Normales, foyer et directrice, enveloppe, développée, lieu de points, tableau de fils, tourniquette ; théorèmes de Poncelet, de Pascal.
Sommaire1. Méthode de Torricelli La parabole en LÉpreuve pratique en TS2007 : Tangente à une parabole |
Pont suspendu sur la Durance
Page no 29, réalisée le 21/1/2003, modifiée le 2/11/2009 | ||||
GéoPlan |
GeoGebra |
GéoPlan | GéoPlan |
Coniques à centre |
Faire de la géométrie dynamique |
La parabole est la courbe d'équation cartésienne : y = f(x) associée au trinôme du second degré La forme canonique du trinôme f(x) = a[{x + }2 - ] où Δ = b2 - 4ac, Télécharger la figure GéoPlan parabole.g2w 1. Méthode de TorricelliEvangelista Torricelli : physicien et géomètre italien (1608-1647) : a connu à l'âge de 20 ans Galilée et sous son influence a étudié le mouvement parabolique des projectiles. Il découvrit la quadrature de la cycloïde en 1638 puis son aire en 1644. Il inventa le baromètre en 1643. Soit P la parabole d'équation y = f(x) = k x2, dans un repère orthogonal (O, , ). Pour tout point A d'abscisse a non nulle Torricelli propose la méthode suivante : • construire le projeté orthogonal L de A sur l'axe des ordonnées, La tangente a donc pour équation y = f’(a) x - f(a). On dit que [LT] est la sous-tangente ; la sous-tangente à la parabole a un milieu fixe : le point O. 2. Sous-normaleLa perpendiculaire, au point de contact A, à la tangente coupe l'axe des ordonnées en N. Télécharger la figure GéoPlan nor_para.g2w 3. Foyer et directriceÉtant donné une droite (d) et un point F non situé sur (d). La distance de F à (d) est le paramètre p = FK (où K est la projection orthogonale de F sur d). Une parabole est l'ensemble (P) des points équidistants du foyer F et de la directrice (d). C'est donc l'ensemble des points M tels que MF = MH avec H la projection orthogonale de M sur (d). Le segment de tangente [MJ] déterminé par le point de contact et la directrice est « vue » du foyer sous un angle droit (MFJ = 90°). Télécharger la figure GéoPlan pa_foyer.g2w La parabole P est l'ensemble des centres M des cercles passant par le foyer F et tangents à la directrice (d). La tangente en M à la parabole est la médiatrice de [FH]. La normale en M coupe l'axe (FK) de la parabole en N. Télécharger la figure GéoPlan pa_cercl.g2w 4. Cordes et tangentesLa tangente à la parabole parallèle à la corde [AB] a pour point de contact le point C dont l'abscisse est la moyenne des abscisses de A et B.
Le coefficient directeur u de (AB) est : u = = f’(c) = k (a + b). Soit I le milieu du segment [AB] : la droite (CI) est parallèle à l'axe de la parabole (oy). Cette droite est appelée diamètre de la parabole relativement à la corde [AB]. Le point C est le sommet de la parabole relativement à ce diamètre. Remarque : pour l'axe focal, si K est le point de l'axe (oy) d'ordonnée le paramètre p = , on appelle aussi diamètre de la parabole le segment [oK], de longueur p. Si le coefficient k est positif, le point C est en dessous du segment [AB]. La parabole (P) est une courbe convexe. Télécharger la figure GéoPlan tan_para.g2w La parabole chez les AnciensLes géomètres grecs n'avaient pas GéoPlan, ni GeoGebra… Les anciens géomètres français, comme Descartes dans sa Géométrie, donnent le nom d'essieu à l'axe d'une courbe, appelé aussi cathète chez les anciens Grecs. Une corde qui passe par le foyer est une corde focale. Chez les « anciens Grecs », la corde focale perpendiculaire à l'axe est le côté droit de la parabole, on l'appelle aussi par son nom latin le latus rectum. Le paramètre p, demi-longueur du côté droit, est aussi nommé latus rectum. Propriétés diamétrales des coniques Si on coupe une conique par des droites parallèles, les milieux des cordes ainsi obtenues sont alignés, sur une droite appelée « un diamètre ». |
Diamètre et côté droitSi K est le point de l'axe (ox) d'abscisse le paramètre p = , le segment [LK], de longueur p, est le diamètre de la parabole. Le foyer F est le milieu de [LK]. L'axe (LK) est l'essieu de la parabole. La perpendiculaire en F à (LK) coupe la parabole en A et A’. Le segment [AA’], perpendiculaire à l'axe au foyer, est le côté droit (latus rectum) de la parabole, de longueur m = 2p. De l'équation x = k y2 = y2, on trouve y2 = 2px = mx. Télécharger la figure GéoPlan para_diametre.g2w Voir aussi : côté droit de l'ellipse |
Quadrature d'un rectangleCertains appellent aussi latus rectum la corde [MM’], Le rectangle, ayant pour côtés le latus rectum et [LH], a même aire que le carré de côté HM :
AA’ × LH = HM2. Télécharger la figure GéoPlan para_latus.g2w Sommaire |
Cordes parallèlesSoit A, B, D et E quatre points distincts, d'abscisses respectives a, b, d et e, points situés sur la parabole P d'équation y = k x2. On peut déduire de la question précédente que la corde [AB] est parallèle à la corde [DE] si et seulement si : (Ces deux cordes sont parallèles à la tangente au point d'abscisse .) TourniquetteTourniquette : ligne brisée formée par une suite de segments deux à deux parallèles tracés sur une figure comme un polygone ou une conique. On choisit sur la parabole P quatre points A, B, C et D d'abscisses respectives a, b, c et d. On construit deux points E et F sur la parabole tels que (DE) // (AB), puis (EF) // (BC). On montre que le tourniquet se referme avec (FA) // (CD). En effet, si e et f sont les abscisses de E et F on a : En ajoutant membre à membre les deux égalités et en simplifiant par b + e, on trouve : Télécharger la figure GéoPlan tourniq.g2w 6. Tangente et lieu géométrique - corde focaleDans un repère orthonormé (O, , ), on note P la parabole représentative de la fonction : Une droite (Δ) de coefficient directeur m passe par F et coupe P en A et B d'abscisses x1 et x2. Les tangentes à la parabole (P) en A et B se coupent en I. Objectif : trouver le lieu géométrique du point I lorsque la droite (Δ) pivote autour de F. Transmath 1S - Nathan 2001 - Exercice 70 - page 81 Définition : la courbe orthoptique d'une parabole est le lieu des points d'où l'on peut mener deux tangentes à la parabole perpendiculaires entre elles, autrement dit le lieu des points d'où l'on « voit » la parabole sous un angle droit. C'est la directrice de la parabole. Les deux tangentes sont perpendiculaires. Le lieu est donc la courbe orthoptique de la parabole. Démonstration « analytique »
Démonstration en « géométrie pure » P est une parabole de foyer F et de directrice (d). Soit (Δ) une droite, passant par le point F, distincte de l'axe (Oy). Analyse : si A est un point de la parabole situé sur la droite (Δ), ce point équidistant de F et de (d) est le centre d'un cercle passant par F et tangent à (d). La normale à (Δ) passant par F est tangente à ce cercle. Cette normale coupe la directrice en I. Les demi-droites [IH) et [IF) sont les deux tangentes au cercle, issues de I. Elles déterminent des segments de même longueur : IF = IH. Le point H est sur le cercle de centre I passant par F. Synthèse : la normale à (Δ) passant par F coupe la directrice en I. Le cercle de centre I passant par F coupe la directrice en deux points H et H’. Les normales à (d) passant par H et H’ coupent (Δ)
en deux points A et B. AH = AF donc A est sur la parabole P et (AI), médiatrice de [FH], est tangente à la parabole. [AB] est une corde focale de la parabole P. Les tangentes en A et B se coupent en I sur la directrice (d). Ces deux tangentes (IA) et (IB) sont les bissectrices en I des droites (d) et (IF) ; elles sont donc orthogonales. Télécharger les figures GéoPlan tan_cord.g2w et tan_cor2.g2w Autre formulation : tangentes à une paraboleEn géométrie analytique du plan, on considère une parabole (C) et on étudie le point d'intersection des tangentes à (C) en deux points dont les abscisses sont liées par une relation simple. Épreuve pratique 2007 - Terminale S - Sujet 031 Le plan est rapporté à un repère orthonormal. On considère la parabole C d'équation y = . 1. (a) À l'aide d'un logiciel adapté, tracer la parabole C.
Indication : Si le logiciel utilisé le nécessite, calculer d'abord le coefficient directeur de cette tangente. (b) Placer le point M’ d'abscisse t’ = − sur la courbe C. Tracer la droite D’ tangente à C en M’.
2. Démonstration
Télécharger la figure GéoPlan tan_edu31.g2w 7. Parabole et composition de fonctionsf est la fonction définie sur [0, +∞] par f(x) = et g la fonction définie sur R par g(x) = 2 - x2. M est un point d'abscisse x de (P), représentation graphique de g ; H est le point de la droite (d) d'équation y = x ayant la même ordonnée que M. Lorsque la construction est possible, on note K le point de la courbe (C), représentation graphique de f, ayant la même abscisse que H. P est le quatrième sommet du rectangle MHKP. Transmath 1S - Nathan 2001 - exercice 74 - page 38 |
En déplaçant le point M vérifier que le point K existe que lorsque x est dans l'intervalle I =[- ; ]. Ce point K appartient à l'arc des points de la courbe (C) dont les abscisses sont inférieures à 2. Les coordonnées des sommets du rectangle sont : OP2 = 2. L'ensemble des points P, d'ordonnées positives, est le demi-cercle de centre O est de rayon . La fonction k définie sur I, qui à x associe l'ordonnée de P, est la fonction composée k = f o g. Télécharger la figure GéoPlan comp_fnt.g2w |
Soit un point F et une droite (d) étant considérés comme fixes, L'objectif est de déterminer l'enveloppe de la famille des médiatrices (m) obtenues lorsque le point M varie sur la droite (d). |
(D'après la figure GéoPlan envelop.g2w, origine : mode d'emploi du CREEM) |
4,75 | 9 | 12,75 | 16 | 18,75 | 21 | 22,75 | 24 | 24,75 | 25 |
Télécharger la figure GéoPlan tab_fil.g2w
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9. DéveloppéeSoit un point F et une droite (d) étant considérés comme fixes, foyer et directrice d'une parabole, un point M variable sur (d) et (t) la médiatrice de [FM] tangente en N à la parabole. Au point N, traçons la normale (n) à la parabole, perpendiculaire à (t). L'objectif est de déterminer l'enveloppe de la famille des normales (n) obtenues lorsque le point M varie sur la droite (d). La courbe obtenue est la développée de la parabole.
Télécharger la figure GéoPlan develope.g2w Sommaire 10. Construction pratiqueD'après une copie d'élève de l'école d'ingénieur du Creusot en 1940 - cité par Patrick Guyot - Bulletin APMEP no 438 Construire point par point une parabole dont on connaît le sommet, l'axe de symétrie et un point. À partir d'un point M de la courbe, ayant pour projection P sur la tangente au sommet, on partage les segments [OP] et [PM] en quatre parties égales. Les points M1, M2, M3 construits ci-contre sont situés sur la parabole et on complète avec les symétriques. Si la parabole a pour équation y = k x2, La construction peut aussi se faire à partir d'un des points M1, M2 ou M3 pour trouver des points de la parabole au-delà du point connu. Cette méthode est valable pour d'autres partages des segments [OP] et [PM] en parties égales. Télécharger la figure GéoPlan pa_crezo.g2w Construction, dans un géoplan 5 × 5, à la manière des compagnons bâtisseurs du Moyen-Âge.Olympiades 2008 - Toulouse |
Comment les compagnons ont-ils pu partager les côtés du carré en quatre parties égales ? Géoplan 5 × 5 Indications Le partage du carré en deux se fait avec deux médiatrices, tracé facilité en remarquant qu'elles passent par le milieu O du carré, point d'intersection des deux diagonales. Télécharger la figure GéoPlan geoplan_5_5.g2w |
Un chemin a été ébauché sur la figure ci-dessous. Que dire de la forme de ce chemin ? Les points de cette figure pour les abscisses x = 0, , , , 1 ; sont situés sur les obliques d'équations y = ax, avec le coefficient directeur a = x. On a donc y = x2, équation d'une parabole. L'idée des compagnons serait de poursuivre en partageant en huit, puis en seize, etc. C'est possible et le tracé sera encore plus précis. Télécharger la figure GéoPlan pa_batisseur.g2w |
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Recherche du lieu de l'orthocentre d'un triangle lorsque l'un des sommets se déplace sur une droite. Dans le plan, ABC est un triangle d'orthocentre H. ÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2007 - Sujet 013 Dans le plan, ABC est un triangle quelconque. 1. (a) Faire une figure avec un logiciel de géométrie dynamique, faisant apparaître les points A et B, le point C sur une droite parallèle à la droite (AB), le triangle ABC, le point H et le point K. (e) : = + + . 2. À partir de cette question, le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, , ) ; les points A et B sont donnés par leurs coordonnées : A(-1 ; 1) et B(1 ; 1). Le point C est sur l'axe des abscisses, et a pour abscisse un réel x.
3. Vérifier, la conjecture émise, en traçant le lieu des points H, grâce à son équation. 4. En admettant que K a pour coordonnées (0 ; ) et l'égalité (e) donnée à la première question en déduire les coordonnées de H puis l'équation de (L). a. La droite est parallèle au côté opposé à ce sommet.Si (d) est une droite parallèle à (AB), distincte de (AB), le lieu de l'orthocentre H, quand le sommet C parcourt la droite
(d), est une courbe passant par A et B. Cette courbe est symétrique par rapport à la médiatrice de [AB]. Conjecture avec GéoPlan Limiter les déplacements de C à un segment de la droite (d) pour tracer le lieu géométrique : C point libre sur un segment Démonstration en géométrie analytique Utilisons un repère (O, , ) centré en O milieu de [AB] tel que : Les coordonnées des points sont alors A(-1, 0) ; B(1, 0) ; C(x, γ) et H(x, y) car H étant l'orthocentre du triangle ABC, C et H ont même abscisse x. AH étant orthogonal à CB, le produit scalaire . = 0. Les coordonnées des vecteurs sont (1 + x, y) ; (1 - x, -γ). On obtient finalement avec la formule analytique du produit scalaire : XX’ + YY’ = (1 + x) (1 - x) - γ y = 0, soit y = γ ≠ 0. Cette équation prouve que H se déplace sur une parabole passant par A et B et, qui plus est, que le lieu de H est toute la parabole, étant donné que x décrit R. Réciproquement, comme l'orthocentre du triangle ABH est le point C, on peut montrer que si C se déplace sur une parabole passant par A et B, d'axe de symétrie la médiatrice de [AB], alors le lieu de l'orthocentre est une droite parallèle à (AB). b. C décrit une droite qui coupe (AB) en D distinct de A et B.Dans le repère du paragraphe a précédent le point C se déplace sur une droite (d) d'équation : y = α x + β avec α ≠ 0 et β ≠ 0. Il a donc pour coordonnées C(x, α x + β). Les coordonnées des vecteurs sont : (1 + x, y) ; On trouve finalement avec la formule analytique du produit scalaire soit y = . On obtient une hyperbole. c. C décrit une courbe d'équation y = f (x)Jean Fages fait remarquer que les calculs réalisés au-dessus permettent d'affirmer que le lieu de H est la courbe d'équation y = . Exemple : Point C variable sur un cercle. Cas particulier où le cercle passe par A et B : voir lieux géométriques du triangle Télécharger les figures GéoPlan dr_ortho.g2w ; pa_ortho.g2w ; ce_ortho.g2w La géométrie à l'épreuve pratique de terminale S avec GéoPlan et GéoSpace. Sommaire 12. Lieu de pointsSoit un cercle fixe (c) de centre O, deux diamètres perpendiculaires [AA’] et [BB’] et M un point qui décrit le cercle sauf les points A et A’. On projette orthogonalement le point M sur le segment [BB’] en K et on appelle P le point d'intersection des droites (OM) et (AK). Montrer que le lieu du point P est la parabole de foyer O et directrice (d), tangente au cercle en A, privée de son sommet.
Télécharger la figure GéoPlan pa_lieu.g2w Sommaire 13. Théorèmes de PonceletM et M’ sont deux points de la parabole. Si I est le milieu de [MM’], la droite (PI) est parallèle à l'axe de la parabole. Premier théorème de Poncelet : (FP) est la bissectrice de l'angle MFM’. Deuxième théorème de Poncelet : les angles FPM et IPM’ sont égaux. Les droites (PF) et (PI) sont isogonales par rapport aux droites (PM) et (PM’). Télécharger la figure GéoPlan pa_ponce.g2w Sommaire 14. Théorème de PascalThéorème de Pascal dit de l'hexagramme mystique : Pour un hexagone inscrit dans une conique, le théorème de Pascal affirme que les points d'intersection des côtés opposés de l'hexagone, s'ils existent, sont alignés. La droite que forme cet alignement est appelée droite de Pascal. La figure est appelée hexagramme mystique. À l'aide du théorème de Ménélaüs, Pascal a démontré ce théorème pour un cercle, puis l'a généralisé à n'importe quelle conique, sachant que c'est un propriété projective, et qu'une propriété projective du cercle est valable pour toute conique. Le théorème de Pappus-Pascal l'applique aussi à une conique dégénérée en deux droites. La réciproque de ce théorème est vraie également : si les trois points d'intersection des côtés opposés d'un hexagone sont alignés alors l'hexagone est inscrit dans une conique. En géométrie projective, un des trois points où les trois points peuvent être des points à l'infini. Application à la paraboleOn choisit, sur une parabole, six points A1, A2, A3 et B1, B2, B3, d'abscisses respectives a1, a2, a3 et b1, b2, b3. Dans l'hexagramme A1B2A3B1A2B3, les côtés opposés (A2B3) et (A3B2) se coupent en I, (A1B3) et (A3B1) se coupent en J, (A1B2) et (A2B1) se coupent en K. Les points I, J, K sont alignés sur la droite de Pascal (IJ). Télécharger la figure GéoPlan pascal.g2w |
Démonstrations géométriques de Pythagore | Angles |
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La parabole en LAire maximum
Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec la version ActiveX de GéoPlan | ||||
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