Sommaire

1. Méthode de Torricelli
2. Sous-normale
3. Foyer et directrice
4. Cordes et tangentes
5. Tourniquette
6. Tangente et lieu géométrique
7. Parabole et composition de fonctions
8. Enveloppe - Tableau de fils
9. Développée
10. Construction pratique
11. Lieu de l'orthocentre
12. Lieu de points
13. Théorèmes de Poncelet
14. Théorème de Pascal

La parabole en L

Aire maximum
Approche géométrique d'une tangente
Histoires de toit - voûte parabolique
Quadrature par la méthode d'Archimède
Crible géométrique de Matiiassevitch

Épreuve pratique en TS

2007 : Tangente à une parabole
2008 : Points équidistants d’une droite et d’un point
            Cercles et paraboles
2009 : Propriétés de la parabole

Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec Internet Explorer et la version ActiveX de GéoPlan

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Pont suspendu sur la Durance

Page n^o 29, réalisée le 21/1/2003, modifiée le 2/11/2009

GéoPlan
Produit scalaire

GéoPlan
Pentagone régulier

GéoPlan
Tangente

GéoPlan
Minimum-maximum

Coniques à centre
Ellipse - hyperbole

Faire de la géométrie dynamique

La parabole est la courbe d'équation cartésienne : y = f(x) associée au trinôme du second degré
f(x) = ax² + bx + c.

La forme canonique du trinôme f(x) = a[{x + }² - ] où Δ = b² - 4ac,
permet avec le changement de variable X = x +  et Y = y + 
d'obtenir la forme réduite Y = aX², dans le repère d'origine le sommet S(- , - ) de la parabole.

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Télécharger la figure GeoGebra parabole.ggb, feuille de travail dynamique : parabole

1. Méthode de Torricelli

Evangelista Torricelli : physicien et géomètre italien (1608-1647) : a connu à l'âge de 20 ans Galilée et sous son influence a étudié le mouvement parabolique des projectiles. Il découvrit la quadrature de la cycloïde en 1638 puis son aire en 1644. Il inventa le baromètre en 1643.

Soit P la parabole d'équation y = f(x) = k x², dans un repère orthogonal (O, , ).

Pour tout point A d'abscisse a non nulle Torricelli propose la méthode suivante :

  • construire le projeté orthogonal L de A sur l'axe des ordonnées,
  • construire le symétrique T de L par rapport à O,
  • la droite (AT) est la tangente à la parabole P au point A.

La tangente a donc pour équation y = f’(a) x - f(a).

On dit que [LT] est la sous-tangente ; la sous-tangente à la parabole a un milieu fixe : le point O.

2. Sous-normale

La perpendiculaire, au point de contact A, à la tangente coupe l'axe des ordonnées en N.
La parallèle à l'axe des abscisses, passant par A, coupe l'axe des ordonnées en L.
Quel que soit le point A, distinct de O, le segment [LN] a une longueur constante.
[LN] est appelé sous-normale. Sa longueur est le paramètre p = LN = de la parabole d'équation :
y = k x² = x² (si k > 0).

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Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

3. Foyer et directrice

Étant donné une droite (d) et un point F non situé sur (d). La distance de F à (d) est le paramètre p = FK (où K est la projection orthogonale de F sur d).

Une parabole est l'ensemble (P) des points équidistants du foyer F et de la directrice (d).

C'est donc l'ensemble des points M tels que MF = MH avec H la projection orthogonale de M sur (d).
Le point F est appelé le foyer de la parabole et la droite (d) la directrice.
Dans un repère (O, , ), où O est le milieu de [KF] et parallèle à (d),
le point F a pour coordonnées (0, ), la directrice a pour équation y = −
et la parabole a pour équation y = k x² = x².

Le segment de tangente [MJ] déterminé par le point de contact et la directrice est « vue » du foyer sous un angle droit (MFJ = 90°).

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Voir : Épreuve pratique 2008 : points équidistants d’une droite et d’un point

La parabole P est l'ensemble des centres M des cercles passant par le foyer F et tangents à la directrice (d).

La tangente en M à la parabole est la médiatrice de [FH]. La normale en M coupe l'axe (FK) de la parabole en N.
La sous-normale [LN] a une longueur constante égale au paramètre p = KF = LN. La tangente est la bissectrice intérieure de l'angle FMH. La bissectrice extérieure est (MN), bissectrice de l'angle FMy.
Un rayon focal, issu de F, se réfléchit en M sur la parabole et repart parallèlement à l'axe de la parabole, propriété utilisée dans les phares, radars ou antennes…

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4. Cordes et tangentes

La tangente à la parabole parallèle à la corde [AB] a pour point de contact le point C dont l'abscisse est la moyenne des abscisses de A et B.

Le coefficient directeur u de (AB) est : u =  = f’(c) = k (a + b).
{parabole d'équation y = k x²}

Soit I le milieu du segment [AB] : la droite (CI) est parallèle à l'axe de la parabole (oy). Cette droite est appelée diamètre de la parabole relativement à la corde [AB]. Le point C est le sommet de la parabole relativement à ce diamètre.

Remarque : pour l'axe focal, si K est le point de l'axe (oy) d'ordonnée le paramètre p = , on appelle aussi diamètre de la parabole le segment [oK], de longueur p.

Si le coefficient k est positif, le point C est en dessous du segment [AB]. La parabole (P) est une courbe convexe.

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La parabole chez les Anciens

Les anciens géomètres français, comme Descartes dans sa Géométrie, donnent le nom d'essieu à l'axe d'une courbe, appelé aussi cathète chez les anciens Grecs.

Une corde qui passe par le foyer est une corde focale. Chez les anciens Grecs, la corde focale perpendiculaire à l'axe est le côté droit de la parabole, on l'appelle aussi par son nom latin le latus rectum. Le paramètre p, demi-longueur du côté droit, est aussi nommé latus rectum.

Diamètre et côté droit

Si K est le point de l'axe (ox) d'abscisse le paramètre p = , le segment [LK], de longueur p, est le diamètre de la parabole.

Le foyer F est le milieu de [LK]. La droite (LK) est l'essieu de la parabole.

La perpendiculaire en F à (LK) coupe la parabole en A et A’. [AA’] est latus rectum de longueur m = 2p.

De l'équation x = k y² = y², on trouve y² = 2px = mx.

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Quadrature d'un rectangle

Certains appellent aussi latus rectum la corde [MM’],
[LH] est le diamètre relatif à cette corde.

Le rectangle, ayant pour côtés le latus rectum et [LH], a même aire que le carré de côté HM : AA’ × LH = HM².
Les calculs des Anciens ressemblaient à HM² = m LH, depuis Descartes nous utilisons y² = mx.

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Faire de la géométrie dynamique

Cordes parallèles

Soit A, B, D et E quatre points distincts, d'abscisses respectives a, b, d et e, points situés sur la parabole P d'équation y = k x².

On peut déduire de la question précédente que la corde [AB] est parallèle à la corde [DE] si et seulement si :
a + b = d + e.

(Ces deux cordes sont parallèles à la tangente au point d'abscisse .)

Tourniquette

Tourniquette : ligne brisée formée par une suite de segments deux à deux parallèles tracés sur une figure comme un polygone ou une conique.

On choisit sur la parabole P quatre points A, B, C et D d'abscisses respectives a, b, c et d.

On construit deux points E et F sur la parabole tels que (DE) // (AB), puis (EF) // (BC).

On montre que le tourniquet se referme avec (FA) // (CD).

En effet, si e et f sont les abscisses de E et F on a :
a + b = d + e, car (AB) // (DC),
e + f = b + c, car (EF) // (BC).

En ajoutant membre à membre les deux égalités et en simplifiant par b + e, on trouve :
a + f = c + d ce qui prouve que (FA) est parallèle à (CD).

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Tourniquette sur un polygone : voir exercices de-ci, de-là en seconde
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

6. Tangente et lieu géométrique - corde focale

Dans un repère orthonormé (O, , ), on note P la parabole représentative de la fonction :
f(x) = , de paramètre p = 2 et F le foyer de coordonnées F(0, 1).

Une droite (Δ) de coefficient directeur m passe par F et coupe P en A et B d'abscisses x₁ et x₂.

Les tangentes à la parabole (P) en A et B se coupent en I.

Objectif : trouver le lieu géométrique du point I lorsque la droite (Δ) pivote autour de F.

Transmath 1S - Nathan 2001 - Exercice 70 - page 81

Définition : la courbe orthoptique d'une parabole est le lieu des points d'où l'on peut mener deux tangentes à la parabole perpendiculaires entre elles, autrement dit le lieu des points d'où l'on « voit » la parabole sous un angle droit. C'est la directrice de la parabole.

Les deux tangentes sont perpendiculaires. Le lieu est donc la courbe orthoptique de la parabole.

Démonstration « analytique »

• Montrer que la droite (Δ) a pour équation y = mx + 1.
• Vérifier que x₁ et x₂ sont les deux solutions distinctes de l'équation du second degré :
  x² - 4 m x - 4 = 0.
• Écrire en fonction de x₁ l'équation de la tangente en A à la parabole P et en fonction de x₂ l'équation de la tangente en B.
• Montrer que ces deux tangentes sont sécantes au point I de coordonnées : (, ).
• Trouver les coordonnées de I en fonction de m et vérifier que I est un point de la directrice (d) d'équation y = −1.

Démonstration en « géométrie pure »

P est une parabole de foyer F et de directrice (d).

Soit (Δ) une droite, passant par le point F, distincte de l'axe (Oy).

Analyse : si A est un point de la parabole situé sur la droite (Δ), ce point équidistant de F et de (d) est le centre d'un cercle passant par F et tangent à (d). La normale à (Δ) passant par F est tangente à ce cercle. Cette normale coupe la directrice en I. Les demi-droites [IH) et [IF) sont les deux tangentes au cercle, issues de I. Elles déterminent des segments de même longueur : IF = IH. Le point H est sur le cercle de centre I passant par F.

Synthèse : la normale à (Δ) passant par F coupe la directrice en I. Le cercle de centre I passant par F coupe la directrice en deux points H et H’. Les normales à (d) passant par H et H’ coupent (Δ) en deux points A et B. AH = AF donc A est sur la parabole P et (AI), médiatrice de [FH], est tangente à la parabole.
De même, la médiatrice (BI) de [FH’] est l'autre tangente à la parabole.

[AB] est une corde focale de la parabole P. Les tangentes en A et B se coupent en I sur la directrice (d). Ces deux tangentes (IA) et (IB) sont les bissectrices en I des droites (d) et (IF) ; elles sont donc orthogonales.

Télécharger les figures GéoPlan tan_cord.g2w et tan_cor2.g2w

Autre formulation : tangentes à une parabole

En géométrie analytique du plan, on considère une parabole (C) et on étudie le point d'intersection des tangentes à (C) en deux points dont les abscisses sont liées par une relation simple.

Épreuve pratique 2007 - Terminale S - Sujet 031

Le plan est rapporté à un repère orthonormal. On considère la parabole C d’équation y = .
Étant donné un réel t non nul, on se propose de mettre en évidence, puis de démontrer une propriété du point d’intersection des tangentes à la parabole C aux points M et M’ d'abscisses respectives t et t’ = − .

1. (a) À l’aide d’un logiciel adapté, tracer la parabole C.

• On se donne un réel t. Placer le point M d’abscisse t sur la courbe C.
• Tracer la droite D tangente à C au point M.

Indication : Si le logiciel utilisé le nécessite, calculer d’abord le coefficient directeur de cette tangente.

(b) Placer le point M’ d’abscisse t’ = − sur la courbe C. Tracer la droite D’ tangente à C en M’.
Placer le point d’intersection P des droites D et D’.

• Lorsque t varie dans R^*, à quel ensemble le point P semble-t-il appartenir ?

2. Démonstration

• Donner les équations des droites D et D’.
• Calculer les coordonnées du point P et conclure sur la propriété conjecturée.

Télécharger la figure GéoPlan tan_edu31.g2w
Sommaire
Lieux géométriques
Faire de la géométrie dynamique

7. Parabole et composition de fonctions

f est la fonction définie sur [0, +∞] par f(x) =  et g la fonction définie sur R par g(x) = 2 - x².

M est un point d'abscisse x de (P), représentation graphique de g ; H est le point de la droite (d) d'équation y = x ayant la même ordonnée que M.

Lorsque la construction est possible, on note K le point de la courbe (C), représentation graphique de f, ayant la même abscisse que H.

P est le quatrième sommet du rectangle MHKP.

Transmath 1S - Nathan 2001 - exercice 74 - page 38

En déplaçant le point M vérifier que le point K existe que lorsque x est dans l'intervalle I =[-  ; ]. Ce point K appartient à l'arc des points de la courbe (C) dont les abscisses sont inférieures à 2.

Les coordonnées des sommets du rectangle sont :
M(x, 2-x²) ; H(2-x², 2-x²) ; K(2-x², ) et P(x, ).

OP² = 2. L'ensemble des points P, d'ordonnées positives, est le demi-cercle de centre O est de rayon .

La fonction k définie sur I, qui à x associe l'ordonnée de P, est la fonction composée k = f o g.

Télécharger la figure GéoPlan comp_fnt.g2w
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Soit un point F et une droite (d) étant considérés comme fixes,
un point M variable sur (d) et (m) la médiatrice de [FM].

L'objectif est de déterminer l'enveloppe de la famille des médiatrices (m) obtenues lorsque le point M varie sur la droite (d).

(D'après la figure GéoPlan envelop.g2w, origine : mode d'emploi du CREEM)

Tableau de fils

La réalisation de tableaux de fils et clous est maintenant un classique des travaux manuels.

Nous allons à l'aide de GéoPlan la simuler pour obtenir une parabole en réalisant un réseau de tangentes où les segments représentent des fils tendus entre deux clous.

Dans un repère orthonormé (O, , ), on note P la parabole représentative de la fonction :

f(x) = étudiée sur l'intervalle [-10, 10].

Comme nous l'avons vu au paragraphe 1., la méthode de Torricelli montre que la tangente au point d'abscisse n a pour équation y = f’(n) x - f(n).

Cette tangente coupe l'axe (Ox) au point A d'abscisse .

La tangente coupe, si n > 0, la droite verticale d'équation x = 10 au point B d'ordonnée
10 f’(n) - f(n) = 10 - ,
ou si n < 0, la droite verticale d'équation x = −10 au point B d'ordonnée :
-10 f’(n) - f(n).

Le mode trace permet de dessiner 41 segments à partir de « points A » régulièrement répartis sur le bord horizontal et, sur chaque bord vertical, de 10 autres « points B » dont les ordonnées calculées ci-dessus sont :

Télécharger la figure GéoPlan tab_fil.g2w
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

9. Développée

Soit un point F et une droite (d) étant considérés comme fixes, foyer et directrice d'une parabole, un point M variable sur (d) et (t) la médiatrice de [FM] tangente en N à la parabole.

Au point N, traçons la normale (n) à la parabole, perpendiculaire à (t).

L'objectif est de déterminer l'enveloppe de la famille des normales (n) obtenues lorsque le point M varie sur la droite (d).

La courbe obtenue est la développée de la parabole.

Télécharger la figure GéoPlan develope.g2w

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Faire de la géométrie dynamique

10. Construction pratique

D'après une copie d'élève de l'école d'ingénieur du Creusot en 1940 - cité par Patrick Guyot - bulletin APMEP n^o 438

Construire point par point une parabole dont on connaît le sommet, l'axe de symétrie et un point.

À partir d'un point M de la courbe, ayant pour projection P sur la tangente au sommet, on partage les segments [OP] et [PM] en quatre parties égales. Les points M₁, M₂, M₃ construits ci-contre sont situés sur la parabole et on complète avec les symétriques.

Si la parabole a pour équation y = k x²,
soit pour M : MP = k OP²,
on en déduit, par exemple, que pour M₃(x, y) on a :
x = OP₃ = OP,
et y = P₃M₃ = PN₃ = × MP
y = k OP² = k = k OP₃² = k x² vérifie l'équation.

La construction peut aussi se faire à partir d'un des points M₁, M₂ ou M₃ pour trouver des points de la parabole au-delà du point connu.

Cette méthode est valable pour d'autres partages des segments [OP] et [PM] en parties égales.

Télécharger la figure GéoPlan pa_crezo.g2w

Construction, dans un Géoplan 5 × 5, à la manière des compagnons bâtisseurs du Moyen-Âge.

Olympiades 2008 - Toulouse

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Faire de la géométrie dynamique

11. Lieu de l'orthocentre

Recherche du lieu de l'orthocentre d'un triangle lorsque l'un des sommets se déplace sur une droite.

Dans le plan, ABC est un triangle d'orthocentre H.
Il s'agit de déterminer le lieu L des points H quand C se déplace sur une certaine droite.

ÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2007 - Sujet 013

Dans le plan, ABC est un triangle quelconque.
On note K le centre de son cercle circonscrit et H son orthocentre.
On s’intéresse au lieu (L) des points H quand C se déplace sur une droite parallèle à la droite (AB).

1. (a) Faire une figure avec un logiciel de géométrie dynamique, faisant apparaître les points A et B, le point C sur une droite parallèle à la droite (AB), le triangle ABC, le point H et le point K.
Afficher la trace du point H quand C varie sur la parallèle à (AB).
Faire une conjecture concernant la nature du lieu des points H.

(e) : = + + .

2. À partir de cette question, le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, , ) ; les points A et B sont donnés par leurs coordonnées : A(-1 ; 1) et B(1 ; 1). Le point C est sur l’axe des abscisses, et a pour abscisse un réel x.

• Demander à nouveau le lieu (L) des points H.
• Quelle en serait une équation ?

3. Vérifier, la conjecture émise, en traçant le lieu des points H, grâce à son équation.

4. En admettant que K a pour coordonnées (0 ; ) et l’égalité (e) donnée à la première question en déduire les coordonnées de H puis l’équation de (L).

a. La droite est parallèle au côté opposé à ce sommet.

Si (d) est une droite parallèle à (AB), distincte de (AB), le lieu de l'orthocentre H, quand le sommet C parcourt la droite (d), est une courbe passant par A et B. Cette courbe est symétrique par rapport à la médiatrice de [AB].
On va montrer que c'est une parabole.

Conjecture avec GéoPlan

Limiter les déplacements de C à un segment de la droite (d) pour tracer le lieu géométrique :

C point libre sur un segment

Démonstration en géométrie analytique

Utilisons un repère (O, , ) centré en O milieu de [AB] tel que :
= et que soit un vecteur directeur de la médiatrice de [AB].

Les coordonnées des points sont alors A(-1, 0) ; B(1, 0) ; C(x, γ) et H(x, y) car H étant l'orthocentre du triangle ABC, C et H ont même abscisse x.
Pour simplier les calculs, choisir γ = 1.

AH étant orthogonal à CB, le produit scalaire . = 0.

Les coordonnées des vecteurs sont (1 + x, y) ; (1 - x, -γ).

On obtient finalement avec la formule analytique du produit scalaire :

XX’ + YY’ = (1 + x) (1 - x) - γ y = 0,

soit y =       γ ≠ 0.

Cette équation prouve que H se déplace sur une parabole passant par A et B et, qui plus est, que le lieu de H est toute la parabole, étant donné que x décrit R.

Réciproquement, comme l'orthocentre du triangle ABH est le point C, on peut montrer que si C se déplace sur une parabole passant par A et B, d'axe de symétrie la médiatrice de [AB], alors le lieu de l'orthocentre est une droite parallèle à (AB).

b. C décrit une droite qui coupe (AB) en D distinct de A et B.

Dans le repère du paragraphe a précédent le point C se déplace sur une droite (d) d'équation :

y = α x + β avec α ≠ 0 et β ≠ 0.

Il a donc pour coordonnées C(x, α x + β).
Les coordonnées des autres points sont toujours A(-1, 0) ; B(1, 0) et H(x, y).

Les coordonnées des vecteurs sont : (1 + x, y) ;
(1 - x, -(α x + β)).

On trouve finalement avec la formule analytique du produit scalaire
. nul : (1 + x) (1 - x) - y (α x + β) = 0,

soit y = .

On obtient une hyperbole.

c. C décrit une courbe d'équation y = f (x)

Jean Fages fait remarquer que les calculs réalisés au-dessus permettent d'affirmer que le lieu de H est la courbe d'équation

y = .

Exemple : Point C variable sur un cercle.

Cas particulier où le cercle passe par A et B : voir lieux géométriques du triangle

Télécharger les figures GéoPlan dr_ortho.g2w ; pa_ortho.g2w ; ce_ortho.g2w

La géométrie à l’épreuve pratique de Terminale S avec GéoPlan et GéoSpace.

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Lieux géométriques
Faire de la géométrie dynamique

12. Lieu de points

Soit un cercle fixe (c) de centre O, deux diamètres perpendiculaires [AA’] et [BB’] et M un point qui décrit le cercle sauf les points A et A’.

On projette orthogonalement le point M sur le segment [BB’] en K et on appelle P le point d'intersection des droites (OM) et (AK).

Montrer que le lieu du point P est la parabole de foyer O et directrice (d), tangente au cercle en A, privée de son sommet.

Télécharger la figure GéoPlan pa_lieu.g2w

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Faire de la géométrie dynamique

13. Théorèmes de Poncelet

M et M’ sont deux points de la parabole.
Les tangentes à la parabole en M et M’ se rencontrent en P.

Si I est le milieu de [MM’], la droite (PI) est parallèle à l'axe de la parabole.

Premier théorème de Poncelet : (FP) est la bissectrice de l'angle MFM’.

Deuxième théorème de Poncelet : les angles FPM et IPM’ sont égaux. Les droites (PF) et (PI) sont isogonales par rapport aux droites (PM) et (PM’).

Télécharger la figure GéoPlan pa_ponce.g2w

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Faire de la géométrie dynamique

14. Théorème de Pascal

Théorème de Pascal dit de l'hexagramme mystique :

Pour un hexagone inscrit dans une conique, le théorème de Pascal affirme que les points d'intersection des côtés opposés de l'hexagone, s'ils existent, sont alignés.

La droite que forme cet alignement est appelée droite de Pascal. La figure est appelée hexagramme mystique.

La réciproque de ce théorème est vraie également : si les trois points d'intersection des côtés opposés d'un hexagone sont alignés alors l'hexagone est inscrit dans une conique.

En géométrie projective, un des trois points où les trois points peuvent être des points à l'infini.

Application à la parabole

On choisit, sur une parabole, six points A₁, A₂, A₃ et B₁, B₂, B₃, d'abscisses respectives a₁, a₂, a₃ et b₁, b₂, b₃.

Dans l'hexagramme A₁B₂A₃B₁A₂B₃, les côtés opposés (A₂B₃) et (A₃B₂) se coupent en I, (A₁B₃) et (A₃B₁) se coupent en J, (A₁B₂) et (A₂B₁) se coupent en K.

Les points I, J, K sont alignés sur la droite de Pascal (IJ).

Télécharger la figure GéoPlan pascal.g2w

Cas du cercle : hexagramme
Théorème de Pappus-Pascal : plan projectif

Carrés autour d'un triangle BOA

Démonstrations géométriques de Pythagore

Retrouver un triangle à partir de droites remarquables

Angles
Rotations
Trigonométrie

Paraboles en 1L
Problèmes de construction

GéoPlan
Équations

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Figures classiques

GéoPlan en 1S

La géométrie du triangle

Le plan projectif

Les triangles autour du BOA : rotation et produit scalaire

GéoSpace en 1S

Travaux pratiques : tétraèdres, cubes
Activités : droite parallèle à un plan

Histoire des mathématiques

La Géométrie de Descartes