Recherche interactive, avec GéoPlan, de cercles passant par un point, tangent à une droite, tangent à un cercle.
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La détermination de cercles astreints à trois conditions prises parmi celles qui consistent à passer par un point donné, ou à être tangent à une droite ou un cercle donné, répond à dix problèmes désignés par les symboles PPP, DDD, PPD, PPC… en représentant un point par P, une droite par D et un cercle par C. Est indiqué, pour chaque symbole, le nombre de solutions dont le problème est susceptible.

Le problème CCC, des trois cercles, dit problème d'Apollonius, est le plus difficile du Traité des contacts, un des ouvrages perdus d'Apollonius.

Dans l'Apollonius Gallus, Viète va résoudre les dix problèmes de contact avec un enchainement rappelant celui que nous présentons ci-dessous.

Le problème 1, PPP, est résolu avec le cercle circonscrit dont le centre est le point d'intersection des médiatrices du triangle.
Le problème 2, DDD, a pour solutions les cercles inscrit et exinscrits lorsque les droites forment un triangle. Viète le traitera de façon isolée.
Le problème 3, PPD, se ramène au problème 1 en utilisant des angles inscrits.
Le problème 4, PPC, se trouve grâce à l'introduction d'un cercle intermédiaire.
Le problème 5, PDD, se ramène au problème 4 en introduisant le symétrique du point par rapport à une bissectrice des deux droites.
Le problème 6, PCC, se ramène au problème 4 en trouvant un deuxième point situé sur la droite joignant le point donné à un des centres de similitude des deux cercles.
Le problème 7, PDC, se ramène au problème 3 grâce à un point intermédiaire
Le problème 8, DDC, se ramène au problème 5 par la méthode des translations en déplaçant les droites d'une longueur égale au rayon du cercle.
Le problème 9, DCC, se ramène au problème 7 en remplaçant le plus grand des cercles par un cercle ayant pour rayon la somme ou la différence des rayons de ces deux cercles et l'on déplace la droite parallèlement à elle-même d'une longueur égale au rayon du petit cercle.
Le problème 10, CCC, se ramène au problème 6 en substituant aux deux plus grands cercles, des cercles concentriques dont les rayons différent d'une quantité égale au rayon du plus petit cercle.

1. Cercle passant par trois points

Déterminer les cercles passant par trois points distincts deux à deux.
Une solution : le cercle circonscrit au triangle formé par les trois points.

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment en son milieu. C'est l'ensemble des points équidistant des extrémités du segment.
Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes au même point, centre du cercle circonscrit au triangle.

Paragraphe e xtrait de la page géométrie du triangle

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2. Cercle tangent à trois droites

a. Cercle tangent à trois droites sécantes deux à deux, non concourantes

Étant donné trois droites se coupant en trois points distincts deux à deux, déterminer les cercles tangents à ces trois droites.
On trouve quatre solutions : tracer les bissectrices intérieures extérieures des angles formés par les trois droites. Leurs points d'intersection sont les centres du cercle inscrit dans le triangle ABC et des trois cercles exinscrits. Ces quatre cercles sont tangents aux côtés du triangle.

Rappels de cours

La bissectrice d'un angle est la droite qui, passant par le sommet de cet angle, le partage en deux angles de même mesure.
Les trois bissectrices (intérieures) d'un triangle ABC sont concourantes en un même point I, centre du cercle inscrit dans le triangle (tangent intérieurement aux trois côtés du triangle).

Les bissectrices extérieures partagent en deux l'angle bordé par un côté du triangle et le prolongement de l'autre côté.
En un sommet, les bissectrices intérieure et extérieure sont orthogonales.

Deux bissectrices extérieures, associées à deux sommets, et la bissectrice intérieure, associée au troisième sommet, sont concourantes.
Leur point d'intersection situé à égale distance des trois côtés du triangle est le centre d'un cercle exinscrit, tangent aux trois côtés du triangle.

Extrait de : la géométrie du triangle

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b. Cercle tangent à trois droites dont deux sont parallèles

Le rayon r du cercle est égal à la moitié de la distance entre les deux parallèles (d₁) et (d₂).

Le centre du cercle se trouve sur la droite équidistante des deux parallèles et sur une des droites situées à une distance r de la sécante (d₃).

Il y a donc deux cercles solutions, centrés en O et O’.

Extrait de : problèmes de construction au collège

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Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

3. Cercle tangent à une droite passant par deux points

Déterminer les cercles passant par deux points A et B donnés et tangents à une droite (d) donnée.

Si A et B sont de part et d'autre de (d) il n'y a pas de solution.
Si A est sur (d) et B à l'extérieur il est immédiat de construire la solution dont le centre est à l'intersection de la médiatrice de [AB] avec la perpendiculaire en A à (d).
Si la droite (AB) est parallèle à (d) le point de contact est sur la médiatrice de [AB] et il n'y a qu'une solution.

Sinon on trouve deux cercles solutions, que l'on détermine par leurs points de contact T et T’ avec la droite (d). Le centre d'un cercle solution est alors à l'intersection de la perpendiculaire à (d) au point de contact avec la médiatrice de [AB].

Voici deux constructions, celle de Wallis utilise la puissance d'un point par rapport à un cercle qui n'est plus enseignée au lycée.

4. Cercle tangent à un cercle passant par deux points

Déterminer les cercles passant par deux points A et B donnés et tangents à un cercle (c) donné.

Technique : si (c₁) et (c₂) sont deux solutions tangentes en T et T’ au cercle (c), les tangentes communes se coupent en un point I aligné avec A et B. La puissance de I par rapport aux trois cercles est IT² = IT^’2 = IA × IB.

On trouve le point I grâce un cercle auxiliaire circonscrit à ABC qui recoupe (c) en D.
I est alors l'intersection des droites (AB) et (CD).

T et T’ sont situés sur le cercle de diamètre [OI] et les normales (OT) et (OT’) en T et T’ aux tangentes (IT) et (IT’) coupent la médiatrice de [AB] en O₁ et O₂, centres des cercles solutions.

Construction - Cas général

Étant donné un point C situé sur le cercle (c), le cercle (c₃) circonscrit au triangle ABC recoupe (c) en D.
Les droites (AB) et (CD) se coupent en I.

Soit T et T’ les points de contact des tangentes au cercle (c) issues de I, ces points T et T’ sont les intersections du cercle (c) avec le cercle de diamètre [IO], où O est le centre du cercle (c).

La puissance du point I par rapport au cercle (c) est IC × ID = IT².
La puissance du point I par rapport au cercle (c₃) est IC × ID = IA × IB.

Soit (c₁) le cercle circonscrit au triangle ABT.
La puissance du point I par rapport au cercle (c₁) est IA × IB = IT². La droite (IT) est tangente à (c₁) en T.
(c) et (c₁) sont tangents en T.

De même, le cercle (c₂), circonscrit au triangle ABT’, est tangent en T’ à (IT’) et à (c), deuxième solution du problème.

Cas particuliers

Si A et B sont équidistants de O, il y a encore deux solutions avec comme points de contact T et T’, intersections de (c) avec la médiatrice de [AB].

Si un des points est à l'intérieur du cercle (c), l'autre à l'extérieur, le point I intersection des droites (AB) et (CD) est situé à l'intérieur de (c), la puissance du point I par rapport à (c) est négative et il n'y a pas de solution.

Télécharger la figure GéoPlan cercle_PPC.g2w

Prototypes

GéoPlan permet de transformer cette construction en deux prototypes qui, à partir des points A et B et du cercle (c), renvoient les cercles (c₁) ou (c₂).

Télécharger les prototypes GéoPlan proto_PPC_2.g2w

5. Cercle tangent à deux droites passant par un point donné

On donne deux droites (d₁), (d₂) sécantes en I et un point A n'appartenant pas à ces droites.
Existe-t-il un cercle (c) passant par A tangent à ces deux droites ?
Combien y a-t-il de solutions à ce problème ?

Solution

Un cercle solution (c) passe par le point A’ symétrique de A par rapport à la bissectrice de l'angle formé par (d₁, d₂) contenant le point A. On se trouve dans le cas du problème 3 : tracer un cercle tangent à la droite (d₁) par exemple, passant par deux points A et A’ avec possibilité d'utiliser les prototypes GéoPlan.
I étant le point d'intesection de (AA’) avec (d₁), la construction de Wallis ci-contre permet, avec les cercles de diamètres [AA’] et [IJ] (J milieu de [AA’]), de trouver la distance IK de I aux points de contact T₁ et T₂.

Les cercles (c₁) et (c₂), passant par A et A’, tangents à (d₁) et (d₂), sont les deux solutions du problème. Ce sont les cercles circonscrits à AA’T₁ et AA’T₂. Leurs centres O₁ et O₂ sont les intersections de la bissectrice avec les perpendiculaires à (d₁) en T₁ et T₂.

Lorsque A est situé sur la bissectrice, I est l'intersection de (d₁) avec la perpendiculaire à A à (OA) et IT₁ = IT₂ = IA.

Télécharger la figure GéoPlan cercle_PDD.g2w

Autre méthode : tracer un cercle tangent aux deux droites et construire les solutions par transformation :
voir au lycée : homothétie,
voir construction sans homothétie : cercle au collège

6. Cercle passant par un point tangent à deux cercles

On donne deux cercles (c₁), (c₂) de centres O₁, O₂, de rayons r₁, r₂ et un point A n'appartenant pas à ces cercles.
Existe-t-il un cercle (c) passant par A tangent à ces deux cercles ?
Combien y a-t-il de solutions à ce problème ?

Voir aussi la construction d'un cercle de rayon donné, tangent à deux cercles donnés : problème de construction
Centres des cercles tangents à deux cercles tangents donnés : voir lieux géométriques

7. Cercle passant par un point tangent à une droite et à un cercle

On donne une droite (d), un cercle (c) de centre O et un point A à l'extérieur du cercle (c).
Soit I la projection orthogonale du centre O sur (d).

Les résultats du chapitre précédent subsistent, un des cercles étant remplacé par une droite :
Les centres d'homothétie étant remplacés par deux pôles d'inversion : les points U et U’ extrémités du diamètre de (c) perpendiculaire à (d), U’ étant le point le plus près de (d).

Les points A₁ et A₂ sont alors les images de A par les inversions de pôles U et U’ qui échangent la droite et le cercle.

Plus simplement les résultats ci-dessus subsistent en plaçant A₁ deuxième point d'intersection du cercle circonscrit au triangle AIU’ avec la droite (AU) ;
et A₂ est à l'intersection du cercle circonscrit au triangle AIU avec la droite (AU’).

On est donc ramené aux problèmes : tracer les cercles tangents à la droite (d) (ou au cercle c), passant par deux points A, A₁, puis passant par deux points A, A₂.

On a selon les positions relatives de A, (c) et (d) jusqu'à quatre solutions possibles :
- deux solutions avec le cercle donné et le cercle solution extérieurs l'un à l'autre. Dans ces cas, la droite des points de contact passe par U.
- lorsque (c) et (d) n'ont pas de point commun, il existe deux autres solutions où le cercle donné est à l'intérieur du cercle solution, le point U’ est alors sur le segment joignant les points de contact.

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8. Cercle tangent à deux droites et à un cercle

On donne deux droites (d₁), (d₂) sécantes en I et un cercle (c), de centre O, de rayon r.

Utiliser la méthode des translations en remarquant que si le rayon du cercle cherché augmentait ou diminuait de r, rayon du cercle donné, le nouveau cercle passerait par le centre O du cercle donné et serait tangent à des droites translatées de (d₁) et (d₂), telle que la distance entre une droite et son image soit égale au rayon r.
On se trouve dans le cas du problème 5 : tracer un cercle tangent à deux droites passant par le centre O avec possibilité d'utiliser les prototypes GéoPlan.

Nous pouvons trouver jusqu'à quatre cercles centrés sur la bissectrice de l'angle formé par (d₁, d₂) contenant le point O.
Nous utiliserons le fait que si un cercle passe par O, il passe par O’ symétrique de O par rapport à la bissectrice et nous tracerons les cercles passant par O et O’ tangent aux parallèles à (d₁) (prototypes du chapitre 3).

À partir des deux cercles de centres O₁, O₂, de rayons r₁, r₂ nous trouvons les cercles (c₁), (c₂) de rayons r₁+ r, r₂ + r.

À partir des deux cercles de centres O₃, O₄, de rayons r₃, r₄ nous trouvons les cercles (c₃), (c₄) de rayons r₃- r, r₄ - r.

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9. Cercle tangent à une droite et à deux cercles

On donne une droite (d) et deux cercles (c₁), (c₂) de centres O₁, O₂, de rayons r₁, r₂ tels que r₁ > r₂.

On remplace (c₁), le plus grand des deux cercles, par un cercle ayant pour rayon la somme r₁+r₂ ou la différence r₁-r₂ des rayons et on translate la droite (d) de telle façon que la distance entre la droite et son image soit égale à r₂, rayon du plus petit des cercles.
On se trouve dans le cas du problème 7 : tracer un cercle tangent à une droite, à un cercle et passant par le point O₂.

P₂ est le deuxième point d'intersection du cercle circonscrit au triangle O₂I’U’ avec la droite (O₂U).
Le tracé du cercle passant O₂ et P₂ tangent à (d₂) permet trouver un cercle de centre O₃ tangent au cercle de diamètre [UU’]. En diminuant le rayon de r₂ on obtient une première solution.

Une autre solution s'obtient avec le deuxième cercle passant O₂ et P₂ tangent à (d₂).

Q₂ est le deuxième point d'intersection du cercle circonscrit au triangle O₂IU₂ avec la droite (O₂U₁).

Le tracé du cercle passant O₂ et Q₂ tangent à (d₁) permet trouver un cercle de centre O₄ tangent au cercle de diamètre [U₁U₂]. En augmentant le rayon de r₂ on obtient une troisième solution.

Une quatrième solution s'obtient avec le deuxième cercle passant O₂ et Q₂ tangent à (d₁).

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En échangeant les rôles joués par U et U’ ainsi que U₁et U₂ on obtient deux nouveaux points :

P₂ est le deuxième point d'intersection du cercle circonscrit au triangle O₂IU avec la droite (O₂U’),
Q₂ est le deuxième point d'intersection du cercle circonscrit au triangle O₂I’U₁ avec la droite (O₂U₂).

Il est encore possible (suivant les configurations) d'obtenir quatre solutions.

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Faire de la géométrie dynamique

10. Un problème d'Apollonius : cercle tangent à trois cercles

CCC : 8 solutions

Problème des trois cercles

Trouver un cercle tangent à trois cercles donnés.

Historique

Le problème du cercle tangent à trois cercles est un des grands problèmes de l'histoire de la géométrie.
Il a été présenté par Pappus comme étant le dixième et le plus difficile du Traité des contacts, un des ouvrages perdus d'Apollonius.

En 1596, Adrien Romain (Van Roomen, latinisé en Adrianus Romanus, mathématicien flamand 1561-1615) proposera une solution faisant appel à une hyperbole, ce que Viète considère comme non conforme à la méthode des Anciens.

En effet, l'émergence de l'algèbre dans la géométrie lui permet d'affirmer que c'est un problème du second degré, donc un problème plan qui peut se résoudre « à la règle et au compas ».

Viète publie sa propre solution en 1600, dans l'Apollonius Gallus où il présente quelques lemmes permettant de manipuler les similitudes et où il expose les neuf premières situations présentées ci-dessus. Il reconnaît que les solutions de ce dixième problème dépendent de la position relative des trois cercles, mais ignore la discussion du nombre de solutions et il faudra attendre Descartes (1637) pour traiter les cas particuliers.

Jusqu'au  XIX^ème siècle, ce problème sera un des lieux de la confrontation entre la géométrie synthétique (géométrie pure) et la géométrie analytique.

Méthode de Viète

C'est le principe de « réduction d'un cercle à un point », où l'homothétie (qui ne serra d'actualité qu'au XVIII^ème avec Chasles) permet de transformer la contrainte « tangent à un cercle » en « passant par un point ».

On donne trois cercles (c₁), (c₂), (c₃) de centres O₁, O₂, O₃ de rayons r₁, r₂, r₃ tels que r₁ > r₂ > r₃ (Viète suppose implicitement que les trois cercles sont de rayons différents, les points O₁, O₂, O₃ n'étant pas alignés).

On substituera aux deux plus grands cercles (c₁), (c₂) des circonférences concentriques dont les rayons différeront des leurs d'une quantité égale au rayon r₃ du plus petit des trois cercles donnés.
On se trouve dans le cas du problème 6 : tracer un cercle tangent à deux cercles de centres O₁, O₂ passant par le centre O₃ du dernier cercle, que l'on ramène au problème 4  : tracer tracer un cercle passant par O₃ et A (ou B) et tangent à un des cercles auxiliaires.

Un exemple avec huit solutions

Méthode des inversions

Construction de M. Fouché - 1892

Trois cercles inégaux deux à deux et dont les centres ne sont pas alignés admettent six centres d'homothétie.Les trois centres « positifs » S₁, S₂ et S₃ sont alignés. Deux centres « négatifs » sont alignés avec un centre « positif ».
Autrement dit, les six centres son les sommets d'un quadrilatère complet.
Ce sont aussi des pôles d'inversion.

Étudions les inversions échangeant les cercles (c₃) et (c₁) ainsi que les cercles (c₃) et (c₂).

Une première figure ci-dessus avec les inversions de puissances positives de pôles S₂ et S₁.

Étant donné un point M variable sur le cercle (c₃) construisons, lorsque c'est possible, les inverses P et Q de M.
Par l'inversion de centre S₂ transformant le cercle (c₃) en (c₁), P est une des intersections bien choisie de (c₁) avec (S₂M).
Q intersection de (c₂) avec (S₁M).

Le cercle circonscrit au triangle MPQ recoupe (c₃) en N. La droite (MN) est l'axe radical de MPQ et de (c₃). Elle coupe la ligne (S₁S₂) des centres d'homothétie en H.
Le point H est indépendant du point M ; la puissance du point H par rapport à (c₃) est aussi celle par rapport à un cercle solution (c).
La tangente commune à (c) et (c₃) passe par H.

Il suffit de trouver les points de tangence C et C’, intersections de (c₃) avec le cercle de diamètre [O₃H].

En traçant le point A inverse de C, intersection de (c₁) avec (S₂C), puis en traçant le point B inverse de C, intersection de (c₂) avec (S₁C), on trouve le cercle circonscrit à ABC.
De même, avec A’ intersection de (c₁) avec (S₂C’) et B’ intersection de (c₂) avec (S₁C’), on trouve le cercle circonscrit à A’B’C’ comme deuxième solution.

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