et (IF) ; elles sont donc orthogonales.
Autre formulation : tangentes à une paraboleEn géométrie analytique du plan, on considère une parabole (C) et on étudie le point d'intersection des tangentes à (C) en deux points dont les abscisses sont liées par une relation simple. Épreuve pratique 2007 - Terminale S - Sujet 031 Le plan est rapporté à un repère orthonormal. On considère la parabole C d'équation y = 1. (a) À l'aide d'un logiciel adapté, tracer la parabole C.
Indication : Si le logiciel utilisé le nécessite, calculer d'abord le coefficient directeur de cette tangente. (b) Placer le point M’ d'abscisse t’ = −
2. Démonstration
7. Parabole et composition de fonctionsf est la fonction définie sur [0, +∞] par f(x) = M est un point d'abscisse x de (P), représentation graphique de g ; H est le point de la droite (d) d'équation y = x ayant la même ordonnée que M. Lorsque la construction est possible, on note K le point de la courbe (C), représentation graphique de f, ayant la même abscisse que H. P est le quatrième sommet du rectangle MHKP. Transmath 1S - Nathan 2001 - exercice 74 - page 38 |
En déplaçant le point M vérifier que le point K existe que lorsque x est dans l'intervalle I =[- Les coordonnées des sommets du rectangle sont : OP2 = 2. L'ensemble des points P, d'ordonnées positives, est le demi-cercle de centre O est de rayon La fonction k définie sur I, qui à x associe l'ordonnée de P, est la fonction composée k = f o g.
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Soit un point F et une droite (d) étant considérés comme fixes, L'objectif est de déterminer l'enveloppe de la famille des médiatrices (m) obtenues lorsque le point M varie sur la droite (d). |
![]() (D'après la figure GéoPlan envelop.g2w, origine : mode d'emploi du CREEM) |
4,75 | 9 | 12,75 | 16 | 18,75 | 21 | 22,75 | 24 | 24,75 | 25 |
Télécharger la figure GéoPlan tab_fil.g2w
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9. Développée
Au point N, traçons la normale (n) à la parabole, perpendiculaire à (t). L'objectif est de déterminer l'enveloppe de la famille des normales (n) obtenues lorsque le point M varie sur la droite (d). La courbe obtenue est la développée de la parabole.
Sommaire 10. Construction pratique
À partir d'un point M de la courbe, ayant pour projection P sur la tangente au sommet, on partage les segments [OP] et [PM] en quatre parties égales. Les points M1, M2, M3 construits ci-contre sont situés sur la parabole et on complète avec les symétriques. Si la parabole a pour équation y = k x2, La construction peut aussi se faire à partir d'un des points M1, M2 ou M3 pour trouver des points de la parabole au-delà du point connu. Cette méthode est valable pour d'autres partages des segments [OP] et [PM] en parties égales.
Construction, dans un géoplan 5 × 5, à la manière des compagnons bâtisseurs du Moyen-Âge.Olympiades 2008 - Toulouse |
Comment les compagnons ont-ils pu partager les côtés du carré en quatre parties égales ? Géoplan 5 × 5 Indications Le partage du carré en deux se fait avec deux médiatrices, tracé facilité en remarquant qu'elles passent par le milieu O du carré, point d'intersection des deux diagonales.
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Un chemin a été ébauché sur la figure ci-dessous. Que dire de la forme de ce chemin ? Les points de cette figure pour les abscisses x = 0, L'idée des compagnons serait de poursuivre en partageant en huit, puis en seize, etc. C'est possible et le tracé sera encore plus précis.
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Recherche du lieu de l'orthocentre d'un triangle lorsque l'un des sommets se déplace sur une droite. Dans le plan, ABC est un triangle d'orthocentre H. ÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2007 - Sujet 013 Dans le plan, ABC est un triangle quelconque. 1. (a) Faire une figure avec un logiciel de géométrie dynamique, faisant apparaître les points A et B, le point C sur une droite parallèle à la droite (AB), le triangle ABC, le point H et le point K. (e) : 2. À partir de cette question, le plan est rapporté à un repère orthonormal (O,
3. Vérifier, la conjecture émise, en traçant le lieu des points H, grâce à son équation. 4. En admettant que K a pour coordonnées (0 ;
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