Problèmes d'optimisation avec GéoPlan Groupe de mutualisation, s érie S, lycée Fourcade, le 25 janvier 2007 : exercices à prise d'initiative.	…avec GéoPlan

Classe de seconde

1. Partage en deux d'un trapèze

ABCD est un trapèze rectangle de grande base [AB].
Trouver un point M du segment [AB] tel que [CM] partage le trapèze ABCD en deux parties d'aires égales.

On note :
· x la longueur AM
· f(x) l'aire du triangle CMB
· g(x) l'aire du trapèze AMCD.

Le graphique de droite représente ces deux aires en fonction de x.
En vous aidant du graphique, retrouvez la position du point M.

Télécharger la figure GéoPlan trapeze.g2w

Indications : cas particulier AB = 7 et DC = 5

AB = b = 7, AM = x, DC = c = 5, AD = h = 4.

L'aire du triangle CMB est MB × AD = (b - x)× h.
L'aire du trapèze AMCD est (AM + CD) × AD = (x + c) × h.

f(x) = 2(7 - x) et g(x) = 2(x + 5). L'égalité des aires est vérifiée pour x = 1.

Cas général AB = b et DC = c

On trouve x = (b - c)/2. La solution est indépendante de la hauteur du trapèze.

2. Partage d'un trapèze

ABCD est un trapèze rectangle de bases [AB] et [CD] et de hauteur [AD] tel que AB = 2, AD = 7 et DC = 3.

M est un point mobile du segment [AD].

On appelle T₁ le triangle DMC ; T₂ le triangle BCM et T₃ le triangle ABM.

Partie 1

a. Trouver la position de M pour que l'aire de T₁ soit égale à (touche 1 avec GéoPlan).
b. Dans ce cas préciser la nature de T₂, justifier.
c. Y a-t-il une autre position de M pour que T₂ soit de même nature ? (touche 2 avec GéoPlan)

Partie 2

Déterminer toutes les positions de M pour que :
a. Aire(T₃) < Aire(T₁)
b. Aire(T₁) < Aire(T₂)
c. Aire(T₃) < Aire(T₁) < Aire(T₂)

Partie 3

Peut-on trouver M sur [AD] pour que T₂ soit isocèle en M ? (touche 3 avec GéoPlan)

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Classe de première

3. Arc de cercle ?

ÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2004 - Sujet 4

Soit f  la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par f(x) = x - 2 + 1.

La courbe représentative Γ de la fonction f dans un repère orthonormal est donnée ci-contre.

• Montrer que le point M de coordonnées (x, y) appartient à Γ si et seulement si x ≥ 0, y ≥ 0 et + = 1.

• Montrer que Γ est symétrique par rapport à la droite d'équation y = x.

• Si Γ était un arc de cercle, quel pourrait être son centre ? Quel pourrait être son rayon ?

• La courbe Γ est-elle un arc de cercle ?

Télécharger la figure GéoPlan courbe_arc_cercle.g2w

De l'équation y = x - 2 + 1, on trouve y = (1 - )².
Comme 0 ≤ x ≤ 1, alors 0 ≤ ≤ 1 et 0 ≤ y ≤ 1 et on peut calculer la racine carrée :
= 1 - soit + = 1.

Cette équation est symétrique en x et y : si un point M(x, y) appartient à Γ, alors M’(y, x) est aussi sur Γ. L'axe (O, + ) d'équation y = x est axe de symétrie de la courbe.

Cette droite coupe Γ au point C tel que 2 = 1 donc x = y = .

Si Γ était un arc de cercle, il passerait par A, B et C. Son centre I serait situé sur l'axe (O, + ), médiatrice de [AB], et sur la médiatrice de [AC].
Cette dernière droite, perpendiculaire à (-, -) en J(, ), a pour coefficient directeur 3 et pour équation y = 3x - .
Les deux médiatrices se coupent au point K tel que x = y = .

Commandes GéoPlan

Taper S pour visualiser un arc de cercle de centre I, situé sur la première bissectrice des axes, et passant par les points A(1, 0) et B(0, 1).
Taper C pour placer le point I au point K de coordonnées (7/8, 7/8), centre du cercle passant par A, B et C.

Justification

De l'équation y = x - 2 + 1, on trouve 2 = x - y + 1 et en élevant au carré :
4x = (x - y + 1)² = x² + y² - 2xy + 2x - 2y + 1.

Le terme 2xy de l'équation x² + y² - 2xy - 2x - 2y + 1 = 0 fait que Γ n'est pas un arc de cercle, mais un arc de conique, plus particulièrement de parabole.

Avec GéoPlan, taper P pour visualiser la parabole contenant Γ.

Démonstration

En raison de la symétrie on est donc amené à étudier la courbe dans le nouveau repère (O, , ) avec = - et = +

Pour un point M(x, y) dans le repère (O, , ) on a : = x + y , dans le nouveau repère M a pour coordonnées (X, Y) avec = X + Y .

X + Y = X ( - ) + Y( + ) = X - X + Y + Y = (X + Y) + (Y - X).
En identifiant avec x + y , on trouve les formules de changement de variable :
x = X + Y
y = Y - X.

Remplaçons par les nouvelles coordonnées dans l'équation :
(X + Y)² + (Y - X)² - 2 (X + Y)(Y - X) - 2(X + Y) - 2(Y - X) + 1 = 0.
Soit 4X² - 4Y + 1 = 0. Γ est un arc de la parabole d'équation Y = X² + .

4. Tangente à la parabole et aire minimum

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O; , ) d'unité graphique 2cm.

a. Soit g a fonction définie sur ]-1, 1[ par g(x) = 1 - x². Tracer la courbe (C) représentative de g.

b. Soit x un nombre réel non nul élément de l'intervalle ]0 ; 1]. On appelle M le point de (C) d'abscisse x.
On appelle (T) la tangente en M à la courbe (C).
(T) coupe l'axe des abscisses en I et l'axe des ordonnées en J.

Pour quelle valeur de x l'aire du triangle OIJ est-elle minimum ?

Commandes GéoPlan : cliquer dans la figure, taper T pour le mode trace et déplacer le point M

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Niveau terminale

5. Triangle rectangle isocèle avec contraintes

Soit (O; , ) un repère orthonormal direct du plan.

On considère trois points A, B, C de coordonnées respectives (0, 5) ; (2, 12) ; (0, 10).

On appelle (d₁) la parallèle à l'axe (Oy) passant par B et (d₂) la droite (BC).

Trouver un point M sur (d₁) et un point N sur (d₂) tels que le triangle AMN soit rectangle isocèle direct en A.

Solution

Si le triangle rectangle isocèle AMN existe, le point M est obtenu à partir du point N par une rotation de 90° autour de A. Cela nous donne une méthode de construction du triangle qui répond à la question :
on fait pivoter la droite (d₁) de 90° autour de A. La transformée (d’) coupe (d₂) en N. Le point de (d₁) dont N est l'image est le point M.

Télécharger la figure GéoPlan tr_rect_iso.g2w

6. Lieux géométriques

Dans le plan rapporté au repère orthonormal direct (A, , ), on considère le carré ABCD de centre O, soit P un point de [BC].

On appelle N l'image de P par la rotation de centre A et d'angle et M le milieu de [NP].

Déterminer les lieux des points N et M lorsque P décrit [BC].

Commandes GéoPlan
Touche T : Tracé point par point des lieux,
touche S pour Sortir du mode trace,
touche L : dessin en bloc des Lieux.

Indications

D’ étant le symétrique de C par rapport à D, D et D’ sont les images de B et C par la rotation. Le lieu du point N est le segment [DD’] porté par la droite (CD).

Le triangle ANP est rectangle isocèle. M est donc l'image de P par la similitude de centre A, d'angle et de rapport . O et D sont les images de B et C par la similitude. Le lieu du point M est le segment [OD].

Télécharger la figure GéoPlan lieu_carre.g2w
Exercice dupliqué dans : similitude
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7. Huit carrés - Somme de trois angles

On aligne comme sur la figure ci-dessous huit carrés égaux.
Quelle est la somme des trois angles marqués x, y et z ?

La somme des trois angles vaut 45°.

 Télécharger la figure GéoPlan huit_carres.g2w

8. Évacuation des eaux

Épreuve pratique 2007 - Terminale S - Sujet 003

On décide de mettre en place un système de collecte des eaux de pluie sur un mur aveugle, à l'arrière de la façade d'une maison.
Sur ce mur, de forme rectangulaire, deux tuyaux obliques doivent récupérer les eaux de pluie pour les déverser dans un tuyau vertical aboutissant à un réservoir.
On donne ci-dessous le plan de ce mur.
Sur ce plan, (MH) est la médiatrice de [DC].
Il s'agit de trouver, sur le mur de cette maison, la position du point M qui minimise la longueur totale des tuyaux.

On note Q la projection de M sur (BC) et on prend comme variable la mesure en radian de l'angle aigu BMQ = θ.

Travail demandé

11. À l'aide du logiciel GéoPlan, ouvrir la figure « optimisation.g2w ». Elle comprend le repère R de centre D, ainsi qu'un second repère de centre I.
Construire le rectangle ABCD, puis définir la médiatrice de [DC] ainsi que le point libre M sur cette droite.
Définir la variable numérique s égale à la somme MA + MB + MH ainsi que e égale à la valeur en radian de l'angle BMQ, puis l'affichage de ces deux valeurs.

(Facultatif) : Représenter dans le repère d'origine I le point S d'abscisse e en choisissant des coordonnées adaptées.

À l'aide de la figure ainsi conçue, déterminer une valeur approchée de la mesure de l'angle BMQ en radian qui donne une somme s minimale, ainsi que la valeur approchée de cette somme.

2. On définit la fonction g : θ ® g(θ) = 2MA + MH sur l'intervalle [0, ].
(a) on note g’ la dérivée de g. Démontrer que g’(θ) = 5 × .
(b) déterminer la valeur exacte de θ qui minimise la longueur des tuyaux.

Commandes GéoPlan
Cliquer dans la figure et déplacer le point M.

Touche T : Tracé point par point du graphe,
touche S pour Sortir du mode trace,
touche L : dessin en bloc du graphe.

Indications

MQ = MB cos θ, d'où MA = MB = MQ/cos θ = 5/cos θ.
BQ/MQ = tan θ, d'où BQ = MQ tan θ = 5 tan θ ; MH = QC = BC - BQ = 6 - 5 tan θ.

g(θ) = 2MA + MH = 10/cos θ + 6 - 5 tan θ = (10 + 6 cos θ - 5 sin θ)/cos θ.

La dérivée g’ est nulle si 2 sin θ -1 = 0 ; sin θ = ; θ = . g(θ) = 5 + 6 ≈ 14,66.

Télécharger la figure GéoPlan evacuation_eaux.g2w

Figure vierge

Pour vos propres applications, téléchargez la figure GéoPlan f_vierge.g2w.

Réalisez le dessin dans le repère R, figure de gauche.
En fonction des coordonnées du point M(x, y), le point S(x, y) est affiché dans le repère de droite R₁.
Réglez éventuellement la taille des unités avec les variables un pour R et un₁ pour R₁.